第十八章 隐函数定理及其应用
§1 隐函数
一 、 隐函数概念（P144）
在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 y =x 2+1，u =e xyz (sinxy +sin yz +sin zx ).
这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。 ☆ 本节将介绍由一个方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数求导法；
☆ 下一节将介绍由方程组⎨
⎧F (x , y , z , u , v ) =0
所确定的隐函数求导法。
⎩G (x , y , z , u , v ) =0
设X ⊂R ，Y ⊂R ，函数F :X ⨯Y →R .
注：1）定义中的y =f (x ) x ∈I , y ∈J , 仅表示定义域为I, 值域为J 的函数，而y 未必能 ．
用x 的显式表示
2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。
结论：若由的隐函数为 ．．．．F (x , y ) =0确定．．．．．．．y =f (x ) x ∈I , y ∈J . 则成立恒等式．．．．．．
F (x , F (x )) ≡0, x ∈I .
例： 方程 xy +y -1=0，当x 定义在(-∞, -1) (-1, +∞) 上时，可得隐函数y =f (x ) 。
其显函数形式为：y =
2
2
1
. 1+x
例： 圆方程x +y =1能确定一个定义在[-1, +1]上，函数值不小于0的隐函数
又能确定另一个定义在[-1, +1]上，函数值不大于0的隐函数y =--x 2。 y =-x 2；
注：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及x , y 的取值范围后才有意义。 ．
2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。
3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程
x 2+y 2+c =0.
2
当c >0时，就不能确定任何函数f (x )，使得x 2+[f (x ) ]+c ≡0.
而只有当c ≤0时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程F (x , y ) =0 在什么条件下才能确定隐函数。
4）倘若方程F (x , y ) =0能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程 中解出y ，并用自变量x 的算式来表示（即使F (x , y ) 是初等函数）。例如，（证明见P149）
例1）对于方程 y -x -
1
sin y =0. 2
可以证明确实存在一个定义在(-∞, +∞) 上的函数f (x ) ，使得 f (x ) -x +但这函数f (x ) 却无法用x 的算式来表达。
5) 由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程F (x , y ) =0能否确定隐函数 以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。 二 、隐函数存在性条件的分析（P145）
分析1：满足方程F (x , y ) =0的（x , y）应满足方程组⎨
1
sin y ≡0, 2
⎧z =F (x , y )
，即（x , y）应属于曲
⎩z =0
面z =F (x , y ) 与坐标平面z =0的交集。（∵z =0，∴该交集在0-xy 平面上）
结论：若方程．．．．．F (x , y ) =0能确定一个函数，则至少要求曲面．．．．．．．．．．．．．．．z =F (x , y ) 与坐标平面．．．．．z =0 的交集非空，即存在 ．．．．．．．．．0-xy 平面上的点．．．．．P 0(x 0, y 0) 使．F 0(x 0, y 0) =0。．
分析2：其次，对上述P 0而言，若方程F (x , y ) =0能在点P 0附近确定一个连续函数，则从 几何意义上表现为上述交集是一条通过点P 0的连续曲线段（该曲线段在0-xy 平面上）（P145
图18-1）。
如果曲面z =F (x , y ) 在点P 0处存在切平面， 且切平面与坐标平面z =0相交于直线l （同样l 也在0-xy 平面上），那么曲面z =F (x , y ) 在点
P 0附近亦必与坐标平面z =0相交（其交线在点
。为此，我们有以下结论。 P 0处的切线正是l ）
结论：若2） ．．．z =F (x , y ) 在点．．P 0可微，且．．．．(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), （．．．
则 ．z =F (x , y ) 在点．．P 0存在切平面，并与．．．．．．．．z =0相交成直线。．．．．．．
事实上：由P113 Th17.4可知，若z =F (x , y ) 在点P 0可微，则z =F (x , y ) 在点P 0存在切 平面，又(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), 所以切平面不平行于0-xy 平面，所以必与z =0(即0-xy 平面) 相交成直线。 ▋
分析3：如果进一步要求上述隐函数y =f (x ) （或x =g (y ) ）在点P 0可微，则在F 为可微 的假设下，通过方程F (x , y ) =0在点P 0处对x 求导，依链式法则得到可得到以下结论。 结论：若隐函数 0可微，且．．．．．．y =f (x ) （或．．x =g (y ) ）在点．．．P ．．．．z =F (x , y ) 也可微，则．．．．．
当 ．F y (P 0) ≠0时，．．
dy
dx dx dy
x =x 0
=-
F x (P 0)4） . （．．．F y P 0F y (P 0)F x P 0.
类似地，当 ．．．．．F x (P 0)≠0时，．．
y =y 0
=-
事实上：由F (x , y ) =0，两端对x 求导，依链式法则可得
F x (P 0)+F y (P 0)⋅
dy
dx
x =x 0
=0 （3）
所以，当F y (P 0) ≠0时，由上式可解出（4） 同理，当F x (P 0)≠0时，可得
dx dy
y =y 0
=-
F y (P 0)F x P 0. ▋
注：1) 应关注条件(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), 对隐函数的存在性及对隐函数的求导的重要性。 ．
三 、 隐函数定理（P146）
证明：由条件(iv),不妨设F x (x 0, y 0)>0(若F x (x 0, y 0)
①∵F y 在D 内连续(由条件(iii))
∴由连续函数的局部保号性, 存在点P 0的某一闭的方邻域
[x 0-β, x 0+β]⨯[y 0-β, y 0+β]⊂D , 使得在其上每一点处都有F y (x , y ) >0.
因此, 对每个固定的x ∈[x 0-β, x 0+β], F (x , y )作为y 的一元函数, 必定在
[y 0-β, y 0+β]上严格增且连续.
②由F (x 0, y 0) =0（初始条件(ii)）可知F (x 0, y 0-β)0 ③又由F 的连续性条件（i ）可知道函数F (x , y 0-β)与F (x , y 0+β)在
[x 0-β, x 0+β]上也是连续的。因此由保号性存在α>0(α≤β)，当x ∈(x 0-α, x 0+α)
时恒有F (x , y 0-β)0.
如图18-2所示，在矩形
ABB ' A ' 的AB 边上F 取负值，
在A ' B ' 边上F 取正值．④因此对
(x 0-α, x 0+α) 内每个固定值x ，
同样有F (x , y 0-β) 0。
根据前已指出的F (x , y ) 在[y 0-β, y 0+β]上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的
y ∈(y 0-β, y 0+β) ，使得满足F (x , y ) =0．
⑤由x 在(x 0-α, x 0+α) 中的任意性，这样就确定了一个隐函数y =f (x ) ，它的定义域为(x 0-α, x 0+α) ，值域含于(y 0-β, y 0+β) ．若记
U (P 0) =(x 0-α, x 0+α) ⨯(y 0-β, y 0+β),
则 y =f (x ) 即为所求 ） 二）. 再证明f 的连续性． （前面已证y =f (x ) ，现证其连续性）
只须证明：对(x 0-α, x 0+α) 中的任x 及唯一对应的y =f (x ) ，使得对任ε>0，存在δ>0，当x -x
①由上述结论可知： 对于x ∈(x 0-α, x 0+α) 内的任意点，有唯一的
y ∈(y 0-β, y 0+β) ，使得y =f (x ) 且满足F (x , y ) =0．
②所以，对任给ε>0，不妨设ε
则在[y -ε, y +ε]上同样有：F (x , y -ε) 0．成立 ③由F 的连续性及保号性存在x 的某邻域(x -δ, x +δ) ⊂(x 0-α, x 0+α), 使得当x ∈(x -δ, x +δ) 时（即x -x 0
④因此由介值性定理，存在唯一的y ∈(y -ε, y +ε) ，使得F (x , y ) =0，y -y
这就证得：对任ε>0，存在δ>0，当x -x
{}
连续．由x 的任意性，证得f (x ) 在(x 0-α, x 0+α) 内处处连续． ▋
注：1) 本“隐函数存在惟一性定理” 仅保证了在点P 0的某邻域U (P 0) ⊂D 内，方程．
（隐函数）y =f (x ) ，F (x , y )=0唯一地确定了一个定义在某区间(x 0-α, x 0+α) 内的函数
并非保证在使F (x , y )=0有意义的全体区域内存在隐函数，所以该定理仅仅给出了由
F (x , y )=0确定的某局部存在隐函数的一个充分条件。
例如：见（P150）例2
2）（P147倒10-倒3行）定理18．1的条件仅仅是充分而非必要的．
例如： 方程y 3-x 3=0在点(0, 0) 不满足条件(iv) (F y (0, 0) =0) ，但它仍能确定惟一的连续函数y =x ．
当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效。 例如：(P147倒8-13行) 图18-3所示的双纽线， 其方程为F (x , y ) =(x 2+y 2) 2-x 2+y 2=0. 由于F (0, 0) =0，F 与F y =4y (x +y ) +2y 均连续，故满足定理条件(i)(ii) (iii)． 但因F y (0, 0) =0，致使在原点的无论怎样 小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．
3) （P147倒2-P148第4行）定理中的条件(iii ) 和(iv ) 是比较强的，
在定理证明过程中，条件(iii)和(iV)只是用来保证存在P 0的某一邻域，使得F 在此邻域内关于变量y 是严格单调的．
因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F 在P 0的 某一邻域内关于y 严格单调”。现在采用较强的条件(iii ) 和(iv ) ，只是为了在实际应用中便于检验。
4）条件“F 在P 0的某一邻域内关于y 严格单调”类似于一元函数存在反函数的充分条件为1-1对应的（连续的1-1对应函数必为严格单调函数，）。应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。
5）（P148第5-P148第7行）如果把定理的条件(iii ) 、(iv ) 改为F x (x , y ) 连续，且
2
2
F x (x 0, y 0) ≠0. 这时结论是存在唯一的连续函数x =
g (y ).
证明：设x ∈ (x 0-α, x 0+α) ，给x 一增量∆x 使x +∆x ∈(x 0-α, x 0+α) ，且使得它们所对应的函数值y =f (x ) 与y +∆y =f (x +∆x ) 均含于(y 0-β, y 0+β) 内。
∵ F (x , y ) =0, F (x +∆x , y +∆y ) =0
∴由F x 、F y 的连续性以及二元函数中值定理（P133定理17.8），有
0=F (x +∆x , y +∆y ) -F (x , y )
=F x (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆x +F y (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y , （其中0
因而
F (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y
=-x . 注意到上式右端是连续函数F x (x , y ) 、∆x F y (x +θ∆x , y +θ∆y )
F y (x , y ) 与f (x ) 的复合函数，且 F y (x , y ) ≠0 (x ∈U (P 0) )
所以有 f ' (x ) =l i F (x , y ) ∆y
（导函数的存在性） =-x
∆x →0∆x F y (x , y )
且f ' (x ) 在(x 0-α, x 0+α) 内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数） ▋. 注：1)(P148倒7-P1496行)P146已经有结论：若方程F (x , y ) =0确实存在连续可微的隐函．
数，则可对方程F (x , y ) =0应用复合函数求导法得到隐函数的导数.
事实上：若把
F (x , f (x )) 看作F (x , y ) 与y =f (x ) 的复合函数时，则有
F x (x , y ) +F y (x , y ) y ' =0. 所以，当F y (x , y ) ≠0时，即可推得（5）式成立。
2)(自看：P148倒2-149第6行) 对于隐函数的高阶导数，可用和上面同样的方法来求得，这时只要假定函数F 存在相应阶数的连续的高阶偏导数。例如，要计算y ，只要对恒
' '
等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得
F xx (x , y ) +F xy (x , y ) y ' +F yx (x , y ) +F yy (x , y ) y ' y ' +F y (x , y ) y " =0.
再把（5）得结果代入上式，整理后得到
22
2F F F -F F -F F yy 21x y xy y xx x " ' '
, y =-F xx +2F xy y +F yy y =
F y 3F y
[]
()
当然它也可由公式（5）直接对x 求导而得到.
☆ （可自看P149第7-22行, ）最后，我们可以类似地理解由方程
F (x 1, x x , , x n , y )=0所确定的n 元隐函数的概念. 并叙述下列n 元隐函数的唯一存在与连
续可微性定理：
四、隐函数求导举例（P149） 例1（P149） 设方程
F (x , y ) =y -x -
1
s i n y =0. （7） 2
由于F 及其偏导数F x , F y 在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ），且
F (0, 0) =0, （满足第（ⅱ）个条件，即初始条件），
F y (x , y ) =1-
1
c o s y >0. (满足第（ⅳ）个条件) 。 2
故依定理18.1和18.2，方程（7）确定了一个连续可导隐函数y =f (x ) ； 我们又注意到F x (x , y ) =-1. 所以按公式（5），其导函数为
f ' (x )=-
F x (x , y )
=
F y x , y 12
=. ▋
12-cos y 1-cos y 2
注：1）例1中取x 0=0, y 0=0, 事实上还可以取x 0=π, y 0=π等，所以x 0, y 0的选取方．
法很多，只需找到一组即可。
例2 （P150）讨论笛卡儿（Descartes ）叶形线（图18-4）
33x +y -3axy =0 （8）
所确定的隐函数y =f (x ) 的一阶与二阶导数.
解: 显然F (x , y ) =x 3+y 3-3axy 及F x , F y 在平面上任一点都连续，
由隐函数定理知道，在使得
F y (x , y )=3y 2-ax ≠0的点(x , y )
附近，方程x +y -3axy =0都能
确定隐函数y =f (x ) ；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对（8）式求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得
3
3
()
x 2+y 2y ' -ay -axy ' =0
或 x -ay +y -ax y =0. （9）
(
'
2
)(
2
)
'
ay -x 2
于是 y =2. y 2-ax ≠0. （10）
y -ax
()
再对（9）式求导，得：2x -ay +(2yy -a ) y +(y -ax ) y =0,
即 y " (y 2-ax ) =2ay ' -2yy ' -2x . （11） 把（10）式代入（11）式的右边，得
2
' ' ' 2"
-2a 3xy -2xy (x 3+y 3-3axy )
2ay -2yy -2x =. 22
(y -ax )
'
' 2
2a 3xy
再利用方程（8）就得到 y =-2. （12） 3
(y -ax )
"
由（10）式易见，曲线在点A (2a , 4a ) 处有一水平切线，在点B (4a , 2a ) 处有 一垂直切线. ▋
注：1）本例中“曲线在点A (2a , 4a ) 处有一水平切线”可由下列方程组求解而得： ．
⎧x 3+y 3-3axy =0
⎨2
⎩ay -x =0
同样本例中“曲线在点B (4a , 2a ) 处有一垂直切线. ”可由下列方程组求解而得：
⎧x 3+y 3-3axy =0⎨2
⎩y -ax =0
2）本例求一阶导数时也可如下进行：
22
()F x , y =3y -ax ()F x , y =3x -ay y
因为x ，
()
()
F x (x , y ) ay -x 2 所以f ' (x ) =-=2.
F y (x , y ) y -ax
3）由于在点B 和原点处的任何邻域内，每一个x 所对应的不能在那两点的邻域内确定惟一的隐函数. 例3 （P150）讨论方程
y 值不惟一，所以方程（8）
F (x , y , z ) =xyz 3+x 2+y 3-z =0 （13）
在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数.
解: 由于F (0, 0, 0) =0, F z (0, 0, 0) =-1≠0, F , F x , F y , F z 处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0, 0, 0) 附近能惟一确定连续可微得隐函数z =f (x , y ) ， 且可求得它得偏导数如下：
F x ∂z yz 3+2x =-=, ∂x F z 1-3xyz 2
F y xz 3+3y 2∂z
=-=. ▋ 2
∂y F z 1-3xyz
例4 （反函数的存在性与其导数）（P151）设y =f (x ) 在x 0得某邻域内有连续的导函
数f ' (x ) ，且f (x 0) =y 0；
考虑方程 F (x , y ) =y -f (x ) =0. （14） 由于 F (x 0, y 0) =0， F y =1， F x (x 0, y 0) =-f ' (x 0),
所以只要f ' (x 0) ≠0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14）能确定出在y 0的某邻域U (y 0) 内的连续可微隐函数x =g (y ) ，并称它为函数y =f (x ) 的反函数. 反函数的导数是
g (y ) =-' F y
F x =-11=. （15） -f ' (x ) f ' (x )
事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式. ▋
第十八章 隐函数定理及其应用
§1 隐函数
一 、 隐函数概念（P144）
在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 y =x 2+1，u =e xyz (sinxy +sin yz +sin zx ).
这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。这种形式的函数我们称为隐函数。 ☆ 本节将介绍由一个方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数求导法；
☆ 下一节将介绍由方程组⎨
⎧F (x , y , z , u , v ) =0
所确定的隐函数求导法。
⎩G (x , y , z , u , v ) =0
设X ⊂R ，Y ⊂R ，函数F :X ⨯Y →R .
注：1）定义中的y =f (x ) x ∈I , y ∈J , 仅表示定义域为I, 值域为J 的函数，而y 未必能 ．
用x 的显式表示
2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。
结论：若由的隐函数为 ．．．．F (x , y ) =0确定．．．．．．．y =f (x ) x ∈I , y ∈J . 则成立恒等式．．．．．．
F (x , F (x )) ≡0, x ∈I .
例： 方程 xy +y -1=0，当x 定义在(-∞, -1) (-1, +∞) 上时，可得隐函数y =f (x ) 。
其显函数形式为：y =
2
2
1
. 1+x
例： 圆方程x +y =1能确定一个定义在[-1, +1]上，函数值不小于0的隐函数
又能确定另一个定义在[-1, +1]上，函数值不大于0的隐函数y =--x 2。 y =-x 2；
注：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及x , y 的取值范围后才有意义。 ．
2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。
3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程
x 2+y 2+c =0.
2
当c >0时，就不能确定任何函数f (x )，使得x 2+[f (x ) ]+c ≡0.
而只有当c ≤0时，才能确定隐函数。因此，我们必须研究方程F (x , y ) =0 在什么条件下才能确定隐函数。
4）倘若方程F (x , y ) =0能确定隐函数，一般并不都像前面的一些例子那样，能从方程 中解出y ，并用自变量x 的算式来表示（即使F (x , y ) 是初等函数）。例如，（证明见P149）
例1）对于方程 y -x -
1
sin y =0. 2
可以证明确实存在一个定义在(-∞, +∞) 上的函数f (x ) ，使得 f (x ) -x +但这函数f (x ) 却无法用x 的算式来表达。
5) 由上述讨论可知：在一般情况下，我们主要考虑方程F (x , y ) =0能否确定隐函数 以及这个隐函数的连续性、可微性，而不管它是否能用显式表示。 二 、隐函数存在性条件的分析（P145）
分析1：满足方程F (x , y ) =0的（x , y）应满足方程组⎨
1
sin y ≡0, 2
⎧z =F (x , y )
，即（x , y）应属于曲
⎩z =0
面z =F (x , y ) 与坐标平面z =0的交集。（∵z =0，∴该交集在0-xy 平面上）
结论：若方程．．．．．F (x , y ) =0能确定一个函数，则至少要求曲面．．．．．．．．．．．．．．．z =F (x , y ) 与坐标平面．．．．．z =0 的交集非空，即存在 ．．．．．．．．．0-xy 平面上的点．．．．．P 0(x 0, y 0) 使．F 0(x 0, y 0) =0。．
分析2：其次，对上述P 0而言，若方程F (x , y ) =0能在点P 0附近确定一个连续函数，则从 几何意义上表现为上述交集是一条通过点P 0的连续曲线段（该曲线段在0-xy 平面上）（P145
图18-1）。
如果曲面z =F (x , y ) 在点P 0处存在切平面， 且切平面与坐标平面z =0相交于直线l （同样l 也在0-xy 平面上），那么曲面z =F (x , y ) 在点
P 0附近亦必与坐标平面z =0相交（其交线在点
。为此，我们有以下结论。 P 0处的切线正是l ）
结论：若2） ．．．z =F (x , y ) 在点．．P 0可微，且．．．．(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), （．．．
则 ．z =F (x , y ) 在点．．P 0存在切平面，并与．．．．．．．．z =0相交成直线。．．．．．．
事实上：由P113 Th17.4可知，若z =F (x , y ) 在点P 0可微，则z =F (x , y ) 在点P 0存在切 平面，又(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), 所以切平面不平行于0-xy 平面，所以必与z =0(即0-xy 平面) 相交成直线。 ▋
分析3：如果进一步要求上述隐函数y =f (x ) （或x =g (y ) ）在点P 0可微，则在F 为可微 的假设下，通过方程F (x , y ) =0在点P 0处对x 求导，依链式法则得到可得到以下结论。 结论：若隐函数 0可微，且．．．．．．y =f (x ) （或．．x =g (y ) ）在点．．．P ．．．．z =F (x , y ) 也可微，则．．．．．
当 ．F y (P 0) ≠0时，．．
dy
dx dx dy
x =x 0
=-
F x (P 0)4） . （．．．F y P 0F y (P 0)F x P 0.
类似地，当 ．．．．．F x (P 0)≠0时，．．
y =y 0
=-
事实上：由F (x , y ) =0，两端对x 求导，依链式法则可得
F x (P 0)+F y (P 0)⋅
dy
dx
x =x 0
=0 （3）
所以，当F y (P 0) ≠0时，由上式可解出（4） 同理，当F x (P 0)≠0时，可得
dx dy
y =y 0
=-
F y (P 0)F x P 0. ▋
注：1) 应关注条件(F x (P 0), F y (P 0)) ≠(0, 0), 对隐函数的存在性及对隐函数的求导的重要性。 ．
三 、 隐函数定理（P146）
证明：由条件(iv),不妨设F x (x 0, y 0)>0(若F x (x 0, y 0)
①∵F y 在D 内连续(由条件(iii))
∴由连续函数的局部保号性, 存在点P 0的某一闭的方邻域
[x 0-β, x 0+β]⨯[y 0-β, y 0+β]⊂D , 使得在其上每一点处都有F y (x , y ) >0.
因此, 对每个固定的x ∈[x 0-β, x 0+β], F (x , y )作为y 的一元函数, 必定在
[y 0-β, y 0+β]上严格增且连续.
②由F (x 0, y 0) =0（初始条件(ii)）可知F (x 0, y 0-β)0 ③又由F 的连续性条件（i ）可知道函数F (x , y 0-β)与F (x , y 0+β)在
[x 0-β, x 0+β]上也是连续的。因此由保号性存在α>0(α≤β)，当x ∈(x 0-α, x 0+α)
时恒有F (x , y 0-β)0.
如图18-2所示，在矩形
ABB ' A ' 的AB 边上F 取负值，
在A ' B ' 边上F 取正值．④因此对
(x 0-α, x 0+α) 内每个固定值x ，
同样有F (x , y 0-β) 0。
根据前已指出的F (x , y ) 在[y 0-β, y 0+β]上严格增且连续，由介值性保证存在唯一的
y ∈(y 0-β, y 0+β) ，使得满足F (x , y ) =0．
⑤由x 在(x 0-α, x 0+α) 中的任意性，这样就确定了一个隐函数y =f (x ) ，它的定义域为(x 0-α, x 0+α) ，值域含于(y 0-β, y 0+β) ．若记
U (P 0) =(x 0-α, x 0+α) ⨯(y 0-β, y 0+β),
则 y =f (x ) 即为所求 ） 二）. 再证明f 的连续性． （前面已证y =f (x ) ，现证其连续性）
只须证明：对(x 0-α, x 0+α) 中的任x 及唯一对应的y =f (x ) ，使得对任ε>0，存在δ>0，当x -x
①由上述结论可知： 对于x ∈(x 0-α, x 0+α) 内的任意点，有唯一的
y ∈(y 0-β, y 0+β) ，使得y =f (x ) 且满足F (x , y ) =0．
②所以，对任给ε>0，不妨设ε
则在[y -ε, y +ε]上同样有：F (x , y -ε) 0．成立 ③由F 的连续性及保号性存在x 的某邻域(x -δ, x +δ) ⊂(x 0-α, x 0+α), 使得当x ∈(x -δ, x +δ) 时（即x -x 0
④因此由介值性定理，存在唯一的y ∈(y -ε, y +ε) ，使得F (x , y ) =0，y -y
这就证得：对任ε>0，存在δ>0，当x -x
{}
连续．由x 的任意性，证得f (x ) 在(x 0-α, x 0+α) 内处处连续． ▋
注：1) 本“隐函数存在惟一性定理” 仅保证了在点P 0的某邻域U (P 0) ⊂D 内，方程．
（隐函数）y =f (x ) ，F (x , y )=0唯一地确定了一个定义在某区间(x 0-α, x 0+α) 内的函数
并非保证在使F (x , y )=0有意义的全体区域内存在隐函数，所以该定理仅仅给出了由
F (x , y )=0确定的某局部存在隐函数的一个充分条件。
例如：见（P150）例2
2）（P147倒10-倒3行）定理18．1的条件仅仅是充分而非必要的．
例如： 方程y 3-x 3=0在点(0, 0) 不满足条件(iv) (F y (0, 0) =0) ，但它仍能确定惟一的连续函数y =x ．
当然，由于条件(iv)不满足，往往导致定理结论的失效。 例如：(P147倒8-13行) 图18-3所示的双纽线， 其方程为F (x , y ) =(x 2+y 2) 2-x 2+y 2=0. 由于F (0, 0) =0，F 与F y =4y (x +y ) +2y 均连续，故满足定理条件(i)(ii) (iii)． 但因F y (0, 0) =0，致使在原点的无论怎样 小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数．
3) （P147倒2-P148第4行）定理中的条件(iii ) 和(iv ) 是比较强的，
在定理证明过程中，条件(iii)和(iV)只是用来保证存在P 0的某一邻域，使得F 在此邻域内关于变量y 是严格单调的．
因此对于本定理所要证明的结论来说，可以把这两个条件减弱为“F 在P 0的 某一邻域内关于y 严格单调”。现在采用较强的条件(iii ) 和(iv ) ，只是为了在实际应用中便于检验。
4）条件“F 在P 0的某一邻域内关于y 严格单调”类似于一元函数存在反函数的充分条件为1-1对应的（连续的1-1对应函数必为严格单调函数，）。应注意到隐函数与反函数虽是两个不同的概念，但它们之间有一定的联系。
5）（P148第5-P148第7行）如果把定理的条件(iii ) 、(iv ) 改为F x (x , y ) 连续，且
2
2
F x (x 0, y 0) ≠0. 这时结论是存在唯一的连续函数x =
g (y ).
证明：设x ∈ (x 0-α, x 0+α) ，给x 一增量∆x 使x +∆x ∈(x 0-α, x 0+α) ，且使得它们所对应的函数值y =f (x ) 与y +∆y =f (x +∆x ) 均含于(y 0-β, y 0+β) 内。
∵ F (x , y ) =0, F (x +∆x , y +∆y ) =0
∴由F x 、F y 的连续性以及二元函数中值定理（P133定理17.8），有
0=F (x +∆x , y +∆y ) -F (x , y )
=F x (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆x +F y (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y , （其中0
因而
F (x +θ∆x , y +θ∆y ) ∆y
=-x . 注意到上式右端是连续函数F x (x , y ) 、∆x F y (x +θ∆x , y +θ∆y )
F y (x , y ) 与f (x ) 的复合函数，且 F y (x , y ) ≠0 (x ∈U (P 0) )
所以有 f ' (x ) =l i F (x , y ) ∆y
（导函数的存在性） =-x
∆x →0∆x F y (x , y )
且f ' (x ) 在(x 0-α, x 0+α) 内连续。（连续函数的复合函数仍为连续函数） ▋. 注：1)(P148倒7-P1496行)P146已经有结论：若方程F (x , y ) =0确实存在连续可微的隐函．
数，则可对方程F (x , y ) =0应用复合函数求导法得到隐函数的导数.
事实上：若把
F (x , f (x )) 看作F (x , y ) 与y =f (x ) 的复合函数时，则有
F x (x , y ) +F y (x , y ) y ' =0. 所以，当F y (x , y ) ≠0时，即可推得（5）式成立。
2)(自看：P148倒2-149第6行) 对于隐函数的高阶导数，可用和上面同样的方法来求得，这时只要假定函数F 存在相应阶数的连续的高阶偏导数。例如，要计算y ，只要对恒
' '
等式（6）继续应用复合函数求导法则，便得
F xx (x , y ) +F xy (x , y ) y ' +F yx (x , y ) +F yy (x , y ) y ' y ' +F y (x , y ) y " =0.
再把（5）得结果代入上式，整理后得到
22
2F F F -F F -F F yy 21x y xy y xx x " ' '
, y =-F xx +2F xy y +F yy y =
F y 3F y
[]
()
当然它也可由公式（5）直接对x 求导而得到.
☆ （可自看P149第7-22行, ）最后，我们可以类似地理解由方程
F (x 1, x x , , x n , y )=0所确定的n 元隐函数的概念. 并叙述下列n 元隐函数的唯一存在与连
续可微性定理：
四、隐函数求导举例（P149） 例1（P149） 设方程
F (x , y ) =y -x -
1
s i n y =0. （7） 2
由于F 及其偏导数F x , F y 在平面上任一点都连续（满足第（ⅰ）（ⅲ）条件ⅳ），且
F (0, 0) =0, （满足第（ⅱ）个条件，即初始条件），
F y (x , y ) =1-
1
c o s y >0. (满足第（ⅳ）个条件) 。 2
故依定理18.1和18.2，方程（7）确定了一个连续可导隐函数y =f (x ) ； 我们又注意到F x (x , y ) =-1. 所以按公式（5），其导函数为
f ' (x )=-
F x (x , y )
=
F y x , y 12
=. ▋
12-cos y 1-cos y 2
注：1）例1中取x 0=0, y 0=0, 事实上还可以取x 0=π, y 0=π等，所以x 0, y 0的选取方．
法很多，只需找到一组即可。
例2 （P150）讨论笛卡儿（Descartes ）叶形线（图18-4）
33x +y -3axy =0 （8）
所确定的隐函数y =f (x ) 的一阶与二阶导数.
解: 显然F (x , y ) =x 3+y 3-3axy 及F x , F y 在平面上任一点都连续，
由隐函数定理知道，在使得
F y (x , y )=3y 2-ax ≠0的点(x , y )
附近，方程x +y -3axy =0都能
确定隐函数y =f (x ) ；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对（8）式求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得
3
3
()
x 2+y 2y ' -ay -axy ' =0
或 x -ay +y -ax y =0. （9）
(
'
2
)(
2
)
'
ay -x 2
于是 y =2. y 2-ax ≠0. （10）
y -ax
()
再对（9）式求导，得：2x -ay +(2yy -a ) y +(y -ax ) y =0,
即 y " (y 2-ax ) =2ay ' -2yy ' -2x . （11） 把（10）式代入（11）式的右边，得
2
' ' ' 2"
-2a 3xy -2xy (x 3+y 3-3axy )
2ay -2yy -2x =. 22
(y -ax )
'
' 2
2a 3xy
再利用方程（8）就得到 y =-2. （12） 3
(y -ax )
"
由（10）式易见，曲线在点A (2a , 4a ) 处有一水平切线，在点B (4a , 2a ) 处有 一垂直切线. ▋
注：1）本例中“曲线在点A (2a , 4a ) 处有一水平切线”可由下列方程组求解而得： ．
⎧x 3+y 3-3axy =0
⎨2
⎩ay -x =0
同样本例中“曲线在点B (4a , 2a ) 处有一垂直切线. ”可由下列方程组求解而得：
⎧x 3+y 3-3axy =0⎨2
⎩y -ax =0
2）本例求一阶导数时也可如下进行：
22
()F x , y =3y -ax ()F x , y =3x -ay y
因为x ，
()
()
F x (x , y ) ay -x 2 所以f ' (x ) =-=2.
F y (x , y ) y -ax
3）由于在点B 和原点处的任何邻域内，每一个x 所对应的不能在那两点的邻域内确定惟一的隐函数. 例3 （P150）讨论方程
y 值不惟一，所以方程（8）
F (x , y , z ) =xyz 3+x 2+y 3-z =0 （13）
在原点附近所确定得二元隐函数及其偏导数.
解: 由于F (0, 0, 0) =0, F z (0, 0, 0) =-1≠0, F , F x , F y , F z 处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点(0, 0, 0) 附近能惟一确定连续可微得隐函数z =f (x , y ) ， 且可求得它得偏导数如下：
F x ∂z yz 3+2x =-=, ∂x F z 1-3xyz 2
F y xz 3+3y 2∂z
=-=. ▋ 2
∂y F z 1-3xyz
例4 （反函数的存在性与其导数）（P151）设y =f (x ) 在x 0得某邻域内有连续的导函
数f ' (x ) ，且f (x 0) =y 0；
考虑方程 F (x , y ) =y -f (x ) =0. （14） 由于 F (x 0, y 0) =0， F y =1， F x (x 0, y 0) =-f ' (x 0),
所以只要f ' (x 0) ≠0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程（14）能确定出在y 0的某邻域U (y 0) 内的连续可微隐函数x =g (y ) ，并称它为函数y =f (x ) 的反函数. 反函数的导数是
g (y ) =-' F y
F x =-11=. （15） -f ' (x ) f ' (x )
事实上，这就是在第五章里曾经得到过的反函数求导公式. ▋