二次函数知识点总结
b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，
c 可以为零．二次次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
函数的定义域是全体实数．
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y =ax 2的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：
2. y =ax 2+c 的性质：
结论：上加下减。总结：
2
3. y =a (x -h )的性质：
结论：左加右减。总结：
2
4. y =a (x -h )+k 的性质：
总结：
1. 平移步骤：
k )； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a≠0)
（2）顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a≠0) ，其中（h ，k ）是抛物线的顶点坐标。 （3）交点式：y =a （x -x 1)(x -x 2) (a≠0) 其中x 1，x 2是图像与x 轴的交点。 抛物线y =ax 2+bx +c (a≠0) 与x 轴交点个数确定：
2
（1）∆=b -4ac >0，则抛物线与x 轴有
（2）∆=b -4ac =0，则抛物线与x 轴只有个交点。 （3）∆=b -4ac ＜0，则抛物线与x 轴 初中知识回顾：
1、点(1， 0)在函数y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 .点 (－1， 0) 在函数y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 。(2， 0)在函数
2
2
y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 。
2、求函数y =kx +b 与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；
与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值
3、已知抛物线y=ax+bx+c 经过A （，0），B （2，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
22
4、已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A （2，1），抛物线的解析式为 。已知抛物
2
线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），抛物线的解析式为 。
5、已知抛物线y=(x-a)(x-b)与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),抛物线的解析式
2
为 。已知抛物线线y=
1
a(x-2a)(x-b)与 x 轴两个交点（4，0），（1，0），则抛物线的2
解析式为 。 6、已知二次函数的顶点坐标是（1，－2），且图像经过(3，5) 三点，二次函数的解析式为知抛物线的对称轴为直线x =－1，且经过(－2，1) 、(3，－1) ，抛物线的解析式为
2
7、把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线
y=a( x-h) +k,此抛物线解析式为 。抛物线y =-x +x -3向上平移, 使抛物线经过点C(0,2),抛物线的解析式为
2
8、抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0) 与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
22
9、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2
2
3x 2。⑴若x ∈R ，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈(-2, 4)，求函数f(x)
的值域；⑶若x ∈[-2, +∞)，求函数f(x)的值域。
1、已知函数f (x )=
2、已知函数f (x )=-3x 2+3。⑴若x ∈R ，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈(-2, 4)，求函数f(x)的值域；⑶若x ∈[-2, +∞)，求函数f(x)的值域。
2
3、已知函数f(x)= x -2x -3。（1）若x ∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；（2）若x ∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；若x ∈⎢, ⎥, 求函数f(x)的最大值。
22
2
4、已知函数f(x)= x -2x -3。⑴若x ∈[2, a ]，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈[0, a ]，求函数f(x)的值域。
22
5、如果函数f (x )=x +2x -3-a ，对于x ∈[1, 3]上的图像都在x 轴的下方，则a 的取值范围是
6、a 为实数，f (x )=x 2+x +1-a (x ≥a )，求f(x)的最小值
2
7、已知函数f(x)= x -2x +3在定义域[0, m )的值域为[2, 3]，则实数m 的取值范围为
2
8、函数f (x )=-x 2-2ax (0≤x ≤1) 的最大值为a ，那么实数a 的取值范围为
9、设函数f (x )=
⎡15⎤⎣⎦
11
+ax +x 2在[-1, 1]上的最大值为3，求a 的值 22
10、求函数f (x )=-x (x -a )在[-1, 1]上的最值
11、已知函数f (x )=
ax 2+ax +1的定义域为(-∞, +∞)，求实数a 的取值范围
12、求函数y =x +2-x 的值域
二次函数知识点总结
b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，
c 可以为零．二次次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b ，
函数的定义域是全体实数．
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y =ax 2的性质：
结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：
2. y =ax 2+c 的性质：
结论：上加下减。总结：
2
3. y =a (x -h )的性质：
结论：左加右减。总结：
2
4. y =a (x -h )+k 的性质：
总结：
1. 平移步骤：
k )； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x -h )+k ，确定其顶点坐标(h ，
k )处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到(h ，
2
向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
【或左(h
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a≠0)
（2）顶点式：y =a (x -h ) 2+k (a≠0) ，其中（h ，k ）是抛物线的顶点坐标。 （3）交点式：y =a （x -x 1)(x -x 2) (a≠0) 其中x 1，x 2是图像与x 轴的交点。 抛物线y =ax 2+bx +c (a≠0) 与x 轴交点个数确定：
2
（1）∆=b -4ac >0，则抛物线与x 轴有
（2）∆=b -4ac =0，则抛物线与x 轴只有个交点。 （3）∆=b -4ac ＜0，则抛物线与x 轴 初中知识回顾：
1、点(1， 0)在函数y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 .点 (－1， 0) 在函数y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 。(2， 0)在函数
2
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y =ax 2+bx +c 的图像上. 则有 。
2、求函数y =kx +b 与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；
与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值
3、已知抛物线y=ax+bx+c 经过A （，0），B （2，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
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4、已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A （2，1），抛物线的解析式为 。已知抛物
2
线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），抛物线的解析式为 。
5、已知抛物线y=(x-a)(x-b)与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),抛物线的解析式
2
为 。已知抛物线线y=
1
a(x-2a)(x-b)与 x 轴两个交点（4，0），（1，0），则抛物线的2
解析式为 。 6、已知二次函数的顶点坐标是（1，－2），且图像经过(3，5) 三点，二次函数的解析式为知抛物线的对称轴为直线x =－1，且经过(－2，1) 、(3，－1) ，抛物线的解析式为
2
7、把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线
y=a( x-h) +k,此抛物线解析式为 。抛物线y =-x +x -3向上平移, 使抛物线经过点C(0,2),抛物线的解析式为
2
8、抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0) 与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
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9、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
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3x 2。⑴若x ∈R ，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈(-2, 4)，求函数f(x)
的值域；⑶若x ∈[-2, +∞)，求函数f(x)的值域。
1、已知函数f (x )=
2、已知函数f (x )=-3x 2+3。⑴若x ∈R ，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈(-2, 4)，求函数f(x)的值域；⑶若x ∈[-2, +∞)，求函数f(x)的值域。
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3、已知函数f(x)= x -2x -3。（1）若x ∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；（2）若x ∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；若x ∈⎢, ⎥, 求函数f(x)的最大值。
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4、已知函数f(x)= x -2x -3。⑴若x ∈[2, a ]，求函数f(x)的值域；⑵若x ∈[0, a ]，求函数f(x)的值域。
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5、如果函数f (x )=x +2x -3-a ，对于x ∈[1, 3]上的图像都在x 轴的下方，则a 的取值范围是
6、a 为实数，f (x )=x 2+x +1-a (x ≥a )，求f(x)的最小值
2
7、已知函数f(x)= x -2x +3在定义域[0, m )的值域为[2, 3]，则实数m 的取值范围为
2
8、函数f (x )=-x 2-2ax (0≤x ≤1) 的最大值为a ，那么实数a 的取值范围为
9、设函数f (x )=
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11
+ax +x 2在[-1, 1]上的最大值为3，求a 的值 22
10、求函数f (x )=-x (x -a )在[-1, 1]上的最值
11、已知函数f (x )=
ax 2+ax +1的定义域为(-∞, +∞)，求实数a 的取值范围
12、求函数y =x +2-x 的值域