课题: §3.4
第1课时 ≤a +b 2
授课类型：新授课
【三维目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
【教学难点】
≤
【教学过程】 a +b 的证明过程； 2a +b 等号成立条件 2
1. 课题导入
≤a +b 的几何背景： 2
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2. 讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b
4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a +b 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a +b ≥2ab 。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a +b =2ab 。
2．得到结论：一般的，如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号)
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 a +b -2ab =(a -b )
当a ≠b 时,(a -b ) >0, 当a =b 时,(a -b ) =0,
所以，(a -b ) ≥0，即(a +
b ) ≥2ab . [**************]2
4．1）
≤a +b 2
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b
，可得a +b ≥，
a +b (a>0,b>0) 2
a +b 2）
≤ 2≤
用分析法证明：
要证
a +b ≥2
只要证 a+b≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）
2a +b 的几何意义 2
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD ＝ＣA ·ＣB
即ＣD ＝ab .
这个圆的半径为2a +b 的几何解释吗？ 2a +b ，显然，它大于或等于CD ，即2
a +b ≥ab ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
2
a +b ≤几何意义是“半径不小于半弦” 2
a +b 评述：1. 如果把看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那2
么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2. 在数学中，我们称a +b 为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.
本节2
定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1)y x +≥2； x y
223333(2)（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥８x y . 分析：在运用定理：a +b ≥ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把2
y x 2233＞0，＞0，x ＞0，y ＞0，x ＞0，y ＞0 x y 握好每条性质成立的条件) ，进行变形. 解：∵x ，y 都是正数 ∴
(1)x y x y x y +≥2⋅＝2即+≥2. y x y x y x
22(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x ＋y ≥2
∴（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥2xy ·2
即（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥８x y . 2233332233x 2y 2＞0 x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0 x 2y 2·2x 3y 3＝８x 3y 3
3. 随堂练习
1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：
解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2ab ＞0 a +b ≥ab （a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 2
b ＋c ≥2bc ＞0
c ＋a ≥2＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4. 课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a ＋b ≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
何平均数（ab ）及它们的关系（22a +b ），几2a +b ≥ab ）. 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 2
都是实数，而后者要求a 、b 都是正数. 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab
a +b 2a 2+b 2≤，ab ≤（）. 22
5. 评价设计
【板书设计】
课题: §3.4
第1课时 ≤a +b 2
授课类型：新授课
【三维目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
【教学难点】
≤
【教学过程】 a +b 的证明过程； 2a +b 等号成立条件 2
1. 课题导入
≤a +b 的几何背景： 2
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2. 讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b
4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a +b 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a +b ≥2ab 。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a +b =2ab 。
2．得到结论：一般的，如果a , b ∈R, 那么a +b ≥2ab (当且仅当a =b 时取" =" 号)
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 a +b -2ab =(a -b )
当a ≠b 时,(a -b ) >0, 当a =b 时,(a -b ) =0,
所以，(a -b ) ≥0，即(a +
b ) ≥2ab . [**************]2
4．1）
≤a +b 2
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b
，可得a +b ≥，
a +b (a>0,b>0) 2
a +b 2）
≤ 2≤
用分析法证明：
要证
a +b ≥2
只要证 a+b≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。
3）
2a +b 的几何意义 2
探究：课本第110页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD ＝ＣA ·ＣB
即ＣD ＝ab .
这个圆的半径为2a +b 的几何解释吗？ 2a +b ，显然，它大于或等于CD ，即2
a +b ≥ab ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
2
a +b ≤几何意义是“半径不小于半弦” 2
a +b 评述：1. 如果把看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那2
么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2. 在数学中，我们称a +b 为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.
本节2
定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[补充例题]
例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1)y x +≥2； x y
223333(2)（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥８x y . 分析：在运用定理：a +b ≥ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把2
y x 2233＞0，＞0，x ＞0，y ＞0，x ＞0，y ＞0 x y 握好每条性质成立的条件) ，进行变形. 解：∵x ，y 都是正数 ∴
(1)x y x y x y +≥2⋅＝2即+≥2. y x y x y x
22(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x ＋y ≥2
∴（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥2xy ·2
即（x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋y ）≥８x y . 2233332233x 2y 2＞0 x 3＋y 3≥2x 3y 3＞0 x 2y 2·2x 3y 3＝８x 3y 3
3. 随堂练习
1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证
（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：
解：∵a ，b ，c 都是正数
∴a ＋b ≥2ab ＞0 a +b ≥ab （a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 2
b ＋c ≥2bc ＞0
c ＋a ≥2＞0
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .
4. 课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a ＋b ≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（
何平均数（ab ）及它们的关系（22a +b ），几2a +b ≥ab ）. 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 2
都是实数，而后者要求a 、b 都是正数. 它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用). 我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab
a +b 2a 2+b 2≤，ab ≤（）. 22
5. 评价设计
【板书设计】