两个极限的简单证明

两个重要的极限的证明

引言：两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限lim

通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式cosxsinx1的证明，现行教材中x0xsinx1，再用夹逼原理证明得到结论。用极限理x

sinxsinx1的结论运用，或者运洛比达法则证明极限lim1，要利论计算圆或扇形面积都涉及到limx0x0xx

sinx1，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑；用导数公式sinxcosx，而这个公式恰是利用limx0x

1第二个主要极限limxe的证明，通常作法是，先考虑x取正整数n而趋于的情形，设x0x

1xnx，用牛顿二项式证明xn单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列xn的n

极限存在，方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单的证明。

1．证明：limnxsinx1 x0x

时，显然有ΔOAD面积

111x1即sinxxtanx，sinx

sinx或1（1）由偶函数性质，上式对x0时也成立。 cosx。x2故（1）式对一切满足不等式0|x|的x都成立。图（a）

sinx由limcosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得lim1。 x0x0x

sinx函数f(x)=的图象如图（b）所示。 x

12．证明：lim(1)n存在。 nn证明：如图（a）作单位圆。当0

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n有图（b） bn1an1

（1） (n1)bn或bn1an1(n1)bn(ba)，整理后得不等式an1bn[(n1)anb]。 ba

1111令a=1+，b=1+，将它们代入（1）。由于(n1)anb(n1)(1)n(1)1， nn1nn1

故有(11n111)(1)n，这就是说{(1)n}为递增数列。

n1nn

再令a=1，b=1+111111代入（1）。由于(n1)anb(n1)n(1)，故有1(1)n，2(1)n。2n22n22n2n

12n1它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列{(1)n})，2nn不等式两端平方后有4(1

1是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(1)n是存在的。 nn

13．证明：lim(1)xe。 xx

证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：

1lim(1)xe （1） xx 1lim(1)xe xx （2）

1现在先应用2中数列极限lim(1)ne，证明（1）式成立。 nn

设nx

1n1)， nx

(1作定义在[1，+)上的阶梯函数。f(x)(11n1)1n1x由（3）有f(x)

111limg(x)lim(1)n1lim(1)n(1)e，根据迫敛性定理便得（1）式。 xnnnnn

111y1y11)(1)(1) 现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则(1)x(1)y(1xyy1y1y1

1因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e为极限，这就证得lim(1)xe。 xx

以后还常常用到e的另一种极限形式lim(1a)e，（4）因为，令aa0

11x所以，lim(1)lim(1a)a。 xa0x

1a1，则x→∞和a→0是等价的，x

结语:

两个重要极限是极限理论中的重要内容，两个重要极限的证明是学习的重点，极限不及时基本的数学基础，而且是数学分析的基石，所以对于我们学习数学专业的学生尤其重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。所以我们要努力地把这部分内容学好。