[高二]第十四届希望杯全国数学邀请赛试题

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛

高二第一试

2002年3月23日上午8：30至10：00

一、选择题（每小题5分，共50分） 1、已知函数f(x)2x3,则函数f

（A）y=

1

(x1)的反函数是

（D）y=2X+2

x5x5

（B）y= （C）y=2X+5 22

2、设０x1,acos(arcsinx),barcsin(cosx)，则a和b的大小关系是

(A)ab. （B）ab （C）ab 3、已知X1.y1.且

（D）不确定的。

bx. ,lnx成等比列，则xy的 22

(A)

（B

）最大值是C

（D

）最小值是4、如图1、一个正方体的容器ABCD-A'B'C'D'中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两

个小孔，若恰当地将容器放置。可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

(A). 5、函数

（B）

1 4

（C）

1 8

（D）

3 8

的最小值是

（B

）（C

（D

（A

）

6、Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点（)-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)that passes the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola is

(x2)2(x2)

1 (A)

254

(y2)2(x2)

1 (B) 916(x2)2(x2)1 (D)

916

(x2)2(x2)

1 (C)

254

7、等差数列an中有两项an和ak，满足an（A）

mk1 2

（B）

、ak，则该数列前mk项之和是 kmmk1mk（C）（D）1

x1

的取值范围是 y2

（D）

8、当x.yi满足条件x1y11时，变量U=

（A）

11

 22

（B）

1111

 （C） 222311

32

9、设为椭圆上一点，且pF1F230,pF1F245，其中F1,F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于

（A

）

(2

（B

）

(2

2(21)

（C

）

(21)

（D

）

10、Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)y2xyxa0(aR)to the y-axis is

,then the velue of a is 435(A) (B)

1616

3

5

(C)

35or 1616

(D)

53or 1616

二、组填空题（每小题5分，共50分） 11、arccos-arctan7=________。

12、不等式Log1(

1)-Log11)

的解集是_______。 2

13、图2是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中的成角的大小是_______。 14、正四面体ABCD的棱长为1，E在BC上，F在AD上，BE=2EC，DF=2FA，则EF的长度是_________。 15、

Let a and

be the length of two sides of a rectangle (矩形)，rotate(旋转)the rectangle about its

diagonal(对角线)，then the volume(体积) of the revolution(旋转休) obtained is equal to________。

16、方程

1表示的曲线是___________________。

17、曲线x+yym0和它关于直线x2y10的对称曲线总有交点，那么m的取值范围是__________。

18、等比数行{an}的首项为a1=a.公比为q,则

111

__________。 „

anan1a1a2a2a3

19、在平面四边形ABCD内，占E和F分别在AD和BC上，且



DEEA,CFFB(R,1)，用,DC,AB表示EF=_______________。

20、延长平行四边形ABCD的边BC到F，AF依次交DB、DC于E、G，AE比EG大2，GF=5，则EG=________________。

三、B组填空题（每小题10分，共50分）

21、Given BC=1,Ain a triangle（三角形）ABC, then the range of length of the side AB (or AC) is_____________________。

x的实数解最多有__________个，若方程有实数解，则a的取值范围是_____________________。

23、圆xy1和4x4y16x8y110的公切线的斜率是_____________________。

24、数列{2}和{3n2}的公共项由小到大排列成数列{cn}，则{cn}的通项公式cn=____________，前n项和Sn=_______________。 25

、函数ysinxcosx

的最大值等于__________，最小值等于_____________。