1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。
图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T 0⎧
-A (-≤t
x (t ) =⎨
⎪ A (0≤t
积分区间取（-T/2，T/2）
T 0
2T -02
T 020
1c n =
T 0 =j
⎰
x (t ) e
-jn ω0t
1d t =
T 0
⎰
T -02
-Ae
-jn ω0t
1d t +
T 0
⎰
Ae -jn ω0t d t
A
(cosn π-1) (n =0, ±1, ±2, ±3, ) n π
∞
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x (t ) =
n =-∞
∑c n e
jn ω0t
=-j
1
(1-cos n π) e jn ω0t ，n =0, ±1, ±2, ±3, 。 ∑πn =-∞n
A
∞
A ⎧
c =-(1-cos n π) ⎪nI
(n =0, ±1, ±2, ±3, )
n π⎨
⎪⎩c nR =0
c n =⎧2A
n=±1, ±3, ±, A ⎪
=(1-cos n π) =⎨n π n π⎪0 n=0, ±2, ±4, ±6,
⎩
φn =arctan
c nI c nR
⎧π
⎪-2n =+1, +3, +5, ⎪⎪π=⎨n =-1, -3, -5,
2⎪
n =0, ±2, ±4, ±6, ⎪0⎪⎩
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
幅频图
1-2 求正弦信号x (t ) =x 0sin ωt 的绝对均值μx 和均方根值x rms 。 解
答
：
2x 1T 1T
μx =⎰x (t t =⎰x 0sin ωt t =0
T 0T T
⎰
T
2
T
x x x 2=sin ωt d t =-cos ωt 0=
T ω0T ωπ
2
x rms
====
1-3 求指数函数x (t ) =Ae -at (a >0, t ≥0) 的频谱。 解答：
X (f ) =⎰x (t ) e
-∞
∞
-j 2πf t
dt =⎰Ae e
∞
-at -j 2πf t
e -(a +j 2πf ) t
dt =A
-(a +j 2πf )
∞0
=
A A (a -j 2πf )
=2
a +j 2πf a +(2πf ) 2
X (f ) =
ϕ(f ) =arctan
Im X (f ) 2πf
=-arctan
Re X (f ) a
单边指数衰减信号频谱图
1-5 求被截断的余弦函数cos ω0t (见图1-26) 的傅里叶变换。
⎧⎪cos ω0t x (t ) =⎨
⎪⎩0
t
解：x (t ) =w (t )cos(2πf 0t ) w (t ) 为矩形脉冲信号
W (f ) =2T sinc(2πTf ) cos(2πf 0t ) =
1j 2πf 0t
e +e -j 2πf 0t 211j 2πf 0t
+w (t ) e -j 2πf 0t 所以x (t ) =w (t ) e
22
()
根据频移特性和叠加性得：
11
X (f ) =W (f -f 0) +W (f +f 0)
22
=T sinc[2πT (f -f 0)]+T sinc[2πT (f +f 0)]
图1-26 被截断的余弦函数
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号x (t ) =e -at sin ω0t 的频谱
指数衰减信号
解答：
sin(ω0t ) =
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
所以x (t ) =e
-at
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
单边指数衰减信号x 1(t ) =e -at (a >0, t ≥0) 的频谱密度函数为
X 1(f ) =⎰x (t ) 1e -j ωt dt =⎰e -at e -j ωt dt =
-∞
∞∞
1a -j ω
=2
a +j ωa +ω2
根据频移特性和叠加性得：
X (ω) =
11⎡a -j (ω-ω0) a -j (ω+ω0) ⎤X (ω-ω) -X (ω+ω) =-2[1⎢2⎥010]22j 2j ⎣a +(ω-ω0) a +(ω+ω0) 2⎦
222
ω0[a -(ω-ω0)]2a ω0ω
=2-j [a +(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2][a 2+(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2]
指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f (t ) 及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos ω0t (ω0>ωm ) 。
在这个关系中，函数f (t ) 叫做调制信号，余弦振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号
f (t )cos ω0t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0
么情况？
图1-27 题1-7图
解：x (t ) =f (t )cos(ω0t )
F (ω) =F [f (t )] cos(ω0t ) =
1j ω0t
e +e -j ω0t 211j ωt -j ωt
所以x (t ) =f (t ) e 0+f (t ) e 0
22
()
根据频移特性和叠加性得：
X (f ) =
11
F (ω-ω0) +F (ω+ω0) 22
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱
线高度减小一半。
矩形调幅信号频谱
若ω0
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。
图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T 0⎧
-A (-≤t
x (t ) =⎨
⎪ A (0≤t
积分区间取（-T/2，T/2）
T 0
2T -02
T 020
1c n =
T 0 =j
⎰
x (t ) e
-jn ω0t
1d t =
T 0
⎰
T -02
-Ae
-jn ω0t
1d t +
T 0
⎰
Ae -jn ω0t d t
A
(cosn π-1) (n =0, ±1, ±2, ±3, ) n π
∞
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x (t ) =
n =-∞
∑c n e
jn ω0t
=-j
1
(1-cos n π) e jn ω0t ，n =0, ±1, ±2, ±3, 。 ∑πn =-∞n
A
∞
A ⎧
c =-(1-cos n π) ⎪nI
(n =0, ±1, ±2, ±3, )
n π⎨
⎪⎩c nR =0
c n =⎧2A
n=±1, ±3, ±, A ⎪
=(1-cos n π) =⎨n π n π⎪0 n=0, ±2, ±4, ±6,
⎩
φn =arctan
c nI c nR
⎧π
⎪-2n =+1, +3, +5, ⎪⎪π=⎨n =-1, -3, -5,
2⎪
n =0, ±2, ±4, ±6, ⎪0⎪⎩
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
幅频图
1-2 求正弦信号x (t ) =x 0sin ωt 的绝对均值μx 和均方根值x rms 。 解
答
：
2x 1T 1T
μx =⎰x (t t =⎰x 0sin ωt t =0
T 0T T
⎰
T
2
T
x x x 2=sin ωt d t =-cos ωt 0=
T ω0T ωπ
2
x rms
====
1-3 求指数函数x (t ) =Ae -at (a >0, t ≥0) 的频谱。 解答：
X (f ) =⎰x (t ) e
-∞
∞
-j 2πf t
dt =⎰Ae e
∞
-at -j 2πf t
e -(a +j 2πf ) t
dt =A
-(a +j 2πf )
∞0
=
A A (a -j 2πf )
=2
a +j 2πf a +(2πf ) 2
X (f ) =
ϕ(f ) =arctan
Im X (f ) 2πf
=-arctan
Re X (f ) a
单边指数衰减信号频谱图
1-5 求被截断的余弦函数cos ω0t (见图1-26) 的傅里叶变换。
⎧⎪cos ω0t x (t ) =⎨
⎪⎩0
t
解：x (t ) =w (t )cos(2πf 0t ) w (t ) 为矩形脉冲信号
W (f ) =2T sinc(2πTf ) cos(2πf 0t ) =
1j 2πf 0t
e +e -j 2πf 0t 211j 2πf 0t
+w (t ) e -j 2πf 0t 所以x (t ) =w (t ) e
22
()
根据频移特性和叠加性得：
11
X (f ) =W (f -f 0) +W (f +f 0)
22
=T sinc[2πT (f -f 0)]+T sinc[2πT (f +f 0)]
图1-26 被截断的余弦函数
可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
被截断的余弦函数频谱
1-6 求指数衰减信号x (t ) =e -at sin ω0t 的频谱
指数衰减信号
解答：
sin(ω0t ) =
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
所以x (t ) =e
-at
1j ω0t -j ω0t
e -e
2j
()
单边指数衰减信号x 1(t ) =e -at (a >0, t ≥0) 的频谱密度函数为
X 1(f ) =⎰x (t ) 1e -j ωt dt =⎰e -at e -j ωt dt =
-∞
∞∞
1a -j ω
=2
a +j ωa +ω2
根据频移特性和叠加性得：
X (ω) =
11⎡a -j (ω-ω0) a -j (ω+ω0) ⎤X (ω-ω) -X (ω+ω) =-2[1⎢2⎥010]22j 2j ⎣a +(ω-ω0) a +(ω+ω0) 2⎦
222
ω0[a -(ω-ω0)]2a ω0ω
=2-j [a +(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2][a 2+(ω-ω0) 2][a 2+(ω+ω0) 2]
指数衰减信号的频谱图
1-7 设有一时间函数f (t ) 及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cos ω0t (ω0>ωm ) 。
在这个关系中，函数f (t ) 叫做调制信号，余弦振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号
f (t )cos ω0t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0
么情况？
图1-27 题1-7图
解：x (t ) =f (t )cos(ω0t )
F (ω) =F [f (t )] cos(ω0t ) =
1j ω0t
e +e -j ω0t 211j ωt -j ωt
所以x (t ) =f (t ) e 0+f (t ) e 0
22
()
根据频移特性和叠加性得：
X (f ) =
11
F (ω-ω0) +F (ω+ω0) 22
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱
线高度减小一半。
矩形调幅信号频谱
若ω0