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Department of Mathematics
2
Department of Mathematics
3
第 一 篇
第一章 集与点集
4
第三节 一维开集·闭集 及其性质
5
点集中的基本概念
定义3.1
点P0的δ邻域： O( p0 ,δ ) = { p | d ( p0 , p )
P0为 E的内点： ∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ⊂ E 记
E 为 E的内部（内点全体）
6
定义3.1
P0为 E的外点：
∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ∩ E = Φ
则P0为 Ec的内点:
即∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ⊂ E
c
c
P0为 E的边界点：
∀δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩E ≠ Φ且O( p0 ,δ ) ∩E ≠ Φ
记 ∂E 为 E的边界（边界点全体）
7
定义3.1 若集合E的每一个点都E的内点， 则称E为开集。
8
开集的性质
A
B
定理3.1 a. 任意多个开集之并仍为开集； b. 有限个开集之交仍为开集。
9
定义 下条件：
设 X 是一个非空集 合，
T 是 X 的一个集族，如果满足如
（1）X , φ ∈ T
A, B ∈ T ，则 A ∩ B ∈ T （3）若 T 1 ⊂ T ，则 ∪ A ∈ T
（2）若
则称T 是 X 的一个拓扑.
A∈T 1
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定义3.1
点P0的δ邻域： O( p0 ,δ ) = { p | d ( p0 , p )
P0为 E的内点： ∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ⊂ E 记
E 为 E的内部（内点全体）
6
定义3.1
P0为 E的外点：
∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ∩ E = Φ
则P0为 Ec的内点:
即∃δ > 0, 使得O( p0 ,δ ) ⊂ E
c
c
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∀δ > 0, 有O( p0 ,δ ) ∩E ≠ Φ且O( p0 ,δ ) ∩E ≠ Φ
记 ∂E 为 E的边界（边界点全体）
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定义3.1 若集合E的每一个点都E的内点， 则称E为开集。
8
开集的性质
A
B
定理3.1 a. 任意多个开集之并仍为开集； b. 有限个开集之交仍为开集。
9
定义 下条件：
设 X 是一个非空集 合，
T 是 X 的一个集族，如果满足如
（1）X , φ ∈ T
A, B ∈ T ，则 A ∩ B ∈ T （3）若 T 1 ⊂ T ，则 ∪ A ∈ T
（2）若
则称T 是 X 的一个拓扑.
A∈T 1
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