中学数学教学参考 2001年第9期53
○数学竞赛初级讲座柯西不等式
陕西省永寿县中学 安振平
柯西不等式是一个十分重要的不等式定理, 从近年来国内外各级竞赛中不难看出, 许多涉及不等式的赛题, 若能运用柯西不等式进行求解, 便可获得较为简明的解法.
一、基础知识
1a a a +…+1b 22
2
2
() 2,
b n
a i =b i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时取等号.
例1 设a 、b 、c 、d 是4个不全为零的实数, 求证
. 2222a +b +c +d
导析:为了使用柯西不等式(必要时还可
2
、a 2a n , b 1、b 2、…、b n 均是实数, 则
(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) 2
≤(a 12+a 22+…+a n 2) (b 12+b 22+…+b n 2) , 等号当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …,
n ) 时成立.
以应用均值不等式) , 可从欲证不等式左边的分子入手, 并将其进行适当的变形.
ab +2bc +cd
这个命题的证明在一般的竞赛教程中都可以查找到, 这里从略.
21柯西不等式的推论
=(ab +cd ) +(bc -ad ) +(bc +ad )
≤2[(ab +cd ) 2+(bc -ad ) 2] +
(b 2+a 2) (c 2+d 2)
推论1 设a 1、a 2、…、a n , b 1、b 2、…、b n 为实数, 则有
a 1+a 2+…+a n +
2
2
2
=(a 2+c 2) (b 2+d 2)
b 1+b 2+…+b n
222
+
(a 2+b 2) (c 2+d 2) 2222≥(a 1+b 1) 2+(a 2+b 2) 2+…+(a n +b n ) 2, 当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时等号成立.
推论2 设a
1、a 2、…、a n , b 1、b 2、…、b n 为实数, 则有|
a 1+a 2+…+a n -2
2
2
2
2222 +
2
=
2
(a +b 2+c 2+d 2) . 2
a +2b +c
例2 已知a , b , c ∈R +, 求证
b 1+b 2+…+b n |
2
2
2
+
≤(a 1-b 1) 2+(a 2-b 2) 2+…+(a n -b n ) 2, 当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时等号成立.
推论3 设a 1、a 2、…、a n 为实数, b 1、b 2、…、b n 为正实数, 则有
+.
a +b +2c 2a +b +c 4
导析:从欲证不等式的结构看, 可考虑应
用推论3. 为此, 可给左边三项的分子、分母分别乘以a 、b 、c.
左边=
2
+2
a +2ab +ca
22
ab +b +2bc
54
+
2ca +bc +c 2
2
中学数学教学参考 2001年第9期
满足下列方程
2x +3y +z =13,
2
22
(a +b +c 2) +3(ab +bc +ca )
4x 2+9y 2+z 2-2x +15y +3z =82.
2
=
3(a +b +c ) 2+3(ab +bc +ca ) 2
3(a +b +c ) 2+(a +b +c ) 2=. 4
导析:将两方程左右两边分别相加, 变形得 (2x ) 2+(3y +3) 2+(z +2) 2=108. 由第1个方程变形, 得
2x +(3y +3) +(z +2) =18.
于是由柯西不等式, 得
(2x ) +1・() 2) ]2182・
222
1]・[(2x ) y +) +(z
说明:本例的类似是
++2a +b +c a +2b +c a +b +2c 4
218二、综合应用
, 、确定参数的取值范围, 求最值以及几何不等式的证明等方面都有着广泛的应用.
例3 设a 、b 、c 、d 、m 、n 都是正实数, P
=ab +cd , Q =m a +nc +, 试
m n
确定P 与Q 的大小. (1983年高中联赛题)
2x =3y +3=z +2=6,
故原方程的解为x =3, y =1, z =4. 例6 设λ是实数, 对任意实数x 、y 、z 恒λ(x 4+y 4+z 4) 成立, 试求有(x 2+y 2+z 2) 2≤λ的取值范围.
导析:由柯西不等式易求出参数λ的取值
) . 范围是[3, +∞
说明:本题由1990年全国高中联赛题改编.
例7 已知正数x 、y 、z 满足x +y +z =
xyz , 且不等式
导析:由柯西不等式, 得
P =
am +
m
nc n +=Q. m n
≤am +nc +例4 解方程4x +3+2
λ恒成++≤
x +y y +z z +x
立, 求λ的取值范围.
导析:由2元均值不等式和柯西不等式, 得
++x +y y +z z +x
2
) 2
-2x =.
导析:原方程变形为15=(x +
+2-2x ) 22
x +
≤[() 2+22][(+(
1-2x ) ]=15,
2
2=
xy
+
2
yz
+
2
z x
12x +y +z
+1+y +z x +y +z
x +
其中等号成立的充要条件是, 解得x =-.
23
=
+1[(12+12+12) 2
2() ]= ・++. x +y +z x +y
+z x +y +z 2
例5 求三个实数x 、y 、z , 使得它们同时
中学数学教学参考 2001年第9期55
.
2
51在四面体AB CD 中, 各顶点到对面的
故参数λ的取值范围是[
) . , +∞
2
2
例8 求实数x 、y 的值, 使得(y -1) +
(x +y -3) 2+(2x +y -6) 2达到最小值. (2001年全国初中联赛题)
距离分别为d 1、d 2、d 3、d 4, 四面体内切球半径为r , 求证:d 1+d 2+d 3+d 4≥16r.
61设a 、b 、c 为△AB C 的三边长, 求证:
导析:由柯西不等式, 得
[1+2+1]・[(y -1) (2x +y -6) ]2=1, +1・
2
2
2
2
+(3-x -y ) 2
(y -1) +2・(3-x -y ) +(2x +y -6) 2]≥[1・
222
(a +b +c ) +
7n , b 0、x 1、
2x n , 6x i =a , 6x i 2=b , 试
i =0
i =0
n
n
即 (y -1) 2+(x +y -3) 2+(2x +y -6) 2. 当且仅当=, 611
0.
81已知二次三项式f (x ) =ax 2+bx +c
即x =
x , y =.
26
的所有系数均是正数, 且a +b +c =1, 求证:对于任何正数x 1、x 2、…、x n , 当x 1x 2…x n =1
12-x
例9 求函数f (x ) =的最大值.
导析:由柯西不等式, 得 (
x -6+
2
2
x -6+
时, 必有f (x 1) f (x 2) …f (x n ) ≥1.
参考答案或提示
11最大值为1.
2
2
-x ) 2
x -6) +(
≤[1+1][(=12,
-x ) ]
21不会. 这是因为|M N |31左2≤3(641令x =
z =
a
-2
min
=2a.
即 x -6+故当
x -6=
12-x ≤2.
12-x , 即x =9时, 函
) , 6. 1+ab 1+ab 4
b
-2
+c -2, y =
c
-2
+a -2,
数f (x ) 取得最大值2.
三、强化训练
11已知|x |≤1, |y |≤1, 试求x +y
-x 2的最大值. 21已知椭圆
2
+b -2, S =6a -2, 则S . r , 6d i 6
6x
≤36x 2=
-y 2
516
d i
=
d i
≥16.
b +c 2
(a +1) 2
+
2
61由b +c >a 等知, 6
=1(a >
=3. a
(a -1) 2
1) 的切线交x 轴、y 轴的正半轴于M 、N 两
Δ=4n (n +1) (b -71
存在; Δ=0, x 0=. n +1
n +1
n +1
) . Δ
n +1
点, 试问:|M N |会小于2a 吗? 说明理由.
31已知a , b , c ∈R , 且a +b +c ≤abc ,
+
; Δ>0,
求证.
+ca 2
41若正数a 、b 、c 满足abc =1, 求证b +c
2
2
+
1+ab ++bc 81f (x 1) f (x 2) =(ax 12+bx 1+c ) (ax 22+bx 2+c ) ≥[a (=f 2(x 1x 2) .
x 1x 2)
2
a
3
+
b
3
c +a
22
+
c
3
+b x 1x 2+c ]
2
a +b
22
中学数学教学参考 2001年第9期53
○数学竞赛初级讲座柯西不等式
陕西省永寿县中学 安振平
柯西不等式是一个十分重要的不等式定理, 从近年来国内外各级竞赛中不难看出, 许多涉及不等式的赛题, 若能运用柯西不等式进行求解, 便可获得较为简明的解法.
一、基础知识
1a a a +…+1b 22
2
2
() 2,
b n
a i =b i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时取等号.
例1 设a 、b 、c 、d 是4个不全为零的实数, 求证
. 2222a +b +c +d
导析:为了使用柯西不等式(必要时还可
2
、a 2a n , b 1、b 2、…、b n 均是实数, 则
(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) 2
≤(a 12+a 22+…+a n 2) (b 12+b 22+…+b n 2) , 等号当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …,
n ) 时成立.
以应用均值不等式) , 可从欲证不等式左边的分子入手, 并将其进行适当的变形.
ab +2bc +cd
这个命题的证明在一般的竞赛教程中都可以查找到, 这里从略.
21柯西不等式的推论
=(ab +cd ) +(bc -ad ) +(bc +ad )
≤2[(ab +cd ) 2+(bc -ad ) 2] +
(b 2+a 2) (c 2+d 2)
推论1 设a 1、a 2、…、a n , b 1、b 2、…、b n 为实数, 则有
a 1+a 2+…+a n +
2
2
2
=(a 2+c 2) (b 2+d 2)
b 1+b 2+…+b n
222
+
(a 2+b 2) (c 2+d 2) 2222≥(a 1+b 1) 2+(a 2+b 2) 2+…+(a n +b n ) 2, 当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时等号成立.
推论2 设a
1、a 2、…、a n , b 1、b 2、…、b n 为实数, 则有|
a 1+a 2+…+a n -2
2
2
2
2222 +
2
=
2
(a +b 2+c 2+d 2) . 2
a +2b +c
例2 已知a , b , c ∈R +, 求证
b 1+b 2+…+b n |
2
2
2
+
≤(a 1-b 1) 2+(a 2-b 2) 2+…+(a n -b n ) 2, 当且仅当a i =λb i (λ为常数, i =1, 2, …, n ) 时等号成立.
推论3 设a 1、a 2、…、a n 为实数, b 1、b 2、…、b n 为正实数, 则有
+.
a +b +2c 2a +b +c 4
导析:从欲证不等式的结构看, 可考虑应
用推论3. 为此, 可给左边三项的分子、分母分别乘以a 、b 、c.
左边=
2
+2
a +2ab +ca
22
ab +b +2bc
54
+
2ca +bc +c 2
2
中学数学教学参考 2001年第9期
满足下列方程
2x +3y +z =13,
2
22
(a +b +c 2) +3(ab +bc +ca )
4x 2+9y 2+z 2-2x +15y +3z =82.
2
=
3(a +b +c ) 2+3(ab +bc +ca ) 2
3(a +b +c ) 2+(a +b +c ) 2=. 4
导析:将两方程左右两边分别相加, 变形得 (2x ) 2+(3y +3) 2+(z +2) 2=108. 由第1个方程变形, 得
2x +(3y +3) +(z +2) =18.
于是由柯西不等式, 得
(2x ) +1・() 2) ]2182・
222
1]・[(2x ) y +) +(z
说明:本例的类似是
++2a +b +c a +2b +c a +b +2c 4
218二、综合应用
, 、确定参数的取值范围, 求最值以及几何不等式的证明等方面都有着广泛的应用.
例3 设a 、b 、c 、d 、m 、n 都是正实数, P
=ab +cd , Q =m a +nc +, 试
m n
确定P 与Q 的大小. (1983年高中联赛题)
2x =3y +3=z +2=6,
故原方程的解为x =3, y =1, z =4. 例6 设λ是实数, 对任意实数x 、y 、z 恒λ(x 4+y 4+z 4) 成立, 试求有(x 2+y 2+z 2) 2≤λ的取值范围.
导析:由柯西不等式易求出参数λ的取值
) . 范围是[3, +∞
说明:本题由1990年全国高中联赛题改编.
例7 已知正数x 、y 、z 满足x +y +z =
xyz , 且不等式
导析:由柯西不等式, 得
P =
am +
m
nc n +=Q. m n
≤am +nc +例4 解方程4x +3+2
λ恒成++≤
x +y y +z z +x
立, 求λ的取值范围.
导析:由2元均值不等式和柯西不等式, 得
++x +y y +z z +x
2
) 2
-2x =.
导析:原方程变形为15=(x +
+2-2x ) 22
x +
≤[() 2+22][(+(
1-2x ) ]=15,
2
2=
xy
+
2
yz
+
2
z x
12x +y +z
+1+y +z x +y +z
x +
其中等号成立的充要条件是, 解得x =-.
23
=
+1[(12+12+12) 2
2() ]= ・++. x +y +z x +y
+z x +y +z 2
例5 求三个实数x 、y 、z , 使得它们同时
中学数学教学参考 2001年第9期55
.
2
51在四面体AB CD 中, 各顶点到对面的
故参数λ的取值范围是[
) . , +∞
2
2
例8 求实数x 、y 的值, 使得(y -1) +
(x +y -3) 2+(2x +y -6) 2达到最小值. (2001年全国初中联赛题)
距离分别为d 1、d 2、d 3、d 4, 四面体内切球半径为r , 求证:d 1+d 2+d 3+d 4≥16r.
61设a 、b 、c 为△AB C 的三边长, 求证:
导析:由柯西不等式, 得
[1+2+1]・[(y -1) (2x +y -6) ]2=1, +1・
2
2
2
2
+(3-x -y ) 2
(y -1) +2・(3-x -y ) +(2x +y -6) 2]≥[1・
222
(a +b +c ) +
7n , b 0、x 1、
2x n , 6x i =a , 6x i 2=b , 试
i =0
i =0
n
n
即 (y -1) 2+(x +y -3) 2+(2x +y -6) 2. 当且仅当=, 611
0.
81已知二次三项式f (x ) =ax 2+bx +c
即x =
x , y =.
26
的所有系数均是正数, 且a +b +c =1, 求证:对于任何正数x 1、x 2、…、x n , 当x 1x 2…x n =1
12-x
例9 求函数f (x ) =的最大值.
导析:由柯西不等式, 得 (
x -6+
2
2
x -6+
时, 必有f (x 1) f (x 2) …f (x n ) ≥1.
参考答案或提示
11最大值为1.
2
2
-x ) 2
x -6) +(
≤[1+1][(=12,
-x ) ]
21不会. 这是因为|M N |31左2≤3(641令x =
z =
a
-2
min
=2a.
即 x -6+故当
x -6=
12-x ≤2.
12-x , 即x =9时, 函
) , 6. 1+ab 1+ab 4
b
-2
+c -2, y =
c
-2
+a -2,
数f (x ) 取得最大值2.
三、强化训练
11已知|x |≤1, |y |≤1, 试求x +y
-x 2的最大值. 21已知椭圆
2
+b -2, S =6a -2, 则S . r , 6d i 6
6x
≤36x 2=
-y 2
516
d i
=
d i
≥16.
b +c 2
(a +1) 2
+
2
61由b +c >a 等知, 6
=1(a >
=3. a
(a -1) 2
1) 的切线交x 轴、y 轴的正半轴于M 、N 两
Δ=4n (n +1) (b -71
存在; Δ=0, x 0=. n +1
n +1
n +1
) . Δ
n +1
点, 试问:|M N |会小于2a 吗? 说明理由.
31已知a , b , c ∈R , 且a +b +c ≤abc ,
+
; Δ>0,
求证.
+ca 2
41若正数a 、b 、c 满足abc =1, 求证b +c
2
2
+
1+ab ++bc 81f (x 1) f (x 2) =(ax 12+bx 1+c ) (ax 22+bx 2+c ) ≥[a (=f 2(x 1x 2) .
x 1x 2)
2
a
3
+
b
3
c +a
22
+
c
3
+b x 1x 2+c ]
2
a +b
22