48例谈"化曲为直"逼近法巧解竞赛题

48福建中学数学

（2

）要证明(1

13

(1e4，

2015年第1期





n1，



2

n13222(1

n1)32

只需证ln(1ln(1ln(1

13

ln(1③，4由(1)可得，对任意的x0，不等式ln(x1)x恒

成立，故式③左边

ln(1ln(1ln(1

ln(1

④，

1313．4

综上可知，原不等式成立．

例谈“化曲为直”逼近法巧解竞赛题

洪恩锋

辽宁省抚顺市第一中学（113001）

3xi1(3xi1)（2）224

由（1）（2

）xi(3xi

1)，

34

P不等式的证明问题是各种竞赛中倍受青睐的热

点题型，而不等式的核心是“放缩”，其有着极大的技巧性．本文例谈不等式放缩中的“化曲为直”逼近法，（即将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处与一次函数逼近）供读者参考．

1利用条件直接构造逼近

例1（数学通讯163号问题）已知非负实数a，b，c满足abc

3，试求P

的最值．

2利用切线逼近

例2（2003年湖南省数学竞赛题）设x，y，z均是正实数，且xyz1，求三元函数3x2x3y2y3z2z

的最小值，并给f(x，y，z)

1x21y21z2

解析设xia，b，c(i1，2，3)，则0xi3，xi24

有xi，即xi2xi

xi2，33

xi（1）

3

出证明．

3x2xx26x1

证明设g(x)，则g(x)，

1x2(1x2)2g(x)(0x1)，

191

在x处的切线方程为y(x，

31033x2x91(x．

1031x2





2

2015年第1期

3x2x3y2y3z2z

故f(x，y，z)

1x21y21z2

9111

[(x)(y)(z103330．

福建中学数学

12a6[13(a1)2212a6a4(1)，323

b29b4

同理2，2

32b(ca)c29c4

，32c2(ab)2

49

3利用配方法逼近

例3（2006年中国北方数学奥林匹克试题）设a，b，c是正实数，且abc3，求证：a29b29c29

5．

2a2(bc)22b2(ca)22c2(ab)2

三式相加得

a29b29c29



2a2(bc)22b2(ca)22c2(ab)21

(a4b4c4)5．3

证明abc3，a29a292

2a(bc)22a2(3a)2

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

黄剑潮

浙江省杭州市萧山南阳中心学校（311227）

an1nann

n1n1n1n1n1

n1n1

ana1a2ana1a2an21

1n1nn(a1a2an)(n1

n1n1

na2a3ana3

n1

（2013年波罗的海奥林匹克数学竞赛）已知x，x3y3z3

y，z是正数，求证：2

yz2z2x2x2y2

xyz

．2

本文给出它的推广：

a

n14

1

n1

ana1n1

已知n个正数：a1，a2，，an，求证：a1na2n

n1n1n1n1n1

a2n1a3ana3a4ana1n1an1nannn1n1

n1n1n1n1

ana1n1a2ana1a2an21aaan

．12

n1

证明如果a，b，c为正数，则由切比雪夫不a3b3c313111

等式可得：222(ab3c3)(2223bcabca

1

和a3b3c3(abc)(a2b2c2)．

3

由柯西不等式可得：1119

，

a2b2b2c2c2a22(a2b2c2)

11

n1n1n1n1n1

ann1a1n1a2anaaa212n1

n个1



1nn(111)2n(a1a2an)n1n1n(n1)(a1n1a2an)nn(a1na2an)

(n1)(a

n1

1

nn1n1a2an)

1n1n1

(a1a2an)(a1n1a2an)n

n

n1n1(n1)(a1n1a2an)

a1a2an

．

n1

显然，当且仅当a1a2an时，上式取等号．

所以由切比雪夫不等式和柯西不等式可得：a1na2n

n1

n1n1n1n1

a2n1a3ana3a4ana1n1

当n3时，即为文首2013年波罗的海的奥林匹

克数学竞赛题．

48福建中学数学

（2

）要证明(1

13

(1e4，

2015年第1期





n1，



2

n13222(1

n1)32

只需证ln(1ln(1ln(1

13

ln(1③，4由(1)可得，对任意的x0，不等式ln(x1)x恒

成立，故式③左边

ln(1ln(1ln(1

ln(1

④，

1313．4

综上可知，原不等式成立．

例谈“化曲为直”逼近法巧解竞赛题

洪恩锋

辽宁省抚顺市第一中学（113001）

3xi1(3xi1)（2）224

由（1）（2

）xi(3xi

1)，

34

P不等式的证明问题是各种竞赛中倍受青睐的热

点题型，而不等式的核心是“放缩”，其有着极大的技巧性．本文例谈不等式放缩中的“化曲为直”逼近法，（即将已知函数与一个一次函数比较，让它在某处与一次函数逼近）供读者参考．

1利用条件直接构造逼近

例1（数学通讯163号问题）已知非负实数a，b，c满足abc

3，试求P

的最值．

2利用切线逼近

例2（2003年湖南省数学竞赛题）设x，y，z均是正实数，且xyz1，求三元函数3x2x3y2y3z2z

的最小值，并给f(x，y，z)

1x21y21z2

解析设xia，b，c(i1，2，3)，则0xi3，xi24

有xi，即xi2xi

xi2，33

xi（1）

3

出证明．

3x2xx26x1

证明设g(x)，则g(x)，

1x2(1x2)2g(x)(0x1)，

191

在x处的切线方程为y(x，

31033x2x91(x．

1031x2





2

2015年第1期

3x2x3y2y3z2z

故f(x，y，z)

1x21y21z2

9111

[(x)(y)(z103330．

福建中学数学

12a6[13(a1)2212a6a4(1)，323

b29b4

同理2，2

32b(ca)c29c4

，32c2(ab)2

49

3利用配方法逼近

例3（2006年中国北方数学奥林匹克试题）设a，b，c是正实数，且abc3，求证：a29b29c29

5．

2a2(bc)22b2(ca)22c2(ab)2

三式相加得

a29b29c29



2a2(bc)22b2(ca)22c2(ab)21

(a4b4c4)5．3

证明abc3，a29a292

2a(bc)22a2(3a)2

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

黄剑潮

浙江省杭州市萧山南阳中心学校（311227）

an1nann

n1n1n1n1n1

n1n1

ana1a2ana1a2an21

1n1nn(a1a2an)(n1

n1n1

na2a3ana3

n1

（2013年波罗的海奥林匹克数学竞赛）已知x，x3y3z3

y，z是正数，求证：2

yz2z2x2x2y2

xyz

．2

本文给出它的推广：

a

n14

1

n1

ana1n1

已知n个正数：a1，a2，，an，求证：a1na2n

n1n1n1n1n1

a2n1a3ana3a4ana1n1an1nannn1n1

n1n1n1n1

ana1n1a2ana1a2an21aaan

．12

n1

证明如果a，b，c为正数，则由切比雪夫不a3b3c313111

等式可得：222(ab3c3)(2223bcabca

1

和a3b3c3(abc)(a2b2c2)．

3

由柯西不等式可得：1119

，

a2b2b2c2c2a22(a2b2c2)

11

n1n1n1n1n1

ann1a1n1a2anaaa212n1

n个1



1nn(111)2n(a1a2an)n1n1n(n1)(a1n1a2an)nn(a1na2an)

(n1)(a

n1

1

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1n1n1

(a1a2an)(a1n1a2an)n

n

n1n1(n1)(a1n1a2an)

a1a2an

．

n1

显然，当且仅当a1a2an时，上式取等号．

所以由切比雪夫不等式和柯西不等式可得：a1na2n

n1

n1n1n1n1

a2n1a3ana3a4ana1n1

当n3时，即为文首2013年波罗的海的奥林匹

克数学竞赛题．