机械工程基础(静力学)教案

绪论

一、本课程的研究对象——机械。是指机器与机构的总称。二、本课程的主要内容 1．工程力学

2．机械工程材料及热加工 3．常用机构和机械传动 4．联接与轴系零部件三、本课程的性质和任务

1．性质：是工科有关专业的一门重要技术基础课。 2．任务

1）初步掌握分析解决工程实际中简单力学问题的方法； 2）初步掌握对杆件进行强度和刚度计算的方法；

3）掌握常用机械工程材料的性能、用途及选用原则，初步掌握机械零件毛坯的基本知识；

4）掌握常用机构和通用机械零件的基本知识，初步具有分析、选用和设计机械零件及简单机械传动装置的能力。

第一篇工程力学

第一章静力学基础

§1-1 力的概念及静力学公理

一、力的概念

1．力的定义：力是物体之间的相互机械作用。

作用效果：使物体的运动状态发生变化（运动效应）或使物体产生变形（变形效应）。

静力学只讨论力的运动效应。

2．力的三要素：大小、方向、作用点。

力是具有大小和方向的量，所以。一般情况下，其大小、方向和作用点不能随意变动，是固定矢量。不是自由矢量。 3．力的单位：国际单位制：牛顿（N）；千牛顿（kN），1kN=103N。 4．力的图示：力的三要素可以用有向线段来表示。（P4图1-1） 5．刚体：在力的作用下其大小和形状均保持不变的物体。

静力分析的研究对象为刚体或刚体系。

6．力系与等效力系

（1）力系：作用于物体上的一群力（有限个或无限个）所组成的集合。（2）等效力系：对物体作用效应相同的力系互为等效力系。（3）合力：与一个力系等效（对物体作用效果相同）的一个力。（4）分力：力系中的各力称为合力的分力。 7．平衡与平衡力系

（1）平衡：物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。（2）平衡力系：作用在平衡物体上的力系。

静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。二、静力学公理 1．二力平衡公理

（1）公理：刚体仅在两个力作用下处于平衡状态的充要条件是：此二力大小相等、方向相反、作用线重合。简言之，此二力等值、反向、共线。

F1F2（P5图1-2）

注意：对变形体而言，只是变形的必要条件。（2）二力构件（二力杆）：在两个力作用下处于平衡的构件。（P5图1-3）特点：杆两端作用着等值、反向、共线的两个力，此二力作用线与杆两端连线重合，指向不能预先确定。 2．加减平衡力系公理

（1）公理：在一个力系中加上或减去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效应。

（2）力的可传性原理（推论）：作用于刚体上的某点的力，可沿其作用线滑移到该刚体上的任何位置而不会改变原力对刚体的作用效应。（P5图1-4）

作用在刚体上的力的三要素应当是大小、方向、作用线。 3．平行四边形公理（力三角形法则）

（1）公理：作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力。合力的大小和方向，由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对



角线确定。FRF1F2

即合力矢等于这两个力矢的几何和。（P6图1-5）（2）三力平衡汇交定理（推论）：刚体受三个力作用而处于平衡，若其中有两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线必过前两个力的作用线的汇交点。（3）力的分解：将一个力分解成两个力的过程。

两个力组成的共点力系可以合成为一个合力，答案是唯一的。反之，

将一个力分解为两个力，若无足够的条件，其结果是不确定的。（P6图1-6）

4．作用与反作用公理：两个物体间作用力与反作用力总是同时存在的。且两个力大小相等、方向相反、作用线重合，分别作用在两个相互作用的物体上。

注意：不能认为作用力与反作用力组成平衡力系。

课堂小结：

1．静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。研究的对象都是刚体。

2．力是物体之间的相互机械作用。其作用效果是使物体的机械运动状态发生变化或使物体发生变形。力的三要素为大小、方向、作用点。作用在刚体上的力的三要素应当是大小、方向、作用线。

作业：P3/ 1~4，P42/ 2~3

复习旧课：

提问：1．静力学是研究什么的科学？

2．力的概念和力的三要素。

3．作用在刚体上的力的三要素是什么？

讲解新课：

§1-2 平面汇交力系的合成

平面汇交力系：各力作用线都在同一平面内，且都相交于一点的力系。一、几何法（力多边形法）

是平行四边形法的推广。P6图1-7，P7图1-8。 FF1F2FnFi

平衡的充要几何条件：力的多边形自行封闭。（力系的合力为零） FF1F2FnFi0 举例练习：P7例1-1，图1-9 二、解析法

1．力在平面直角坐标轴上的投影（1）投影计算

FxFcosFyFsin



α为F与x轴所夹的锐角。在计算上只管大小，

+、−由观察决定。（P8图1-10）注意：①力的投影是代数量（标量），分力是矢量，且分力必须作用在原

力的作用点上。

②力的投影为正时，分力指向坐标轴的正向；反之，则指向负向。（2）应用：已知投影求力矢。

大小：FFx2Fy2 方向：tan

FyFx



α为F与x轴所夹的锐角

2．合力投影定理：合力在坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

FRxF1xF2xFnxFxFRyF1yF2yFnyFy

2．解析法（合力投影定理的应用）：已知分力求合力。

FRFRxFRy(Fx)2(Fy)2tan

FRyFRx



F

3．举例练习：P8例1-2

课堂小结：

1．平面汇交力系平衡的充要几何条件：



2．力F在轴上的投影为代数量（标量），而沿轴上的分量（分力）为矢量。

3．合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 FxF1xF2xFnxFix

FyF1yF2yFnyFiy

作业：P43/10，15~17

导入新课：

在生产、生活中，力对物体的作用，有时会使物体发生转动。力对物体的转动效果，有许多是物体绕某一点或某一轴线转动的例子，如：杠杆、滑轮、开关门窗、扳手拧螺母等。为了度量力使物体绕一定点转动的效应，力学中引入力对点的矩（力矩）的概念

讲授新课：

§1-3 力矩与力偶

一、力对点之矩（P9图1-12） 1．矩心O：力使物体转动的中心。 2．力臂d：矩心到力的作用线的距离。（注意：不是力的作用点到矩心的距离。）



3．力矩MO(F)：力的大小与力臂的乘积再冠以适当的正负号来表示力



使物体绕点转动的效应，称为力对点的矩，简称力矩。MO(F)Fd 正号“+”：力使物体绕矩心作逆时针方向转动；负号“−”：力使物体绕矩心作顺时针方向转动。 4．力矩的单位：N〃m或kN〃m 5．力矩为零



由MO(F)Fd可知，有两种情况力矩等于零：（1）力等于零；（2）力臂等于零。即力的作用线通过矩心。 6．巩固练习：P9/例1-3

二、合力矩定理：合力对平面内任一点之矩,等于各分力对该点之矩的代

n

数和。MO(FR)MO(Fi)

i1

应用举例：P10例1-4，P44/18 三、力偶的概念及其运算法则

'

1．力偶：由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系。记作(F,F)。 2．力偶臂：两力作用线间的距离d。（P10图1-15）

3．力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积并冠以适当的正负号，

''

称为力偶矩。记作M或M(F,F)，即M(F,F)FdF'd

4．单位：N〃m或kN〃m

5．力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位。 6．力偶的性质

（1）力偶无合力；力偶不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡；（2）力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关；（3）力偶的等效性：作用在同一平面内的两个力偶，若它们力偶矩大

小相等，转向相同，则这两个力偶等效。

推论1：力偶可以在其作用面内任意移动或转动，而不改变力偶对刚体的作用效应。

推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。 7．平面力偶系的合成

作用在物体上同一平面内的若干力偶所组成的力系，称为平面力偶系。其合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即

MM1M2MnMi（P12图1-17）

8．力的平移定理

（1）定理：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。证明：根据加减平衡力系公理。（P12图1-18） FF'F



(F,F

（2）力的平移定理的理解

力不能与力偶等效，也不能被力偶所平衡。但两者之间并非没有联系，这充分体现在力的平移定理中。

力的平移定理告诉我们：作用在刚体上的力，可以分解为同平面内的一个力（作用线与原力平行）和一个力偶（力偶矩等于原力对新作用点的矩）。

反之，一个力和一个力偶也可以合成为一个力。

课堂小结：



1．平面问题中，力矩为一代数量，MO(F)Fd。注意力臂d的含义。 2．明确在什么情况下力矩为零。

n

3．合力矩定理：MO(FR)MO(Fi)

i1

4．力矩计算的常用方法：（1）直接计算力臂；（2）力臂不易计算时，用合力矩定理比较方便。 5．力偶是由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系。力偶无合力，只能用力偶来平衡。

6．力偶的三要素：大小、转向、作用面方位。 7．等效力偶：两力偶的力偶矩矢相等。

'

8．平面力偶系中，力偶矩为一代数量，M(F,F)FdF'd。逆时针转向为正值，反之为负值。

9．力偶系的合成结果为一合力偶。 10．力的平移定理。

作业：P44/19,20

导入新课：回忆力的概念→物体间位移的限制→存在约束。

讲授新课：

§1-4 工程中常见的约束及构件的受力图

一、约束与约束力

1．自由体：运动和位置没有受到任何限制的物体。 2．非自由体：运动和位置受到某些限制的物体。工程中所遇到的物体，大部分是非自由体。 3．约束：限制物体的位置和运动的条件。 4．约束力（或称约束反力，简称反力）：约束对物体的作用力。 5．主动力：约束反力以外的力。如：重力、切削力、电磁力等。 6．被动力：约束力。二、约束类型

1．柔性约束（P13图1-20，图1-21）

特点：约束力作用在柔索与物体的接触点上，方向沿着柔索的中心线，其指向背离受力体。

2．光滑面约束（P13图1-22）

特点：约束力作用在物体与支撑面的接触点上，方向沿接触点的公法线，并指向受力体。 3．光滑铰链约束



（1）固定铰链支座：简图：将FN分解为两个相互垂直



（2）中间铰（圆柱形销钉连接）：的分力FNx和FNy ，FN的简图：作用线必垂直于销钉轴线，并过销孔中心。



（3）空间球铰约束：将FN分解为三个相互垂直的分力FNx、FNy和FNz，



FN作用线过球型槽中心。

简图：

三者共同特点：作用线过定点，方向预先不能确定，通常用正交分量表

示。（FN大小、方向均取决于主动力）

（4）活动铰链支座：FN的作用线通过销孔中心，且垂直于支承面，但指向不能预先确定。简图： 4．固定端约束

特点：杆两端作用着等值、反向、共线的两个力，此二力作用线与杆两端连线重合，指向不能预先确定。简图：

三、构件的受力分析及受力图

1．受力分析：分析构件所受各力的方向或作用线方位的过程。 2．分离体：解除约束后的物体。

3．受力图：在分离体上画上全部主动力和约束力的简图。 4．画受力图步骤

（1）选取研究对象（或取分离体）；（2）画出主动力；（3）画出约束反力。四、单个物体的受力图

举例：P16例1-5~例1-8中单个物体受力图五、物体系统的受力图

1．内力：系统内物体之间的相互作用力。

2．外力：所取研究对象（分离体）以外的物体对它的作用力。 3．举例：P16例1-6~例1-8中物体系受力图

课堂小结：

1．凡周围物体对研究物体的作用为约束。约束反力的方向与所限制的物体运动（或位移）的方向相反。 2．作物体受力图时应注意：（1）明确研究对象。（单个物体或物体系）

（2）主动力和约束力的数目、方向或作用线要准确。

（3）先取所有作用力的方向或作用线均可确定的物体为研究对象，如二力杆等。然后再取其它物体或物体系进行受力分析。

（4）绘物体系受力图时，不要画内力，只需画出作用于物体系上的全部外力。

作业：P45/22，23

导入新课：回顾力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可沿它的作用线移到刚体上的任一点，并不改变力对刚体的作用。

力的平移定理：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。

讲授新课：

§1-5 平面力系

一、平面任意力系的概念、简化及简化结果的讨论

1．概念：各力的作用线处于同一平面内，既不（全）平行又不（全）汇交于一点的力系。（P18图1-33） 2．简化定理：平面任意力系向诸力作用面内任一点O（简化中心）简化，可得到一个力和一个力偶，此力作用于简化中心O点，它等于原力系的矢量和，称为原力系的主矢；而力偶的力偶矩等于原力系中各力对简化中心O点的力矩的代数和，称为原力系的主矩。即 '

FRFi MOMO(Fi) （P18图1-34）

注意：主矢是一个与简化中心无关的自由矢量，主矩与简化中心的位置有关。主矢并不是原力系的合力，主矩也不是原力系的合力偶。

n3．主矢的大小和方向：FFx)(Fy) ta

'

α为FR作用线与x轴正方向的夹角。

5．举例练习：P19例1-9

课堂小结：

平面任意力系的简化结果。

作业：补充

新课导入：

1．平衡力系：与零力系等效的力系。

2．力系的平衡条件：平衡力系中各力所满足的条件。

3．平面任意力系向力的作用面内一点O的简化结果：该力系必与作用线过点O的一个力和一个力偶等效。

讲授新课：

二、平面任意力系的平衡方程 1．平衡条件

充分必要条件：力系的主矢为零矢量，且力系对力作用面内任一点的主矩也等于零。即： '

FRFi0 MOMO(F)0 2．平衡方程

（1）一矩式（基本形式）：

Fx0 Fy0



M(FO)0

平面任意力系平衡的充分必要条件的另一种形式是：力系中诸力在每个

坐标轴上投影的代数和分别为零，且力对力的作用面内任一点的矩的代数和也等于零。

（2）二矩式：条件：A、B两点连线不能垂直于x轴。



MA(F)0 MB(F)0 Fx0 （3）三矩式：条件：A、B、C三点不共线。



MA(F)0 MB(F)0 MC(F)0 三、平面特殊力系的平衡方程 1．平面汇交力系的平衡方程

FF

0

F

0

2．平面平行力系的平衡方程（1）一矩式

0



MO(F)0

（2）二矩式



MA(F)0

M(FB)0

条件：A、B两点连线不能平行于各力作用线。

3．平面力偶系的平衡方程

M0

四、平面力系平衡方程的应用 1．单个物体的平衡问题 P20~P21例1-10~1-12

课堂小结：

1．平面任意力系平衡的充分必要条件。 2．三种形式的平衡方程及其附加条件。

3．平面汇交力系平衡的充分必要条件和平衡方程。 4．平面力偶系平衡的充分必要条件和平衡方程。 5．解题步骤：

（1）选取研究对象或取分离体；（2）进行受力分析，画受力图；（3）选择坐标系，列平衡方程；（4）解平衡方程。

作业：P46/25

新课导入：

1．平面任意力系平衡的充分必要条件。 2．写出平面各种力系独立平衡方程的数目。 3．P22例1-13~1-15

讲授新课：（§1-5四、平面力系平衡方程的应用） 2．物体系统的平衡问题

（1）物体系：由若干个物体按照一定方式组合而成的系统。如：建筑结构，机构。

当物体系统平衡时，组成系统的每个物体也都是平衡的。

（2）特点：不仅要确定未知外力，还要求出未知内力。因此，不仅要取整个系统为研究对象，还要从系统中分离出若干子系统（分离体）为单独研究对象。

（3）静定与静不定系统若系统有n个物体组成，并受平面力系作用，则共有3n个独立平衡方程。可求出3n个未知数。

①静定系统：未知数与方程数相等。 ②静不定系统：未知数多于方程数。（P25图1-42）（4）解题原则

①所列平衡方程个数尽量少；

②每个方程中所含未知量的个数尽量少。（5）举例练习

P25~P26例1-16~1-17

课堂小结：

1．物体系概念。

2．研究物体系平衡问题的方法和原则。

（1）每取一次分离体，都要进行受力分析，列出平衡方程；（2）注意两个“尽量少”原则；

（3）尽量选取与需求未知量有直接关系的物体或子系统为分离体；（4）根据题目需求列出平衡方程；（5）列平衡方程时，适当选择矩心和投影轴可减少方程中未知量的个数。

作业：P46/26c),29,31,33

新课导入：

1．当两个物体相互接触时，接触面内一般都存在摩擦。

2．如果物体间摩擦力较小，对所研究的问题不起决定性作用，则假设接触面是光滑的。（如前述各章）

3．当摩擦力是不可忽略的决定性因素时，应按有摩擦的问题进行分析和研究。（如人的行走、摩擦轮的传动、车床上用卡盘固定工件、汽车刹车等）

4．摩擦分类：滑动摩擦和滚动摩擦。

讲授新课：

§1-6 摩擦

一、滑动摩擦的概念

（P27图1-45）当两个相互接触的物体，沿接触面具有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面间就会产生彼此阻碍滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力。

只有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦；接触面间有相对滑动时的摩擦称为动滑动摩擦，简称动摩擦。 1．静（滑动）摩擦

（1）静摩擦力（Ff）：接触面间有相对滑动趋势，但仍然保持静止的两个物体间的摩擦力。

（2）临界摩擦力（FS）：静摩擦力的极限值。

（3）静摩擦定律(库仑定律)：临界摩擦力FS的方向与相对滑动趋势相反，

大小与接触面的法向反力FN的大小成正比，即FSSFN。于临界平衡状态。

（P27表1-1） S：静摩擦因数。

S与接触物体的材料和表面情况有关，与接触面积无关。

0FfFS

2.动滑动摩擦

（1）动摩擦力（Ff'）：接触面间有相对滑动的两物体间的摩擦力。



（2）动滑动摩擦定律：动摩擦力Ff'的大小与接触面法向反力FN的大小成正比，即Ff'FN（Ff'一般小于Ff，与主动力大小无关）

：动摩擦因数。（P27表1-1）与接触物体的材料和表面情况有关，与接触面积无关。

一般情况下，S。随物体相对速度的增加而减少。二、摩擦角与自锁



P29图1-46：主动力合力FQGFP 

全反力FRFNF



FR与接触面公法线夹角为



由于物块保持静止，故FQ与FR等值、反向、共线。



当物块处于临界平衡状态时，S。FP增加，FfFS，Ff和也增加，

S即为摩擦角。



只要FR的作用线在摩擦角S内，物体总是平衡的。根据静滑动摩擦定律：tanS

FSSFN

S FNFN

即：静摩擦因数等于摩擦角的正切。



2．摩擦锥：FR的作用线形成的以接触点为顶点的锥面。（因物块沿水平



面滑动的趋势是任意的，所以FR的作用线方位也是任意的）

3．自锁：主动力合力FQ的作用线在摩擦角之内，而使物体静止的现象。 4．自锁条件：α ≤ ρs。与主动力的大小无关，而只跟摩擦角有关的平衡条件。

物块在水平面保持静止状态的条件是：0≤α≤ρs。 5．摩擦自锁在工程中的应用

静摩擦系数的测定；螺旋千斤顶的自锁条件等。三、考虑摩擦时物体的平衡问题

1．求解考虑摩擦时物体的平衡问题与求解不计摩擦时物体的平衡问题，其基本方法相同。不同之处是分析物体受力状态时，必须考虑摩擦力。 2．解题时需列出两类方程：（1）平衡方程；（2）补充方程：Ff≤μsFN 3．举例练习

P29例1-18~1-20

课堂小结： 1．滑动摩擦是两物体接触面间有相对滑动趋势或相对滑动时出现的阻碍运动的现象。

滑动摩擦力是指当两个相互接触的物体，沿接触面具有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面间产生的彼此阻碍滑动的力。有相对滑动趋势——静摩擦——静摩擦力Ff 产生相对滑动——动摩擦——动摩擦力Ff’

2．摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势或相对滑动速度的方向相反，沿接触面的切线方向。静止时：0

临界平衡：Ff =FS = μsFN 滑动时：Ff' =μFN

3．摩擦角是全反力与接触面公法线夹角的最大值。 tanSS



4．自锁现象是指作用于物体上主动力的合力FQ，不论其大小如何，只要其作用线与接触面公法线间夹角α小于摩擦角ρs，物体便处于平衡。 5．自锁条件：α ≤ ρs。

即当α ≤ ρs时，物体始终保持平衡。当α > ρs时，物体则不平衡。

作业：P48/ 34~37

复习旧课：

1．滑动摩擦的概念。

2．静滑动摩擦定律和动滑动摩擦定律。 3．静止状态：0

4．摩擦分类：滑动摩擦和滚动摩擦。

讲授新课：（§1-6 摩擦）四、滚动摩擦简介

1．物体滚动时的力学特征

P32图1-50：车轮与路面不是刚体，不是点接触，路面对轮的反力为分布力。将此分布力看成是作用在车轮对称面内的平面力系，并向A点简



化，得到一个作用于A点的力FR和一个力偶矩为Mf的力偶。把力沿法



向和切向分解，得到接触面对车轮的法向反力FN及摩擦力Ff，Mf对车轮的滚动有阻碍作用，其转向与车轮的滚动方向或滚动趋势方向相反，称为滚阻力偶矩。

MfFr，F增大，Mf也随之增大。当F=Fk（临界值）时，Mf=Mfmax（最大滚阻力偶矩）。

车轮保持静止的条件是：0

Mfmax的大小与滚子半径无关，而与接触面的法向反力FN的大小成正比，即MfmaxFN

δ：滚动摩擦因数。为常数。

课堂小结：

滚动摩擦是一种因滚子或接触面发生变形而产生阻碍滚动的现象。滚阻力偶矩就是接触面的约束反力对滚子的主矩M。当滚动未发生时，M

作业：P48/40

复习旧课：

力在平面直角坐标轴上的投影投影计算：

FxFcosFyFsin



α为F与x轴所夹的锐角。

已知投影求力矢：大小：FFF，方向：tan

讲授新课：

2x2y

FyFx

§1-7 空间力系及重心

一、力在空间直角坐标轴上的投影 1．一次投影法（P33图1-52）

FxFcosFyFcos FzFcos



α为F与x轴正向的夹角

β为F与y轴正向的夹角



γ为F与z轴正向的夹角



2．二次投影法（P33图1-53） FxFxycosFsincos

FyFxysinFsinsin FzFcos

3．应用：已知投影求力矢。大小：FFx2Fy2Fz2

方向：用角α、β和γ的方向余弦表示：

cos

FxF

cos

FyF

cos

4．举例练习：P33例1-21 二、力对轴之矩

1．定义：力对轴之矩是力使刚体绕某轴转动效应的度量。它等于力在垂直于轴的平面上的分力对轴与平面交点之矩。因此力对轴的矩为代数量。



（P34图1-55）Mz(F)MO(Fxy)Fxyd

正号“+”：从轴正端俯视，力使刚体绕该轴作逆时针方向转动；负号“−”：从轴正端俯视，力使刚体绕该轴作顺时针方向转动。（正负号可用右手定则确定） 2．力矩为零

当力的作用线与轴相交（d0）或平行（Fxy0）时，力对此轴的矩必为零。即：当力的作用线与轴共面时，力对此轴的矩为零。三、合力矩定理

1．定理：合力对某一轴之矩等于各分力对该轴之矩的代数和。



Mx(F)Mx(Fx)Mx(Fy)Mx(Fz)0zFyyFzyFzzFy



∴Mx(F)yFzzFy My(F)zFxxFz Mz(F)xFyyFx 2．应用举例：P35例1-22

课堂小结：

1．空间力的指向可用方向余弦表示。



2．力对轴之矩为代数量，其计算方法有二：（1）先求出力F在垂直于z

轴平面上的投影Fxy，然后按平面上的力对点的矩计算，即



Mz(F)MO(Fxy)Fxyd



（2）先求出力F在三直角坐标轴上的分力Fx、Fy、Fz的大小，然

后根据力对轴之矩的定理与合力矩定理计算，即



Mx(F)yFzzFy My(F)zFxxFz Mz(F)xFyyFx

作业：P49~P50/41~43

新课导入：

平面任意力系向诸力作用面内任一点O（简化中心）简化，可得到一个主矢和一个主矩。空间任意力系向空间任一点O简化的结果为作用线过点O的一个力和一个力偶，也是一个主矢和一个主矩。 FR'Fi MOMO(Fi)

讲授新课：（§1-7 空间力系及重心）四、空间一般力系的平衡条件和平衡方程

1．平衡充要条件：力系的主矢为零矢量，且力系对空间某点o的主矩为零矢量。

'

FRFi0 MOMO(Fi)0 即：

FR'(Fx)2(Fy)2(Fz)20

MO

222

Mx(F)My(F)Mz(F)0

2．平衡方程

F

0

F

0

F

0



Mx(F)0 

My(F)0 

Mz(F)0

空间任意力系平衡的充分必要条件（另一种表达方式）：力系中各力在各坐标轴上投影的代数和以及各力对各坐标轴之矩的代数和分别为零。 3．空间力系的平衡问题 P36~P37例1-23,1-24

课堂小结：

1．空间任意力系的平衡条件和平衡方程。

2．空间约束的约束力最多是六个：沿三个坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动。

3．列平衡方程时，尽量把投影轴取在与多个未知力相垂直的方向，尽量选择与多个未知力相交或平行的轴为矩轴。

作业：P50/44,45

新课导入：

在工程实际的许多问题中，都需要确定物体的重心。如：起吊货物时，吊钩必须位于被吊物体的正上方，吊装方能平稳；轮轴类零件等转动部分的重心若偏离转轴，就会引起强烈的振动而造成不良后果。

讲授新课：（§1-7 空间力系及重心）五、物体的重心和平面图形的形心 1．重心的概念

（1）重力：空间平行力系的合力。（2）重心：重力的作用点。 2．重心的坐标公式

根据力对轴的合力矩定理得出：

Gx

Gy

Gz

其中GGi

3．均质物体重心（形心）的坐标公式

（1）均质物体：单位体积质量（密度）ρ = 常量。则GiVig,GVg

xC

Vx

yC

Vy

zC

Vz

（2）形心：由物体的几何形状和尺寸所决定的物体的几何中心。对均质物体来说，形心和重心是重合的。（3）均质等厚薄板

取Oxy为板厚对称平面，则zi=0，zC=0。ViAi,VA

xC

Ax

Ay

zC0—平面图形形心坐标公式

（4）均质等截面细杆

xC

lx

yC

ly

zC

lz

4．求重心的方法（1）对称法：均质对称物体的形心必在其对称面、对称轴或对称中心上。（2）实验法：1）悬挂法；2）称重法。（3）组合法（分割法）：将组合形体分割为几个简单形体，求出简单形体的重心，然后由重心公式确定组合形体的重心。均质简单形体重心表：P41表1-2。

举例练习：P40例1-25，例1-26

课堂小结：

1．重心坐标公式。

2．均质刚体的重心和形心是重合的。

3．确定物体重心和形心位置的方法有对称法、实验法和组合法。

作业：P50/ 47,48

绪论

一、本课程的研究对象——机械。是指机器与机构的总称。二、本课程的主要内容 1．工程力学

2．机械工程材料及热加工 3．常用机构和机械传动 4．联接与轴系零部件三、本课程的性质和任务

1．性质：是工科有关专业的一门重要技术基础课。 2．任务

1）初步掌握分析解决工程实际中简单力学问题的方法； 2）初步掌握对杆件进行强度和刚度计算的方法；

3）掌握常用机械工程材料的性能、用途及选用原则，初步掌握机械零件毛坯的基本知识；

4）掌握常用机构和通用机械零件的基本知识，初步具有分析、选用和设计机械零件及简单机械传动装置的能力。

第一篇工程力学

第一章静力学基础

§1-1 力的概念及静力学公理

一、力的概念

1．力的定义：力是物体之间的相互机械作用。

作用效果：使物体的运动状态发生变化（运动效应）或使物体产生变形（变形效应）。

静力学只讨论力的运动效应。

2．力的三要素：大小、方向、作用点。

静力分析的研究对象为刚体或刚体系。

6．力系与等效力系

（1）平衡：物体相对于地球保持静止或作匀速直线运动的状态。（2）平衡力系：作用在平衡物体上的力系。

静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。二、静力学公理 1．二力平衡公理

（1）公理：刚体仅在两个力作用下处于平衡状态的充要条件是：此二力大小相等、方向相反、作用线重合。简言之，此二力等值、反向、共线。

F1F2（P5图1-2）

（1）公理：在一个力系中加上或减去一个平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效应。

（2）力的可传性原理（推论）：作用于刚体上的某点的力，可沿其作用线滑移到该刚体上的任何位置而不会改变原力对刚体的作用效应。（P5图1-4）

作用在刚体上的力的三要素应当是大小、方向、作用线。 3．平行四边形公理（力三角形法则）

（1）公理：作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力。合力的大小和方向，由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对



角线确定。FRF1F2

两个力组成的共点力系可以合成为一个合力，答案是唯一的。反之，

将一个力分解为两个力，若无足够的条件，其结果是不确定的。（P6图1-6）

注意：不能认为作用力与反作用力组成平衡力系。

课堂小结：

1．静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。研究的对象都是刚体。

作业：P3/ 1~4，P42/ 2~3

复习旧课：

提问：1．静力学是研究什么的科学？

2．力的概念和力的三要素。

3．作用在刚体上的力的三要素是什么？

讲解新课：

§1-2 平面汇交力系的合成

平面汇交力系：各力作用线都在同一平面内，且都相交于一点的力系。一、几何法（力多边形法）

是平行四边形法的推广。P6图1-7，P7图1-8。 FF1F2FnFi

平衡的充要几何条件：力的多边形自行封闭。（力系的合力为零） FF1F2FnFi0 举例练习：P7例1-1，图1-9 二、解析法

1．力在平面直角坐标轴上的投影（1）投影计算

FxFcosFyFsin



α为F与x轴所夹的锐角。在计算上只管大小，

+、−由观察决定。（P8图1-10）注意：①力的投影是代数量（标量），分力是矢量，且分力必须作用在原

力的作用点上。

②力的投影为正时，分力指向坐标轴的正向；反之，则指向负向。（2）应用：已知投影求力矢。

大小：FFx2Fy2 方向：tan

FyFx



α为F与x轴所夹的锐角

2．合力投影定理：合力在坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。

FRxF1xF2xFnxFxFRyF1yF2yFnyFy

2．解析法（合力投影定理的应用）：已知分力求合力。

FRFRxFRy(Fx)2(Fy)2tan

FRyFRx



F

3．举例练习：P8例1-2

课堂小结：

1．平面汇交力系平衡的充要几何条件：



2．力F在轴上的投影为代数量（标量），而沿轴上的分量（分力）为矢量。

3．合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 FxF1xF2xFnxFix

FyF1yF2yFnyFiy

作业：P43/10，15~17

导入新课：

讲授新课：

§1-3 力矩与力偶

一、力对点之矩（P9图1-12） 1．矩心O：力使物体转动的中心。 2．力臂d：矩心到力的作用线的距离。（注意：不是力的作用点到矩心的距离。）



3．力矩MO(F)：力的大小与力臂的乘积再冠以适当的正负号来表示力



由MO(F)Fd可知，有两种情况力矩等于零：（1）力等于零；（2）力臂等于零。即力的作用线通过矩心。 6．巩固练习：P9/例1-3

二、合力矩定理：合力对平面内任一点之矩,等于各分力对该点之矩的代

n

数和。MO(FR)MO(Fi)

i1

应用举例：P10例1-4，P44/18 三、力偶的概念及其运算法则

'

1．力偶：由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系。记作(F,F)。 2．力偶臂：两力作用线间的距离d。（P10图1-15）

3．力偶矩：力偶中一个力的大小与力偶臂的乘积并冠以适当的正负号，

''

称为力偶矩。记作M或M(F,F)，即M(F,F)FdF'd

4．单位：N〃m或kN〃m

5．力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶作用面的方位。 6．力偶的性质

小相等，转向相同，则这两个力偶等效。

推论1：力偶可以在其作用面内任意移动或转动，而不改变力偶对刚体的作用效应。

推论2：只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改变力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。 7．平面力偶系的合成

作用在物体上同一平面内的若干力偶所组成的力系，称为平面力偶系。其合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即

MM1M2MnMi（P12图1-17）

8．力的平移定理



(F,F

（2）力的平移定理的理解

力不能与力偶等效，也不能被力偶所平衡。但两者之间并非没有联系，这充分体现在力的平移定理中。

力的平移定理告诉我们：作用在刚体上的力，可以分解为同平面内的一个力（作用线与原力平行）和一个力偶（力偶矩等于原力对新作用点的矩）。

反之，一个力和一个力偶也可以合成为一个力。

课堂小结：



1．平面问题中，力矩为一代数量，MO(F)Fd。注意力臂d的含义。 2．明确在什么情况下力矩为零。

n

3．合力矩定理：MO(FR)MO(Fi)

i1

6．力偶的三要素：大小、转向、作用面方位。 7．等效力偶：两力偶的力偶矩矢相等。

'

8．平面力偶系中，力偶矩为一代数量，M(F,F)FdF'd。逆时针转向为正值，反之为负值。

9．力偶系的合成结果为一合力偶。 10．力的平移定理。

作业：P44/19,20

导入新课：回忆力的概念→物体间位移的限制→存在约束。

讲授新课：

§1-4 工程中常见的约束及构件的受力图

一、约束与约束力

1．柔性约束（P13图1-20，图1-21）

特点：约束力作用在柔索与物体的接触点上，方向沿着柔索的中心线，其指向背离受力体。

2．光滑面约束（P13图1-22）

特点：约束力作用在物体与支撑面的接触点上，方向沿接触点的公法线，并指向受力体。 3．光滑铰链约束



（1）固定铰链支座：简图：将FN分解为两个相互垂直



（2）中间铰（圆柱形销钉连接）：的分力FNx和FNy ，FN的简图：作用线必垂直于销钉轴线，并过销孔中心。



（3）空间球铰约束：将FN分解为三个相互垂直的分力FNx、FNy和FNz，



FN作用线过球型槽中心。

简图：

三者共同特点：作用线过定点，方向预先不能确定，通常用正交分量表

示。（FN大小、方向均取决于主动力）

（4）活动铰链支座：FN的作用线通过销孔中心，且垂直于支承面，但指向不能预先确定。简图： 4．固定端约束

特点：杆两端作用着等值、反向、共线的两个力，此二力作用线与杆两端连线重合，指向不能预先确定。简图：

三、构件的受力分析及受力图

1．受力分析：分析构件所受各力的方向或作用线方位的过程。 2．分离体：解除约束后的物体。

3．受力图：在分离体上画上全部主动力和约束力的简图。 4．画受力图步骤

（1）选取研究对象（或取分离体）；（2）画出主动力；（3）画出约束反力。四、单个物体的受力图

举例：P16例1-5~例1-8中单个物体受力图五、物体系统的受力图

1．内力：系统内物体之间的相互作用力。

2．外力：所取研究对象（分离体）以外的物体对它的作用力。 3．举例：P16例1-6~例1-8中物体系受力图

课堂小结：

（2）主动力和约束力的数目、方向或作用线要准确。

（3）先取所有作用力的方向或作用线均可确定的物体为研究对象，如二力杆等。然后再取其它物体或物体系进行受力分析。

（4）绘物体系受力图时，不要画内力，只需画出作用于物体系上的全部外力。

作业：P45/22，23

导入新课：回顾力的可传性原理：作用于刚体上的力，其作用点可沿它的作用线移到刚体上的任一点，并不改变力对刚体的作用。

力的平移定理：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。

讲授新课：

§1-5 平面力系

一、平面任意力系的概念、简化及简化结果的讨论

FRFi MOMO(Fi) （P18图1-34）

注意：主矢是一个与简化中心无关的自由矢量，主矩与简化中心的位置有关。主矢并不是原力系的合力，主矩也不是原力系的合力偶。

n3．主矢的大小和方向：FFx)(Fy) ta

'

α为FR作用线与x轴正方向的夹角。

5．举例练习：P19例1-9

课堂小结：

平面任意力系的简化结果。

作业：补充

新课导入：

1．平衡力系：与零力系等效的力系。

2．力系的平衡条件：平衡力系中各力所满足的条件。

3．平面任意力系向力的作用面内一点O的简化结果：该力系必与作用线过点O的一个力和一个力偶等效。

讲授新课：

二、平面任意力系的平衡方程 1．平衡条件

充分必要条件：力系的主矢为零矢量，且力系对力作用面内任一点的主矩也等于零。即： '

FRFi0 MOMO(F)0 2．平衡方程

（1）一矩式（基本形式）：

Fx0 Fy0



M(FO)0

平面任意力系平衡的充分必要条件的另一种形式是：力系中诸力在每个

坐标轴上投影的代数和分别为零，且力对力的作用面内任一点的矩的代数和也等于零。

（2）二矩式：条件：A、B两点连线不能垂直于x轴。



MA(F)0 MB(F)0 Fx0 （3）三矩式：条件：A、B、C三点不共线。



MA(F)0 MB(F)0 MC(F)0 三、平面特殊力系的平衡方程 1．平面汇交力系的平衡方程

FF

0

F

0

2．平面平行力系的平衡方程（1）一矩式

0



MO(F)0

（2）二矩式



MA(F)0

M(FB)0

条件：A、B两点连线不能平行于各力作用线。

3．平面力偶系的平衡方程

M0

四、平面力系平衡方程的应用 1．单个物体的平衡问题 P20~P21例1-10~1-12

课堂小结：

1．平面任意力系平衡的充分必要条件。 2．三种形式的平衡方程及其附加条件。

3．平面汇交力系平衡的充分必要条件和平衡方程。 4．平面力偶系平衡的充分必要条件和平衡方程。 5．解题步骤：

（1）选取研究对象或取分离体；（2）进行受力分析，画受力图；（3）选择坐标系，列平衡方程；（4）解平衡方程。

作业：P46/25

新课导入：

1．平面任意力系平衡的充分必要条件。 2．写出平面各种力系独立平衡方程的数目。 3．P22例1-13~1-15

讲授新课：（§1-5四、平面力系平衡方程的应用） 2．物体系统的平衡问题

（1）物体系：由若干个物体按照一定方式组合而成的系统。如：建筑结构，机构。

当物体系统平衡时，组成系统的每个物体也都是平衡的。

（3）静定与静不定系统若系统有n个物体组成，并受平面力系作用，则共有3n个独立平衡方程。可求出3n个未知数。

①静定系统：未知数与方程数相等。 ②静不定系统：未知数多于方程数。（P25图1-42）（4）解题原则

①所列平衡方程个数尽量少；

②每个方程中所含未知量的个数尽量少。（5）举例练习

P25~P26例1-16~1-17

课堂小结：

1．物体系概念。

2．研究物体系平衡问题的方法和原则。

（1）每取一次分离体，都要进行受力分析，列出平衡方程；（2）注意两个“尽量少”原则；

作业：P46/26c),29,31,33

新课导入：

1．当两个物体相互接触时，接触面内一般都存在摩擦。

2．如果物体间摩擦力较小，对所研究的问题不起决定性作用，则假设接触面是光滑的。（如前述各章）

3．当摩擦力是不可忽略的决定性因素时，应按有摩擦的问题进行分析和研究。（如人的行走、摩擦轮的传动、车床上用卡盘固定工件、汽车刹车等）

4．摩擦分类：滑动摩擦和滚动摩擦。

讲授新课：

§1-6 摩擦

一、滑动摩擦的概念

（P27图1-45）当两个相互接触的物体，沿接触面具有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面间就会产生彼此阻碍滑动的力，这种阻力称为滑动摩擦力。

只有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦；接触面间有相对滑动时的摩擦称为动滑动摩擦，简称动摩擦。 1．静（滑动）摩擦

（1）静摩擦力（Ff）：接触面间有相对滑动趋势，但仍然保持静止的两个物体间的摩擦力。

（2）临界摩擦力（FS）：静摩擦力的极限值。

（3）静摩擦定律(库仑定律)：临界摩擦力FS的方向与相对滑动趋势相反，

大小与接触面的法向反力FN的大小成正比，即FSSFN。于临界平衡状态。

（P27表1-1） S：静摩擦因数。

S与接触物体的材料和表面情况有关，与接触面积无关。

0FfFS

2.动滑动摩擦

（1）动摩擦力（Ff'）：接触面间有相对滑动的两物体间的摩擦力。



（2）动滑动摩擦定律：动摩擦力Ff'的大小与接触面法向反力FN的大小成正比，即Ff'FN（Ff'一般小于Ff，与主动力大小无关）

：动摩擦因数。（P27表1-1）与接触物体的材料和表面情况有关，与接触面积无关。

一般情况下，S。随物体相对速度的增加而减少。二、摩擦角与自锁



P29图1-46：主动力合力FQGFP 

全反力FRFNF



FR与接触面公法线夹角为



由于物块保持静止，故FQ与FR等值、反向、共线。



当物块处于临界平衡状态时，S。FP增加，FfFS，Ff和也增加，

S即为摩擦角。



只要FR的作用线在摩擦角S内，物体总是平衡的。根据静滑动摩擦定律：tanS

FSSFN

S FNFN

即：静摩擦因数等于摩擦角的正切。



2．摩擦锥：FR的作用线形成的以接触点为顶点的锥面。（因物块沿水平



面滑动的趋势是任意的，所以FR的作用线方位也是任意的）

3．自锁：主动力合力FQ的作用线在摩擦角之内，而使物体静止的现象。 4．自锁条件：α ≤ ρs。与主动力的大小无关，而只跟摩擦角有关的平衡条件。

物块在水平面保持静止状态的条件是：0≤α≤ρs。 5．摩擦自锁在工程中的应用

静摩擦系数的测定；螺旋千斤顶的自锁条件等。三、考虑摩擦时物体的平衡问题

P29例1-18~1-20

课堂小结： 1．滑动摩擦是两物体接触面间有相对滑动趋势或相对滑动时出现的阻碍运动的现象。

2．摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势或相对滑动速度的方向相反，沿接触面的切线方向。静止时：0

临界平衡：Ff =FS = μsFN 滑动时：Ff' =μFN

3．摩擦角是全反力与接触面公法线夹角的最大值。 tanSS



即当α ≤ ρs时，物体始终保持平衡。当α > ρs时，物体则不平衡。

作业：P48/ 34~37

复习旧课：

1．滑动摩擦的概念。

2．静滑动摩擦定律和动滑动摩擦定律。 3．静止状态：0

4．摩擦分类：滑动摩擦和滚动摩擦。

讲授新课：（§1-6 摩擦）四、滚动摩擦简介

1．物体滚动时的力学特征

P32图1-50：车轮与路面不是刚体，不是点接触，路面对轮的反力为分布力。将此分布力看成是作用在车轮对称面内的平面力系，并向A点简



化，得到一个作用于A点的力FR和一个力偶矩为Mf的力偶。把力沿法



MfFr，F增大，Mf也随之增大。当F=Fk（临界值）时，Mf=Mfmax（最大滚阻力偶矩）。

车轮保持静止的条件是：0

Mfmax的大小与滚子半径无关，而与接触面的法向反力FN的大小成正比，即MfmaxFN

δ：滚动摩擦因数。为常数。

课堂小结：

滚动摩擦是一种因滚子或接触面发生变形而产生阻碍滚动的现象。滚阻力偶矩就是接触面的约束反力对滚子的主矩M。当滚动未发生时，M

作业：P48/40

复习旧课：

力在平面直角坐标轴上的投影投影计算：

FxFcosFyFsin



α为F与x轴所夹的锐角。

已知投影求力矢：大小：FFF，方向：tan

讲授新课：

2x2y

FyFx

§1-7 空间力系及重心

一、力在空间直角坐标轴上的投影 1．一次投影法（P33图1-52）

FxFcosFyFcos FzFcos



α为F与x轴正向的夹角

β为F与y轴正向的夹角



γ为F与z轴正向的夹角



2．二次投影法（P33图1-53） FxFxycosFsincos

FyFxysinFsinsin FzFcos

3．应用：已知投影求力矢。大小：FFx2Fy2Fz2

方向：用角α、β和γ的方向余弦表示：

cos

FxF

cos

FyF

cos

4．举例练习：P33例1-21 二、力对轴之矩

1．定义：力对轴之矩是力使刚体绕某轴转动效应的度量。它等于力在垂直于轴的平面上的分力对轴与平面交点之矩。因此力对轴的矩为代数量。



（P34图1-55）Mz(F)MO(Fxy)Fxyd

当力的作用线与轴相交（d0）或平行（Fxy0）时，力对此轴的矩必为零。即：当力的作用线与轴共面时，力对此轴的矩为零。三、合力矩定理

1．定理：合力对某一轴之矩等于各分力对该轴之矩的代数和。



Mx(F)Mx(Fx)Mx(Fy)Mx(Fz)0zFyyFzyFzzFy



∴Mx(F)yFzzFy My(F)zFxxFz Mz(F)xFyyFx 2．应用举例：P35例1-22

课堂小结：

1．空间力的指向可用方向余弦表示。



2．力对轴之矩为代数量，其计算方法有二：（1）先求出力F在垂直于z

轴平面上的投影Fxy，然后按平面上的力对点的矩计算，即



Mz(F)MO(Fxy)Fxyd



（2）先求出力F在三直角坐标轴上的分力Fx、Fy、Fz的大小，然

后根据力对轴之矩的定理与合力矩定理计算，即



Mx(F)yFzzFy My(F)zFxxFz Mz(F)xFyyFx

作业：P49~P50/41~43

新课导入：

讲授新课：（§1-7 空间力系及重心）四、空间一般力系的平衡条件和平衡方程

1．平衡充要条件：力系的主矢为零矢量，且力系对空间某点o的主矩为零矢量。

'

FRFi0 MOMO(Fi)0 即：

FR'(Fx)2(Fy)2(Fz)20

MO

222

Mx(F)My(F)Mz(F)0

2．平衡方程

F

0

F

0

F

0



Mx(F)0 

My(F)0 

Mz(F)0

课堂小结：

1．空间任意力系的平衡条件和平衡方程。

2．空间约束的约束力最多是六个：沿三个坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动。

3．列平衡方程时，尽量把投影轴取在与多个未知力相垂直的方向，尽量选择与多个未知力相交或平行的轴为矩轴。

作业：P50/44,45

新课导入：

讲授新课：（§1-7 空间力系及重心）五、物体的重心和平面图形的形心 1．重心的概念

（1）重力：空间平行力系的合力。（2）重心：重力的作用点。 2．重心的坐标公式

根据力对轴的合力矩定理得出：

Gx

Gy

Gz

其中GGi

3．均质物体重心（形心）的坐标公式

（1）均质物体：单位体积质量（密度）ρ = 常量。则GiVig,GVg

xC

Vx

yC

Vy

zC

Vz

（2）形心：由物体的几何形状和尺寸所决定的物体的几何中心。对均质物体来说，形心和重心是重合的。（3）均质等厚薄板

取Oxy为板厚对称平面，则zi=0，zC=0。ViAi,VA

xC

Ax

Ay

zC0—平面图形形心坐标公式

（4）均质等截面细杆

xC

lx

yC

ly

zC

lz

举例练习：P40例1-25，例1-26

课堂小结：

1．重心坐标公式。

2．均质刚体的重心和形心是重合的。

3．确定物体重心和形心位置的方法有对称法、实验法和组合法。

作业：P50/ 47,48

机械工程基础(静力学)教案

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