状态空间平均法
首先要了解到在CCM模式下，变换器的工作模式分为开启状态，关闭状态。
开启状态，时间为[0, dTs]：
可以写出的状态方程为：
(t)=A1x(t)+B1u(t) (1) x
(t)=C1x(t)+E1u(t) (2) y
其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A1和B1分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C1和E1分别为输出矩阵和传递举证。
关闭状态，时间为[dTs, Ts]：
可以写出的状态方程为：
(t)=A2x(t)+B2u(t) (3) x
(t)=C2x(t)+E2u(t) (4) y
其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A2和B2分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C2和E2分别为输出矩阵和传递举证。由于此时为开关关闭状态，所以A2、B2、C2、E2的形式与上面(1)与(2)不一样。
为了消除纹波的影响需要在一个周期内对状态变量求平均，所以有
1t+Ts〈x(t)〉Ts=⎰x(τ)dτ (5) Tst
同样的方法有
1t+Tsu(τ)dτ (6) ⎰tTs
1t+Ts〈y(t)〉Ts=⎰y(τ)dτ (7) Tst〈u(t)〉Ts=
因此可以对平均状态变量对时间求导数：
1t+Ts (τ)dτ (8) x⎰tTs
t+Ts1t+Tsx(τ)1t+Ts1 (τ)dτ=⎰(x)dτ=⎰dx(τ)=[x(t+Ts)-x(t)] (9) 同时⎰tTstdτTstTs (t)〉Ts=〈x
因此可以得到等式：
(t)〉Ts=〈x1t+Ts (τ)dτ (10) x⎰tTs
将(1)(3)代入(10)，可以得到：
(t)〉Ts=〈xt+Ts1t+dTs (τ)dτ+⎰ (τ)dτ) (⎰xxtt+dTsTs
t+Ts1t+dTs=[Ax(t)+Bu(t)]dτ+11⎰t+dTs[A2x(t)+B2u(t)]dτ (11) Ts⎰t{}
状态变量与输入变量在一个周期内的平均值可以代替瞬时值，并且近似认为平均值在一个开关周期内维持恒值。则可以视〈u(t)〉Ts与〈x(t)〉Ts在一个开关周期内为常量。
1
Ts
1 =Ts (t)〉Ts=〈x{⎰{⎰tt+dTstt+dTs[A1x(τ)+B1u(τ)]dτ+⎰t+Tst+dTs[A2x(τ)+B2u(τ)]dτ t+Tst+dTs}[A1〈x(τ)〉Ts+B1〈u(τ)〉Ts]dτ+⎰[A2〈x(τ)〉Ts+B2〈u(τ)〉Ts]dτ (12) }整理可以得到：
(t)〉Ts=[d(t)A1+d'(t)A2]〈x(t)〉Ts+[d(t)B1+d'(t)B2]〈u(t)〉Ts (13) 〈x
这就是CCM模式下的平均变量状态方程一般公式。
用同样的方法可以求得
〈y (t)〉Ts=[d(t)C1+d'(t)C2]〈x(t)〉Ts+[d(t)E1+d'(t)E2]〈u(t)〉Ts 分解平均变量为：
状态变量：〈x(t)〉Ts=X+xˆ(t)
输入变量：〈u(t)〉Ts=U+uˆ(t)
输出变量：〈y(t)〉Ts=Y+yˆ(t)
X、U、Y为直流变量
xˆ(t)uˆ(t)yˆ(t)为分离出来的小信号向量
再对控制量d(t)进行分解可以得到
d(t)=D+dˆ(t)，d'(t)=1-d(t)=D'-dˆ(t)
将〈x(t)〉Ts=X+xˆ(t)〈u(t)〉Ts=U+uˆ(t)〈y(t)〉Ts=Y+yˆ(t)代入(13)(14)
然后化简可以得到
X +x ˆ(t)=(DA1+D'A2)X+(DB1+D'B2)U
+(DA1+D'A2)xˆ(t)+(DB1+D'B2)uˆ(t)
+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dˆ(t)
+(A1-A2)xˆ(t)dˆ(t)+(B1-B2)uˆ(t)dˆ(t)
Y+yˆ(t)=(DC1+D'C2)X+(DE1+D'E2)U
+(DC1+D'C2)xˆ(t)+(DE1+D'E2)uˆ(t)
+[(C
1-C2)X+(E1-E2)U]dˆ(t)
+(C1-C2)xˆ(t)dˆ(t)+(E1-E2)uˆ(t)dˆ(t)
令A=DA1+D'A2 B=DB1+D'B2 C=DC1+D'C2 D=DE1+D'E2
代入上面等式可以得到： (14)
+xˆ(t)=CX+EU+Cxˆ(t)+Euˆ(t)ˆ(t)=AX+BU+Axˆ(t)+Buˆ(t)Y+yX
ˆ(t)ˆ(t) +[(C1-C2)X+(E1-E2)U]d +[(A1-A2)X+(B1-B2)U]d
ˆ(t)+(E-E)uˆ(t)ˆ(t)+(B-B)uˆ(t)ˆ(t)dˆ(t)dˆ(t)dˆ(t)d+(C1-C2)x+(A1-A2)x1212
此时可以看出两等式的左右边直流与交流应该是相等的，则有：
=AX+BU Y=CX+EU X
=0 因为X为直流分量，所以X
交流分量可以得到：
ˆ(t)ˆ(t)=Axˆ(t)+Buˆ(t)+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dx ˆˆˆ(t)d(t)+(B-B)uˆ(t)d(t)+(A-A)x1212
ˆ(t)ˆ(t)=Cxˆ(t)+Euˆ(t)+[(C1-C2)X+(E1-E2)U]dy ˆ(t)+(E-E)uˆ(t)ˆ(t)dˆ(t)d+(C-C)x1212
因为上面式子中含有信号积，所以上面式子就不是线性的。我们要求的是线性的等式。有因小信号的乘积的幅值是远远小于等式中其他项的，因此可以去掉小信号乘积，此时就可以到到线性的小信号等式了。
ˆ(t) ˆ(t)=Axˆ(t)+Buˆ(t)+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dx
ˆ(t) ˆ(t)=Cxˆ(t)+Euˆ(t)+[(C1-C2)X+(E1-E2)U]dy
下面用状态空间法来解释BUCK电路：
对于BUCK电路，可以去电感电流i(t)和电容电压v(t)作为状态变量，输入电压vg为输入变量，输出电压v0与输入电流Ig为输出变量。
在开关导通状态下，[0, dTs]时。
L
di(t)di(t)11=vg(t)-v0(t)=vg(t)-v0(t) dtdtLL
dv(t)v(t)dv(t)11=i(t)-=i(t)-v(t) dtRdtCCRC
ig=i(t)，v(t)=v(t)
根据上面两式子可以得到：
⎡ (t)⎤⎢0⎡i⎢ ⎥=⎢1⎣v(t)⎦⎢⎣C1⎤⎡10⎡⎤i(t)⎢⎥⎡⎤L+⎢L⎥vg(t)A1=⎢⎥⎢⎥11⎣v(t)⎦⎢⎥⎢⎥-⎣0⎦RC⎦⎣C-[]1⎤⎡1⎤L⎥B=⎢⎥ 1⎥1⎢L⎥⎥-⎣0⎦RC⎦-
⎡ig(t)⎤⎡10⎤⎡i(t)⎤⎡0⎤⎡10⎤⎡0⎤ =+v(t)C=E=1⎢01⎥1⎢0⎥ ⎢v(t)⎥⎢01⎥⎢v(t)⎥⎢0⎥g⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]
在开关导通状态下，[dTs, Ts]时。
L
di(t)di(t)1=0-v(t)=-v(t) dtdtL
dv(t)v(t)dv(t)11=i(t)-=i(t)-v(t) dtRdtCCRC
ig=0，v(t)=v(t)
⎡ ⎡i(t)⎤⎢0
⎢ ⎥=⎢1⎣v(t)⎦⎢⎣C1⎤⎡0i(t)0⎢⎥⎡⎤⎡⎤L+⎢⎥vg(t) A2=⎢⎥11⎥⎢⎢⎥⎣v(t)⎦⎣0⎦-RC⎦⎣C-[]1⎤L⎥ B=⎡0⎤ ⎥1⎥2⎢0⎣⎦⎥-RC⎦-⎡ig(t)⎤⎡00⎤⎡i(t)⎤⎡0⎤⎡00⎤⎡0⎤ =+v(t)C=E=22⎢01⎥⎢0⎥ ⎢v(t)⎥⎢01⎥⎢v(t)⎥⎢0⎥g⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]
⎡⎢0
A=DA1+D'A2=⎢1⎢⎣C1⎤⎡D⎤⎥L，B=DB+D'B=⎢⎥ 12L1⎥⎢⎥⎥-⎣0⎦RC⎦-
⎢D0⎥⎡0⎤C=DC1+D'C2=⎢⎥，E=DE1+D'E2=⎢0⎥ 01⎣⎦⎣⎦
⎡⎡I⎤⎢0
⎢V⎥=⎢1⎣⎦⎢⎣C
2⎡D⎡Ig⎤⎢⎤
Vg ⎢V⎥=⎢L⎥
⎣⎦⎣0⎥⎦1⎤-⎥L1⎥⎥-RC⎦-1⎡D⎤⎡D⎤⎢L⎥Vg=⎢L⎥Vg ⎢0⎥⎢0⎥⎣⎦⎣⎦
⎡ ⎡iˆ(t)⎤⎢0
⎢⎥=⎢1 ˆ(t)⎥⎢⎣v⎦⎢⎣C⎧⎛⎡1⎤D-⎥⎡i ⎢0⎪ˆ(t)⎤⎡⎤⎪Lˆg(t)+⎨ ⎢⎥+⎢L⎥v1⎥⎢ˆ(t)⎦⎢0⎥ ⎢1⎪⎥⎣v-⎣⎦ ⎪RC⎦⎩⎝⎣C[]1⎤⎡-⎥⎢0L-1⎥⎢1⎥⎢-RC⎦⎣C⎫1⎤⎫⎛⎫1-⎥⎪⎡I⎤⎡⎤⎡0⎤⎪ˆ ⎢⎥⎪⎪L⎪+-V⎥ L⎢0⎥⎪g⎬d(t)1⎥⎪⎢V⎢0⎥⎣⎦⎪⎪⎥⎪⎣⎦ -⎣⎦⎝⎭⎪RC⎦⎭⎭
⎧ˆ(t)⎤⎡D0⎤⎡iˆ(t)⎤⎡0⎤⎡⎡10⎤⎤⎡00⎤⎫⎡I⎤⎛⎡0⎤⎡0⎤⎫⎫⎡i⎪⎛⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ=+v(t)+-+-V⎨ ⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢0⎥g⎥⎥⎢01⎥⎪⎢V⎥ ⎢0⎥⎢0⎥⎪g⎬d(t) 0101ˆ(t)⎦⎣ˆ(t)⎦⎣⎦⎪⎦⎣v⎦⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎪⎣v⎩⎝⎣⎣⎭[]
状态空间平均法
首先要了解到在CCM模式下，变换器的工作模式分为开启状态，关闭状态。
开启状态，时间为[0, dTs]：
可以写出的状态方程为：
(t)=A1x(t)+B1u(t) (1) x
(t)=C1x(t)+E1u(t) (2) y
其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A1和B1分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C1和E1分别为输出矩阵和传递举证。
关闭状态，时间为[dTs, Ts]：
可以写出的状态方程为：
(t)=A2x(t)+B2u(t) (3) x
(t)=C2x(t)+E2u(t) (4) y
其中：x(t)为状态向量；u(t)为输入向量；A2和B2分别为状态矩阵与输入矩阵；y(t)为输出变量；C2和E2分别为输出矩阵和传递举证。由于此时为开关关闭状态，所以A2、B2、C2、E2的形式与上面(1)与(2)不一样。
为了消除纹波的影响需要在一个周期内对状态变量求平均，所以有
1t+Ts〈x(t)〉Ts=⎰x(τ)dτ (5) Tst
同样的方法有
1t+Tsu(τ)dτ (6) ⎰tTs
1t+Ts〈y(t)〉Ts=⎰y(τ)dτ (7) Tst〈u(t)〉Ts=
因此可以对平均状态变量对时间求导数：
1t+Ts (τ)dτ (8) x⎰tTs
t+Ts1t+Tsx(τ)1t+Ts1 (τ)dτ=⎰(x)dτ=⎰dx(τ)=[x(t+Ts)-x(t)] (9) 同时⎰tTstdτTstTs (t)〉Ts=〈x
因此可以得到等式：
(t)〉Ts=〈x1t+Ts (τ)dτ (10) x⎰tTs
将(1)(3)代入(10)，可以得到：
(t)〉Ts=〈xt+Ts1t+dTs (τ)dτ+⎰ (τ)dτ) (⎰xxtt+dTsTs
t+Ts1t+dTs=[Ax(t)+Bu(t)]dτ+11⎰t+dTs[A2x(t)+B2u(t)]dτ (11) Ts⎰t{}
状态变量与输入变量在一个周期内的平均值可以代替瞬时值，并且近似认为平均值在一个开关周期内维持恒值。则可以视〈u(t)〉Ts与〈x(t)〉Ts在一个开关周期内为常量。
1
Ts
1 =Ts (t)〉Ts=〈x{⎰{⎰tt+dTstt+dTs[A1x(τ)+B1u(τ)]dτ+⎰t+Tst+dTs[A2x(τ)+B2u(τ)]dτ t+Tst+dTs}[A1〈x(τ)〉Ts+B1〈u(τ)〉Ts]dτ+⎰[A2〈x(τ)〉Ts+B2〈u(τ)〉Ts]dτ (12) }整理可以得到：
(t)〉Ts=[d(t)A1+d'(t)A2]〈x(t)〉Ts+[d(t)B1+d'(t)B2]〈u(t)〉Ts (13) 〈x
这就是CCM模式下的平均变量状态方程一般公式。
用同样的方法可以求得
〈y (t)〉Ts=[d(t)C1+d'(t)C2]〈x(t)〉Ts+[d(t)E1+d'(t)E2]〈u(t)〉Ts 分解平均变量为：
状态变量：〈x(t)〉Ts=X+xˆ(t)
输入变量：〈u(t)〉Ts=U+uˆ(t)
输出变量：〈y(t)〉Ts=Y+yˆ(t)
X、U、Y为直流变量
xˆ(t)uˆ(t)yˆ(t)为分离出来的小信号向量
再对控制量d(t)进行分解可以得到
d(t)=D+dˆ(t)，d'(t)=1-d(t)=D'-dˆ(t)
将〈x(t)〉Ts=X+xˆ(t)〈u(t)〉Ts=U+uˆ(t)〈y(t)〉Ts=Y+yˆ(t)代入(13)(14)
然后化简可以得到
X +x ˆ(t)=(DA1+D'A2)X+(DB1+D'B2)U
+(DA1+D'A2)xˆ(t)+(DB1+D'B2)uˆ(t)
+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dˆ(t)
+(A1-A2)xˆ(t)dˆ(t)+(B1-B2)uˆ(t)dˆ(t)
Y+yˆ(t)=(DC1+D'C2)X+(DE1+D'E2)U
+(DC1+D'C2)xˆ(t)+(DE1+D'E2)uˆ(t)
+[(C
1-C2)X+(E1-E2)U]dˆ(t)
+(C1-C2)xˆ(t)dˆ(t)+(E1-E2)uˆ(t)dˆ(t)
令A=DA1+D'A2 B=DB1+D'B2 C=DC1+D'C2 D=DE1+D'E2
代入上面等式可以得到： (14)
+xˆ(t)=CX+EU+Cxˆ(t)+Euˆ(t)ˆ(t)=AX+BU+Axˆ(t)+Buˆ(t)Y+yX
ˆ(t)ˆ(t) +[(C1-C2)X+(E1-E2)U]d +[(A1-A2)X+(B1-B2)U]d
ˆ(t)+(E-E)uˆ(t)ˆ(t)+(B-B)uˆ(t)ˆ(t)dˆ(t)dˆ(t)dˆ(t)d+(C1-C2)x+(A1-A2)x1212
此时可以看出两等式的左右边直流与交流应该是相等的，则有：
=AX+BU Y=CX+EU X
=0 因为X为直流分量，所以X
交流分量可以得到：
ˆ(t)ˆ(t)=Axˆ(t)+Buˆ(t)+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dx ˆˆˆ(t)d(t)+(B-B)uˆ(t)d(t)+(A-A)x1212
ˆ(t)ˆ(t)=Cxˆ(t)+Euˆ(t)+[(C1-C2)X+(E1-E2)U]dy ˆ(t)+(E-E)uˆ(t)ˆ(t)dˆ(t)d+(C-C)x1212
因为上面式子中含有信号积，所以上面式子就不是线性的。我们要求的是线性的等式。有因小信号的乘积的幅值是远远小于等式中其他项的，因此可以去掉小信号乘积，此时就可以到到线性的小信号等式了。
ˆ(t) ˆ(t)=Axˆ(t)+Buˆ(t)+[(A1-A2)X+(B1-B2)U]dx
ˆ(t) ˆ(t)=Cxˆ(t)+Euˆ(t)+[(C1-C2)X+(E1-E2)U]dy
下面用状态空间法来解释BUCK电路：
对于BUCK电路，可以去电感电流i(t)和电容电压v(t)作为状态变量，输入电压vg为输入变量，输出电压v0与输入电流Ig为输出变量。
在开关导通状态下，[0, dTs]时。
L
di(t)di(t)11=vg(t)-v0(t)=vg(t)-v0(t) dtdtLL
dv(t)v(t)dv(t)11=i(t)-=i(t)-v(t) dtRdtCCRC
ig=i(t)，v(t)=v(t)
根据上面两式子可以得到：
⎡ (t)⎤⎢0⎡i⎢ ⎥=⎢1⎣v(t)⎦⎢⎣C1⎤⎡10⎡⎤i(t)⎢⎥⎡⎤L+⎢L⎥vg(t)A1=⎢⎥⎢⎥11⎣v(t)⎦⎢⎥⎢⎥-⎣0⎦RC⎦⎣C-[]1⎤⎡1⎤L⎥B=⎢⎥ 1⎥1⎢L⎥⎥-⎣0⎦RC⎦-
⎡ig(t)⎤⎡10⎤⎡i(t)⎤⎡0⎤⎡10⎤⎡0⎤ =+v(t)C=E=1⎢01⎥1⎢0⎥ ⎢v(t)⎥⎢01⎥⎢v(t)⎥⎢0⎥g⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]
在开关导通状态下，[dTs, Ts]时。
L
di(t)di(t)1=0-v(t)=-v(t) dtdtL
dv(t)v(t)dv(t)11=i(t)-=i(t)-v(t) dtRdtCCRC
ig=0，v(t)=v(t)
⎡ ⎡i(t)⎤⎢0
⎢ ⎥=⎢1⎣v(t)⎦⎢⎣C1⎤⎡0i(t)0⎢⎥⎡⎤⎡⎤L+⎢⎥vg(t) A2=⎢⎥11⎥⎢⎢⎥⎣v(t)⎦⎣0⎦-RC⎦⎣C-[]1⎤L⎥ B=⎡0⎤ ⎥1⎥2⎢0⎣⎦⎥-RC⎦-⎡ig(t)⎤⎡00⎤⎡i(t)⎤⎡0⎤⎡00⎤⎡0⎤ =+v(t)C=E=22⎢01⎥⎢0⎥ ⎢v(t)⎥⎢01⎥⎢v(t)⎥⎢0⎥g⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]
⎡⎢0
A=DA1+D'A2=⎢1⎢⎣C1⎤⎡D⎤⎥L，B=DB+D'B=⎢⎥ 12L1⎥⎢⎥⎥-⎣0⎦RC⎦-
⎢D0⎥⎡0⎤C=DC1+D'C2=⎢⎥，E=DE1+D'E2=⎢0⎥ 01⎣⎦⎣⎦
⎡⎡I⎤⎢0
⎢V⎥=⎢1⎣⎦⎢⎣C
2⎡D⎡Ig⎤⎢⎤
Vg ⎢V⎥=⎢L⎥
⎣⎦⎣0⎥⎦1⎤-⎥L1⎥⎥-RC⎦-1⎡D⎤⎡D⎤⎢L⎥Vg=⎢L⎥Vg ⎢0⎥⎢0⎥⎣⎦⎣⎦
⎡ ⎡iˆ(t)⎤⎢0
⎢⎥=⎢1 ˆ(t)⎥⎢⎣v⎦⎢⎣C⎧⎛⎡1⎤D-⎥⎡i ⎢0⎪ˆ(t)⎤⎡⎤⎪Lˆg(t)+⎨ ⎢⎥+⎢L⎥v1⎥⎢ˆ(t)⎦⎢0⎥ ⎢1⎪⎥⎣v-⎣⎦ ⎪RC⎦⎩⎝⎣C[]1⎤⎡-⎥⎢0L-1⎥⎢1⎥⎢-RC⎦⎣C⎫1⎤⎫⎛⎫1-⎥⎪⎡I⎤⎡⎤⎡0⎤⎪ˆ ⎢⎥⎪⎪L⎪+-V⎥ L⎢0⎥⎪g⎬d(t)1⎥⎪⎢V⎢0⎥⎣⎦⎪⎪⎥⎪⎣⎦ -⎣⎦⎝⎭⎪RC⎦⎭⎭
⎧ˆ(t)⎤⎡D0⎤⎡iˆ(t)⎤⎡0⎤⎡⎡10⎤⎤⎡00⎤⎫⎡I⎤⎛⎡0⎤⎡0⎤⎫⎫⎡i⎪⎛⎪ˆ ⎪ ⎪ˆ=+v(t)+-+-V⎨ ⎢⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢0⎥g⎥⎥⎢01⎥⎪⎢V⎥ ⎢0⎥⎢0⎥⎪g⎬d(t) 0101ˆ(t)⎦⎣ˆ(t)⎦⎣⎦⎪⎦⎣v⎦⎦⎣⎦⎭⎣⎦⎝⎣⎦⎣⎦⎭⎪⎣v⎩⎝⎣⎣⎭[]