与圆的有关位置的训练
【知识要点】
1. 点与圆的位置关系有三种: 点在圆外，点在圆上，点在圆外
设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP= d ，
点P 在圆外←→ d ＞r 点P 在圆上←→ d = r 点P 在圆内←→ d ＜ r
2．直线与圆的位置关系有三种：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 圆心与直线的距离来判断直线与的关系：
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d
直线l 与⊙O 相交←→ d ＜ r 直线l 与⊙O 相切←→ d = r 直线l 与⊙O 相交←→ d ＞ r
3．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4. 切线的性质定理及推论：
定理：圆的切线垂直过切点的半径。
推论:（1）过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（2）过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5．定义切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做切线长。
6．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
1、直角三角形
直角三角形的外接圆的半径直角三角形的斜边一半 、直角三角形内切圆的半径
B
在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c
可证四边形ODCE 为正方形. 设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c, ∴r=
【基础知识与技能的训练】
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．下列说法正确的是（ ）
A ．与圆有公共点的直线是圆的切线． B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．（2015广东梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°
B
C
4．（2015泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为 A. 65° B. 130° C. 50 D. 100°
5．（2015嘉兴）. 如图，
中，AB=5，BC=3，AC=4，
以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（ ） A 2.3 B 2.4 C 2.5 D 2.6
A
B
心与顶点C 的距离为（ ）．
C
6．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它外
A ．2.5 B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm
7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ ）
A ．
5
25
B ．
2
a +b -c a +b -c
, 即△ABC 内切圆⊙O 的半径为 22
1
C
D ．3
8．如图，线段AB 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（ ） A 50° B 40° C 60° D 70°
15．已知如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），求P 点坐标
16．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为。
9．在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是BE 弧的中点，则下列结论不成立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC=BC
C ．∠DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE
17．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，①AD ⊥BC ②∠EDA =∠B
③OA =
1
AC ④DE 是⊙O 的切线， 则上述结论正确的是
二、填空题．
11．如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为
12．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与
⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB=30°，则∠B=___
B
，⊙O 的半径为1，点P 是
18．在Rt △AOB 中，OA=OB=3则切线PQ 的最小值为 ．
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），
三、解答题：
19．如图所示, 已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长. 解：
13．（2015江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°， 则∠CDA= °．
14． 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于M 点．若OA ＝a ，PM ＝a ，那么△PMB 的周长的_______．
20.. 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说明理由.
2
21．（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°， ∠CBA =50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边23．（2015•黄石）如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点． AC 上，且满足ED =EA ． （1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．
22．（2015•毕节市）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC =FC ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知圆的半径R =5，EF =3，求DF 的长．
（1）求BC 的长；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．
24．（黔西南州）如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C.
（1）求证：直线PB 与⊙O 相切
（2）PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC=4. 求弦CE 的长．
3
25．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，
弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线． ：（1）连接OB ， ∵弦AB ⊥OC ，
劣弧AB 的度数为120°，
∴弧BC 与弧AC 的度数为60°。 ∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形。 ∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。 ∴∠CBP=∠CPB 。
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB ⊥BP 。 ∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线。
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接OC ，如图 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°
又∵∠A=∠ACO ，∠DCB=∠A ∴∠ACO=∠DCB ∴∠OCD=90° ∴CD 是⊙O 的切线 （2）∵∠D=30° ∴∠COB=60° ∴△OCB 是等边三角形 ∴∠BCD=30° ∴BD=BC=BO=10 即⊙O 的半径为10
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
∴∠DAT=∠OAT ，
∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ， 又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ， ∴CT 为⊙O 的切线；
（2）解：过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点， 又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ，
∴四边形OTCE 为矩形，（7分）
∵CT=
，，∴OE=
，
又∵OA=2，
∴在Rt △OAE 中，
，
∴AD=2AE=2．
25. （2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC=cm． 证明：
∵AB 是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°． ∵∠F=15°， ∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°． 又∵在△ABC 中
，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=45°， ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB ． 又∵AB是直径，
∴直线FB 是⊙O的切线；
26、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
：（1）证明：如图，连接OC ，
∵C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE 。 ∵CG ∥AE ，∴CG ⊥OC 。
∵OC 是⊙O 的半径，∴CG 是⊙O 的切线。
解答：（1）证明：连接OT ， ∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA ， 又∵AT 平分∠BAD ，
4
（2）证明：连接AC 、BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° 。∴∠2+∠BCD=90°。
∵CD ⊥AB ，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。 ∵AC 弧=CE弧，∴∠1=∠B 。 ∴∠1=∠2。∴AF=CF。 （3）在Rt △ADF 中，
∠DAF=30°，FA=FC=2，∴
DF=AF=1。 ∴AD=
DF=
。∵AF ∥CG ，
∴DA ：AG=DF：CF ，即∴AG=2
：AG=1：2。
附加题
25．（2015•衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由．
5
26．（2015•昆明）如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．
（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线； （2）若CD =10，EB =5，求⊙O 的直径． 解：（1）如图1，连接OE ， ∵OA =OE ，
∴∠EAO =∠AEO ， ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO =∠FAE ， ∴∠FAE =∠AEO ， ∴AF ∥OE ，
∴∠AFE +∠OEF =180°， ∵AF ⊥GF ，
∴∠AFE =∠OEF =90°， ∴OE ⊥GF ，
∵点E 在圆上，OE 是半径， ∴GF 是⊙O 的切线．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，CD =10， ∴AB =CD =10，∠ABE =90°， 设OA =OE =x ，则OB =10﹣x ，
在Rt △OBE 中，∠OBE =90°，BE =5， 由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2，
222
∴（10﹣x ）+5=x ， ∴
，
，
∴⊙O 的直径为
．
27．（2015•常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC =60°，求AD 的长． 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO =CO ， ∴OF ∥AB ，
∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AE ， ∵OF ∥AB ， ∴OF ⊥CE ，
∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC =FE ，OE =OC ，
∴∠FEC =∠FCE ，∠0EC =∠0CE ， ∵∠ACB =90°，
即：∠0CE +∠FCE =90°， ∴∠0EC +∠FEC =90°， 即：∠FEO =90°， ∴FE 为⊙O 的切线；
（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO =CO =EO =3，
∵∠EAC =60°，OA =OE ， ∴∠EOA =60°，
∴∠COD =∠EOA =60°，
∵在Rt △OCD 中，∠COD =60°，OC =3， ∴CD
=，
∵在Rt △ACD 中，∠ACD =90°， CD
=，AC =6， ∴AD
=．
7. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
1、直角三角形
直角三角形的外接圆的半径直角三角形的斜边一半 、直角三角形内切圆的半径
B
在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c
可证四边形ODCE 为正方形. 设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c, ∴r=
a +b -c a +b -c
, 即△ABC 内切圆⊙O 的半径为 22
与圆的有关位置的训练
【知识要点】
2. 点与圆的位置关系有三种: 点在圆外，点在圆上，点在圆外
设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP= d ，
点P 在圆外←→ d ＞r
点P 在圆上←→ d = r 点P 在圆内←→ d ＜ r
2．直线与圆的位置关系有三种：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 圆心与直线的距离来判断直线与的关系：
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d
直线l 与⊙O 相交←→ d ＜ r 直线l 与⊙O 相切←→ d = r 直线l 与⊙O 相交←→ d ＞ r
3．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4. 切线的性质定理及推论：
定理：圆的切线垂直过切点的半径。
推论:（1）过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（2）过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5．定义切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做切线长。
6．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6
【基础知识与技能的训练】
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ B ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列说法正确的是（ B ）
A ．与圆有公共点的直线是圆的切线． B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．（2015广东梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（D ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°
B
C
4．（2015泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为( C ) A. 65° B. 130° C. 50 D. 100°
5．（2015嘉兴）. 如图，
中，AB=5，BC=3，AC=4，
以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（ B ） A 2.3 B 2.4 C 2.5 D 2.6
A
6．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它外心与顶点C 的距离为（ B ）．
A ．2.5 B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm
7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ A ）
A
．
14． 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于M 点．若OA ＝a ，PM ＝a ，那么△PMB 的周长的__a_+2a____．
15．已知如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），求P 点坐标 ( 3,4 )
16．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 。 解：连接OD ，∵DF 为圆O 的切线，∴OD ⊥DF ， ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OC，∴△OCD 为等边三角形， ∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°， ∴OD ∥AB ，又O 为BC 的中点，
∴D 为AC 的中点，即OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AB ，∴DF ⊥AB ，在Rt △AFD 中， ∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB-AF=8-2=6，在Rt △BFG 中，∠BFG=30°， ∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3 √3
17．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，①AD ⊥BC ②∠EDA =∠B
③OA =
1
AC 2
525
B ．
2
C D ．3
8．如图，线段AB 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（B ） A 40° B 50° C 60° D 70°
9．在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是BE 弧的中点，则下列结论不成立的是（ D ）
A ．OC ∥AE B ．EC=BC C ∠DAE=∠ABE D．AC ⊥OE
④DE 是⊙O 的切线， 则上述结论正确的
B
，⊙O 的半径为1，点P 是
二、填空题．
11．如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm，
12．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB=30°，则∠B=_60°__ 13．（2015江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°， 则∠CDA= 125° °．
7
是 ①②③④
若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为 2.5
18．在Rt △AOB 中，OA=OB=3则切线PQ 的最小值为 ．
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），
三、解答题：
19．如图所示, 已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长. 解：
20.. 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说∴∠CAF =∠DFO ，
而OA =OD ，
∴∠OAD =∠ODF ， ∴∠OAD +∠CAF =90°， 即∠OAC =90°， ∴OA ⊥AC ，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵圆的半径R =5，EF =3， 明理由. 解：△AED 为直角三角形 理由：连结BE ∵AB 是直径
∴∠BEA=90°∴∠B+∠BAE=90° 又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAD ∵切于点E ∴∠AED=∠B
∴∠AED+∠EAD=90°
∴是直角三角形。
21．（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，∠CBA =50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED =EA ． （1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线ED 与⊙O 相切． （1）解；∵∠DBA =50°， ∴∠DOA =2∠DBA =100°， （2）证明：连接OE ．
在△EAO 与△EDO 中，，
∴△EAO ≌△EDO ， ∴∠EDO =∠EAO ， ∵∠BAC =90°， ∴∠EDO =90°， ∴DE 与⊙O 相切．
22．（2015•毕节市）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC =FC ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知圆的半径R =5，EF =3，求DF 的长．
解：（1）证明：连结OA 、OD ，如图， ∵D 为BE 的下半圆弧的中点， ∴OD ⊥BE ，
∴∠D +∠DFO =90°， ∵AC =FC ，
∴∠CAF =∠CFA ， ∵∠CFA =∠DFO ，
∴OF =2，
在Rt △ODF 中，∵OD =5，OF =2， ∴DF =
=
．
23．（2015•黄石）如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点． （1）求BC 的长；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．
证明：（1）解：连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°，
又∵∠ABC =30°，AB =4， ∴BD =2，
∵D 是BC 的中点， ∴BC =2BD =4；
（2）证明：连接OD ．
∵D 是BC 的中点，O 是AB 的中点， ∴DO 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ，则∠EDO =∠CED 又∵DE ⊥AC ，
∴∠CED =90°，∠EDO =∠CED =90° ∴DE 是⊙O 的切线．
24．（黔西南州）如图9所示，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C.
（1）求证：直线PB 与⊙O 相切
（2）PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC=4. 求弦CE 的长．
解：（1）证明:过点O 作OD ⊥PB, 连接OC. ∵AP 与⊙O 相切, ∴OC ⊥AP. 又∵OP 平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB 是⊙O 的切线.
（2）解:过C 作CF ⊥PE 于点F.
8
22
在Rt △OCP 中，OP=OP +CP =5
∵
S ∆OCP =
11
OC ⋅CP =OP ⋅CF 22
∴
CF =
12
5
在Rt △COF
中，∴FE =3+
OF 95
924=55
CE =2+EF 2=
5
在Rt △CFE 中，
25．（2015•衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由． 解：（1）连接AC ，
∵点CD 是半圆O 的三等分点，
（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线； （2）若CD =10，EB =5，求⊙O 的直径． 解：（1）如图1，连接OE ， ∵OA =OE ，
∴∠EAO =∠AEO ， ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO =∠FAE ， ∴∠FAE =∠AEO ， ∴AF ∥OE ，
∴∠AFE +∠OEF =180°， ∵AF ⊥GF ，
∴∠AFE =∠OEF =90°， ∴OE ⊥GF ，
∵点E 在圆上，OE 是半径， ∴GF 是⊙O 的切线．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，CD =10， ∴AB =CD =10，∠ABE =90°， 设OA =OE =x ，则OB =10﹣x ，
在Rt △OBE 中，∠OBE =90°，BE =5， 由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2，
222
∴（10﹣x ）+5=x ， ∴
，
，
∴⊙O 的直径为
．
∴=
=，
∴∠DAC =∠CAB ， ∵OA =OC ，
∴∠CAB =∠OCA ， ∴∠DAC =∠OCA ，
∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行） ∴∠OCE =∠E ， ∵CE ⊥AD ， ∴∠OCE =90°， ∴OC ⊥CE ，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）四边形AOCD 为菱形． 理由是：
∵
=
，
∴∠DCA =∠CAB ， ∴CD ∥OA ， 又∵AE ∥OC ，
∴四边形AOCD 是平行四边形， ∵OA =OC ，
∴平行四边形AOCD 是菱形．
附加题
25．（2015•昆明）如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．
9
（2015•常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC =60°，求AD 的长． 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO =CO ， ∴OF ∥AB ，
∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AE ， ∵OF ∥AB ， ∴OF ⊥CE ，
∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC =FE ，OE =OC ，
∴∠FEC =∠FCE ，∠0EC =∠0CE ， ∵∠ACB =90°，
即：∠0CE +∠FCE =90°， ∴∠0EC +∠FEC =90°， 即：∠FEO =90°， ∴FE 为⊙O 的切线；
（2）如图2，∵⊙O 的半径为3，
∴AO =CO =EO =3，
∵∠EAC =60°，OA =OE ， ∴∠EOA =60°，
∴∠COD =∠EOA =60°，
∵在Rt △OCD 中，∠COD =60°，OC =3， ∴CD
=，
∵在Rt △ACD 中，∠ACD =90°， CD
=，AC =6， ∴AD
=．
22．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线．
10
25、（2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC=cm．
四、附加题
27．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，
B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=(1)证明：连结OA 、OD ∵D 为下半圆BE 的中点 ∴∠BOD=∠DOF=90° ∴∠D+∠OFD=90°
，求⊙O 的半径r ．
26. 如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．
（1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
∵AC=FC，OA=OD
∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ∵∠CFA=∠OFD
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA ⊥AC ∵OA 为半径，∴AC 是⊙O 的切线； （2）解：（2）解：∵⊙O 半径是r ， 当F 在半径OE 上时， ∴OD=r，OF=8﹣r ，
在Rt △DOF 中，r 2+（8﹣r ）2=（r=
，r=
（舍去）；
）2，
当F 在半径OB 上时， ∴OD=r，OF=r﹣8，
在Rt △DOF 中，r 2+（r ﹣8）2=（r=
，r=
（舍去）；
）2，
11
即⊙O 的半径r 为
．
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB ⊥BP 。 ∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线。
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接OC ，如图 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°
又∵∠A=∠ACO ，∠DCB=∠A ∴∠ACO=∠DCB ∴∠OCD=90° ∴CD 是⊙O 的切线 （2）∵∠D=30° ∴∠COB=60° ∴△OCB 是等边三角形 ∴∠BCD=30°
21．如图所已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长.
21 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说明理由
解：△AED 为直角三角形 理由：连结BE
∵AB 是直径∴∠BEA=90° ∴∠B+∠BAE=90° 又∵AE 平分∠BAC ∴∠BAE=∠EAD ∵切于点E ∴∠AED=∠B ∴∠AED+∠EAD=90° ∴是直角三角形。
22．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线． ：（1）连接OB ， ∵弦AB ⊥OC ，
劣弧AB 的度数为120°，
∴弧BC 与弧AC 的度数为60°。 ∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形。 ∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。 ∴∠CBP=∠CPB 。
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
12
∴BD=BC=BO=10 即⊙O 的半径为10
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
解答：（1）证明：连接OT ，
∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA ， 又∵AT 平分∠BAD ， ∴∠DAT=∠OAT ，
∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ， 又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ， ∴CT 为⊙O 的切线；
（2）解：过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点， 又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ， ∴四边形OTCE 为矩形，
∵CT=
，，∴OE=
，
又∵OA=2，
∴在Rt △OAE 中，
，
∴AD=2AE=2．
25. （2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC= cm ． 证明：
∵AB 是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°． ∵∠F=15°， ∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°． 又∵在△ABC 中
，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=45°， ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB ． 又∵AB是直径，
∴直线FB 是⊙O的切线；
26、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
四、附加题
27．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=
，求⊙O 的半径r ．
(2)证明：连结OA 、OD ∵D 为下半圆BE 的中点 ∴∠BOD=∠DOF=90° ∴∠D+∠OFD=90° ∵AC=FC，OA=OD
∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ∵∠CFA=∠OFD
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA ⊥AC ∵OA 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：（2）解：∵⊙O 半径是r ，
当F 在半径OE 上时， ∴OD=r，OF=8﹣r ，
在Rt △DOF 中，r +（8﹣r ）=（r=
，r=
（舍去）；
2
2
），
2
当F 在半径OB 上时， ∴OD=r，OF=r﹣8，
在Rt △DOF 中，r +（r ﹣8）=（r=
，r=
（舍去）；
2
2
），
2
即⊙O 的半径r 为
．
：（1）证明：如图，连接OC ，
∵C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE 。 ∵CG ∥AE ，∴CG ⊥OC
。
∵OC 是⊙O 的半径，∴CG
是⊙O 的切线。 （2）证明：连接AC 、BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° 。∴∠2+∠BCD=90°。
∵CD ⊥AB ，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。 ∵AC 弧=CE弧，∴∠1=∠B 。 ∴∠1=∠2。∴AF=CF。 （4）在Rt △ADF 中，
∠DAF=30°，FA=FC=2，∴
DF=AF=1。 ∴AD=
DF=
。∵AF ∥CG ，
∴DA ：AG=DF：CF ，即
：AG=1：2。
13
14
与圆的有关位置的训练
【知识要点】
1. 点与圆的位置关系有三种: 点在圆外，点在圆上，点在圆外
设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP= d ，
点P 在圆外←→ d ＞r 点P 在圆上←→ d = r 点P 在圆内←→ d ＜ r
2．直线与圆的位置关系有三种：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 圆心与直线的距离来判断直线与的关系：
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d
直线l 与⊙O 相交←→ d ＜ r 直线l 与⊙O 相切←→ d = r 直线l 与⊙O 相交←→ d ＞ r
3．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4. 切线的性质定理及推论：
定理：圆的切线垂直过切点的半径。
推论:（1）过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（2）过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5．定义切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做切线长。
6．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
1、直角三角形
直角三角形的外接圆的半径直角三角形的斜边一半 、直角三角形内切圆的半径
B
在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c
可证四边形ODCE 为正方形. 设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c, ∴r=
【基础知识与技能的训练】
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．下列说法正确的是（ ）
A ．与圆有公共点的直线是圆的切线． B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．（2015广东梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°
B
C
4．（2015泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为 A. 65° B. 130° C. 50 D. 100°
5．（2015嘉兴）. 如图，
中，AB=5，BC=3，AC=4，
以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（ ） A 2.3 B 2.4 C 2.5 D 2.6
A
B
心与顶点C 的距离为（ ）．
C
6．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它外
A ．2.5 B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm
7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ ）
A ．
5
25
B ．
2
a +b -c a +b -c
, 即△ABC 内切圆⊙O 的半径为 22
1
C
D ．3
8．如图，线段AB 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（ ） A 50° B 40° C 60° D 70°
15．已知如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），求P 点坐标
16．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为。
9．在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是BE 弧的中点，则下列结论不成立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC=BC
C ．∠DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE
17．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，①AD ⊥BC ②∠EDA =∠B
③OA =
1
AC ④DE 是⊙O 的切线， 则上述结论正确的是
二、填空题．
11．如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm，若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为
12．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与
⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB=30°，则∠B=___
B
，⊙O 的半径为1，点P 是
18．在Rt △AOB 中，OA=OB=3则切线PQ 的最小值为 ．
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），
三、解答题：
19．如图所示, 已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长. 解：
13．（2015江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°， 则∠CDA= °．
14． 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于M 点．若OA ＝a ，PM ＝a ，那么△PMB 的周长的_______．
20.. 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说明理由.
2
21．（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°， ∠CBA =50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边23．（2015•黄石）如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点． AC 上，且满足ED =EA ． （1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．
22．（2015•毕节市）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC =FC ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知圆的半径R =5，EF =3，求DF 的长．
（1）求BC 的长；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．
24．（黔西南州）如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C.
（1）求证：直线PB 与⊙O 相切
（2）PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC=4. 求弦CE 的长．
3
25．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，
弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线． ：（1）连接OB ， ∵弦AB ⊥OC ，
劣弧AB 的度数为120°，
∴弧BC 与弧AC 的度数为60°。 ∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形。 ∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。 ∴∠CBP=∠CPB 。
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB ⊥BP 。 ∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线。
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接OC ，如图 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°
又∵∠A=∠ACO ，∠DCB=∠A ∴∠ACO=∠DCB ∴∠OCD=90° ∴CD 是⊙O 的切线 （2）∵∠D=30° ∴∠COB=60° ∴△OCB 是等边三角形 ∴∠BCD=30° ∴BD=BC=BO=10 即⊙O 的半径为10
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
∴∠DAT=∠OAT ，
∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ， 又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ， ∴CT 为⊙O 的切线；
（2）解：过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点， 又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ，
∴四边形OTCE 为矩形，（7分）
∵CT=
，，∴OE=
，
又∵OA=2，
∴在Rt △OAE 中，
，
∴AD=2AE=2．
25. （2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC=cm． 证明：
∵AB 是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°． ∵∠F=15°， ∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°． 又∵在△ABC 中
，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=45°， ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB ． 又∵AB是直径，
∴直线FB 是⊙O的切线；
26、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
：（1）证明：如图，连接OC ，
∵C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE 。 ∵CG ∥AE ，∴CG ⊥OC 。
∵OC 是⊙O 的半径，∴CG 是⊙O 的切线。
解答：（1）证明：连接OT ， ∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA ， 又∵AT 平分∠BAD ，
4
（2）证明：连接AC 、BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° 。∴∠2+∠BCD=90°。
∵CD ⊥AB ，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。 ∵AC 弧=CE弧，∴∠1=∠B 。 ∴∠1=∠2。∴AF=CF。 （3）在Rt △ADF 中，
∠DAF=30°，FA=FC=2，∴
DF=AF=1。 ∴AD=
DF=
。∵AF ∥CG ，
∴DA ：AG=DF：CF ，即∴AG=2
：AG=1：2。
附加题
25．（2015•衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由．
5
26．（2015•昆明）如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．
（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线； （2）若CD =10，EB =5，求⊙O 的直径． 解：（1）如图1，连接OE ， ∵OA =OE ，
∴∠EAO =∠AEO ， ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO =∠FAE ， ∴∠FAE =∠AEO ， ∴AF ∥OE ，
∴∠AFE +∠OEF =180°， ∵AF ⊥GF ，
∴∠AFE =∠OEF =90°， ∴OE ⊥GF ，
∵点E 在圆上，OE 是半径， ∴GF 是⊙O 的切线．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，CD =10， ∴AB =CD =10，∠ABE =90°， 设OA =OE =x ，则OB =10﹣x ，
在Rt △OBE 中，∠OBE =90°，BE =5， 由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2，
222
∴（10﹣x ）+5=x ， ∴
，
，
∴⊙O 的直径为
．
27．（2015•常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC =60°，求AD 的长． 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO =CO ， ∴OF ∥AB ，
∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AE ， ∵OF ∥AB ， ∴OF ⊥CE ，
∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC =FE ，OE =OC ，
∴∠FEC =∠FCE ，∠0EC =∠0CE ， ∵∠ACB =90°，
即：∠0CE +∠FCE =90°， ∴∠0EC +∠FEC =90°， 即：∠FEO =90°， ∴FE 为⊙O 的切线；
（2）如图2，∵⊙O 的半径为3， ∴AO =CO =EO =3，
∵∠EAC =60°，OA =OE ， ∴∠EOA =60°，
∴∠COD =∠EOA =60°，
∵在Rt △OCD 中，∠COD =60°，OC =3， ∴CD
=，
∵在Rt △ACD 中，∠ACD =90°， CD
=，AC =6， ∴AD
=．
7. 三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。
1、直角三角形
直角三角形的外接圆的半径直角三角形的斜边一半 、直角三角形内切圆的半径
B
在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c
可证四边形ODCE 为正方形. 设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c, ∴r=
a +b -c a +b -c
, 即△ABC 内切圆⊙O 的半径为 22
与圆的有关位置的训练
【知识要点】
2. 点与圆的位置关系有三种: 点在圆外，点在圆上，点在圆外
设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP= d ，
点P 在圆外←→ d ＞r
点P 在圆上←→ d = r 点P 在圆内←→ d ＜ r
2．直线与圆的位置关系有三种：
直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 圆心与直线的距离来判断直线与的关系：
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d
直线l 与⊙O 相交←→ d ＜ r 直线l 与⊙O 相切←→ d = r 直线l 与⊙O 相交←→ d ＞ r
3．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4. 切线的性质定理及推论：
定理：圆的切线垂直过切点的半径。
推论:（1）过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（2）过圆心垂直于切线的直线必过切点.
5．定义切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做切线长。
6．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6
【基础知识与技能的训练】
一、选择题
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ B ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列说法正确的是（ B ）
A ．与圆有公共点的直线是圆的切线． B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．（2015广东梅州）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙Or 切线，A 为切点，BC 经过圆心. 若∠B=20°，则∠C 的大小等于（D ） A ．20° B ．25° C ． 40° D ．50°
B
C
4．（2015泸州）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为( C ) A. 65° B. 130° C. 50 D. 100°
5．（2015嘉兴）. 如图，
中，AB=5，BC=3，AC=4，
以点C 为圆心的圆与AB 相切，则☉C 的半径为（ B ） A 2.3 B 2.4 C 2.5 D 2.6
A
6．如图，Rt △ABC ，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它外心与顶点C 的距离为（ B ）．
A ．2.5 B ．2.5cm C ．3cm D ．4cm
7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB ，则弦AD 长为（ A ）
A
．
14． 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 的延长线上，PM 切⊙O 于M 点．若OA ＝a ，PM ＝a ，那么△PMB 的周长的__a_+2a____．
15．已知如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），求P 点坐标 ( 3,4 )
16．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 。 解：连接OD ，∵DF 为圆O 的切线，∴OD ⊥DF ， ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OC，∴△OCD 为等边三角形， ∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°， ∴OD ∥AB ，又O 为BC 的中点，
∴D 为AC 的中点，即OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AB ，∴DF ⊥AB ，在Rt △AFD 中， ∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，
∴FB=AB-AF=8-2=6，在Rt △BFG 中，∠BFG=30°， ∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3 √3
17．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，①AD ⊥BC ②∠EDA =∠B
③OA =
1
AC 2
525
B ．
2
C D ．3
8．如图，线段AB 是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于（B ） A 40° B 50° C 60° D 70°
9．在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=90°，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度
10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是BE 弧的中点，则下列结论不成立的是（ D ）
A ．OC ∥AE B ．EC=BC C ∠DAE=∠ABE D．AC ⊥OE
④DE 是⊙O 的切线， 则上述结论正确的
B
，⊙O 的半径为1，点P 是
二、填空题．
11．如图，已知∠AOB=30°，P 为边OA 上一点，且OP=5 cm，
12．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB=30°，则∠B=_60°__ 13．（2015江苏徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°， 则∠CDA= 125° °．
7
是 ①②③④
若以P 为圆心，r 为半径的圆与OB 相切，则半径r 为 2.5
18．在Rt △AOB 中，OA=OB=3则切线PQ 的最小值为 ．
AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），
三、解答题：
19．如图所示, 已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长. 解：
20.. 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说∴∠CAF =∠DFO ，
而OA =OD ，
∴∠OAD =∠ODF ， ∴∠OAD +∠CAF =90°， 即∠OAC =90°， ∴OA ⊥AC ，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：∵圆的半径R =5，EF =3， 明理由. 解：△AED 为直角三角形 理由：连结BE ∵AB 是直径
∴∠BEA=90°∴∠B+∠BAE=90° 又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAD ∵切于点E ∴∠AED=∠B
∴∠AED+∠EAD=90°
∴是直角三角形。
21．（2015•盐城）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，∠CBA =50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED =EA ． （1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线ED 与⊙O 相切． （1）解；∵∠DBA =50°， ∴∠DOA =2∠DBA =100°， （2）证明：连接OE ．
在△EAO 与△EDO 中，，
∴△EAO ≌△EDO ， ∴∠EDO =∠EAO ， ∵∠BAC =90°， ∴∠EDO =90°， ∴DE 与⊙O 相切．
22．（2015•毕节市）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，AC =FC ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知圆的半径R =5，EF =3，求DF 的长．
解：（1）证明：连结OA 、OD ，如图， ∵D 为BE 的下半圆弧的中点， ∴OD ⊥BE ，
∴∠D +∠DFO =90°， ∵AC =FC ，
∴∠CAF =∠CFA ， ∵∠CFA =∠DFO ，
∴OF =2，
在Rt △ODF 中，∵OD =5，OF =2， ∴DF =
=
．
23．（2015•黄石）如图，⊙O 的直径AB =4，∠ABC =30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点． （1）求BC 的长；
（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．
证明：（1）解：连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°，
又∵∠ABC =30°，AB =4， ∴BD =2，
∵D 是BC 的中点， ∴BC =2BD =4；
（2）证明：连接OD ．
∵D 是BC 的中点，O 是AB 的中点， ∴DO 是△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ，则∠EDO =∠CED 又∵DE ⊥AC ，
∴∠CED =90°，∠EDO =∠CED =90° ∴DE 是⊙O 的切线．
24．（黔西南州）如图9所示，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C.
（1）求证：直线PB 与⊙O 相切
（2）PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC=4. 求弦CE 的长．
解：（1）证明:过点O 作OD ⊥PB, 连接OC. ∵AP 与⊙O 相切, ∴OC ⊥AP. 又∵OP 平分∠APB, ∴OD=OC. ∴PB 是⊙O 的切线.
（2）解:过C 作CF ⊥PE 于点F.
8
22
在Rt △OCP 中，OP=OP +CP =5
∵
S ∆OCP =
11
OC ⋅CP =OP ⋅CF 22
∴
CF =
12
5
在Rt △COF
中，∴FE =3+
OF 95
924=55
CE =2+EF 2=
5
在Rt △CFE 中，
25．（2015•衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为半圆O 的三等分点，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）判断四边形AOCD 是否为菱形？并说明理由． 解：（1）连接AC ，
∵点CD 是半圆O 的三等分点，
（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线； （2）若CD =10，EB =5，求⊙O 的直径． 解：（1）如图1，连接OE ， ∵OA =OE ，
∴∠EAO =∠AEO ， ∵AE 平分∠FAH ， ∴∠EAO =∠FAE ， ∴∠FAE =∠AEO ， ∴AF ∥OE ，
∴∠AFE +∠OEF =180°， ∵AF ⊥GF ，
∴∠AFE =∠OEF =90°， ∴OE ⊥GF ，
∵点E 在圆上，OE 是半径， ∴GF 是⊙O 的切线．
（2）∵四边形ABCD 是矩形，CD =10， ∴AB =CD =10，∠ABE =90°， 设OA =OE =x ，则OB =10﹣x ，
在Rt △OBE 中，∠OBE =90°，BE =5， 由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2，
222
∴（10﹣x ）+5=x ， ∴
，
，
∴⊙O 的直径为
．
∴=
=，
∴∠DAC =∠CAB ， ∵OA =OC ，
∴∠CAB =∠OCA ， ∴∠DAC =∠OCA ，
∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行） ∴∠OCE =∠E ， ∵CE ⊥AD ， ∴∠OCE =90°， ∴OC ⊥CE ，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）四边形AOCD 为菱形． 理由是：
∵
=
，
∴∠DCA =∠CAB ， ∴CD ∥OA ， 又∵AE ∥OC ，
∴四边形AOCD 是平行四边形， ∵OA =OC ，
∴平行四边形AOCD 是菱形．
附加题
25．（2015•昆明）如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．
9
（2015•常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3，∠EAC =60°，求AD 的长． 证明：（1）如图1，连接FO ， ∵F 为BC 的中点，AO =CO ， ∴OF ∥AB ，
∵AC 是⊙O 的直径， ∴CE ⊥AE ， ∵OF ∥AB ， ∴OF ⊥CE ，
∴OF 所在直线垂直平分CE ， ∴FC =FE ，OE =OC ，
∴∠FEC =∠FCE ，∠0EC =∠0CE ， ∵∠ACB =90°，
即：∠0CE +∠FCE =90°， ∴∠0EC +∠FEC =90°， 即：∠FEO =90°， ∴FE 为⊙O 的切线；
（2）如图2，∵⊙O 的半径为3，
∴AO =CO =EO =3，
∵∠EAC =60°，OA =OE ， ∴∠EOA =60°，
∴∠COD =∠EOA =60°，
∵在Rt △OCD 中，∠COD =60°，OC =3， ∴CD
=，
∵在Rt △ACD 中，∠ACD =90°， CD
=，AC =6， ∴AD
=．
22．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线．
10
25、（2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC=cm．
四、附加题
27．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，
B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=(1)证明：连结OA 、OD ∵D 为下半圆BE 的中点 ∴∠BOD=∠DOF=90° ∴∠D+∠OFD=90°
，求⊙O 的半径r ．
26. 如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．
（1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
∵AC=FC，OA=OD
∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ∵∠CFA=∠OFD
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA ⊥AC ∵OA 为半径，∴AC 是⊙O 的切线； （2）解：（2）解：∵⊙O 半径是r ， 当F 在半径OE 上时， ∴OD=r，OF=8﹣r ，
在Rt △DOF 中，r 2+（8﹣r ）2=（r=
，r=
（舍去）；
）2，
当F 在半径OB 上时， ∴OD=r，OF=r﹣8，
在Rt △DOF 中，r 2+（r ﹣8）2=（r=
，r=
（舍去）；
）2，
11
即⊙O 的半径r 为
．
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB ⊥BP 。 ∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线。
23．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接OC ，如图 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB=90°
又∵∠A=∠ACO ，∠DCB=∠A ∴∠ACO=∠DCB ∴∠OCD=90° ∴CD 是⊙O 的切线 （2）∵∠D=30° ∴∠COB=60° ∴△OCB 是等边三角形 ∴∠BCD=30°
21．如图所已知两同心圆中, 大圆的弦AB 、AC 切小圆于D 、E, △ABC 的周长为12cm, 求△ADE 的周长.
21 如图,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E, 过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D, 试判断△AED 的形状, 并说明理由
解：△AED 为直角三角形 理由：连结BE
∵AB 是直径∴∠BEA=90° ∴∠B+∠BAE=90° 又∵AE 平分∠BAC ∴∠BAE=∠EAD ∵切于点E ∴∠AED=∠B ∴∠AED+∠EAD=90° ∴是直角三角形。
22．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交圆O 于点C ，OC=CP=2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连接PB ． （1）求BC 的长；
（2）求证：PB 是⊙O 的切线． ：（1）连接OB ， ∵弦AB ⊥OC ，
劣弧AB 的度数为120°，
∴弧BC 与弧AC 的度数为60°。 ∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形。 ∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。 ∴∠CBP=∠CPB 。
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
12
∴BD=BC=BO=10 即⊙O 的半径为10
24．如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ． （1）求证：CT 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 半径为2，CT=
，求AD 的长．
解答：（1）证明：连接OT ，
∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA ， 又∵AT 平分∠BAD ， ∴∠DAT=∠OAT ，
∴∠DAT=∠OTA ，∴OT ∥AC ， 又∵CT ⊥AC ，∴CT ⊥OT ， ∴CT 为⊙O 的切线；
（2）解：过O 作OE ⊥AD 于E ，则E 为AD 中点， 又∵CT ⊥AC ，∴OE ∥CT ， ∴四边形OTCE 为矩形，
∵CT=
，，∴OE=
，
又∵OA=2，
∴在Rt △OAE 中，
，
∴AD=2AE=2．
25. （2013•吉林）如图，在△ABC 中，AB=BC．以AB 为直径作圆⊙O 交AC 于点D ，点E 为⊙O 上一点，连接ED 并延长与BC 的延长线交于点F ．连接AE 、BE ，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．
（1）求证：直线FB 是⊙O 的切线； （2）若BE= 3 cm，则AC= cm ． 证明：
∵AB 是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∵∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴∠ADE=∠ABE=30°，
∴∠FDC=∠ADE=30°． ∵∠F=15°， ∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°． 又∵在△ABC 中
，AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=45°， ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB ． 又∵AB是直径，
∴直线FB 是⊙O的切线；
26、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ． （1）求证：CG 是⊙O 的切线． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2， 求GA 的长．
四、附加题
27．如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC=FC． （1）求证：AC 是⊙O 的切线： （2）若BF=8，DF=
，求⊙O 的半径r ．
(2)证明：连结OA 、OD ∵D 为下半圆BE 的中点 ∴∠BOD=∠DOF=90° ∴∠D+∠OFD=90° ∵AC=FC，OA=OD
∴∠CAF=∠CFA ，∠OAD=∠D ∵∠CFA=∠OFD
∴∠OAD+∠CAF=90°，∴OA ⊥AC ∵OA 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；
（2）解：（2）解：∵⊙O 半径是r ，
当F 在半径OE 上时， ∴OD=r，OF=8﹣r ，
在Rt △DOF 中，r +（8﹣r ）=（r=
，r=
（舍去）；
2
2
），
2
当F 在半径OB 上时， ∴OD=r，OF=r﹣8，
在Rt △DOF 中，r +（r ﹣8）=（r=
，r=
（舍去）；
2
2
），
2
即⊙O 的半径r 为
．
：（1）证明：如图，连接OC ，
∵C 是劣弧AE 的中点，∴OC ⊥AE 。 ∵CG ∥AE ，∴CG ⊥OC
。
∵OC 是⊙O 的半径，∴CG
是⊙O 的切线。 （2）证明：连接AC 、BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° 。∴∠2+∠BCD=90°。
∵CD ⊥AB ，∴∠B+∠BCD=90°。∴∠B=∠2。 ∵AC 弧=CE弧，∴∠1=∠B 。 ∴∠1=∠2。∴AF=CF。 （4）在Rt △ADF 中，
∠DAF=30°，FA=FC=2，∴
DF=AF=1。 ∴AD=
DF=
。∵AF ∥CG ，
∴DA ：AG=DF：CF ，即
：AG=1：2。
13
14