专题三 开放探究问题
强化突破
1．(2013·绥化) 如图，A ，B ，C 三点在同一条直线上，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，请添加一个适当的条件__答案不唯一，如：AE ＝CB 或∠EBD ＝90°等__，使得△EAB ≌△BCD.
2．(2014·淄博) 已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__答案不唯一，如：AD ＝CD 或AC ⊥BD 等__．
3．(2014·北京) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x，y) ，我们把点P′(－y ＋1，x ＋1) 叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，„，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，„，A n ，„. 若点A 1的坐标为(3，1) ，则点A 3的坐标为__(－3，1)__，点A 2014的坐标为__(0，4)__；若点A 1的坐标为(a，b) ，对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为__－1＜a ＜1且0＜b ＜2__．
4．(2014·武汉) 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，„„，按此规律第5个图中共有点的个数是( B
)
A ．31 B ．46 C ．51 D ．
66
5．(2013·天门) 小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米) 与小文出发时间t(分) 之间的函数关系如图所示，下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的
2.5倍；③a ＝24；④b ＝480. 其中正确的是( B )
A ．①②③ B ．①②④
C ．①③④ D ．①②③④
6．(2014·南京) 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可以分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 为直角时，△ABC ≌△DEF.
(1)如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据__，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF.
第二种情况：当∠B 为钝角时，△ABC ≌△DEF.
(2)如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF.
第三种情况：当∠B 为锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
(3)如图③，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4)∠B 还要满足什么条件，就可以使得△ABC ≌△DEF ，请直接填写结论：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，若__∠B ≥∠A__，则△ABC ≌△
DEF.
解：(1)HL (2)如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，∵∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，∴180°－∠B ＝180°－∠E ，即∠CBG ＝∠FEH ，可证△CBG ≌△FEH(AAS ) ，∴CG ＝FH ，可证Rt △ACG ≌Rt △DFH(HL ) ，∴∠A ＝∠D ，从而可证△ABC ≌△DEF(AAS ) (3)如图，△DEF 和△ABC 不全等 (4)答案不唯一，如：∠B ≥∠
A
7．(2014·淄博) 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD. 连接MF ，NF.
(1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
解：(1)△BMN 是等腰直角三角形．证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC. ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB ＋∠EBA
1＝90°，∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝(∠BAE ＋∠ABE) ＝45°，∴∠MBN ＝90°－2
∠MNB ＝45°，∴∠MBN ＝∠MNB ，∴△BMN 是等腰直角三角形
1(2)△MFN ∽△BDC. 证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝2
1FM 11AC. ∵AC ＝BD ，∴FM ＝，即. ∵△BMN 是等腰直角三角形，∴NM ＝BM ＝BC ，2BD 22
即NM 1FM NM ，∴＝. ∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°. ∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝BC 2BD BC
∠FMB. ∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°，∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°，∴∠NMF ＝∠CBD ，∴△MFN ∽△BDC
8．(2013·陕西) 问题探究
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
(2)如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M) ，使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．
问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＋CD ＝BC ，点P 是AD 的中点．如果AB ＝a ，CD ＝b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．
解：(1)过圆心O 作两条互相垂直的直线即可 (2)连接AC ，BD 相交于点O ，作直线OM 分别交AD ，BC 于P ，Q 两点，过点O 作OM 的垂线分别交AB ，CD 于E ，F 两点，则直线OM ，EF 将正方形ABCD 的面积四等分．理由：利用ASA 易证△OAP ≌△OBE ≌△OCQ ≌△ODF ，从而可得直线OM ，EF 将正方形ABCD 的面积四等分
(3)存在，当BQ ＝CD ＝b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分．理由如下：延长BA 到点E ，使AE ＝b ，延长CD 到点F ，使DF ＝a ，连接EF ，易得四边形EBCF 是菱形．连接BF 交AD 于M ，则△MAB ≌△MDF ，∴AM ＝DM ，∴P ，M 两点重合，∴P 点是菱形EBCF 对角线的交点，在BC 上截取BQ ＝CD ＝b ，则CQ ＝AB ＝a. 设点P 到菱形EBCF 一边的距
111离为d ，则＋BQ)·d ＝(CQ＋CD)·d ＋b)·d ，∴S 四边形ABQP ＝S 四边形CDPQ ，∴当BQ ＝b 222
时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分
9．(2013·襄阳) 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点A 的坐标为(－1，0) ，对称轴为直线x ＝－2.
(1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
(2)点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点，已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；
(3)点P 是(2)中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．
①当t 为__2__秒时，△PAD 的周长最小；当t 为
秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形；(结果保留根号)
②点P 在运动过程中，是否存在一点
P ，使△PAD 是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)B(－3，0) (2)设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，由题意可知AB ∥CD ，由抛物线的轴对称性可得CD ＝2DM. ∵MN ∥y 轴，AB ∥CD ，∴四边形ODMN 是矩形，∴DM ＝ON ＝2，∴CD ＝2×2＝4. ∵A(－1，0) ，B(－3，0) ，∴AB ＝2. ∵梯形ABCD
1＋CD)·OD ＝9，∴OD ＝3，即c ＝3. 把A(－1，0) ，B(－3，0) 代入y ＝ax 2＋bx 2
＋3得a ＝1，b ＝4，∴y ＝x 2＋4x ＋3，化为顶点式为y ＝(x＋2) 2－1，得E(－2，－1) (3)①2；4或46或4＋6
②存在．∵∠APD ＝90°，∠PMD ＝∠PNA ＝90°，∴∠PDM ＋∠APN ＝90°，∠DPM ＋
AN PN ∠PDM ＝90°，∴∠PDM ＝∠APN ，又∵∠PMD ＝∠ANP ，∴△APN ∽△PDM ，∴，PM DM
∴1PN ，∴PN 2－3PN ＋2＝0，∴PN ＝1或PN ＝2，∴P(－2，1) 或(－2，2) 3－PN 2
专题三 开放探究问题
强化突破
1．(2013·绥化) 如图，A ，B ，C 三点在同一条直线上，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，请添加一个适当的条件__答案不唯一，如：AE ＝CB 或∠EBD ＝90°等__，使得△EAB ≌△BCD.
2．(2014·淄博) 已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__答案不唯一，如：AD ＝CD 或AC ⊥BD 等__．
3．(2014·北京) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x，y) ，我们把点P′(－y ＋1，x ＋1) 叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4，„，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，„，A n ，„. 若点A 1的坐标为(3，1) ，则点A 3的坐标为__(－3，1)__，点A 2014的坐标为__(0，4)__；若点A 1的坐标为(a，b) ，对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，则a ，b 应满足的条件为__－1＜a ＜1且0＜b ＜2__．
4．(2014·武汉) 观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，„„，按此规律第5个图中共有点的个数是( B
)
A ．31 B ．46 C ．51 D ．
66
5．(2013·天门) 小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米) 与小文出发时间t(分) 之间的函数关系如图所示，下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的
2.5倍；③a ＝24；④b ＝480. 其中正确的是( B )
A ．①②③ B ．①②④
C ．①③④ D ．①②③④
6．(2014·南京) 学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”) 和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，然后，对∠B 进行分类，可以分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B 为直角时，△ABC ≌△DEF.
(1)如图①，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据__，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF.
第二种情况：当∠B 为钝角时，△ABC ≌△DEF.
(2)如图②，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF.
第三种情况：当∠B 为锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
(3)如图③，在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4)∠B 还要满足什么条件，就可以使得△ABC ≌△DEF ，请直接填写结论：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是锐角，若__∠B ≥∠A__，则△ABC ≌△
DEF.
解：(1)HL (2)如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，∵∠B ＝∠E ，且∠B ，∠E 都是钝角，∴180°－∠B ＝180°－∠E ，即∠CBG ＝∠FEH ，可证△CBG ≌△FEH(AAS ) ，∴CG ＝FH ，可证Rt △ACG ≌Rt △DFH(HL ) ，∴∠A ＝∠D ，从而可证△ABC ≌△DEF(AAS ) (3)如图，△DEF 和△ABC 不全等 (4)答案不唯一，如：∠B ≥∠
A
7．(2014·淄博) 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD. 连接MF ，NF.
(1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
解：(1)△BMN 是等腰直角三角形．证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，AM 平分∠BAC. ∵BN 平分∠ABE ，AC ⊥BD ，∴∠AEB ＝90°，∴∠EAB ＋∠EBA
1＝90°，∴∠MNB ＝∠NAB ＋∠ABN ＝(∠BAE ＋∠ABE) ＝45°，∴∠MBN ＝90°－2
∠MNB ＝45°，∴∠MBN ＝∠MNB ，∴△BMN 是等腰直角三角形
1(2)△MFN ∽△BDC. 证明：∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM ∥AC ，FM ＝2
1FM 11AC. ∵AC ＝BD ，∴FM ＝，即. ∵△BMN 是等腰直角三角形，∴NM ＝BM ＝BC ，2BD 22
即NM 1FM NM ，∴＝. ∵AM ⊥BC ，∴∠NMF ＋∠FMB ＝90°. ∵FM ∥AC ，∴∠ACB ＝BC 2BD BC
∠FMB. ∵∠CEB ＝90°，∴∠ACB ＋∠CBD ＝90°，∴∠CBD ＋∠FMB ＝90°，∴∠NMF ＝∠CBD ，∴△MFN ∽△BDC
8．(2013·陕西) 问题探究
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
(2)如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M) ，使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．
问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＋CD ＝BC ，点P 是AD 的中点．如果AB ＝a ，CD ＝b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．
解：(1)过圆心O 作两条互相垂直的直线即可 (2)连接AC ，BD 相交于点O ，作直线OM 分别交AD ，BC 于P ，Q 两点，过点O 作OM 的垂线分别交AB ，CD 于E ，F 两点，则直线OM ，EF 将正方形ABCD 的面积四等分．理由：利用ASA 易证△OAP ≌△OBE ≌△OCQ ≌△ODF ，从而可得直线OM ，EF 将正方形ABCD 的面积四等分
(3)存在，当BQ ＝CD ＝b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分．理由如下：延长BA 到点E ，使AE ＝b ，延长CD 到点F ，使DF ＝a ，连接EF ，易得四边形EBCF 是菱形．连接BF 交AD 于M ，则△MAB ≌△MDF ，∴AM ＝DM ，∴P ，M 两点重合，∴P 点是菱形EBCF 对角线的交点，在BC 上截取BQ ＝CD ＝b ，则CQ ＝AB ＝a. 设点P 到菱形EBCF 一边的距
111离为d ，则＋BQ)·d ＝(CQ＋CD)·d ＋b)·d ，∴S 四边形ABQP ＝S 四边形CDPQ ，∴当BQ ＝b 222
时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分
9．(2013·襄阳) 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点A 的坐标为(－1，0) ，对称轴为直线x ＝－2.
(1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
(2)点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点，已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；
(3)点P 是(2)中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．
①当t 为__2__秒时，△PAD 的周长最小；当t 为
秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形；(结果保留根号)
②点P 在运动过程中，是否存在一点
P ，使△PAD 是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)B(－3，0) (2)设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，由题意可知AB ∥CD ，由抛物线的轴对称性可得CD ＝2DM. ∵MN ∥y 轴，AB ∥CD ，∴四边形ODMN 是矩形，∴DM ＝ON ＝2，∴CD ＝2×2＝4. ∵A(－1，0) ，B(－3，0) ，∴AB ＝2. ∵梯形ABCD
1＋CD)·OD ＝9，∴OD ＝3，即c ＝3. 把A(－1，0) ，B(－3，0) 代入y ＝ax 2＋bx 2
＋3得a ＝1，b ＝4，∴y ＝x 2＋4x ＋3，化为顶点式为y ＝(x＋2) 2－1，得E(－2，－1) (3)①2；4或46或4＋6
②存在．∵∠APD ＝90°，∠PMD ＝∠PNA ＝90°，∴∠PDM ＋∠APN ＝90°，∠DPM ＋
AN PN ∠PDM ＝90°，∴∠PDM ＝∠APN ，又∵∠PMD ＝∠ANP ，∴△APN ∽△PDM ，∴，PM DM
∴1PN ，∴PN 2－3PN ＋2＝0，∴PN ＝1或PN ＝2，∴P(－2，1) 或(－2，2) 3－PN 2