直线的方向向量

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )

A.721，－2



B.122，3



C.(－12，3，5)

D.13，4

3，－2

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且→AC＝2→

3AB，则点C的坐

标为( )

A．715

2，－22)

B．(3

8

3,2)

C．7

D．573

，－1，－1)

2，－322

)

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于( )

A．－2

5

B.25C．－255

D.255

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )

A．x＝9

2y＝15

B．x＝3，y15

2

C．x＝3，y＝15

D．x＝9152y2

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° B．45° C．60°

D．90°

6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|→

AC|＝1

C的坐标为

|→AB|3( )

A.7

2

152，2

B.3

8，－3，2

C.10

73

，－1，3

D.573222

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )

A．45° B．60° C．90°

D．120°

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )

A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面

9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是( )

A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交

D．垂直且相交

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )

A．－3或1 B．3或－1 C．－3

D．1

二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为________．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝______.

14．已知两异面直线l和l1

12的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v22，则l1

与l2所成的角为________________．

三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值．

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )

A.72，1，－2

 B.1

2，2，3



C.(－12，3，5)

D.13，43，－2

[答案] B

[解析] 由中点坐标公式可得B.

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且→AC＝2→

3AB，则点C的坐

标为( )

A．715

2，－22)

B．(3

8

3,2)

C．7

3，－1，－1)

D．5732，－22

)

[答案] C

[解析] 设C(x，y，z)，→

AC＝(x－3，y－3，z＋5) ＝2

3

－1，－6,6) 解得x7

3

，y＝－1，z＝－1.

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于( )

A．－2

5

B.25C．－255

D.25

5

[答案] B

[解析] a²b＝－4，|a|＝5，|b|＝5，

cosθ＝|cos〈a²b〉|＝a²b－42

|a||b|＝10＝5

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )

A．x9

2，y＝15

B．x＝3，y＝15

2

C．x＝3，y＝15

D．x9152，y＝2

[答案] D

[解析] ∵l3xy

1∥l2，∴a∥b，∴23＝5，

∴x＝92y＝152

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° B．45° C．60°

D．90°

[答案] C

[解析] 直线a，b的方向向量分别为→AB，→CD， ∵→AB＝→AC＋→CD＋→DB，

∴→AB²→CD＝→AC²→CD＋CD→2＋→DB²→CD， 即2³1³cos〈→AB，→

CD〉＝1 ∴cos〈→AB，→

CD〉＝12，

即〈→AB，→

CD〉＝60°.故选C.

→6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|AC|1

|→＝AB|3C的坐标为

( )

A.7

21522

B.383，2



C.10

31，73

D.5732－2，2

[答案] C

[解析] 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且|→

AC|1

|→AB|3∴→AC＝13

，

即(x－4，y－1，z－3)＝1

3－2，－6，－2)，

∴x＝1073y＝－1，z＝3

.

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(

)

A．45° B．60° C．90°

D．120°

[答案] B

[解析] 取D点为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，设棱长为1， 则→EF＝1→0，1

2，－2，GH＝11－2

0，2，

－1∴cos〈→EF，→

GH〉＝

4

22

1

222

∴〈→EF，→

GH〉＝120°， ∴异面直线EF，GH成60°角．

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以

下结论中不成立的是( )

A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 [答案] D

[解析] 建立空间直角坐标系后，验证A、B、C正确，故选D. 9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是( )

A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交

D．垂直且相交

[答案] B

[解析] 取D点为坐标原点建系后，

DA→→

1＝(1,0,1)，AC＝(－1,1,0)，

设PQ→

＝(a，b，c)，则

a＋c＝0

－a＋b＝0，

取→

PQ＝(1,1，－1)．

∵BD→

→1

＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－PQ，

∴→PQ∥BD→

1，∴PQ∥BD1.

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )

A．－3或1 B．3或－1 C．－3

D．1

[答案] A

[解析] ∵|a|＝6，∴x＝±4. 又a⊥b，∴2y＋x＋2＝0. 当x＝4时y＝－3，x＋y＝1； 当x＝－4时y＝1，x＋y＝－3.故选A. 二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

[答案] (－1,0,2)

[解析] 由已知，→AB＝(－1，－1，－1)，→AC＝(2,0,1)，→

PA＝(－x,1，－z)， →→由

PA²AB＝0，解得

＝－1→PA²→AC＝0

，得

x－1＋z＝0－2x－z＝0

xz＝2

.

∴P(－1,0,2)．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为________．

[答案] (1,2,0)

[解析] →BC＝(－2，－2,0)，而→AD＝→

BC，

∴→OD＝→BC＋→

OA＝(－2，－2,0)＋(3,4,0)＝(1,2,0)， ∴D点坐标为(1,2,0)．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝______.

[答案] 33

22

[解析] ∵v∥→AB，而→

AB＝(－1,2－y，z－3) ∴

－12－yz－2－1＝3

3

∴y＝32z＝32

14．已知两异面直线l〈v1

1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos1，v2〉＝－2l1

与l2所成的角为________________．

[答案] 60°

[解析] 由异面直线夹角的范围可得． 三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值．

[解析] →

AB＝(－2,2－2)， →

AC＝(－1,6，－8)，AP→

＝(x－4，－2,0)．

因为点P在平面ABC内，则存在一对实数λ，μ，使得→AP＝λ→AB＋μ→

AC.

x－4＝－2λ－μ，故－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.

解得x＝11.

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

[解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，

B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．

由BD∥AC，DC∥AB⇒→BD∥→AC.→DC∥→

AB， 因此



(x，y－1，z)＝k1(－1，0，2)，(－x，－y，2－z)＝k2(－1，1，0)，

x＝－1，⇒y＝1，D点的坐标为(－1,1,2)．

z＝2.

即17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

[解析] 设→OA＝a，→OB＝b，→

OC＝c，则a²b＝b²c＝c²a＝1

2

，|a|＝|b|＝|c|＝1， OE→

²→BF＝1

2(a＋b)²12－b

＝1212＋12

2－a²b－|b|

＝11111

2442－1＝－2

， →→－1

∴cos〈→OE，→

BF〉＝OE²BF22|→OE|²|→BF|3332³

2∴OE与BF所成角的余弦为2

3

.

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|

＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离． [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系． (1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，

B1(2,3,2)，E(1,3,0)

∴AO→＝(－2,0,2)，B→

11E＝(－1,0，－2)． ∴cos

－2101，B1E>＝21010.

∴AO101与B1E所成角的大小为arccos10

. (2)由题意得O→⊥→AC，→AD∥→

1DAC. ∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，

∴O→2)，→

1D＝(x，y，－AD＝(x－2，y,0)， →

AC＝(－2,3,0)

－2x＋3y＝0，

∴

x－2－2y

3

，

x＝1813∴∴D(y＝12

13，12

13

，0)．

13

18∴|O→

1D|＝(

1813－0)2＋12

13

－0)

2

＋

(0－2)2 ＝

286

13

.

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )

A.721，－2



B.122，3



C.(－12，3，5)

D.13，4

3，－2

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且→AC＝2→

3AB，则点C的坐

标为( )

A．715

2，－22)

B．(3

8

3,2)

C．7

D．573

，－1，－1)

2，－322

)

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于( )

A．－2

5

B.25C．－255

D.255

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )

A．x＝9

2y＝15

B．x＝3，y15

2

C．x＝3，y＝15

D．x＝9152y2

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° B．45° C．60°

D．90°

6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|→

AC|＝1

C的坐标为

|→AB|3( )

A.7

2

152，2

B.3

8，－3，2

C.10

73

，－1，3

D.573222

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )

A．45° B．60° C．90°

D．120°

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )

A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面

9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是( )

A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交

D．垂直且相交

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )

A．－3或1 B．3或－1 C．－3

D．1

二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为________．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝______.

14．已知两异面直线l和l1

12的方向向量分别为v1和v2，若cos〈v1，v22，则l1

与l2所成的角为________________．

三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值．

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小；

3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程

一、选择题

1．点A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( )

A.72，1，－2

 B.1

2，2，3



C.(－12，3，5)

D.13，43，－2

[答案] B

[解析] 由中点坐标公式可得B.

2．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且→AC＝2→

3AB，则点C的坐

标为( )

A．715

2，－22)

B．(3

8

3,2)

C．7

3，－1，－1)

D．5732，－22

)

[答案] C

[解析] 设C(x，y，z)，→

AC＝(x－3，y－3，z＋5) ＝2

3

－1，－6,6) 解得x7

3

，y＝－1，z＝－1.

3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线

l1与l2的夹角的余弦值等于( )

A．－2

5

B.25C．－255

D.25

5

[答案] B

[解析] a²b＝－4，|a|＝5，|b|＝5，

cosθ＝|cos〈a²b〉|＝a²b－42

|a||b|＝10＝5

4．已知向量a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则( )

A．x9

2，y＝15

B．x＝3，y＝15

2

C．x＝3，y＝15

D．x9152，y＝2

[答案] D

[解析] ∵l3xy

1∥l2，∴a∥b，∴23＝5，

∴x＝92y＝152

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° B．45° C．60°

D．90°

[答案] C

[解析] 直线a，b的方向向量分别为→AB，→CD， ∵→AB＝→AC＋→CD＋→DB，

∴→AB²→CD＝→AC²→CD＋CD→2＋→DB²→CD， 即2³1³cos〈→AB，→

CD〉＝1 ∴cos〈→AB，→

CD〉＝12，

即〈→AB，→

CD〉＝60°.故选C.

→6．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|AC|1

|→＝AB|3C的坐标为

( )

A.7

21522

B.383，2



C.10

31，73

D.5732－2，2

[答案] C

[解析] 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且|→

AC|1

|→AB|3∴→AC＝13

，

即(x－4，y－1，z－3)＝1

3－2，－6，－2)，

∴x＝1073y＝－1，z＝3

.

7．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(

)

A．45° B．60° C．90°

D．120°

[答案] B

[解析] 取D点为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，设棱长为1， 则→EF＝1→0，1

2，－2，GH＝11－2

0，2，

－1∴cos〈→EF，→

GH〉＝

4

22

1

222

∴〈→EF，→

GH〉＝120°， ∴异面直线EF，GH成60°角．

8．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB1，BC1的中点，则以

下结论中不成立的是( )

A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面 [答案] D

[解析] 建立空间直角坐标系后，验证A、B、C正确，故选D. 9．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1

的关系是( )

A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交

D．垂直且相交

[答案] B

[解析] 取D点为坐标原点建系后，

DA→→

1＝(1,0,1)，AC＝(－1,1,0)，

设PQ→

＝(a，b，c)，则

a＋c＝0

－a＋b＝0，

取→

PQ＝(1,1，－1)．

∵BD→

→1

＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－PQ，

∴→PQ∥BD→

1，∴PQ∥BD1.

10．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )

A．－3或1 B．3或－1 C．－3

D．1

[答案] A

[解析] ∵|a|＝6，∴x＝±4. 又a⊥b，∴2y＋x＋2＝0. 当x＝4时y＝－3，x＋y＝1； 当x＝－4时y＝1，x＋y＝－3.故选A. 二、填空题

11．已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则P点的坐标为________．

[答案] (－1,0,2)

[解析] 由已知，→AB＝(－1，－1，－1)，→AC＝(2,0,1)，→

PA＝(－x,1，－z)， →→由

PA²AB＝0，解得

＝－1→PA²→AC＝0

，得

x－1＋z＝0－2x－z＝0

xz＝2

.

∴P(－1,0,2)．

12．已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为________．

[答案] (1,2,0)

[解析] →BC＝(－2，－2,0)，而→AD＝→

BC，

∴→OD＝→BC＋→

OA＝(－2，－2,0)＋(3,4,0)＝(1,2,0)， ∴D点坐标为(1,2,0)．

13．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y＝______，z＝______.

[答案] 33

22

[解析] ∵v∥→AB，而→

AB＝(－1,2－y，z－3) ∴

－12－yz－2－1＝3

3

∴y＝32z＝32

14．已知两异面直线l〈v1

1和l2的方向向量分别为v1和v2，若cos1，v2〉＝－2l1

与l2所成的角为________________．

[答案] 60°

[解析] 由异面直线夹角的范围可得． 三、解答题

15．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，若点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值．

[解析] →

AB＝(－2,2－2)， →

AC＝(－1,6，－8)，AP→

＝(x－4，－2,0)．

因为点P在平面ABC内，则存在一对实数λ，μ，使得→AP＝λ→AB＋μ→

AC.

x－4＝－2λ－μ，故－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.

解得x＝11.

16．已知三棱锥O—ABC中，OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点

D，使BD∥AC，DC∥AB?

[解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，

B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)．

由BD∥AC，DC∥AB⇒→BD∥→AC.→DC∥→

AB， 因此



(x，y－1，z)＝k1(－1，0，2)，(－x，－y，2－z)＝k2(－1，1，0)，

x＝－1，⇒y＝1，D点的坐标为(－1,1,2)．

z＝2.

即17．如图，点O是正△ABC平面外一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦．

[解析] 设→OA＝a，→OB＝b，→

OC＝c，则a²b＝b²c＝c²a＝1

2

，|a|＝|b|＝|c|＝1， OE→

²→BF＝1

2(a＋b)²12－b

＝1212＋12

2－a²b－|b|

＝11111

2442－1＝－2

， →→－1

∴cos〈→OE，→

BF〉＝OE²BF22|→OE|²|→BF|3332³

2∴OE与BF所成角的余弦为2

3

.

18．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|

＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．

(1)求直线AO1与B1E所成角的大小； (2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离． [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系． (1)由题设知，A(2,0,0)，O1(0,0,2)，

B1(2,3,2)，E(1,3,0)

∴AO→＝(－2,0,2)，B→

11E＝(－1,0，－2)． ∴cos

－2101，B1E>＝21010.

∴AO101与B1E所成角的大小为arccos10

. (2)由题意得O→⊥→AC，→AD∥→

1DAC. ∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，

∴O→2)，→

1D＝(x，y，－AD＝(x－2，y,0)， →

AC＝(－2,3,0)

－2x＋3y＝0，

∴

x－2－2y

3

，

x＝1813∴∴D(y＝12

13，12

13

，0)．

13

18∴|O→

1D|＝(

1813－0)2＋12

13

－0)

2

＋

(0－2)2 ＝

286

13

.