7-5空间直线及其方程

第五节空间直线及其方程

一、直线方程

二、两直线的夹角

第七章

三、直线与平面的夹角

四、过直线的平面束方程

机动目录上页下页返回结束

一、空间直线的一般方程

定义空间直线可看成两平面的交线．

 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0  2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

 A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

——直线的一般式方程 x

1

2

其中 A1 ,B1 , C1 与 A2 ,B2 , C2 不成比例。

机动目录上页下页返回结束

二、空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，则这个向量就称为这条直线

的方向向量．

已知直线 L 的方向向量

 M0

M

v  {m , n, p}, 和 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 则对L上的任一点 M ( x , y , z )，有

M 0 M // v

 M 0 M  { x  x0 , y  y0 , z  z0 }

x  x 0 y  y0 z  z0    m n p

机动目录上页下页返回结束

x  x 0 y  y0 z  z 0   m n p

——直线的对称式方程

直线的一组方向数直线的对称式方程有时也称直线的标准方程直线方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

x  x0 y  y0 z  z0   （1）在对称式方程中，若 m n p

则它对应的分子也理 m , n, p 中有某个数为 0，解为 0。

机动目录上页下页返回结束

说明：

（2）若直线过已知两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) ，

则此的直线方程为： x  x1 y  y1 z  z1   x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1

—— 直线的两点式方程

x  x0 y  y0 z  z0 (3) 若令    t，则 m n p

 x  x0  mt   y  y0  nt  z  z  pt 0 

—— 直线的参数方程（t 为参数）

机动目录上页下页返回结束

关于直线的参数方程，我们可以从另一个角度来看

设 v  {m , n, p},

M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,

动点从 M 0 点出发，沿平行于 v 的方向

经过时刻 t 到达点 M ( x( t ), y( t ), z(t )) , 则则此动点的轨迹就是直线 L 。假设，此动点移动的速度是 v ,

 M0

M

因为 M 0 M // v , 所以 M 0 M  vt ,

 x  x0  mt  即  y  y0  nt  z  z  pt 0 

—— 直线的参数方程（t 为参数）

机动

上页

下页

结束

x 1 y  2 z  2   例 1 将直线的标准方程： 1 2 3

化成一般式方程。

x 1 y  2  1 2 解：   y2 z2    2 3

或

 2x  y  4  0   3 y  2 z  10  0 2 x  y  4  0   3x  z  1  0

还能怎么做？

机动目录上页下页返回结束

x 1 y  2  1  2  x 1 z  2    1 3

想想下面这个题能化成几种形式？

x 1 y 

2 z  2   将直线的标准方程： 0 2 3 化成一般式方程。

x 1 0   解：  y  2 z  2    2 3

 x 1 0   3 y  2 z  10  0

只有这一种形式！

机动

上页

下页

结束

用对称式方程及参数方程表示直线 x  y  z  1  0  2 x  y  3z  4  0 解1 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )  y0  z0  2  0 , 解得 y0  0, 取 x0  1    y0  3 z0  6  0 取 v  n1  n2  {4,1,3}, x 1 y 0 z  2   , 对称式方程 4 1 3 例2

z 0  2

 x  1  4t  参数方程  y   t .  z  2  3t 

机动

上页

下页

结束

例2

用对称式方程及参数方程表示直线

x  y  z  1  0  2 x  y  3z  4  0

解2 在直线上找出两点 ( x0 , y0 , z0 ) , ( x1 , y1 , z1 )

 y0  z0  2  0 , 解得 y0  0, z0  2 取 x0  1    y0  3 z0  6  0

1 5  y1  z1  1  0 , 解得 y1  4 , z1   4 取 x1  0     y1  3 z1  4  0

机动

上页

下页

结束

1 5 求出直线上的两点 (1.0,2) (0, , ) 4 4 x 1 y  0 z2  , 由两点式得 0  1  1 5 0  2 4 4

所以对称式方程

x 1 y 0 z  2   , 4 1 3

参数方程

 x  1  4t  .  y  t  z  2  3t 

机动

上页

下页

结束

例 3：一直线过点 A( 2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，求其方程。

解:

因为直线和 y 轴垂直相交,

所以交点为

B ( 0 ,  3 , 0 ),

取 v  BA  {2, 0, 4} // {1, 0, 2} 所求直线方程

x2 y3 z4   . 1 0 2

机动目录上页下页返回结束

例 4：设 A(1,2,2) ， B(1,3, 2) ， : x  2 y  4 z  6 ，问（1）点 A, B 至少有一个在平面 上；（2）点 A, B 都不在平面 上；（3）点 A, B 都不在平面 上，但在平面 的同侧；（4）点 A, B 都不在平面 上，但在平面 的异侧；

解: 1  2  2  4  2  13 > 6

1  2  3  4  ( 2)  1

故点 A, B 都不在平面 上，但在平面 的异侧。

机动

上页

下页

结束

例 5：求例 4 中两点 A(1,2,2) ，B(1,3, 2) 所确定的直线与平面 : x  2 y  4 z  6 的交点。

解: AB  {0,1, 4} , 则过点 A, B 的直线方程为

x  1 1   y  2  t 代入平面  的方程解得： t  2  z  2  4t 

5 故交点坐标为： N (1, ,0) 2

说明: 求直线与平面的交点，通常把直线方程写成参数

式，代入平面方程求出参数，再求出交点。

机动目录上页下页返回结束

 x  3y  z  0  z0 例 6：求解三元一次方程组：  2 x x y 0  解：由线性代

数的知识知，此方程组有无穷多个解，利用消元法可以很容易的求出它的解。现在我们从

几何上来考察一下它的解。显然

 x  3y  z  0   { x , y , z } {1,3,1}  0 x  3 y  z  0  z0  2 x { x , y , z } {2,0, 1}  0 2 x  z  0  x y  0 

 { x , y , z }  {1,3,1}  { x , y, z }//{1,3,1}  {2,0, 1}  { x , y , z }  {1,0, 2} 即 { x , y, z }//{3,3, 6} //{1,1, 2}

故方程组的解是一条直线: x   t , y  t , z  2t

机动目录上页下页返回结束

三、两直线的夹角

定义：两相交直线所成的锐角（包括直角）称为两直线的夹角。直线 L1 :

直线 L2 :

x  x1 y  y1 z  z1   , m1 n1 p1 x  x 2 y  y2 z  z 2   , m2 n2 p2



cos L1 , L2 

| m1 m 2  n1 n2  p1 p2 | m1 2  n1 2  p1 2  m 2 2  n2 2  p2 2

——两直线的夹角公式

机动目录上页下页返回结束

说明：

（1）若两直线平行，则认为它们的夹角为零。

（2）若两直线是异面直线，先将它们平移至相

交状态，这时两直线的夹角就称为异面直线的夹角。两直线的位置关系：

(1) L1  L2  m1m2  n1n2  p1 p2  0,

( 2) L1 // L2 

m1 n1 p1   , m2 n2 p2

机动目录上页下页返回结束

四、直线与平面的夹角

定义：一直线与它在某平面上投影直线之间的夹角  称为该直线与此平面之间的夹角。

0    L,  





x  x0 y  y0 z  z0   , m n p

v  {m , n, p},

 : Ax  By  Cz  D  0,

v,n 

 n  { A, B, C },



2 

机动目录上页下页返回结束





或

v,n 

  sin  cos     cos    . 2 2

sin L,  

| Am  Bn  Cp | A2  B 2  C 2  m 2  n2  p 2

——直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系： A B C   . (1) L   m n p

( 2) L // 



Am  Bn  Cp  0.

机动

上页

下页

结束

五、点到直线的距离

设 P1 是直线 L 上一点，直线 L 的方  向向量是 v ， P0 是直线 L 外一点。则



P0 到 L 的距离为

 P

 v

 P1 P0  v d  v

——点到直线的距离公式

机动

上页

下页

结束

x  y  z  1 例 7：求点 P0 (1,2,3) 到直线  的距离。  2x  z  3  解1：直线的方向向量为 v  {1,3,2}

在直线上找一点 P1 (1,1,1) ,

由公式

则点 P0 (1,2,3) 到直线的距离为

 P1 P0  v 3 | {0,1,2}  {1,3,2} |  d   2 v (1)2  ( 3)2  ( 2)2

机动

上页

下页

结束

x  y  z  1 例 7：求点 P0 (1,2,3) 到直线  的距离。  2x  z  3  解2：

直线的方向向量为 v  {1,3,2}

过点(1,2,3) 垂直于直线的平面为：

x  3 y  2 z  11  0 1 5 直线与平面的交点为 ( , ,2) 2 2

则点(1,2,3) 到直线的距离为



1 2 5 2 3 2 d  (1  )  ( 2  )  ( 3  2)  2 2 2

机动目录上页下页返回结束

六、过直线的平面束

通过同一条直线的全体平面组成的平面族称为过该直线的平面束。   1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 过直线    2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

(其中 A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 )

的平面束方程为：

 1 ( A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1 )   2 ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0

其中 1 ，2 是任意常数。

机动

上页

下页

结束

 1 ( A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1 )   2 ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0 (1)

其中 1 ，2 是任意常数。

当 1  0时，平面束方程可表示为：

A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1   ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0 (2)

2 其中   是任意常数。 1

注意：(2)表示的平面束方程中不含平面  2 。

说明：为简便起见，在用平面束方程做题时通常用只含一个任意常数的方程，即方程（2）。

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

解1：已知直线的方向向量为

v1  {1,1, 1}  {1, 1,1}  {0, 2, 2}  已知平面的法向量为：n  {1,1,1} 记则 v1  n  {0, 2, 2}  {1,1,1} {0,2,2}  v2  显然，v2  投影直线，又，n  投影直线，

取投影直线的方向向量为

v  n  v2  {1,1,1}  {0,2,2}  {4,2,2}

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

投影直线的方向向量

1 1 又投影直线过已知直线和平面的交点 (0, , ) 2 2 则所求投影直线方程为

v  n  v2  {4,2,2} //{2,1,1}

1 1 x y2 z2   2 1 1

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

解2：已知直线的方向向量为

v1  {1,1, 1}  {1, 1,1}  {0, 2, 2}

直线在已知平面上的投影平面的法向量为

v2  {1,1,1}  {0, 2, 2}  {0,2, 2}

在已知直线上找一点 (0,1,0) 则直线在已知平面上的投影平面方程为 y  z  1  0

x  y  z  0 则所求投影直线方程为   y  z 1 0

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z 

0 x  y  z  1  0 v1 n 上的投影直线方程。

解3：过直线的平面束方程为

( x  y  z  1)   ( x  y  z  1)  0

其法向量为 {1   , 1   ,  1   } 由题意

(1   )  1  (1   )  1  ( 1  ） 1  0

解得   1 则直线在已知平面上的投影平面方程为 y  z  1  0

x  y  z  0 则所求投影直线方程为   y  z 1 0

机动目录上页下页返回结束

七、两直线共面的条件、异面直线之间的距离

已知两直线

L1 : 过点 P1 ，方向向量为 v1 ;

则

P2 P1

L2 : 过点 P2 ，方向向量为 v2 ;



  L1 与 L2 共面  P1 P2 , v1 , v2 共面    P1 P2  (v 1  v2 )  0   L1 与 L2 异面  P1 P2 , v 1 , v2 不共面    P1 P2  (v1  v2 )  0

机动

上页

下页

结束

方向向量为 v1 ; 已知两直线 L1 : 过点 P1 ， L2 : 过点 P2 ，方向向量为 v2 ; 若 L1 与 L2 异面，现求它们之间的距离。

异面直线间的距离：即公垂线上两垂足之间的距离。如图，公垂线长等于以   v1 , v2 , P1 P2 为棱的平行六面体的高

 v2

 故 L1 、 L2 之间的距离为 v2   | P1 P2  ( v1  v 2 ) |  d v P   1 1 | v1  v 2 |  v —— 异面直线间的距离 1

机动目录上页

L1 L1

下页返回结束

x y  11 z  4 x6 y7 z   ，  例 9：设： L1 :  ， L2 : 1 2 1 1 6 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

6  18  4   2 1  80  0 解1:  P1 P2  (v1  v2 )  1 1 6 1

故两直线异面。又因为所以

| v1  v2 | | {8,0,8} |  8 2

  | P1 P2  (v1  v2 ) | 80 d    5 2 | v1  v2 | 8 2

机动目录上页下页返回结束

x6 y7 z x y  11 z  4   ，例 9：设： L1 :  ， L2 :  1 6 1 1 2 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

先来分析一下: 由于公垂线与 L1 , L2 都垂直故其方向向量为 n  v1  v2 过 L1 做平行于 L2 的平面 

 v1



则 n  v1  v2 为  的法向量，

则点 L2 上任一点到平面 

 v2

的距离就是所求的异面直线间的距离。

机动目录上页下页返回结束

x6 y7 z x y  11 z  4   ，例 9：设： L1 :  ， L2 :  1 6 1 1 2 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

解2: 同解1，可证两直线异面。过L1且平行于L2的平面的法向量为    n  v1  v2  {1,2,1}  {1,6,1}  {8,0,8}

 v1



过L1且平行于L2的平面方程为

 v2

8 x  0( y  11)  8( z  4)  0，即 x  z  4  0

L2上任一点到的上平面的距离即为两直线的距离

| Ax0  By0  Cz0

 D | | 1  6  0  ( 7)  1  0  4 | d   2 2 2 A  B C 12  02  ( 1)2 5 2

机动目录上页下页返回结束

求异面直线公垂线的方法：

x  x1 y  y1 z  z1 L1 :    t1 m1 n1 p1 x  x 2 y  y2 z  z 2 L2 :    t2 m2 n2 p2

设两垂足的坐标分别为

 v1



M ( x1  m1t1 , y1  n1t1 , z1  p1t1 )

 v2

N ( x2  m2t 2 , y2  n2t 2 , z2  p2t2 )      MN  v1 , MN  v2  MN //(v1  v2 )  对应分量成比例  解出 t1 , t 2 求得垂足

求得公垂线方程和公垂线长即异面直线的距离。

机动目录上页下页返回结束

例10：求两直线 L1 : x  1  y  z 和 L2 : x  y  z  2 0 1 1 2 1 0 之间的距离和它们的公垂线 L 的方程。

  解1 v1  {0,1,1} , v2  {2,1,0}.

公垂线 L 的方向向量为：

 v1



   v  v1  v2  {1,2,2}.

设 M (1 , t1 , t1 ) ， N ( 2t 2 ,  t 2 ,  2) MN  {2t 2  1 ,  t2  t1 ,  2  t1 }

 v2

4 2 2t 2  1  t 2  t1  2  t1  t1   , t 2  则   3 3 1 2 2

机动目录上页下页返回结束

M (1 , t1 , t1 ) ， N ( 2t 2 ,  t 2 ,  2)

4 2 t1   , t 2  3 3

4 4 4 2 求得 M (1 ,  ,  ) ， N ( ,  ,  2) 3 3 3 3 1 2 2 故 MN  { , ,  } 3 3 3

 1  2  2 则它们之间的距离： d            1  3  3  3

4 4 y z x  1 3 3 公垂线方程：  1 2 2

机动目录上页下页返回结束

x 1 y z x y z2   和 L2 :   例10：求两直线 L1 : 0 1 1 2 1 0 的公垂线 L 的方程。  v1 L1    M P 1 解2 v1  {0,1,1} , v2  {2,1,0}.

公垂线 L 的方向向量为：

v  v1  v2  {1,2,2}.

先求过 L1 与 L 的平面 1 ，  1 的法向量则  1 的方程为 4( x  1)  y  z  0

即

 v2

n1  v1  v  {4,1, 1}.

4x  y  z  4  0

机动目录上页下页返回结束

类似可求出过 L2 与 L 的平面  2：

 v1



 2 的法向量

n2  v2  (v1  v2 )  {2,4,5}.

则  2 的方程为

2 x  4 y  5( z  2)  0

即

 v2

2 x  4 y  5 z  10  0

则 1 与  2 的交线即为所求公垂线 L 的方程：

 4x  y  z  4  0   2 x  4 y  5 z  10  0

机动目录上页下页返回结束

x 1 y z x y z2 求两直线 L1 :   和 L2 :   例10： 0 1 1 2 1 0 的公垂线 L 的方程。  L1 v 1    M P 解3 v1  {0,1,1} , v2  {2,1,0}. 1 公垂线 L 的方向向量为：

   v  v1  v2  {1,2,2}.

现求过 L1 与 L 的平面 1 ，

 v2

过 L1 的平面束方程为： ( x  1)   ( y  z )

 0，即 x  y  z  1  0

1 由题意， 1  2  2  0     4  1的方程为： 4 x  y  z  4  0

机动目录上页下页返回结束

同理可求过 L2 与 L 的平面  2 ，

 v1



过 L2 的平面束方程为：

( x  2 y )   ( z  2)  0，

即 x  2 y  z  2  0

5 由题意， 1  2  2  2  0    2

 v2

 2的方程为： 2 x  4 y  5 z  10  0

则 1 与  2 的交线即为所求直线L 的方程：

 4x  y  z  4  0   2 x  4 y  5 z  10  0

机动目录上页下页返回结束

八、内容小结

1. 空间直线方程一般式对称式

 A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

参数式

 x  x0  m t   y  y0  n t  z  z  pt 0 

( m 2  n 2  p 2  0)

机动

上页

下页

结束

2.线与线之间的关系直线直线

L1：过点 P1 ( x 1 , y1 , z 1 ) , L2：过点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,

L1  L2 L1 // L2

L1与L2共面

v1  v 2  0 v1  v 2  0

m1 n1 p1   m 2 n2 p2

P1 P2  (v1  v2 )  0

v1  v 2 cos   v1 v 2

机动目录上页下页返回结束

两直线的夹角公式:

3.线与面之间的关系平面  : A x  B y  C z  D  0 , n  { A , B , C } x  x0 y  y0 z  z0 直线 L :   , v  {m , n, p} m n p m n p   L⊥ vn0 A B C L // 

sn0

m A  n B  pC  0

直线与平面的夹角公式：





机动目录上页下页返回结束

vn sin   v n

4. 距离直线直线

L1：过点 P1 ( x 1 , y1 , z 1 ) , L2：过点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,

(1) 点P0 ( x0 , y0 , z0 )到直线 L1 的距离

P1 P0  v1 d v1

( 2) 异面直线 L1 , L2 之间的距离

| P1 P2  (v1  v2 ) | d | v1  v2 |

机动目录上页下页返回结束

5.过直线的平面束方程

过直线

  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0    2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

的平面束方程为：（不含平面  2 ）

A1 x  B1 y  C 1 z  D 1   ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0

机动

上页

下页

结束

作业习题6-4(P23) 13

习题6-5(P29)

3 ，7，10，

12，16，18

习题课目录上页下页返回结束

备用题

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2 分析：求 L 的思路

（1）求出 L 与 z 轴的交点，用两点式；（2）求出 L 的方向向量，用点向式；（3）求出过 L 的两个平面，用一般式；

习题课

上页

下页

结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方

程。  4 3 2 解法1：设 L 与 z 轴的交点为 (0,0, z ) ，

则 L 的方向向量为

v  {0  1,0  2, z  3}  {1,2, z  3}

而 L  L ，故

{1,2, z  3}  {4,3,2}  0  z  4

x y z4 故直线 L 的方程为：   1 2 1

习题课目录上页下页返回结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2

解法2：过 B 点做垂直于 L 的平面  ,

 : 4( x  1)  3( y  2)  2( z  3)  0

即

4 x  3 y  2z  8  0

L

将 x  0, y  0 代入  ，得 L 与 z 轴的交点 (0,0,4) 故直线 L 的方程为：

o y

x y z4   1 2 1

习题课

上页

下页

结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2

解法3：过 B 点做垂直于 L 的平面  ,

 : 4( x  1)  3( y  2)  2( z  3)  0

即 4 x  3 y  2 z  8  0 (1)

L

做过 B 点和 z 轴的平面 1 ，设 1：Ax  By  Cz  D  0 因 1 过 z 轴，所以

o y

C  D0

习题课目录上页下页返回结束

： 4 x  3 y  2 z  8  0 (1)

故 1：Ax  By  0 将点 B(1,2,3) 代入上式，得

A  2B

L

于是 1： 2 x  y  0

( 2)

联立(1)( 2)，得 L 的方程

4 x  3 y  2 z  8  0  2 x  y  0

习题课

上页

下页

结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解1

先作一过点M且与已知直线垂直的平面 

3( x  2)  2( y  1)  ( z  3)  0

即 3x  2 y  z  5  0

再求已知直线与该平面的交点N,

 x  3t  1 x 1 y 1 z  令    t   y  2t  1. 3 2 1 z  t 

机动目录上页下页返回结束

3 2 13 3 代入平面方程得 t  , 交点 N ( , , ) 7 7 7 7

取所求直线的方向向量为 MN

2 13 3 12 6 24 MN  {  2,  1,  3}  { , , }, 7 7 7 7 7 7

所求直线方程为

x  2 y 1 z  3   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

说明：求直线与平面的交点的方法

x  x0 y  y0 z  z0 L:   ,  : Ax  By  Cz  D  0, m n p

 x  x0  mt  将 L 化为参数方程：  y  y0  nt  z  z  pt  0

代入平面方程，确定 t 值，从而就可确定交点(x,y,z). 注：当 L 为一般方程时，需要解三元一次方程组。

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解2 设所求直线L的方向向量为：v  {m , n, p} 已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

由题意，有

v  v1 

3m  2n  p  0

在已知直线上取点P ( 1,1,0), 则

MP , v , v1 三向量共面，

机动目录上页下页返回结束

m n p 3 2  1  0  m  2n  p  0 3 0 3

联立

 3m  2n  p  0   m  2n  p  0

1  p  2m , n   m 2

所求直线方程为:

x  2 y 1 z  3   . 1 m  m 2m 2

x  2 y 1 z  3 即：   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解3：已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

已知直线过点 P ( 1,1,0) , 则 MP  {3,0,3}

记 n  MP  v1  {3,0,3}  {3,2,1}

 {6,12,6} //{1,2,1}

故所求直线的方向向量为 v  {1,2, 1}  {3,2, 1}  {4,2,8} //{2,1,4}

所求直线方程为

x  2 y 1 z  3   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解4：过点且垂直已知直线的平面方程为

3( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

3x  2 y  z  5  0

(1)

已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

已知直线过点 P ( 1,1,0) , 则 MP  {3,0,3}

则过点M和已知直线的平面的法向量为

n  MP  v1  {3,0,3}  {3,2,1}  {6,12,6}

//{1,2,1}

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

3x  2y  z  5  0

(1 ) ，

 n  {1 ,  2 ,  1 }

则过点M和已知直线的平面的方程为

( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

x  2y  z  3  0

( 2)

联立（1）（2）得所求直线方程为：

3 x  2 y  z  5  0   x  2y  z  3  0

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解5：过点且垂直已知直线的平面方程为

3( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

3x  2 y  z  5  0

(1)

过已知直线的平面束方程为

( 2 x  3 y  5)   ( x  3 z  1)  0

1 将 ( 2,1,3)代入上式，解得    2

机动目录上页下页返回结束

即

3x  2y  z  5  0

(1 )

( 2 x  3 y  5 )   ( x  3 z  1)  0

1 将    代入上式得过点通过已知直线的平面方程 2

x  2y  z  3  0

联立（1）（2）得所求直线方程为：

( 2)

3 x  2 y  z  5  0   x  2y  z  3  0

机动目录上页下页返回结束

3 、求过点 ( 3, 2, 5) 且与两平面 x  4 z  3 和

2 x  y  5 z  1 的交线平行的直线方程。

解：设所求直线的方向向量为 v  {m , n, p}, 根据

题意知取

v  n1 , v  n2 ,

v  n1  n2  {4,3,1},

所求直线的方程

x3 y2 z5   . 4 3 1

机动目录上页下页返回结束

4. 求以下两直线的夹角

解: 直线

的方向向量为

x  y  2  0 L2 :   x  2z  0

j 1 0 k 0  { 2 ,  2 ,  1} 2

i 直线的方向向量为 v 2  1 1 二直线夹角 的余弦为

cos  

从而

1  2  (  4 )  (  2 )  1  (  1)

2 2  (  2 ) 2  (  1) 2

12  (  4 ) 2  12   4

机动

上页

下页

结束

x 1 y z 1   5．设直线 L : ，平面 2 1 2  : x  y  2 z  3，求直线与平面的夹角。  解 n  {1,1, 2}, v  {2, 1,2},

sin   | Al  Bm  Cn | A2  B 2  C 2  l 2  m 2  n 2

7 | 1  2  ( 1)  ( 1)  2  2 |  .  3 6 6 9

   arcsin 7 3 6

为所求夹角．

机动

上页

下页

结束

第五节空间直线及其方程

一、直线方程

二、两直线的夹角

第七章

三、直线与平面的夹角

四、过直线的平面束方程

机动目录上页下页返回结束

一、空间直线的一般方程

定义空间直线可看成两平面的交线．

 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0  2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

 A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

——直线的一般式方程 x

1

2

其中 A1 ,B1 , C1 与 A2 ,B2 , C2 不成比例。

机动目录上页下页返回结束

二、空间直线的对称式方程与参数方程

方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，则这个向量就称为这条直线

的方向向量．

已知直线 L 的方向向量

 M0

M

v  {m , n, p}, 和 L 上的一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 则对L上的任一点 M ( x , y , z )，有

M 0 M // v

 M 0 M  { x  x0 , y  y0 , z  z0 }

x  x 0 y  y0 z  z0    m n p

机动目录上页下页返回结束

x  x 0 y  y0 z  z 0   m n p

——直线的对称式方程

直线的一组方向数直线的对称式方程有时也称直线的标准方程直线方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

x  x0 y  y0 z  z0   （1）在对称式方程中，若 m n p

则它对应的分子也理 m , n, p 中有某个数为 0，解为 0。

机动目录上页下页返回结束

说明：

（2）若直线过已知两点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) ，

则此的直线方程为： x  x1 y  y1 z  z1   x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1

—— 直线的两点式方程

x  x0 y  y0 z  z0 (3) 若令    t，则 m n p

 x  x0  mt   y  y0  nt  z  z  pt 0 

—— 直线的参数方程（t 为参数）

机动目录上页下页返回结束

关于直线的参数方程，我们可以从另一个角度来看

设 v  {m , n, p},

M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,

动点从 M 0 点出发，沿平行于 v 的方向

经过时刻 t 到达点 M ( x( t ), y( t ), z(t )) , 则则此动点的轨迹就是直线 L 。假设，此动点移动的速度是 v ,

 M0

M

因为 M 0 M // v , 所以 M 0 M  vt ,

 x  x0  mt  即  y  y0  nt  z  z  pt 0 

—— 直线的参数方程（t 为参数）

机动

上页

下页

结束

x 1 y  2 z  2   例 1 将直线的标准方程： 1 2 3

化成一般式方程。

x 1 y  2  1 2 解：   y2 z2    2 3

或

 2x  y  4  0   3 y  2 z  10  0 2 x  y  4  0   3x  z  1  0

还能怎么做？

机动目录上页下页返回结束

x 1 y  2  1  2  x 1 z  2    1 3

想想下面这个题能化成几种形式？

x 1 y 

2 z  2   将直线的标准方程： 0 2 3 化成一般式方程。

x 1 0   解：  y  2 z  2    2 3

 x 1 0   3 y  2 z  10  0

只有这一种形式！

机动

上页

下页

结束

z 0  2

 x  1  4t  参数方程  y   t .  z  2  3t 

机动

上页

下页

结束

例2

用对称式方程及参数方程表示直线

x  y  z  1  0  2 x  y  3z  4  0

解2 在直线上找出两点 ( x0 , y0 , z0 ) , ( x1 , y1 , z1 )

 y0  z0  2  0 , 解得 y0  0, z0  2 取 x0  1    y0  3 z0  6  0

1 5  y1  z1  1  0 , 解得 y1  4 , z1   4 取 x1  0     y1  3 z1  4  0

机动

上页

下页

结束

1 5 求出直线上的两点 (1.0,2) (0, , ) 4 4 x 1 y  0 z2  , 由两点式得 0  1  1 5 0  2 4 4

所以对称式方程

x 1 y 0 z  2   , 4 1 3

参数方程

 x  1  4t  .  y  t  z  2  3t 

机动

上页

下页

结束

例 3：一直线过点 A( 2,3,4)，且和 y 轴垂直相交，求其方程。

解:

因为直线和 y 轴垂直相交,

所以交点为

B ( 0 ,  3 , 0 ),

取 v  BA  {2, 0, 4} // {1, 0, 2} 所求直线方程

x2 y3 z4   . 1 0 2

机动目录上页下页返回结束

解: 1  2  2  4  2  13 > 6

1  2  3  4  ( 2)  1

故点 A, B 都不在平面 上，但在平面 的异侧。

机动

上页

下页

结束

例 5：求例 4 中两点 A(1,2,2) ，B(1,3, 2) 所确定的直线与平面 : x  2 y  4 z  6 的交点。

解: AB  {0,1, 4} , 则过点 A, B 的直线方程为

x  1 1   y  2  t 代入平面  的方程解得： t  2  z  2  4t 

5 故交点坐标为： N (1, ,0) 2

说明: 求直线与平面的交点，通常把直线方程写成参数

式，代入平面方程求出参数，再求出交点。

机动目录上页下页返回结束

 x  3y  z  0  z0 例 6：求解三元一次方程组：  2 x x y 0  解：由线性代

数的知识知，此方程组有无穷多个解，利用消元法可以很容易的求出它的解。现在我们从

几何上来考察一下它的解。显然

 x  3y  z  0   { x , y , z } {1,3,1}  0 x  3 y  z  0  z0  2 x { x , y , z } {2,0, 1}  0 2 x  z  0  x y  0 

 { x , y , z }  {1,3,1}  { x , y, z }//{1,3,1}  {2,0, 1}  { x , y , z }  {1,0, 2} 即 { x , y, z }//{3,3, 6} //{1,1, 2}

故方程组的解是一条直线: x   t , y  t , z  2t

机动目录上页下页返回结束

三、两直线的夹角

定义：两相交直线所成的锐角（包括直角）称为两直线的夹角。直线 L1 :

直线 L2 :

x  x1 y  y1 z  z1   , m1 n1 p1 x  x 2 y  y2 z  z 2   , m2 n2 p2



cos L1 , L2 

| m1 m 2  n1 n2  p1 p2 | m1 2  n1 2  p1 2  m 2 2  n2 2  p2 2

——两直线的夹角公式

机动目录上页下页返回结束

说明：

（1）若两直线平行，则认为它们的夹角为零。

（2）若两直线是异面直线，先将它们平移至相

交状态，这时两直线的夹角就称为异面直线的夹角。两直线的位置关系：

(1) L1  L2  m1m2  n1n2  p1 p2  0,

( 2) L1 // L2 

m1 n1 p1   , m2 n2 p2

机动目录上页下页返回结束

四、直线与平面的夹角

定义：一直线与它在某平面上投影直线之间的夹角  称为该直线与此平面之间的夹角。

0    L,  





x  x0 y  y0 z  z0   , m n p

v  {m , n, p},

 : Ax  By  Cz  D  0,

v,n 

 n  { A, B, C },



2 

机动目录上页下页返回结束





或

v,n 

  sin  cos     cos    . 2 2

sin L,  

| Am  Bn  Cp | A2  B 2  C 2  m 2  n2  p 2

——直线与平面的夹角公式

直线与平面的位置关系： A B C   . (1) L   m n p

( 2) L // 



Am  Bn  Cp  0.

机动

上页

下页

结束

五、点到直线的距离

设 P1 是直线 L 上一点，直线 L 的方  向向量是 v ， P0 是直线 L 外一点。则



P0 到 L 的距离为

 P

 v

 P1 P0  v d  v

——点到直线的距离公式

机动

上页

下页

结束

x  y  z  1 例 7：求点 P0 (1,2,3) 到直线  的距离。  2x  z  3  解1：直线的方向向量为 v  {1,3,2}

在直线上找一点 P1 (1,1,1) ,

由公式

则点 P0 (1,2,3) 到直线的距离为

 P1 P0  v 3 | {0,1,2}  {1,3,2} |  d   2 v (1)2  ( 3)2  ( 2)2

机动

上页

下页

结束

x  y  z  1 例 7：求点 P0 (1,2,3) 到直线  的距离。  2x  z  3  解2：

直线的方向向量为 v  {1,3,2}

过点(1,2,3) 垂直于直线的平面为：

x  3 y  2 z  11  0 1 5 直线与平面的交点为 ( , ,2) 2 2

则点(1,2,3) 到直线的距离为



1 2 5 2 3 2 d  (1  )  ( 2  )  ( 3  2)  2 2 2

机动目录上页下页返回结束

六、过直线的平面束

通过同一条直线的全体平面组成的平面族称为过该直线的平面束。   1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 过直线    2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

(其中 A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 )

的平面束方程为：

 1 ( A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1 )   2 ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0

其中 1 ，2 是任意常数。

机动

上页

下页

结束

 1 ( A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1 )   2 ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0 (1)

其中 1 ，2 是任意常数。

当 1  0时，平面束方程可表示为：

A1 x  B 1 y  C 1 z  D 1   ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0 (2)

2 其中   是任意常数。 1

注意：(2)表示的平面束方程中不含平面  2 。

说明：为简便起见，在用平面束方程做题时通常用只含一个任意常数的方程，即方程（2）。

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

解1：已知直线的方向向量为

取投影直线的方向向量为

v  n  v2  {1,1,1}  {0,2,2}  {4,2,2}

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

投影直线的方向向量

1 1 又投影直线过已知直线和平面的交点 (0, , ) 2 2 则所求投影直线方程为

v  n  v2  {4,2,2} //{2,1,1}

1 1 x y2 z2   2 1 1

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z  0 x  y  z  1  0 n v1 上的投影直线方程。

解2：已知直线的方向向量为

v1  {1,1, 1}  {1, 1,1}  {0, 2, 2}

直线在已知平面上的投影平面的法向量为

v2  {1,1,1}  {0, 2, 2}  {0,2, 2}

在已知直线上找一点 (0,1,0) 则直线在已知平面上的投影平面方程为 y  z  1  0

x  y  z  0 则所求投影直线方程为   y  z 1 0

机动目录上页下页返回结束

x  y  z  1  0 例 8：求直线  在平面 x  y  z 

0 x  y  z  1  0 v1 n 上的投影直线方程。

解3：过直线的平面束方程为

( x  y  z  1)   ( x  y  z  1)  0

其法向量为 {1   , 1   ,  1   } 由题意

(1   )  1  (1   )  1  ( 1  ） 1  0

解得   1 则直线在已知平面上的投影平面方程为 y  z  1  0

x  y  z  0 则所求投影直线方程为   y  z 1 0

机动目录上页下页返回结束

七、两直线共面的条件、异面直线之间的距离

已知两直线

L1 : 过点 P1 ，方向向量为 v1 ;

则

P2 P1

L2 : 过点 P2 ，方向向量为 v2 ;



  L1 与 L2 共面  P1 P2 , v1 , v2 共面    P1 P2  (v 1  v2 )  0   L1 与 L2 异面  P1 P2 , v 1 , v2 不共面    P1 P2  (v1  v2 )  0

机动

上页

下页

结束

方向向量为 v1 ; 已知两直线 L1 : 过点 P1 ， L2 : 过点 P2 ，方向向量为 v2 ; 若 L1 与 L2 异面，现求它们之间的距离。

异面直线间的距离：即公垂线上两垂足之间的距离。如图，公垂线长等于以   v1 , v2 , P1 P2 为棱的平行六面体的高

 v2

 故 L1 、 L2 之间的距离为 v2   | P1 P2  ( v1  v 2 ) |  d v P   1 1 | v1  v 2 |  v —— 异面直线间的距离 1

机动目录上页

L1 L1

下页返回结束

x y  11 z  4 x6 y7 z   ，  例 9：设： L1 :  ， L2 : 1 2 1 1 6 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

6  18  4   2 1  80  0 解1:  P1 P2  (v1  v2 )  1 1 6 1

故两直线异面。又因为所以

| v1  v2 | | {8,0,8} |  8 2

  | P1 P2  (v1  v2 ) | 80 d    5 2 | v1  v2 | 8 2

机动目录上页下页返回结束

x6 y7 z x y  11 z  4   ，例 9：设： L1 :  ， L2 :  1 6 1 1 2 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

先来分析一下: 由于公垂线与 L1 , L2 都垂直故其方向向量为 n  v1  v2 过 L1 做平行于 L2 的平面 

 v1



则 n  v1  v2 为  的法向量，

则点 L2 上任一点到平面 

 v2

的距离就是所求的异面直线间的距离。

机动目录上页下页返回结束

x6 y7 z x y  11 z  4   ，例 9：设： L1 :  ， L2 :  1 6 1 1 2 1

证明： L1 , L2 异面，并求它们之间的距离。

解2: 同解1，可证两直线异面。过L1且平行于L2的平面的法向量为    n  v1  v2  {1,2,1}  {1,6,1}  {8,0,8}

 v1



过L1且平行于L2的平面方程为

 v2

8 x  0( y  11)  8( z  4)  0，即 x  z  4  0

L2上任一点到的上平面的距离即为两直线的距离

| Ax0  By0  Cz0

 D | | 1  6  0  ( 7)  1  0  4 | d   2 2 2 A  B C 12  02  ( 1)2 5 2

机动目录上页下页返回结束

求异面直线公垂线的方法：

x  x1 y  y1 z  z1 L1 :    t1 m1 n1 p1 x  x 2 y  y2 z  z 2 L2 :    t2 m2 n2 p2

设两垂足的坐标分别为

 v1



M ( x1  m1t1 , y1  n1t1 , z1  p1t1 )

 v2

N ( x2  m2t 2 , y2  n2t 2 , z2  p2t2 )      MN  v1 , MN  v2  MN //(v1  v2 )  对应分量成比例  解出 t1 , t 2 求得垂足

求得公垂线方程和公垂线长即异面直线的距离。

机动目录上页下页返回结束

例10：求两直线 L1 : x  1  y  z 和 L2 : x  y  z  2 0 1 1 2 1 0 之间的距离和它们的公垂线 L 的方程。

  解1 v1  {0,1,1} , v2  {2,1,0}.

公垂线 L 的方向向量为：

 v1



   v  v1  v2  {1,2,2}.

设 M (1 , t1 , t1 ) ， N ( 2t 2 ,  t 2 ,  2) MN  {2t 2  1 ,  t2  t1 ,  2  t1 }

 v2

4 2 2t 2  1  t 2  t1  2  t1  t1   , t 2  则   3 3 1 2 2

机动目录上页下页返回结束

M (1 , t1 , t1 ) ， N ( 2t 2 ,  t 2 ,  2)

4 2 t1   , t 2  3 3

4 4 4 2 求得 M (1 ,  ,  ) ， N ( ,  ,  2) 3 3 3 3 1 2 2 故 MN  { , ,  } 3 3 3

 1  2  2 则它们之间的距离： d            1  3  3  3

4 4 y z x  1 3 3 公垂线方程：  1 2 2

机动目录上页下页返回结束

x 1 y z x y z2   和 L2 :   例10：求两直线 L1 : 0 1 1 2 1 0 的公垂线 L 的方程。  v1 L1    M P 1 解2 v1  {0,1,1} , v2  {2,1,0}.

公垂线 L 的方向向量为：

v  v1  v2  {1,2,2}.

先求过 L1 与 L 的平面 1 ，  1 的法向量则  1 的方程为 4( x  1)  y  z  0

即

 v2

n1  v1  v  {4,1, 1}.

4x  y  z  4  0

机动目录上页下页返回结束

类似可求出过 L2 与 L 的平面  2：

 v1



 2 的法向量

n2  v2  (v1  v2 )  {2,4,5}.

则  2 的方程为

2 x  4 y  5( z  2)  0

即

 v2

2 x  4 y  5 z  10  0

则 1 与  2 的交线即为所求公垂线 L 的方程：

 4x  y  z  4  0   2 x  4 y  5 z  10  0

机动目录上页下页返回结束

   v  v1  v2  {1,2,2}.

现求过 L1 与 L 的平面 1 ，

 v2

过 L1 的平面束方程为： ( x  1)   ( y  z )

 0，即 x  y  z  1  0

1 由题意， 1  2  2  0     4  1的方程为： 4 x  y  z  4  0

机动目录上页下页返回结束

同理可求过 L2 与 L 的平面  2 ，

 v1



过 L2 的平面束方程为：

( x  2 y )   ( z  2)  0，

即 x  2 y  z  2  0

5 由题意， 1  2  2  2  0    2

 v2

 2的方程为： 2 x  4 y  5 z  10  0

则 1 与  2 的交线即为所求直线L 的方程：

 4x  y  z  4  0   2 x  4 y  5 z  10  0

机动目录上页下页返回结束

八、内容小结

1. 空间直线方程一般式对称式

 A1 x  B1 y  C 1 z  D1  0   A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

参数式

 x  x0  m t   y  y0  n t  z  z  pt 0 

( m 2  n 2  p 2  0)

机动

上页

下页

结束

2.线与线之间的关系直线直线

L1：过点 P1 ( x 1 , y1 , z 1 ) , L2：过点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,

L1  L2 L1 // L2

L1与L2共面

v1  v 2  0 v1  v 2  0

m1 n1 p1   m 2 n2 p2

P1 P2  (v1  v2 )  0

v1  v 2 cos   v1 v 2

机动目录上页下页返回结束

两直线的夹角公式:

sn0

m A  n B  pC  0

直线与平面的夹角公式：





机动目录上页下页返回结束

vn sin   v n

4. 距离直线直线

L1：过点 P1 ( x 1 , y1 , z 1 ) , L2：过点 P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,

(1) 点P0 ( x0 , y0 , z0 )到直线 L1 的距离

P1 P0  v1 d v1

( 2) 异面直线 L1 , L2 之间的距离

| P1 P2  (v1  v2 ) | d | v1  v2 |

机动目录上页下页返回结束

5.过直线的平面束方程

过直线

  1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0    2 : A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0

的平面束方程为：（不含平面  2 ）

A1 x  B1 y  C 1 z  D 1   ( A2 x  B 2 y  C 2 z  D 2 )  0

机动

上页

下页

结束

作业习题6-4(P23) 13

习题6-5(P29)

3 ，7，10，

12，16，18

习题课目录上页下页返回结束

备用题

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2 分析：求 L 的思路

（1）求出 L 与 z 轴的交点，用两点式；（2）求出 L 的方向向量，用点向式；（3）求出过 L 的两个平面，用一般式；

习题课

上页

下页

结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方

程。  4 3 2 解法1：设 L 与 z 轴的交点为 (0,0, z ) ，

则 L 的方向向量为

v  {0  1,0  2, z  3}  {1,2, z  3}

而 L  L ，故

{1,2, z  3}  {4,3,2}  0  z  4

x y z4 故直线 L 的方程为：   1 2 1

习题课目录上页下页返回结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2

解法2：过 B 点做垂直于 L 的平面  ,

 : 4( x  1)  3( y  2)  2( z  3)  0

即

4 x  3 y  2z  8  0

L

将 x  0, y  0 代入  ，得 L 与 z 轴的交点 (0,0,4) 故直线 L 的方程为：

o y

x y z4   1 2 1

习题课

上页

下页

结束

1、过点 B (1 ,  2 , 3 ) 作一直线 L，使其和 z 轴相交， x y3 z2 和直线 L :  垂直，求 L 的方程。  4 3 2

解法3：过 B 点做垂直于 L 的平面  ,

 : 4( x  1)  3( y  2)  2( z  3)  0

即 4 x  3 y  2 z  8  0 (1)

L

做过 B 点和 z 轴的平面 1 ，设 1：Ax  By  Cz  D  0 因 1 过 z 轴，所以

o y

C  D0

习题课目录上页下页返回结束

： 4 x  3 y  2 z  8  0 (1)

故 1：Ax  By  0 将点 B(1,2,3) 代入上式，得

A  2B

L

于是 1： 2 x  y  0

( 2)

联立(1)( 2)，得 L 的方程

4 x  3 y  2 z  8  0  2 x  y  0

习题课

上页

下页

结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解1

先作一过点M且与已知直线垂直的平面 

3( x  2)  2( y  1)  ( z  3)  0

即 3x  2 y  z  5  0

再求已知直线与该平面的交点N,

 x  3t  1 x 1 y 1 z  令    t   y  2t  1. 3 2 1 z  t 

机动目录上页下页返回结束

3 2 13 3 代入平面方程得 t  , 交点 N ( , , ) 7 7 7 7

取所求直线的方向向量为 MN

2 13 3 12 6 24 MN  {  2,  1,  3}  { , , }, 7 7 7 7 7 7

所求直线方程为

x  2 y 1 z  3   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

说明：求直线与平面的交点的方法

x  x0 y  y0 z  z0 L:   ,  : Ax  By  Cz  D  0, m n p

 x  x0  mt  将 L 化为参数方程：  y  y0  nt  z  z  pt  0

代入平面方程，确定 t 值，从而就可确定交点(x,y,z). 注：当 L 为一般方程时，需要解三元一次方程组。

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解2 设所求直线L的方向向量为：v  {m , n, p} 已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

由题意，有

v  v1 

3m  2n  p  0

在已知直线上取点P ( 1,1,0), 则

MP , v , v1 三向量共面，

机动目录上页下页返回结束

m n p 3 2  1  0  m  2n  p  0 3 0 3

联立

 3m  2n  p  0   m  2n  p  0

1  p  2m , n   m 2

所求直线方程为:

x  2 y 1 z  3   . 1 m  m 2m 2

x  2 y 1 z  3 即：   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解3：已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

已知直线过点 P ( 1,1,0) , 则 MP  {3,0,3}

记 n  MP  v1  {3,0,3}  {3,2,1}

 {6,12,6} //{1,2,1}

故所求直线的方向向量为 v  {1,2, 1}  {3,2, 1}  {4,2,8} //{2,1,4}

所求直线方程为

x  2 y 1 z  3   . 2 1 4

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解4：过点且垂直已知直线的平面方程为

3( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

3x  2 y  z  5  0

(1)

已知直线的方向向量为：v1  {3,2, 1}

已知直线过点 P ( 1,1,0) , 则 MP  {3,0,3}

则过点M和已知直线的平面的法向量为

n  MP  v1  {3,0,3}  {3,2,1}  {6,12,6}

//{1,2,1}

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

3x  2y  z  5  0

(1 ) ，

 n  {1 ,  2 ,  1 }

则过点M和已知直线的平面的方程为

( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

x  2y  z  3  0

( 2)

联立（1）（2）得所求直线方程为：

3 x  2 y  z  5  0   x  2y  z  3  0

机动目录上页下页返回结束

x 1 y 1 z   2、求过点 M ( 2,1,3) 且与直线 3 2 1

垂直相交的直线方程.

解5：过点且垂直已知直线的平面方程为

3( x  2)  2( y  1)  ( 1)( z  3)  0

即

3x  2 y  z  5  0

(1)

过已知直线的平面束方程为

( 2 x  3 y  5)   ( x  3 z  1)  0

1 将 ( 2,1,3)代入上式，解得    2

机动目录上页下页返回结束

即

3x  2y  z  5  0

(1 )

( 2 x  3 y  5 )   ( x  3 z  1)  0

1 将    代入上式得过点通过已知直线的平面方程 2

x  2y  z  3  0

联立（1）（2）得所求直线方程为：

( 2)

3 x  2 y  z  5  0   x  2y  z  3  0

机动目录上页下页返回结束

3 、求过点 ( 3, 2, 5) 且与两平面 x  4 z  3 和

2 x  y  5 z  1 的交线平行的直线方程。

解：设所求直线的方向向量为 v  {m , n, p}, 根据

题意知取

v  n1 , v  n2 ,

v  n1  n2  {4,3,1},

所求直线的方程

x3 y2 z5   . 4 3 1

机动目录上页下页返回结束

4. 求以下两直线的夹角

解: 直线

的方向向量为

x  y  2  0 L2 :   x  2z  0

j 1 0 k 0  { 2 ,  2 ,  1} 2

i 直线的方向向量为 v 2  1 1 二直线夹角 的余弦为

cos  

从而

1  2  (  4 )  (  2 )  1  (  1)

2 2  (  2 ) 2  (  1) 2

12  (  4 ) 2  12   4

机动

上页

下页

结束

x 1 y z 1   5．设直线 L : ，平面 2 1 2  : x  y  2 z  3，求直线与平面的夹角。  解 n  {1,1, 2}, v  {2, 1,2},

sin   | Al  Bm  Cn | A2  B 2  C 2  l 2  m 2  n 2

7 | 1  2  ( 1)  ( 1)  2  2 |  .  3 6 6 9

   arcsin 7 3 6

为所求夹角．

机动

上页

下页

结束

7-5空间直线及其方程

相关文章