百花齐放，稳中创新
河北石家庄二中 杨帆
纵观2015年全国各地高考试题中的三角函数部分，整体平稳，略有创新，难度不大，均属于基本题、中档题。重点考查解三角形、三角恒等变换、三角函数图象与性质。基本上每套试卷都有两道题（两小题或一大一小）。
一．典型试题分析
（一）解三角形
直接给出三角形的边角等式关系的问题少了，更多的是要通过题设条件，自己寻找关系，组建关系，这对于考生来说，能力要求提高了，更显灵活和解题方法的多样性。
1. 利用正、余弦定理直接求解
（1）（2015年北京文科卷）在∆ABC 中，a =
3，b =
，∠A=
2π
，则3
∠B= 【解析】正弦定理. ∠B =
π
4
（2）（2015年安徽文科卷）在∆ABC 中，AB =6，∠A =75，∠B =45，则
AC =。
【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：
AB AC 6AC
=⇒=⇒AC =2
sin[180 -(75 +45 )]sin 45 sin 60 sin 45
b ，c ．（3）（2015年广东文科卷）设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a ，若
a =
2，c =
，cos A=
b
B ．2 C
． D ．3
【解析】由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A，及b
若a = sin B =
1π
，C =，则b = 26
【解析】分析三角形内角及正弦定理解三角形，b =1．
2. 与面积有关的三角形
（1）（2015年福建理科卷）若锐角∆
ABC 的面积为，且AB =5, AC =8 ，则BC 等于________．
【解析】由已知得∆ABC 的面积为
1
AB ⋅
AC sin A =20sin A =及余弦定2
222
理得BC =AB +AC -2AB ⋅AC cos A =49，BC =7．
（2）（2015年天津理科卷）在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知∆
ABC 的面积为，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为【解析】因为0
π，所以sin A ==
14
又S ∆ABC =
⎧b -c =21得bc sin A ==bc =24，解方程组⎨
2⎩bc =24
b =6, c =4，由余弦定理得
⎛1⎫
a 2=b 2+c 2-2bc cos A =62+42-2⨯6⨯4⨯ -⎪=64，所以a =8.
⎝4⎭
（3）（2015年陕西文科卷）∆ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c
，向量
m =(a ) 与n =(cosA ,sin B ) 平行.
(I)求A ； (II)
若a =b =2求∆ABC 的面积.
【解析】(I)因为m //n ，所以a sin B cos A =0
由正弦定理，得sin A sin B B cos A =0， 又sin B ≠
0，从而tan A =
由于0
π
3
a 2=b 2+c 2-
2bc cos A ，而a =b =2，A =
得7=4+c -2c ，即c -2c -3=0 因为c >0，所以c =3， 故∆
ABC 面积为
2
2
π
3
，
1.
bc sin A =
2sin
=
2，从而sin B = sin B 7
3
又由a >b 知A >
B ，所以cos B =
故sin C =sin(A +B ) =
sin(B +
π
3
) =sin B cos
π
3
+cos B sin
π
3
=
， 所以∆
ABC 面积为
1. ab sin C =
2sin 2A
=sin C
3. 需要进行边角转换的三角形问题
（1）（2015北京理科卷）在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则
sin 2A 2sin A cos A 2a b 2+c 2-a 2
==⋅=1 【解析】
sin C sin C c 2bc
（2）（2015全国新课标卷Ⅰ文科）
已知a , b , c 分别为∆ABC 内角A , B , C 的对边，sin B =2sin A sin C . （Ⅰ）若a =b , 求cos B ； （Ⅱ）设B =90, 且a =
2
∆ABC 的面积.
2
【解析】（Ⅰ）正弦定理b =2ac ，又a =b ，得a =2c , b =2c ，
余弦定理cos B =
12222
；（Ⅱ）b =2ac ，又b =a +
c ，∴a =c =4
从而∆ABC 的面积为1.
（3）（2015湖南理科卷）设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，
a =b tan A ，且B 为钝角.
（Ⅰ）证明：B -A =
π
2
；（Ⅱ）求sin A +sin C 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由a =b tan A 及正弦定理，得即sin B =sin(即B -A =
sin A a sin A
==, 所以sin B =cos A ， cos A b sin B
π
2
+A ) ，又B 为钝角，
π
+A ∈(, π) ，故B =+A ， 222
ππ
π
2
；
（Ⅱ）C =π-(A +B ) =π-(2A +
π
) >0，∴A ∈(0,) 24
π
π19
sin A +sin C =sin A +sin(-2A ) =sin A +cos 2A =-2(sinA -) 2+
248
π A ∈(0,), ∴0
41⎫99⎛
从而
24⎭88⎝
由此可知sin A +
sin C 的取值范围是（
2
9
，]. 82
(4)(2015年浙江卷理科) 在∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c 已知A=
π
，4
b 2-a 2=
12
c . 2
（Ⅰ）求tanC 的值；
（Ⅱ）若∆ABC 的面积为3，求b 的. 【答案】（Ⅰ）tan C =2；（Ⅱ）b =3
4. 平面几何图形中的三角形问题
这一类问题历届高考试题中时有出现，今年有加大趋势，考生自己分析条件，合理组建关系，灵活多变，凸显能力！
（1）(2015年安徽理科卷) 在∆
ABC 中，A =
3π
, AB =6, AC =点D 在BC 4
边上，AD =BD ，求AD 的长.
（2）（2015年新课标卷Ⅱ文科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，
BD =2DC .
（I ）求
sin ∠B
；
sin ∠C
（II ）若∠BAC =60, 求∠B .
AD BD AD DC
=, =,
sin ∠B sin ∠BAD sin ∠C sin ∠CAD
sin ∠B DC 1
==. . 因为AD 平分∠BAC , BD =2DC , 所以
sin ∠C BD 2
【解析】（I ）由正弦定理得
（II ）因为∠C =180-(∠BAC +∠B ), ∠BAC =60,
所以sin ∠C =sin (
∠BAC +∠B )=
1
∠B +sin ∠B . 由（I ）知22
2sin ∠B =sin ∠C ,
所以tan ∠B =
∠B =30.
（3）（2015年新课标卷Ⅱ理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 的面积是∆ADC 面积的2倍. （I ）求
sin ∠B
；
sin ∠C
(Ⅱ) 若AD =1，DC =
2
，求BD 和AC 的长. 2
【解析】（I ） S ∆ABD =2S ∆ADC , ∴BD =2DC ，由角平分线定理得正弦定理
AC CD 1
== AB DB 2
sin ∠B AC 1
==
sin ∠C AB 2
(Ⅱ) 由（I
）知BD =2DC ∆ABD 和∆ADC 中，由余弦定理得
AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD cos ∠ADB AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC cos ∠ADC ．
，
AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6．由(Ⅰ) 知AB =2AC ，所以AC =1．
（4）（2015年四川卷理科）如图，A , B , C , D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （I ）证明：tan
A 1-cos A
=; 2sin A
o
(Ⅱ) 若A +C =180, AB =6, BC =3, CD =4, AD =5, 求tan
C
A B C D
+tan +tan +tan 的值. 2222
B
【试题分析】（I ）源于课本，也就是用单角的正弦与余弦表示半角的正切，证明可
A
A ，为了将半角变为单角，可在分子分母同时以是从左到右切化弦得tan =
2cos A
2
sin
乘以2sin
A
，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；也可以从右到左，利用倍2
A B C D 22+tan +tan +tan =+，所以只需求出2222sin A sin B
角的正弦、余弦公式化简后可证。 (Ⅱ) 由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（I ）的结果，有tan
sin A ,sin B 即可. 由于已知四边，且cos C =-cos A ，cos D =-cos B ，故考虑在
∆ABD , ∆CBD 中用余弦定理列方程组求cos A ,cos B
，从而求出sin A =
同理可得sin B =
，
，进而求出tan
A B C D 22+tan +
tan +tan =两问设计的非常巧妙，+=2222sin A sin B 3，
将四边形的相关问题转化为三角形的求解问题，利用好边角关系，建立方程组的思想求解。
（5）（2015年新课标卷Ⅰ理科）
在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75 , BC =2, 则AB 的取值范围是 . 【解析见后】
（二）三角恒等变换
1. （2015年福建文科卷）若sin α=-
，且α为第四象限角，则tan α的值等于 13
121255A ． B ．- C ． D ．- 【答案】D
512 512
2. （2015年新课标Ⅰ理科卷）sin 20cos10-cos160sin10= A
．-
11 B
． C ．- D ．【答案】D
2 2 22
3π
)
π= 3．（2015年重庆理科卷）若tan α=2tan，则
5
sin(α-)
5
cos(α-
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 4. （2015年江苏卷）已知tan α=-2，tan (α+β)=【答案】3
5. （2015年四川理科卷） sin 15+sin 75= 【答案】
1
，则tan β的值为_______. 7
2
6. （2015年广东文科卷）已知tan α=2．
⎪的值； 4⎝⎭
sin 2α
的值． (2)求2
sin α+sin αcos α-cos 2α-1
【答案】（1）-3；（2）1．
【点评】从以上考题可以看出，对于三角变换的要求已经降到很低，只要求掌握最基本的公式和简单的应用，不需要太多的变换技巧和繁琐的变形计算。
（三）三角函数的图象和性质
1.(2015年新课标Ⅰ理科) 函数f (x ) =cos(ωx +ϕ) 的部分图象如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为
(1)求tan ⎛ α+
π⎫
13
A ．(k π-, k π+), k ∈Z
4413
B ．(2k π-, 2k π+), k ∈Z
4413
C ．(k -, k +), k ∈Z
4413
D ．(2k -, 2k +), k ∈Z
44
⎧π51
=-=1⎧ω=π⎪π⎪ω44⎪
f (x ) =cos(πx +) 【解析】由图知⎨，则⎨，即π
41πϕ=⎪ω+ϕ=⎪⎩4⎪⎩42
由余弦函数性质知，当2k π
π
4
13
f (x ) 单调递减，故选D.
A ．
5ππππ B ． C ． D ． 12346
【解析】向右平移ϕ个单位后，得到g (x ) =sin(2x -2ϕ) ， 又∵|f (x 1) -g (x 2) |=2， ∴不妨2x 1=又∵x 1-x 2
π
2
+2k π，2x 2-2ϕ=-=
π
2
+2m π，∴x 1-x 2=
π
2
-ϕ+(k -m ) π，
π
3
min
，∴
π
2
-ϕ=
π
3
⇒ϕ=
π
6
，故选D.
3（2015年陕西文理卷）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin(
π
6
x +ϕ) +k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m ) 的最大值为
____________.
【解法一】由图象得，当sin(
π
6
x +ϕ) =-1时
y min =2，求得k =5，
当sin(
π
6
x +ϕ) =1时，y max =3⨯1+5=8，故答
案为8.
【解法二】水深最大值为h ，则
h -2
=3⇒h =8 2
4. （2015年天津文卷）已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0), x ∈R , 若函数
f (x )在区间(-ω, ω)内单调递增, 且函数f (x )的图象关于直线x =ω对称, 则ω
的值为 ．
【解析】由f (x )在区间(-ω, ω)内单调递增, 且f (x )的图像关于直线x =ω对称, 可得2ω≤
π
ω
, 且f (
ω)=sin ω2+cos ω2=
π⎫⎛
sin ω2+⎪=1,
4⎭⎝
所以ω2+
ππ=⇒ω= 42
x x x
5. （2015
北京理科卷）已知函数f (x ) =cos 2．
222
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期；
(Ⅱ) 求f (x ) 在区间[-π，0]上的最小值． 【答案】(Ⅰ) 2π，(Ⅱ
) -1-
6. （2015年安徽文科卷）已知函数f (x ) =(sinx +cos x ) 2+cos2x (I)求f (x ) 最小正周期； (II)求f (x ) 在区间[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
【答案】（1）π ；（2
）最大值为1+0 7. （2015年天津理科卷）已知函数f (x )=sin x -sin x -
2
2
⎛
⎝
π⎫
⎪，x ∈R 6⎭
(I)求f (x ) 最小正周期； (II)求f (x ) 在区间[-
ππ
, ]上的最大值和最小值. 34
1, f (x ) min =-.
2x x x
cos +10cos 2． 222
【答案】(I)π
; (II) f (x ) max =
8. （2015年福建文科卷）已知函数f (
x )=（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期； （Ⅱ）将函数f (x )的图象向右平移
π
个单位长度，再向下平移a （a >0）个单6
位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2． （ⅰ）求函数g (x )的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g (x )=10sin x -8；
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sin x 0>
4
．
5
由
π44知，存在0
3552
4
． 5
由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0, π-α0)时，均有sin x >因为y =sin x 的周期为2π，
所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)（k ∈Z）时，均有sin x >因为对任意的整数k ，(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>
4． 5
π
3
>1，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π+α0,2k π+π-α0) ，使得
sin x 0>
4
．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 5
【点评】题目有新意，难度并不大，但是对于学生分析问题及表达能力提出了较高要求。
二．试题解法欣赏
1. （2015年福建理科卷）已知函数f(x ) 的图像是由函数g (x ) =cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x ) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移
π
个单位长度. 2
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ) 已知关于x 的方程f (x ) +g (x ) =m 在[0,2π) 内有两个不同的解α, β．
（i ）求实数m 的取值范围；
2m 2
-1 （ii ）证明：cos(α-β) =5
【解析】(Ⅰ) f (x ) =2sin x ，其对称轴方程为x =k π+
π
2
, k ∈Z
(Ⅱ) （i ）由(Ⅰ) 得f(x ) =2sin x ，则f(x ) +g(x ) =2sin x +cos x ，
利用辅助角公式变形为f (x ) +g (x ) =x +ϕ)
（其中sin ϕ=
ϕ=
方程f(x ) +g(x ) =m 在[0,2π) 内有两个不同的解α, β，等价于直线y =
m 和函数
y x +ϕ) 有两个不同交点，
函数y x +ϕ) 的周期为2π，数形结
x +ϕ) =
m β+ϕ) =m 由三角函数图象特征，可得α+β=2(
π
2
-ϕ) 或α+β=2(
3π
-ϕ) ， 2
当α+β=π-2ϕ时，则α-β=π-2(β+ϕ) ， 当α+β=3π-2ϕ时，则α-β=3π-2(β+
ϕ)
22m 2
∴cos(α-β) =-cos 2(β+ϕ) =2sin (β+ϕ) -1=-1=-1
52
解法二：α, β
x +ϕ) =m 的根，
即sin(α+ϕ) =
β+ϕ) =
当1≤m
-ϕ) ，则α+ϕ=π-(β+ϕ)
23π
-ϕ) ，当m
π
∴cos(α+ϕ) =-cos(β+ϕ)
从而
cos(α-β) =cos[(α+ϕ) -(β+ϕ)]=-cos 2(β+ϕ) +sin(α+ϕ)sin(β+
ϕ) 222m 2
=-[1-]+=-1
5
解法一：在∆ABC 中，
余弦定理求出a =再由正弦定理sin
B =
，又B 10
是锐角，∴cos B =
AD
AB
=⇒AD =sin B sin(π-2B )
在∆
ABD 中，由正弦定理
解法二：在∆ABC 中，
余弦定理求出a =再由正弦定理sin B =
又B
是锐角，∴cos B =
BE
==AD cos B
取AB 的中点E ，则DE ⊥AB ，所以Rt ∆BDE 中，BD =
D
A
E
B
解法三：在∆ABC 中，正弦定理
b c c 1
==⇒tan B = sin B sin C sin(A +
B ) 3
∴cos B =BD =
，取AB 的中点E ，则DE ⊥AB ，所以Rt ∆BDE 中
，10
BE
==AD cos B
解法四：建立如图所示的直角坐标系，A (0,0),B (6,0),C (-3,3), D (x 0, y 0) 直线BC :x +3y -6=0， AD =BD ，∴x 0=3代入直线方程得y 0=1
所以AD =
3. （2015年新课标卷Ⅰ理科）
=
x
在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75 , BC =2, 则AB 的取值范围是 . 解法一：（极端化处理）
由已知条件，四个角为定值，BC =2，画出平面四边形（如图），不难分析知A , D 分别在BA , CD 的延长线上移动且∠BAD =75，即边AD 平行移动，当D 与C 重合于C
时，AB =2⨯2cos75= 当D 与A 重合于C
时，AB =
1
=cos 75
AB
设∠BDC =θ，在∆BCD 中，正弦定理
BD 2
=，
sin 75 sin θ
在∆ABD 中，正弦定理
BD AB
，
=
sin 75sin(135-θ)
2sin(135 -θ) cos θ
=+) ，其中30
即AB =
sin θsin θ
AB
如图，延长BA , CD 交于点E ，则可知在∆ADE 中 设AD =∠EAD =105 , ∠ADE =45 , ∠AED =30 ，
1
x ，由正弦
2
定理得AE =
x , 在等腰∆EBC 中，BC =2, ∴EB ⋅sin15 =1，
2
即AB =
1-x ，其中0
4
sin152
AB
百花齐放，稳中创新
河北石家庄二中 杨帆
纵观2015年全国各地高考试题中的三角函数部分，整体平稳，略有创新，难度不大，均属于基本题、中档题。重点考查解三角形、三角恒等变换、三角函数图象与性质。基本上每套试卷都有两道题（两小题或一大一小）。
一．典型试题分析
（一）解三角形
直接给出三角形的边角等式关系的问题少了，更多的是要通过题设条件，自己寻找关系，组建关系，这对于考生来说，能力要求提高了，更显灵活和解题方法的多样性。
1. 利用正、余弦定理直接求解
（1）（2015年北京文科卷）在∆ABC 中，a =
3，b =
，∠A=
2π
，则3
∠B= 【解析】正弦定理. ∠B =
π
4
（2）（2015年安徽文科卷）在∆ABC 中，AB =6，∠A =75，∠B =45，则
AC =。
【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：
AB AC 6AC
=⇒=⇒AC =2
sin[180 -(75 +45 )]sin 45 sin 60 sin 45
b ，c ．（3）（2015年广东文科卷）设∆ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a ，若
a =
2，c =
，cos A=
b
B ．2 C
． D ．3
【解析】由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A，及b
若a = sin B =
1π
，C =，则b = 26
【解析】分析三角形内角及正弦定理解三角形，b =1．
2. 与面积有关的三角形
（1）（2015年福建理科卷）若锐角∆
ABC 的面积为，且AB =5, AC =8 ，则BC 等于________．
【解析】由已知得∆ABC 的面积为
1
AB ⋅
AC sin A =20sin A =及余弦定2
222
理得BC =AB +AC -2AB ⋅AC cos A =49，BC =7．
（2）（2015年天津理科卷）在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知∆
ABC 的面积为，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为【解析】因为0
π，所以sin A ==
14
又S ∆ABC =
⎧b -c =21得bc sin A ==bc =24，解方程组⎨
2⎩bc =24
b =6, c =4，由余弦定理得
⎛1⎫
a 2=b 2+c 2-2bc cos A =62+42-2⨯6⨯4⨯ -⎪=64，所以a =8.
⎝4⎭
（3）（2015年陕西文科卷）∆ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c
，向量
m =(a ) 与n =(cosA ,sin B ) 平行.
(I)求A ； (II)
若a =b =2求∆ABC 的面积.
【解析】(I)因为m //n ，所以a sin B cos A =0
由正弦定理，得sin A sin B B cos A =0， 又sin B ≠
0，从而tan A =
由于0
π
3
a 2=b 2+c 2-
2bc cos A ，而a =b =2，A =
得7=4+c -2c ，即c -2c -3=0 因为c >0，所以c =3， 故∆
ABC 面积为
2
2
π
3
，
1.
bc sin A =
2sin
=
2，从而sin B = sin B 7
3
又由a >b 知A >
B ，所以cos B =
故sin C =sin(A +B ) =
sin(B +
π
3
) =sin B cos
π
3
+cos B sin
π
3
=
， 所以∆
ABC 面积为
1. ab sin C =
2sin 2A
=sin C
3. 需要进行边角转换的三角形问题
（1）（2015北京理科卷）在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则
sin 2A 2sin A cos A 2a b 2+c 2-a 2
==⋅=1 【解析】
sin C sin C c 2bc
（2）（2015全国新课标卷Ⅰ文科）
已知a , b , c 分别为∆ABC 内角A , B , C 的对边，sin B =2sin A sin C . （Ⅰ）若a =b , 求cos B ； （Ⅱ）设B =90, 且a =
2
∆ABC 的面积.
2
【解析】（Ⅰ）正弦定理b =2ac ，又a =b ，得a =2c , b =2c ，
余弦定理cos B =
12222
；（Ⅱ）b =2ac ，又b =a +
c ，∴a =c =4
从而∆ABC 的面积为1.
（3）（2015湖南理科卷）设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，
a =b tan A ，且B 为钝角.
（Ⅰ）证明：B -A =
π
2
；（Ⅱ）求sin A +sin C 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由a =b tan A 及正弦定理，得即sin B =sin(即B -A =
sin A a sin A
==, 所以sin B =cos A ， cos A b sin B
π
2
+A ) ，又B 为钝角，
π
+A ∈(, π) ，故B =+A ， 222
ππ
π
2
；
（Ⅱ）C =π-(A +B ) =π-(2A +
π
) >0，∴A ∈(0,) 24
π
π19
sin A +sin C =sin A +sin(-2A ) =sin A +cos 2A =-2(sinA -) 2+
248
π A ∈(0,), ∴0
41⎫99⎛
从而
24⎭88⎝
由此可知sin A +
sin C 的取值范围是（
2
9
，]. 82
(4)(2015年浙江卷理科) 在∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c 已知A=
π
，4
b 2-a 2=
12
c . 2
（Ⅰ）求tanC 的值；
（Ⅱ）若∆ABC 的面积为3，求b 的. 【答案】（Ⅰ）tan C =2；（Ⅱ）b =3
4. 平面几何图形中的三角形问题
这一类问题历届高考试题中时有出现，今年有加大趋势，考生自己分析条件，合理组建关系，灵活多变，凸显能力！
（1）(2015年安徽理科卷) 在∆
ABC 中，A =
3π
, AB =6, AC =点D 在BC 4
边上，AD =BD ，求AD 的长.
（2）（2015年新课标卷Ⅱ文科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，
BD =2DC .
（I ）求
sin ∠B
；
sin ∠C
（II ）若∠BAC =60, 求∠B .
AD BD AD DC
=, =,
sin ∠B sin ∠BAD sin ∠C sin ∠CAD
sin ∠B DC 1
==. . 因为AD 平分∠BAC , BD =2DC , 所以
sin ∠C BD 2
【解析】（I ）由正弦定理得
（II ）因为∠C =180-(∠BAC +∠B ), ∠BAC =60,
所以sin ∠C =sin (
∠BAC +∠B )=
1
∠B +sin ∠B . 由（I ）知22
2sin ∠B =sin ∠C ,
所以tan ∠B =
∠B =30.
（3）（2015年新课标卷Ⅱ理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 的面积是∆ADC 面积的2倍. （I ）求
sin ∠B
；
sin ∠C
(Ⅱ) 若AD =1，DC =
2
，求BD 和AC 的长. 2
【解析】（I ） S ∆ABD =2S ∆ADC , ∴BD =2DC ，由角平分线定理得正弦定理
AC CD 1
== AB DB 2
sin ∠B AC 1
==
sin ∠C AB 2
(Ⅱ) 由（I
）知BD =2DC ∆ABD 和∆ADC 中，由余弦定理得
AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD cos ∠ADB AC 2=AD 2+DC 2-2AD ⋅DC cos ∠ADC ．
，
AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6．由(Ⅰ) 知AB =2AC ，所以AC =1．
（4）（2015年四川卷理科）如图，A , B , C , D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （I ）证明：tan
A 1-cos A
=; 2sin A
o
(Ⅱ) 若A +C =180, AB =6, BC =3, CD =4, AD =5, 求tan
C
A B C D
+tan +tan +tan 的值. 2222
B
【试题分析】（I ）源于课本，也就是用单角的正弦与余弦表示半角的正切，证明可
A
A ，为了将半角变为单角，可在分子分母同时以是从左到右切化弦得tan =
2cos A
2
sin
乘以2sin
A
，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；也可以从右到左，利用倍2
A B C D 22+tan +tan +tan =+，所以只需求出2222sin A sin B
角的正弦、余弦公式化简后可证。 (Ⅱ) 由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（I ）的结果，有tan
sin A ,sin B 即可. 由于已知四边，且cos C =-cos A ，cos D =-cos B ，故考虑在
∆ABD , ∆CBD 中用余弦定理列方程组求cos A ,cos B
，从而求出sin A =
同理可得sin B =
，
，进而求出tan
A B C D 22+tan +
tan +tan =两问设计的非常巧妙，+=2222sin A sin B 3，
将四边形的相关问题转化为三角形的求解问题，利用好边角关系，建立方程组的思想求解。
（5）（2015年新课标卷Ⅰ理科）
在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75 , BC =2, 则AB 的取值范围是 . 【解析见后】
（二）三角恒等变换
1. （2015年福建文科卷）若sin α=-
，且α为第四象限角，则tan α的值等于 13
121255A ． B ．- C ． D ．- 【答案】D
512 512
2. （2015年新课标Ⅰ理科卷）sin 20cos10-cos160sin10= A
．-
11 B
． C ．- D ．【答案】D
2 2 22
3π
)
π= 3．（2015年重庆理科卷）若tan α=2tan，则
5
sin(α-)
5
cos(α-
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 4. （2015年江苏卷）已知tan α=-2，tan (α+β)=【答案】3
5. （2015年四川理科卷） sin 15+sin 75= 【答案】
1
，则tan β的值为_______. 7
2
6. （2015年广东文科卷）已知tan α=2．
⎪的值； 4⎝⎭
sin 2α
的值． (2)求2
sin α+sin αcos α-cos 2α-1
【答案】（1）-3；（2）1．
【点评】从以上考题可以看出，对于三角变换的要求已经降到很低，只要求掌握最基本的公式和简单的应用，不需要太多的变换技巧和繁琐的变形计算。
（三）三角函数的图象和性质
1.(2015年新课标Ⅰ理科) 函数f (x ) =cos(ωx +ϕ) 的部分图象如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为
(1)求tan ⎛ α+
π⎫
13
A ．(k π-, k π+), k ∈Z
4413
B ．(2k π-, 2k π+), k ∈Z
4413
C ．(k -, k +), k ∈Z
4413
D ．(2k -, 2k +), k ∈Z
44
⎧π51
=-=1⎧ω=π⎪π⎪ω44⎪
f (x ) =cos(πx +) 【解析】由图知⎨，则⎨，即π
41πϕ=⎪ω+ϕ=⎪⎩4⎪⎩42
由余弦函数性质知，当2k π
π
4
13
f (x ) 单调递减，故选D.
A ．
5ππππ B ． C ． D ． 12346
【解析】向右平移ϕ个单位后，得到g (x ) =sin(2x -2ϕ) ， 又∵|f (x 1) -g (x 2) |=2， ∴不妨2x 1=又∵x 1-x 2
π
2
+2k π，2x 2-2ϕ=-=
π
2
+2m π，∴x 1-x 2=
π
2
-ϕ+(k -m ) π，
π
3
min
，∴
π
2
-ϕ=
π
3
⇒ϕ=
π
6
，故选D.
3（2015年陕西文理卷）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin(
π
6
x +ϕ) +k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m ) 的最大值为
____________.
【解法一】由图象得，当sin(
π
6
x +ϕ) =-1时
y min =2，求得k =5，
当sin(
π
6
x +ϕ) =1时，y max =3⨯1+5=8，故答
案为8.
【解法二】水深最大值为h ，则
h -2
=3⇒h =8 2
4. （2015年天津文卷）已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0), x ∈R , 若函数
f (x )在区间(-ω, ω)内单调递增, 且函数f (x )的图象关于直线x =ω对称, 则ω
的值为 ．
【解析】由f (x )在区间(-ω, ω)内单调递增, 且f (x )的图像关于直线x =ω对称, 可得2ω≤
π
ω
, 且f (
ω)=sin ω2+cos ω2=
π⎫⎛
sin ω2+⎪=1,
4⎭⎝
所以ω2+
ππ=⇒ω= 42
x x x
5. （2015
北京理科卷）已知函数f (x ) =cos 2．
222
(Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期；
(Ⅱ) 求f (x ) 在区间[-π，0]上的最小值． 【答案】(Ⅰ) 2π，(Ⅱ
) -1-
6. （2015年安徽文科卷）已知函数f (x ) =(sinx +cos x ) 2+cos2x (I)求f (x ) 最小正周期； (II)求f (x ) 在区间[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
【答案】（1）π ；（2
）最大值为1+0 7. （2015年天津理科卷）已知函数f (x )=sin x -sin x -
2
2
⎛
⎝
π⎫
⎪，x ∈R 6⎭
(I)求f (x ) 最小正周期； (II)求f (x ) 在区间[-
ππ
, ]上的最大值和最小值. 34
1, f (x ) min =-.
2x x x
cos +10cos 2． 222
【答案】(I)π
; (II) f (x ) max =
8. （2015年福建文科卷）已知函数f (
x )=（Ⅰ）求函数f (x )的最小正周期； （Ⅱ）将函数f (x )的图象向右平移
π
个单位长度，再向下平移a （a >0）个单6
位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2． （ⅰ）求函数g (x )的解析式；
（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）g (x )=10sin x -8；
（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0-8>0，即sin x 0>
4
．
5
由
π44知，存在0
3552
4
． 5
由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0, π-α0)时，均有sin x >因为y =sin x 的周期为2π，
所以当x ∈(2k π+α0,2k π+π-α0)（k ∈Z）时，均有sin x >因为对任意的整数k ，(2k π+π-α0)-(2k π+α0)=π-2α0>
4． 5
π
3
>1，
所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π+α0,2k π+π-α0) ，使得
sin x 0>
4
．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0． 5
【点评】题目有新意，难度并不大，但是对于学生分析问题及表达能力提出了较高要求。
二．试题解法欣赏
1. （2015年福建理科卷）已知函数f(x ) 的图像是由函数g (x ) =cos x 的图像经如下变换得到：先将g (x ) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移
π
个单位长度. 2
(Ⅰ) 求函数f (x ) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ) 已知关于x 的方程f (x ) +g (x ) =m 在[0,2π) 内有两个不同的解α, β．
（i ）求实数m 的取值范围；
2m 2
-1 （ii ）证明：cos(α-β) =5
【解析】(Ⅰ) f (x ) =2sin x ，其对称轴方程为x =k π+
π
2
, k ∈Z
(Ⅱ) （i ）由(Ⅰ) 得f(x ) =2sin x ，则f(x ) +g(x ) =2sin x +cos x ，
利用辅助角公式变形为f (x ) +g (x ) =x +ϕ)
（其中sin ϕ=
ϕ=
方程f(x ) +g(x ) =m 在[0,2π) 内有两个不同的解α, β，等价于直线y =
m 和函数
y x +ϕ) 有两个不同交点，
函数y x +ϕ) 的周期为2π，数形结
x +ϕ) =
m β+ϕ) =m 由三角函数图象特征，可得α+β=2(
π
2
-ϕ) 或α+β=2(
3π
-ϕ) ， 2
当α+β=π-2ϕ时，则α-β=π-2(β+ϕ) ， 当α+β=3π-2ϕ时，则α-β=3π-2(β+
ϕ)
22m 2
∴cos(α-β) =-cos 2(β+ϕ) =2sin (β+ϕ) -1=-1=-1
52
解法二：α, β
x +ϕ) =m 的根，
即sin(α+ϕ) =
β+ϕ) =
当1≤m
-ϕ) ，则α+ϕ=π-(β+ϕ)
23π
-ϕ) ，当m
π
∴cos(α+ϕ) =-cos(β+ϕ)
从而
cos(α-β) =cos[(α+ϕ) -(β+ϕ)]=-cos 2(β+ϕ) +sin(α+ϕ)sin(β+
ϕ) 222m 2
=-[1-]+=-1
5
解法一：在∆ABC 中，
余弦定理求出a =再由正弦定理sin
B =
，又B 10
是锐角，∴cos B =
AD
AB
=⇒AD =sin B sin(π-2B )
在∆
ABD 中，由正弦定理
解法二：在∆ABC 中，
余弦定理求出a =再由正弦定理sin B =
又B
是锐角，∴cos B =
BE
==AD cos B
取AB 的中点E ，则DE ⊥AB ，所以Rt ∆BDE 中，BD =
D
A
E
B
解法三：在∆ABC 中，正弦定理
b c c 1
==⇒tan B = sin B sin C sin(A +
B ) 3
∴cos B =BD =
，取AB 的中点E ，则DE ⊥AB ，所以Rt ∆BDE 中
，10
BE
==AD cos B
解法四：建立如图所示的直角坐标系，A (0,0),B (6,0),C (-3,3), D (x 0, y 0) 直线BC :x +3y -6=0， AD =BD ，∴x 0=3代入直线方程得y 0=1
所以AD =
3. （2015年新课标卷Ⅰ理科）
=
x
在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75 , BC =2, 则AB 的取值范围是 . 解法一：（极端化处理）
由已知条件，四个角为定值，BC =2，画出平面四边形（如图），不难分析知A , D 分别在BA , CD 的延长线上移动且∠BAD =75，即边AD 平行移动，当D 与C 重合于C
时，AB =2⨯2cos75= 当D 与A 重合于C
时，AB =
1
=cos 75
AB
设∠BDC =θ，在∆BCD 中，正弦定理
BD 2
=，
sin 75 sin θ
在∆ABD 中，正弦定理
BD AB
，
=
sin 75sin(135-θ)
2sin(135 -θ) cos θ
=+) ，其中30
即AB =
sin θsin θ
AB
如图，延长BA , CD 交于点E ，则可知在∆ADE 中 设AD =∠EAD =105 , ∠ADE =45 , ∠AED =30 ，
1
x ，由正弦
2
定理得AE =
x , 在等腰∆EBC 中，BC =2, ∴EB ⋅sin15 =1，
2
即AB =
1-x ，其中0
4
sin152
AB