第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
K *
G (s ) H (s ) =
(s +1)(s +2)(s +4)
试证明s 1=-1+j 3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K 和开环增益K 。
解 若点s 1在根轨迹上，则点s 1应满足相角条件
*
∠G (s ) H (s ) =±(2k +1) π，如图所示。
对于s =-1+j ，由相角条件
∠G (s 1) H (s 1) =0-∠(-1+3+1) -
∠(-1+j 3+2) -∠(-1+j +4) = πππ
0---=-π
236
满足相角条件，因此s 1=-1+j 在根轨迹上。 将s 1代入幅值条件：
G (s 1) H （s 1=
K *
-1+j +⋅-1+j +2⋅-1+3+4
=1
K *3
= 解出 ： K =12 ， K =82
*
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b =2时系统的闭环传递函数。 （1）G (s ) =
2010(s +2b ) （2）G (s ) =
(s +4)(s +b ) s (s +2)(s +b )
b (s +4) b (s +4)
= 2
(s +2+j 4)(s +2-j 4) s +4s +20
解 (1) G '(s ) =
Φ
(s ) =
G (s ) 20=2
1+G (s ) s +6s +28
b (s 2+2s +20) b (s +1+j )(s +1-j )
(2) G '(s ) == 2
s (s +1+j 3)(s +1-j 3) s (s +2s +10)
Φ(s ) =
G (s ) 10(s +4)
=3
2
1+G (s ) s +4s +14s +40
2s
，试绘制参数b 从零变
(s +4)(s +b )
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数G (s ) =
化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 G '(s ) =
b (s +4)
s (s +6)
根轨迹如图。 s =-2时b =4， Φ(s ) =
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ G (s ) =
2s 2s
=
s 2+10s +16(s +2)(s +8)
k (s +1) k
(2) G (s ) =
s (2s +1) s (0. 2s +1)(0. 5s +1)
k *(s +1)(s +2) k *(s +5)
(3) G (s ) = (4) G (s ) =
s (s -1) s (s +2)(s +3)
解 ⑴ G (s ) =
K 10K
=
s (0. 2s +1)(0. 5s +1) s (s +5)(s +2)
三个开环极点：p 1=0, p 2=-2, p 3=-5 ① 实轴上的根轨迹：
(-∞, -5], [-2, 0]
0-2-57⎧σ==-⎪⎪a
33
② 渐近线： ⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±, πa ⎪33⎩
③ 分离点：
111++=0 d d +5d +2
解之得：d 1=-0. 88，d 2-3. 7863(舍去) 。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
D (s ) =s 3+7s 2+10s +10k =0
⎧Re[D (j ω)]=-7ω2+10k =0令 ⎨ 3
Im[D (j ω)]=-ω+10ω=0⎩
解得⎨
⎧ω=⎩k =7
与虚轴的交点（0，±j ）。
根轨迹如图所示。
⑵ G (s ) =
K (s +1) K (s +1)
=
1s (2s +1)
2s (s +)
2
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(-∞, -1], [-0. 5, 0] ② 分离点：
111+= d d +0. 5d +1
, d =-1. 707。 解之得：d =-0. 293
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[-5, -3], [-2, 0]
0-2-3-(-5) ⎧σ==0⎪⎪a 2
② 渐近线： ⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±a ⎪22⎩
③ 分离点：
1111++=
d d +2d +3d +5
用试探法可得
d =-0. 886。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
1111+=+ d d -1d +1d +2
求解得：d 1=0. 37，d 2=-1. 37 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G (s ) =
k
s (0. 02s +1)(0. 01s +1)
要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) G (s ) =
k 5000k
=
s (0. 02s +1)(0. 01s +1) s (s +50)(s +100)
① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：
111++=0 d d +50d +100
求解得d 1=-21. 13，d 2=-78. 87 ③ 渐近线：σa =-50，ϕa =±60o ，180o 根轨迹如图所示。
*
，k =150 (2) 系统临界稳定时k =750000
. 5，k =9. 62
(3) 系统临界阻尼比时k =48112
*
k *
4-6 已知系统的开环传递函数为G (s ) H (s ) =，要求绘制根轨迹并确2
s (s +8s +20)
定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。
K *
解 G (s ) H (s ) = 2
s (s +8s +20)
① 实轴上的根轨迹： (-∞, 0]
② 渐近线：
0+(-4+j 2) +(-4-j 2) 8⎧σ==-⎪⎪a 33
⎨
⎪ϕ=(2k +1) π=±π, πa ⎪33⎩
③分离点：
111
++=0 d d +4+j 2d +4-j 2
解之得：d =-2, d =-3. 33。
④与虚轴交点：D (s ) =s 3+8s 2+20s +k *
把s =j ω代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
⎧Re(D (j ω)) =k *-8ω2=0
⎨3
⎩Im(D (j ω)) =20ω-ω=0
解得：⎨⑤起始角：
由相角条件θp 2=-63，θp 3=63。 根轨迹如图所示。
⎧ω=0⎩k =0
*
⎨
⎧⎪ω=±2
*⎪⎩k =160
*
，所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14. 8≤k ≤16 所以0. 74≤k ≤0. 8
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为G (s ) =
k (2s +1)
，
24(s +1) (s -1) 7
试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。
解 ：根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [-0. 5，7/4] ② 渐近线：
-1-1+7/4-(-0. 5) 1⎧
σ==⎪⎪a 28
⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±a ⎪22⎩
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =
431210
s +s +(2k -) s +k -1=0 777
把s =j ω代入上方程，
12⎧Re(D (j ω)) =K -1-ω=0⎪7令⎨
1043
⎪Im(D (j ω)) =(2K -) ω-ω=0
77⎩⎧ω=0
解得： ⎨ ，
⎩K =1
⎧ω=±2⎪⎨9 ⎪K =
7⎩
根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值范围为 1
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
*K （s +2）
G (s ) H (s ) =2 2
(s +4s +9)
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： [-∞, -2]
② 渐近线：
⎧-2-j -2+j 5-(-2) 2σa ==-⎪⎪33 ⎨
⎪ϕ=(2k +1) π=±π, πa ⎪33⎩
③ 分离点：
2d +2+j +
2d +2-5
=
1
d +2
解之得：d =-3. 29 d =0. 71 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
*
D (s ) =(s 2+4s +9) 2+K （s +2）=0
把s =j ω代入上方程，
42*
⎧⎪Re(D (j ω)) =ω-34ω+81+2K =0令⎨ *3
⎪⎩Im(D (j ω)) =(72+K ) ω-8ω=0
解得： ⎨
⎧ω=±21⎩K =96
*
⑤ 起始角： 90-（2θp 1-2⨯90）=（2k +1）π
解出 θp 1=45, θp 2=-135 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。 (1) G (s ) =
2. 61/4(s +a )
a >0G (s ) =，；(2) ，T >0
s (0. 1s +1)(T s +1) s 2(s +1)
解 (1) G '(s ) =
a /4
2
s (s +0. 5)
0) ① 实轴上的根轨迹： (-∞，
② 渐近线：σa =-1/3，ϕa =±60o ，180o ③ 分离点：d =-1/6 根轨迹如图所示。
T s 2(s +10)
(2) G '(s ) =2
s +10s +26
① 实轴上的根轨迹： (-∞，0) ② 起始角终止角：
11
2(180o -tg -1) +tg -1-(θp +90o ) =180o
55
解得起始角θp =±78. 7o 2θz +0-(-tg
o
-1
11
+tg -1) =180o 55
o
解得终止角θz =±90 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。
k *(s +1)
G (s ) H (s ) =
(s -1) 2(s +18)
解
，-1] ① 实轴上的根轨迹： [-18
② 分离点：d 1=-4. 22，d 2=-6. 28 ③ 渐近线：σa =-7. 5，ϕa =±90 ④ 与虚轴交点：s 1, 2=±1. 86j ，k =37. 7
根轨迹如图所示。
*
o
d 1处k *=116. 6，d 2处k *=117. 6，k =k */18
结论：6. 482. 095时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：G (s ) =
100
Ts 3+s 2+20s
*
T (s 2+20s +100)
作等效开环传递函数G (s ) =
s 3
根轨迹绘制如下： （注意：k *=1/T ) ① 实轴上的根轨迹：(-∞, -10], [-10, 0] ② 分离点：
32= 解得d =-30。 d d +10
根据幅值条件，对应的T =0. 015。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =T s 3+s 2+20s +100=0
把s =j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2
⎧⎪Re(D (j ω)) =100-ω=0
⎨3
⎪⎩Im(D (j ω)) =20ω-T ω=0
⎧ω=±10解得： ⎨
T =0. 2⎩
④ 起始角：θp 1=60︒
参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)
从根轨迹图可以看出，当00. 2时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。
若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：
T s 3
G '(s ) =2
s +20s +100
三条根轨迹中两条起于-10，一条起于-∞，均终止于原点
① 实轴上的根轨迹：(-∞, -10], [-10, 0] ② 分离点：
32= 解得d =-30。 d d +10
其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。
4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(k >0) 。
*
解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：[-∞, -2], [-1, +∞] ② 分离点：
31
= d +2d +1
解得 d =-0. 5 ③ 起始角：根据相角条件，
∑ϕ-∑θ
i i =1
j =1
m n
j
=2k π
得 θp 1=60，θp 2=-60，θp 3=180。 根轨迹如图所示。
k *(1-s ) 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G (s ) =，试绘制其根轨迹，并求出s (s +2)
使系统产生重实根和纯虚根的k 值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： [-2, 0], [1, +∞) ；
② 分离点： *111+= d d +2d -1
解得：d 1=-0. 732 , d 2=2. 732
将s =d 1=-0. 732, s =d 2=2. 732代入
幅值条件得：
*K *d 1=0. 54, K d 2=7. 46
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =s (s +2) +K *(1-s ) =0
把s =j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2*⎧⎪Re(D (j ω)) =-ω+K =0 ⎨*⎪⎩Im(D (j ω)) =(2-K ) ω=0
⎧ω=0解得： ⎨* ⎩K =0⎧ω=±1. 41 ⎨*⎩K =2
**根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K 为0.54，7.46，产生纯虚根的K 为2。
第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
K *
G (s ) H (s ) =
(s +1)(s +2)(s +4)
试证明s 1=-1+j 3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益K 和开环增益K 。
解 若点s 1在根轨迹上，则点s 1应满足相角条件
*
∠G (s ) H (s ) =±(2k +1) π，如图所示。
对于s =-1+j ，由相角条件
∠G (s 1) H (s 1) =0-∠(-1+3+1) -
∠(-1+j 3+2) -∠(-1+j +4) = πππ
0---=-π
236
满足相角条件，因此s 1=-1+j 在根轨迹上。 将s 1代入幅值条件：
G (s 1) H （s 1=
K *
-1+j +⋅-1+j +2⋅-1+3+4
=1
K *3
= 解出 ： K =12 ， K =82
*
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出b =2时系统的闭环传递函数。 （1）G (s ) =
2010(s +2b ) （2）G (s ) =
(s +4)(s +b ) s (s +2)(s +b )
b (s +4) b (s +4)
= 2
(s +2+j 4)(s +2-j 4) s +4s +20
解 (1) G '(s ) =
Φ
(s ) =
G (s ) 20=2
1+G (s ) s +6s +28
b (s 2+2s +20) b (s +1+j )(s +1-j )
(2) G '(s ) == 2
s (s +1+j 3)(s +1-j 3) s (s +2s +10)
Φ(s ) =
G (s ) 10(s +4)
=3
2
1+G (s ) s +4s +14s +40
2s
，试绘制参数b 从零变
(s +4)(s +b )
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数G (s ) =
化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 G '(s ) =
b (s +4)
s (s +6)
根轨迹如图。 s =-2时b =4， Φ(s ) =
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ G (s ) =
2s 2s
=
s 2+10s +16(s +2)(s +8)
k (s +1) k
(2) G (s ) =
s (2s +1) s (0. 2s +1)(0. 5s +1)
k *(s +1)(s +2) k *(s +5)
(3) G (s ) = (4) G (s ) =
s (s -1) s (s +2)(s +3)
解 ⑴ G (s ) =
K 10K
=
s (0. 2s +1)(0. 5s +1) s (s +5)(s +2)
三个开环极点：p 1=0, p 2=-2, p 3=-5 ① 实轴上的根轨迹：
(-∞, -5], [-2, 0]
0-2-57⎧σ==-⎪⎪a
33
② 渐近线： ⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±, πa ⎪33⎩
③ 分离点：
111++=0 d d +5d +2
解之得：d 1=-0. 88，d 2-3. 7863(舍去) 。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
D (s ) =s 3+7s 2+10s +10k =0
⎧Re[D (j ω)]=-7ω2+10k =0令 ⎨ 3
Im[D (j ω)]=-ω+10ω=0⎩
解得⎨
⎧ω=⎩k =7
与虚轴的交点（0，±j ）。
根轨迹如图所示。
⑵ G (s ) =
K (s +1) K (s +1)
=
1s (2s +1)
2s (s +)
2
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(-∞, -1], [-0. 5, 0] ② 分离点：
111+= d d +0. 5d +1
, d =-1. 707。 解之得：d =-0. 293
根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[-5, -3], [-2, 0]
0-2-3-(-5) ⎧σ==0⎪⎪a 2
② 渐近线： ⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±a ⎪22⎩
③ 分离点：
1111++=
d d +2d +3d +5
用试探法可得
d =-0. 886。
根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
1111+=+ d d -1d +1d +2
求解得：d 1=0. 37，d 2=-1. 37 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 G (s ) =
k
s (0. 02s +1)(0. 01s +1)
要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) G (s ) =
k 5000k
=
s (0. 02s +1)(0. 01s +1) s (s +50)(s +100)
① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：
111++=0 d d +50d +100
求解得d 1=-21. 13，d 2=-78. 87 ③ 渐近线：σa =-50，ϕa =±60o ，180o 根轨迹如图所示。
*
，k =150 (2) 系统临界稳定时k =750000
. 5，k =9. 62
(3) 系统临界阻尼比时k =48112
*
k *
4-6 已知系统的开环传递函数为G (s ) H (s ) =，要求绘制根轨迹并确2
s (s +8s +20)
定系统阶跃响应无超调时开环增益k 的取值范围。
K *
解 G (s ) H (s ) = 2
s (s +8s +20)
① 实轴上的根轨迹： (-∞, 0]
② 渐近线：
0+(-4+j 2) +(-4-j 2) 8⎧σ==-⎪⎪a 33
⎨
⎪ϕ=(2k +1) π=±π, πa ⎪33⎩
③分离点：
111
++=0 d d +4+j 2d +4-j 2
解之得：d =-2, d =-3. 33。
④与虚轴交点：D (s ) =s 3+8s 2+20s +k *
把s =j ω代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
⎧Re(D (j ω)) =k *-8ω2=0
⎨3
⎩Im(D (j ω)) =20ω-ω=0
解得：⎨⑤起始角：
由相角条件θp 2=-63，θp 3=63。 根轨迹如图所示。
⎧ω=0⎩k =0
*
⎨
⎧⎪ω=±2
*⎪⎩k =160
*
，所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时14. 8≤k ≤16 所以0. 74≤k ≤0. 8
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为G (s ) =
k (2s +1)
，
24(s +1) (s -1) 7
试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k 值范围。
解 ：根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： [-0. 5，7/4] ② 渐近线：
-1-1+7/4-(-0. 5) 1⎧
σ==⎪⎪a 28
⎨
(2k +1) ππ⎪ϕ==±a ⎪22⎩
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =
431210
s +s +(2k -) s +k -1=0 777
把s =j ω代入上方程，
12⎧Re(D (j ω)) =K -1-ω=0⎪7令⎨
1043
⎪Im(D (j ω)) =(2K -) ω-ω=0
77⎩⎧ω=0
解得： ⎨ ，
⎩K =1
⎧ω=±2⎪⎨9 ⎪K =
7⎩
根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K 值范围为 1
4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。
*K （s +2）
G (s ) H (s ) =2 2
(s +4s +9)
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： [-∞, -2]
② 渐近线：
⎧-2-j -2+j 5-(-2) 2σa ==-⎪⎪33 ⎨
⎪ϕ=(2k +1) π=±π, πa ⎪33⎩
③ 分离点：
2d +2+j +
2d +2-5
=
1
d +2
解之得：d =-3. 29 d =0. 71 (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
*
D (s ) =(s 2+4s +9) 2+K （s +2）=0
把s =j ω代入上方程，
42*
⎧⎪Re(D (j ω)) =ω-34ω+81+2K =0令⎨ *3
⎪⎩Im(D (j ω)) =(72+K ) ω-8ω=0
解得： ⎨
⎧ω=±21⎩K =96
*
⑤ 起始角： 90-（2θp 1-2⨯90）=（2k +1）π
解出 θp 1=45, θp 2=-135 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a 和T 为变化参数的根轨迹。 (1) G (s ) =
2. 61/4(s +a )
a >0G (s ) =，；(2) ，T >0
s (0. 1s +1)(T s +1) s 2(s +1)
解 (1) G '(s ) =
a /4
2
s (s +0. 5)
0) ① 实轴上的根轨迹： (-∞，
② 渐近线：σa =-1/3，ϕa =±60o ，180o ③ 分离点：d =-1/6 根轨迹如图所示。
T s 2(s +10)
(2) G '(s ) =2
s +10s +26
① 实轴上的根轨迹： (-∞，0) ② 起始角终止角：
11
2(180o -tg -1) +tg -1-(θp +90o ) =180o
55
解得起始角θp =±78. 7o 2θz +0-(-tg
o
-1
11
+tg -1) =180o 55
o
解得终止角θz =±90 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k 的取值范围及系统稳定时k 的值。
k *(s +1)
G (s ) H (s ) =
(s -1) 2(s +18)
解
，-1] ① 实轴上的根轨迹： [-18
② 分离点：d 1=-4. 22，d 2=-6. 28 ③ 渐近线：σa =-7. 5，ϕa =±90 ④ 与虚轴交点：s 1, 2=±1. 86j ，k =37. 7
根轨迹如图所示。
*
o
d 1处k *=116. 6，d 2处k *=117. 6，k =k */18
结论：6. 482. 095时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数T 变化时系统的根轨迹，并分析参数T 的变化对系统动态性能的影响。
解：G (s ) =
100
Ts 3+s 2+20s
*
T (s 2+20s +100)
作等效开环传递函数G (s ) =
s 3
根轨迹绘制如下： （注意：k *=1/T ) ① 实轴上的根轨迹：(-∞, -10], [-10, 0] ② 分离点：
32= 解得d =-30。 d d +10
根据幅值条件，对应的T =0. 015。 ③ 虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =T s 3+s 2+20s +100=0
把s =j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2
⎧⎪Re(D (j ω)) =100-ω=0
⎨3
⎪⎩Im(D (j ω)) =20ω-T ω=0
⎧ω=±10解得： ⎨
T =0. 2⎩
④ 起始角：θp 1=60︒
参数T 从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)
从根轨迹图可以看出，当00. 2时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。
若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：
T s 3
G '(s ) =2
s +20s +100
三条根轨迹中两条起于-10，一条起于-∞，均终止于原点
① 实轴上的根轨迹：(-∞, -10], [-10, 0] ② 分离点：
32= 解得d =-30。 d d +10
其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。
4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹(k >0) 。
*
解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：[-∞, -2], [-1, +∞] ② 分离点：
31
= d +2d +1
解得 d =-0. 5 ③ 起始角：根据相角条件，
∑ϕ-∑θ
i i =1
j =1
m n
j
=2k π
得 θp 1=60，θp 2=-60，θp 3=180。 根轨迹如图所示。
k *(1-s ) 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G (s ) =，试绘制其根轨迹，并求出s (s +2)
使系统产生重实根和纯虚根的k 值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： [-2, 0], [1, +∞) ；
② 分离点： *111+= d d +2d -1
解得：d 1=-0. 732 , d 2=2. 732
将s =d 1=-0. 732, s =d 2=2. 732代入
幅值条件得：
*K *d 1=0. 54, K d 2=7. 46
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D (s ) =s (s +2) +K *(1-s ) =0
把s =j ω代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2*⎧⎪Re(D (j ω)) =-ω+K =0 ⎨*⎪⎩Im(D (j ω)) =(2-K ) ω=0
⎧ω=0解得： ⎨* ⎩K =0⎧ω=±1. 41 ⎨*⎩K =2
**根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的K 为0.54，7.46，产生纯虚根的K 为2。