非师范班2014年数学分析期中试卷及部分题讲解(题目形式上有更改)
一、用数学语言叙述下列概念或命题（ 20分, 每题5分）
1. lim f (x ) =−∞. 2. f 在+∞处发散的Cauchy 准则. x →∞
3. a 是f 的可去间断点. 4. M不是实数集D ⊂R 的上确界.
二判断下列命题的正确性, 并作简单证明或给出反例（. 20分, 每题5分. 判断3分, 说明2分）.
1. 若∀x ∈A, ∀y ∈B, 有x ≤y, 则sup A≤ inf B. 2.若数列{an }不是单调减, 则它必是单调增.
3. 若数列{ an 2 -an }有界, 则数列{an }有界.
4. 若lim f (x ) =A (有限), 则∃δ>0,∀ε>0,∀x: 0
三、计算题(20分, 每题5分) 1. lim n tan(n →+∞π7n ) . ππsin(π/7n) 1π.
答：lim n tan() lim lim n →+∞n →+∞n →+∞7n 7π/7n cos(π/7n) 7
2. lim .
n →+∞
lim 答：lim −=n →+∞n
=lim n a +b .
3. （原题分母是+,直接利用连续函数性质得极限是0）
x →03答：. x →0x →025/64. lim(1+1/x ) . x →∞2x
答：当x>0, x→+∞时 1
12x +x lim (1+1/x 2) x =1. 当x
1. 总之, lim(1+1/x ) =x →∞2x
1n
四(10分) 、设lim (∑a k ) =A (有限), 证明lim (∑ka k ) =0 . n →+∞n →+∞n k =1k =1n
1证：记S n =∑a k , 则lim S n =A , (∑ka k =) S n −n →+∞n k =1k =1
n −1n n ∑S k =1n −1k n , 由Stolz 定理,
S k ∑S 1n
=lim (∑ka k ) =lim S n −lim k 1=A −lim n −1=A −A =0. n →+∞n n →+∞n →+∞n →+∞1n k =1
五(10分) 若lim g (x ) =+∞, lim f (u ) =B (有限), 证明lim f (g (x )) =B . x →a u →+∞x →a
证：用极限的序列的定义: 对于任意极限为a 的序列{xn },由条件lim g (x ) =+∞, 序列{g(xn )}x →a 的极限为+∞, 由条件lim f (u ) =B ,{f(g(xn ))}的极限为B. 即lim f (g (x )) =B . u →+∞x →a
六、(10分) 设函数f 在一去心η邻域N(0)上有定义且有界, 并满足f (3x )=5f (x ), 证明 lim f (x ) =0 x →0
f (3n x ) ,n ∈N +, 设在N(0)上|f|≤M, ∀ε>0, 存在n>0, n ∈N, 使得证：递推可得关系式 f (x ) =5n
M/5n
七(10分) 设函数f:[0,1]→R, ∀a ∈[0,1] lim f (x ) =f a (有限), 证明∀ε>0, 集合 x →a
D ε={a ∈[0,1]f (a ) −f a ≥ε}是有限集.
证：用反证法, 若不然, ∃ε>0, Dε是无限集, 因此在有界闭区间[0,1]中无限集D ε存在聚点. 我们要证明D ε的每一点都是孤立点, 即D ε不存在聚点, 矛盾.
取∀a ∈D ε, 故存在δ>0, 使得在a 的在[0,1]上的去心δ邻域N δ(a ) 上的任意x, |f(x)-fa |
非师范班2014年数学分析期中试卷及部分题讲解(题目形式上有更改)
一、用数学语言叙述下列概念或命题（ 20分, 每题5分）
1. lim f (x ) =−∞. 2. f 在+∞处发散的Cauchy 准则. x →∞
3. a 是f 的可去间断点. 4. M不是实数集D ⊂R 的上确界.
二判断下列命题的正确性, 并作简单证明或给出反例（. 20分, 每题5分. 判断3分, 说明2分）.
1. 若∀x ∈A, ∀y ∈B, 有x ≤y, 则sup A≤ inf B. 2.若数列{an }不是单调减, 则它必是单调增.
3. 若数列{ an 2 -an }有界, 则数列{an }有界.
4. 若lim f (x ) =A (有限), 则∃δ>0,∀ε>0,∀x: 0
三、计算题(20分, 每题5分) 1. lim n tan(n →+∞π7n ) . ππsin(π/7n) 1π.
答：lim n tan() lim lim n →+∞n →+∞n →+∞7n 7π/7n cos(π/7n) 7
2. lim .
n →+∞
lim 答：lim −=n →+∞n
=lim n a +b .
3. （原题分母是+,直接利用连续函数性质得极限是0）
x →03答：. x →0x →025/64. lim(1+1/x ) . x →∞2x
答：当x>0, x→+∞时 1
12x +x lim (1+1/x 2) x =1. 当x
1. 总之, lim(1+1/x ) =x →∞2x
1n
四(10分) 、设lim (∑a k ) =A (有限), 证明lim (∑ka k ) =0 . n →+∞n →+∞n k =1k =1n
1证：记S n =∑a k , 则lim S n =A , (∑ka k =) S n −n →+∞n k =1k =1
n −1n n ∑S k =1n −1k n , 由Stolz 定理,
S k ∑S 1n
=lim (∑ka k ) =lim S n −lim k 1=A −lim n −1=A −A =0. n →+∞n n →+∞n →+∞n →+∞1n k =1
五(10分) 若lim g (x ) =+∞, lim f (u ) =B (有限), 证明lim f (g (x )) =B . x →a u →+∞x →a
证：用极限的序列的定义: 对于任意极限为a 的序列{xn },由条件lim g (x ) =+∞, 序列{g(xn )}x →a 的极限为+∞, 由条件lim f (u ) =B ,{f(g(xn ))}的极限为B. 即lim f (g (x )) =B . u →+∞x →a
六、(10分) 设函数f 在一去心η邻域N(0)上有定义且有界, 并满足f (3x )=5f (x ), 证明 lim f (x ) =0 x →0
f (3n x ) ,n ∈N +, 设在N(0)上|f|≤M, ∀ε>0, 存在n>0, n ∈N, 使得证：递推可得关系式 f (x ) =5n
M/5n
七(10分) 设函数f:[0,1]→R, ∀a ∈[0,1] lim f (x ) =f a (有限), 证明∀ε>0, 集合 x →a
D ε={a ∈[0,1]f (a ) −f a ≥ε}是有限集.
证：用反证法, 若不然, ∃ε>0, Dε是无限集, 因此在有界闭区间[0,1]中无限集D ε存在聚点. 我们要证明D ε的每一点都是孤立点, 即D ε不存在聚点, 矛盾.
取∀a ∈D ε, 故存在δ>0, 使得在a 的在[0,1]上的去心δ邻域N δ(a ) 上的任意x, |f(x)-fa |