9-2电磁感应

9.3 自感、互感现象

实际线路中的感生电动势问题一.自感现象自感系数反抗电流变化的能力 (电惯性) 演示 L 2 R

线圈

 

iB

i

K 1

K连接1，R慢慢亮；在拨向2，R慢慢熄



由于自己线路中的电流的变化而在自己的线路中产生感应电流的现象－－自感现象自感系数的定义自感系数非铁磁质

由法拉第电磁感应定律

 I B

  I

  LI

 L I

单位；H 亨利

d dI L    L dt dt

L L   dI dt

单位电流的变化对应的感应电动势普遍定义

例：求长直螺线管的自感系数几何条件如图解：设通电流 I

总长



总匝数

N S

N B  nI   I l

固有的性质电惯性

  N  NBS

 N S L  I l

介质

几何条件

二.互感现象互感系数

 i1  B1  ψ 2 1   21 非铁磁质   MI

M 21 ψ 21  I1

同样有

第一个线圈内电流的变化，引起线圈2内的电动势

M 12

 12  I2

可以证明由法拉第电磁感应定律有

M12  M 21  M

单位；H 互感系数亨利

 21

d 21 dI 1   M dt dt

 21 M  dI 1 dt

普遍

例一横截面为 S 的圆柱形非铁磁性材料，磁导率为  ，其上绕有长度都为 l 的两组线圈。原线圈C1为N1匝，副线圈C2为N2匝；求：1) 两共轴螺线管的互感系数； 2) 两个螺线管的自感与互感的关系。解：1) 设原线圈C1中通电流 I1 其在原、副线圈中产生的磁感应强度为：

N1 B   n1 I 1   I1 l N1 N 2 穿过C2线圈中的全磁通：  21  N 2 BS   SI 1 l  21 N1 N 2 互感系数为： M   S I1 l

2) C1中有 I1 时，穿过自己的全磁通：

 11

N1  N1 B1 S  N 1  I1S l

2  N 1 自感系数为： L  11   S 1 I1 l

同理：

2 N2 L2   S l

 L1 L2  M 2

M  L1 L2

一般情况：

理想耦合。是某线圈的磁场全部通过另一线圈。 k 称为耦合系数通常为 0

M  k L1 L2

例一无限长直导线附近有一矩形线圈，共有N=100匝，且 a = 0.1m , b=0.06m , r0=0.12m ; 求：互感系数M 解：设长直导线中通有电流为 I1 建坐标系如图

 a ds

 在任意坐标处取一面元 ds   d  B  ds

   21 N  N  B  dS  N

r0  b

 0 I1 adx 2 x

N Bds 



N 0 I1a r0  b  ln 2 r0

0 NI1a r0  b  ln 2 b

 21 0 Na r0  b M  ln I1 2 b

100  4  107  0.1 0.18  ln 2 0.12

3  2  10 ln  0.81 10 6 ( H ) 2 总结：在计算互感系数 (包括自感系数)时，先假定某总结路中通以电流 I 1，计算它所产生的 B ，然后计算它穿过另一回路（自身回路）的磁通，利用  21 M I1 （  11 L I1 ）计算互感系数和自感系数。

6

例题：L-R电路求K与1接通电流的变化情况；电流稳定后K在拨向2电流的变化 1. K与1连接；

L 2

 1 di 有:    L    L  Ri 2. K与2连接； dt di di (t ) R   L   L  Ri  i(t )  dt dt L L R 初始: t  0; i  0  t  t R  L  t i ( t )  e  I e  t m i (t )  (1  e L )  I m (1  e  ) R R 结论：K合上与断开，电流不   L R 时间常数是突变过程，是一滞后过程，有时间常数决定

9.4 磁场能量

静电场能量存在器件中

1 We  CU2 2

通过平板电容器得出下述结论存在场中

1  we  D  E 2

同样，一载流线圈在其磁场中也储存着一定的能量。

一、载流线圈的磁能载流线圈周围无铁磁质，且  无变化。 1）当开关 1 时，载流线圈中的电流从0 增加到 I 时，且线 di(t ) 圈的自感为 L ，线圈中会产  L   L dt 生感应电动势在线圈建立电流的过程中，电源克服自感电动势作功， d t时间内作功为：

2 K



d A   L dQ   L idt  Lidi

在电流从0---I 这段时间内，电源所做的总功： I

1 2 A   dA   Lidi  LI 2 0

电源克服自感电动势所做的功就等于磁场的能量当线圈中电流为 I 时，其磁场能量为磁场能量

1 2 Wm  LI 2

2) 当开关 2 时，线圈中的电流从 I 变为 0 ，自感电动势要做正功：

自感电动势做功是以自己的磁能损失为代价的对一个线圈，其自感系数为 L ，电流为 I ，则磁能为：磁能

1 2 A   dA    Lidi  LI 2 I

1 2 Wm  LI 2

二 . Wm ~ B、H 的关系？长直螺线管为例 1 2 W m  LI 1 2 2 2 Wm   n I V 2 2 Ln V

B   nI H  nI

BH   n I

1 W m  BHV 2 1   wm  B  H 2

磁场的能量密度

一般对于非均匀磁场，可将空间分割为dV小区，dV 范围内B、H均匀

1 dWm  BHdV 2

Wm  

dW m

1 1   BH d V 2 2 V 1  2

 

B2 dV 

 H 2dV

三. 比较

  E, D

静电场

  B,H

稳恒磁场

类比

能量存在器件中

1 2 We  CU 2

1 2 Wm  LI 2

通过平板电容器得出下述结论存在场中

通过长直螺线管得出下述结论

1  we  D  E 2

1  wm  B  H 2

总能量

在电磁场中

w  we  wm

普遍适用各种电场磁场

1   1   w  DE  BH 2 2

W   wdV

例题长直同轴电缆。已知R1、R2，填充介质均匀各向同性，

电流在两柱面上均匀分布。求：（1）l 长段电缆Wm ；（ 2.）电缆的自感系数L

解：法1 Hwm  Wm  L

R2 R1

   H  dl   I

R1  r  R 2  =0 （其他）

I

 I



2 r H



H

I 2 r

R1  r  R2 

（其他）

解法1 H  wm  Wm  L

H 

R2 R

I 2r

R 1

 r  R2 

（其他）

 I



1 1 2 I 2 wm   H  B  2 2 2 2 8 r d V  2 r d r l

Wm 



w

1 2 2Wm  l R2 Wm  LI L  2  ln I 2 R1 2

 I l R 2 dr  4  R 1 r  I 2l R2  ln 4 R1

解：法2 H –B- Φ -L -Wm

dS= ldr

H B

I I 2 r

R1  r  R2 

（其他）

   Il d  B  dS  dr 2 r

 I



l

 



 Il R2  Il ln dr  2 r 2 R1

  l R2 L  ln I 2 R1

1 W m  LI 2

 I 2l R2  ln 4 R1

例题：两个一样的线圈（L相等）串联，如图的连接方式，求：自感系数(两个线圈密绕，无漏磁）分析：可设电流如图方向，（电流相等）两个线圈中电流相反； a线圈中的自感电动势  a 应与b线圈对于a线圈的互感电动势  ba 方向相反。

a1 同理，线圈b中有：

dI   dI dI   ab   b   M  Lb   dI  a ba   La  M  dt 即：  dt  dt   dt  a 与  b 方向相反另外：线圈密绕，注意：

M  La Lb 无漏磁，有：

组成新的线圈总的电动势：

   a   ba   ab

 La  M  M  Lb

dI   b  L dt dI  L  ......  0 

讨论：若如下图连接，又如何？

a1 1图

b1 2图 b

a1 1图

b1 b

如图1连接：在线圈中电流方向一致，仍是串联，有：

dI    a   ba   b   ab   L dt dI  La  M  Lb  M  dt





L  4 La ( La  Lb  M )

图 2时并联情况 b1 2图 b 电流在两个线圈中方向一致

 dIa dIb 有： I  I a  Ib  a ba   L  M  a dt  dt   得： L  La  Lb dIa   dIb b ab   Lb  M  dt  注意：此类问题搞清串、  dt

   a   ba   b   ab

简化计算： La  Lb  M

并联的关系，电压，电流 …

Ia  Ib  I

例题2：如图，有一弯成  角的金属框架OCD,一导线 ab (ab垂直与OD)以恒定速度v在金属框架上滑动，设v 垂直于ab向右，已知磁场的方向垂直扳面向外，求下列情况框架内感应电动势  i 。 a 设：t=0 时，x=0 1.磁场均匀分布，B不随 y 时间改变 o 2.非均匀变化的磁场

 B



B  kx cos t

解：取坐标系如图 1.导线ab 在均匀磁场中运动，动生电动势就是框架中的感应电动势

t : ab在x位置

 B

a v

y o



ab  l  xtg

相应的动生电动是：

 i  Bvl   Bvxtg   Btg  v t 方向有a到b ( x  vt )

 x d 2

2.当B作非均匀变化时，此时框架中既产生动生电动势，又产生感生电动势，可用法拉第定律计算取回

路,aoba 并在x轴 处取小面元ds

有: ds  yd    tg  d t时刻穿过ds的磁通量为:

  d  B  ds

  d  B  ds  Bds  k cos t    tg  d  k cos t  tg  d

 B

a v

y o



 d1 3 2 则：    d   k cos t  tg  d  kx cos t  tg 3 0

法拉第定律：讨论： i  0 与绕行方向一致，反之 ….

1 3  d  kx cos t  tg  d 3   i    dt dt 1 3  kx  sin t  tg  kx 2  v  cos t  tg 3 1 3  3  kv tg   t sin t  t 2 cos t  3 

例题3：一通有电流 I 1的长直导线旁有一与之共面的通有电流 I 2的长方形线圈ABCD ，AB边与直线平行，距离导线x 。求1）长直导线的磁场对AB和AD边的作用力； 2）若保持 I 1 , I 2 不变，将AB与导线间距从a变到2a，磁场对线圈所做的功。解：1）长直导线的磁场： I 1 A   0 I1 B1  FAB 2r B 方向向里，如图此磁场对AB边的作用力

 B

D I2 C a

FAB

    I 2 dl B 1 

x 方向如图

 0I1  0 I1 I 2 I 2 dl  b  2r 2x AB

此磁场对AD边的作用力

 B

 FAB

 FAD

D I2 C a x b

FAD

xa

    I 2 dl  B1

B x





 0 I1 I 2dr 2r

 0 I1 I 2 x  a  ln 2 x

方向如图

注意:计算出的力，是长直导线的磁场对两个边的作用力，并不是两个边受到的总的安培力，总安培力还应包括线圈产生的磁场对其的作用力。可以证明，载流线圈产生的磁场对自身线圈上导线元的安培力的矢量和为零

2）线圈ABCD所受的安培力的合力：

     F  FAB  FBC  F CD  FAD    FAB  FCD

 B

 FAD

D I2 C a x b

 FAB

 0 I1 I 2 b  1 1  ˆ)    (  x 2  x x  a 

从x=a到x=2a,磁场做功：

B x

2a    0 I 1 I 2b  1 1  A   F  dx      dx 2  x x  a  a

 0 I1 I 2b 4  ln 2 3

磁力作负功也可用 A  I 作。

例题4：一半径为R的无限长半圆柱面导体，其中通有轴  向电流I,电流I在半圆柱面上均匀分布。求：1)轴线处的 B 2）若轴线上有一无限长细直导线通有等值反向电流，则单位长度所受的磁力大小和方向。3）若用另一无限长直导线（通有与柱面相同的电流），来代替半圆柱面，要在轴线单位长度导线上产生同样的力，该导线应放在何处？

R o I

I

d



 dB 

解：1）此题不具有高度对称性，不能使用安培环路定理，用场强叠加原理 I j 坐标如图面电流密度为：

R

在半圆上取平行与轴线的一窄长条，宽为 dl

，载有电流，则它在轴线上的磁感应强度为：

dI  j  dl  jRd

I



d

 dB 

I

 0 dI  0 jd dB   2R 2

对称性： B x  0

方向如图

 0 j sin   0j  0 I B  B y   dB y   dB sin    d   2 2   R 0

2) 由安培定律，在轴线上载流导线上取一导线元它受的安培力



     dF  Idl  B (dl 与B垂直)

 3)替代电流在轴线上产生的 B 应等于半圆柱面电流在轴  线上产生的 B，所以，替代电流应在x轴负半轴上，

电流方向沿Z轴正向，设与原点距离为d,

  方向沿x轴正向，B沿y轴，dl 沿  Z轴

0 I 2 dF  BI  2 单位长度导线受力大小： dl  R

 0 I  0I 则： 2   R 2d R d 2 R 坐标为：x   2

I 

 I

9.3 自感、互感现象

实际线路中的感生电动势问题一.自感现象自感系数反抗电流变化的能力 (电惯性) 演示 L 2 R

线圈

 

iB

i

K 1

K连接1，R慢慢亮；在拨向2，R慢慢熄



由于自己线路中的电流的变化而在自己的线路中产生感应电流的现象－－自感现象自感系数的定义自感系数非铁磁质

由法拉第电磁感应定律

 I B

  I

  LI

 L I

单位；H 亨利

d dI L    L dt dt

L L   dI dt

单位电流的变化对应的感应电动势普遍定义

例：求长直螺线管的自感系数几何条件如图解：设通电流 I

总长



总匝数

N S

N B  nI   I l

固有的性质电惯性

  N  NBS

 N S L  I l

介质

几何条件

二.互感现象互感系数

 i1  B1  ψ 2 1   21 非铁磁质   MI

M 21 ψ 21  I1

同样有

第一个线圈内电流的变化，引起线圈2内的电动势

M 12

 12  I2

可以证明由法拉第电磁感应定律有

M12  M 21  M

单位；H 互感系数亨利

 21

d 21 dI 1   M dt dt

 21 M  dI 1 dt

普遍

N1 B   n1 I 1   I1 l N1 N 2 穿过C2线圈中的全磁通：  21  N 2 BS   SI 1 l  21 N1 N 2 互感系数为： M   S I1 l

2) C1中有 I1 时，穿过自己的全磁通：

 11

N1  N1 B1 S  N 1  I1S l

2  N 1 自感系数为： L  11   S 1 I1 l

同理：

2 N2 L2   S l

 L1 L2  M 2

M  L1 L2

一般情况：

理想耦合。是某线圈的磁场全部通过另一线圈。 k 称为耦合系数通常为 0

M  k L1 L2

例一无限长直导线附近有一矩形线圈，共有N=100匝，且 a = 0.1m , b=0.06m , r0=0.12m ; 求：互感系数M 解：设长直导线中通有电流为 I1 建坐标系如图

 a ds

 在任意坐标处取一面元 ds   d  B  ds

   21 N  N  B  dS  N

r0  b

 0 I1 adx 2 x

N Bds 



N 0 I1a r0  b  ln 2 r0

0 NI1a r0  b  ln 2 b

 21 0 Na r0  b M  ln I1 2 b

100  4  107  0.1 0.18  ln 2 0.12

6

例题：L-R电路求K与1接通电流的变化情况；电流稳定后K在拨向2电流的变化 1. K与1连接；

L 2

9.4 磁场能量

静电场能量存在器件中

1 We  CU2 2

通过平板电容器得出下述结论存在场中

1  we  D  E 2

同样，一载流线圈在其磁场中也储存着一定的能量。

2 K



d A   L dQ   L idt  Lidi

在电流从0---I 这段时间内，电源所做的总功： I

1 2 A   dA   Lidi  LI 2 0

电源克服自感电动势所做的功就等于磁场的能量当线圈中电流为 I 时，其磁场能量为磁场能量

1 2 Wm  LI 2

2) 当开关 2 时，线圈中的电流从 I 变为 0 ，自感电动势要做正功：

自感电动势做功是以自己的磁能损失为代价的对一个线圈，其自感系数为 L ，电流为 I ，则磁能为：磁能

1 2 A   dA    Lidi  LI 2 I

1 2 Wm  LI 2

二 . Wm ~ B、H 的关系？长直螺线管为例 1 2 W m  LI 1 2 2 2 Wm   n I V 2 2 Ln V

B   nI H  nI

BH   n I

1 W m  BHV 2 1   wm  B  H 2

磁场的能量密度

一般对于非均匀磁场，可将空间分割为dV小区，dV 范围内B、H均匀

1 dWm  BHdV 2

Wm  

dW m

1 1   BH d V 2 2 V 1  2

 

B2 dV 

 H 2dV

三. 比较

  E, D

静电场

  B,H

稳恒磁场

类比

能量存在器件中

1 2 We  CU 2

1 2 Wm  LI 2

通过平板电容器得出下述结论存在场中

通过长直螺线管得出下述结论

1  we  D  E 2

1  wm  B  H 2

总能量

在电磁场中

w  we  wm

普遍适用各种电场磁场

1   1   w  DE  BH 2 2

W   wdV

例题长直同轴电缆。已知R1、R2，填充介质均匀各向同性，

电流在两柱面上均匀分布。求：（1）l 长段电缆Wm ；（ 2.）电缆的自感系数L

解：法1 Hwm  Wm  L

R2 R1

   H  dl   I

R1  r  R 2  =0 （其他）

I

 I



2 r H



H

I 2 r

R1  r  R2 

（其他）

解法1 H  wm  Wm  L

H 

R2 R

I 2r

R 1

 r  R2 

（其他）

 I



1 1 2 I 2 wm   H  B  2 2 2 2 8 r d V  2 r d r l

Wm 



w

1 2 2Wm  l R2 Wm  LI L  2  ln I 2 R1 2

 I l R 2 dr  4  R 1 r  I 2l R2  ln 4 R1

解：法2 H –B- Φ -L -Wm

dS= ldr

H B

I I 2 r

R1  r  R2 

（其他）

   Il d  B  dS  dr 2 r

 I



l

 



 Il R2  Il ln dr  2 r 2 R1

  l R2 L  ln I 2 R1

1 W m  LI 2

 I 2l R2  ln 4 R1

a1 同理，线圈b中有：

M  La Lb 无漏磁，有：

组成新的线圈总的电动势：

   a   ba   ab

 La  M  M  Lb

dI   b  L dt dI  L  ......  0 

讨论：若如下图连接，又如何？

a1 1图

b1 2图 b

a1 1图

b1 b

如图1连接：在线圈中电流方向一致，仍是串联，有：

dI    a   ba   b   ab   L dt dI  La  M  Lb  M  dt





L  4 La ( La  Lb  M )

图 2时并联情况 b1 2图 b 电流在两个线圈中方向一致

   a   ba   b   ab

简化计算： La  Lb  M

并联的关系，电压，电流 …

Ia  Ib  I

 B



B  kx cos t

解：取坐标系如图 1.导线ab 在均匀磁场中运动，动生电动势就是框架中的感应电动势

t : ab在x位置

 B

a v

y o



ab  l  xtg

相应的动生电动是：

 i  Bvl   Bvxtg   Btg  v t 方向有a到b ( x  vt )

 x d 2

2.当B作非均匀变化时，此时框架中既产生动生电动势，又产生感生电动势，可用法拉第定律计算取回

路,aoba 并在x轴 处取小面元ds

有: ds  yd    tg  d t时刻穿过ds的磁通量为:

  d  B  ds

  d  B  ds  Bds  k cos t    tg  d  k cos t  tg  d

 B

a v

y o



 d1 3 2 则：    d   k cos t  tg  d  kx cos t  tg 3 0

法拉第定律：讨论： i  0 与绕行方向一致，反之 ….

 B

D I2 C a

FAB

    I 2 dl B 1 

x 方向如图

 0I1  0 I1 I 2 I 2 dl  b  2r 2x AB

此磁场对AD边的作用力

 B

 FAB

 FAD

D I2 C a x b

FAD

xa

    I 2 dl  B1

B x





 0 I1 I 2dr 2r

 0 I1 I 2 x  a  ln 2 x

方向如图

2）线圈ABCD所受的安培力的合力：

     F  FAB  FBC  F CD  FAD    FAB  FCD

 B

 FAD

D I2 C a x b

 FAB

 0 I1 I 2 b  1 1  ˆ)    (  x 2  x x  a 

从x=a到x=2a,磁场做功：

B x

2a    0 I 1 I 2b  1 1  A   F  dx      dx 2  x x  a  a

 0 I1 I 2b 4  ln 2 3

磁力作负功也可用 A  I 作。

R o I

I

d



 dB 

解：1）此题不具有高度对称性，不能使用安培环路定理，用场强叠加原理 I j 坐标如图面电流密度为：

R

在半圆上取平行与轴线的一窄长条，宽为 dl

，载有电流，则它在轴线上的磁感应强度为：

dI  j  dl  jRd

I



d

 dB 

I

 0 dI  0 jd dB   2R 2

对称性： B x  0

方向如图

 0 j sin   0j  0 I B  B y   dB y   dB sin    d   2 2   R 0

2) 由安培定律，在轴线上载流导线上取一导线元它受的安培力



     dF  Idl  B (dl 与B垂直)

 3)替代电流在轴线上产生的 B 应等于半圆柱面电流在轴  线上产生的 B，所以，替代电流应在x轴负半轴上，

电流方向沿Z轴正向，设与原点距离为d,

  方向沿x轴正向，B沿y轴，dl 沿  Z轴

0 I 2 dF  BI  2 单位长度导线受力大小： dl  R

 0 I  0I 则： 2   R 2d R d 2 R 坐标为：x   2

I 

 I

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