【关注】◆ｌ数理化研究Ｉ
曲线上的点到直线之距的最值问题
●曾德琼
在解析几何中，曲线上的点到直线的最短（长埙！离或求动点到直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的一个难题，要解决它。可以从两方面入手：可归结为求函数的最值问题；可借助于图形的性质。以下是我针对以上两点举例说明。
最小值。
解：ｊ用待定系数法
设曲线ｃ的方程｝一姜一ｌ（ｘ≥Ｖ１），其中入＞０
例１：求曲线｛ｆｘ＝２．ｃ罢．．（ｅ为参数）上一点到直线ｙ：５一ｘ例１：求曲线｛ｖ：２、／丁ｓｉｎｅ（ｅ为参数）上一点到直线ｙ＝５一。
、
则它的右准线方程为×。孬乡ｒ２弩＝２１
２、／九
ｚ
．・．入．１
ｚ
的距离的最小值。
故所求曲线Ｃ的方程为Ｘｚ一要＝１
（ｘ≥１）
方法一：用函数的最值问题来解决。
解：・．・点Ａ坐标为（２ｃｏｓｅ，２、／丁ｓ｜ｎｅ）．直线方程为
ｘ－ｙ－５＝Ｏ。
孕方法一：Ｅｌａｎ１．、知，曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为（２，Ｏ）。若弦ＰＱ的斜率存在，则弦ＰＱ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ一２）。
代入双曲线方程得（３一ｋ２）ｘ２＋４ｋＺｘ一４ｋ２３＝０。设点Ｐ（Ｘ，，Ｙ，）。Ｑ（ｘ２，ｙ２）
△＞０
．・．利用点到直线的距离公式可以得到
ｄ：＿［２ｃｏｓ０－２篁蔓业！＝列；Ｊ坐帅（∞∑！）＝墨Ｉ
、／２
、／２
当３００—ｅ＝９０。时ｓｉｎ（３００—ｅ）＝１，此时ｄ有最值ｄ。＝１一、厂≯
２、／虿
方法二：借助图形。即利用数形结合的方法。
由ｊＸｌ＋×产盏ｊ
刈。解得ｋ２＞３
ｘ１×２＝一下４ｋ２＋旷３＞Ｏ
解：把参数方程ｆｘ２２ｃ竺解：把参数方程｛一即为丁Ｘ２＋善＝１
点Ｒ到ｙ轴距鼽扣Ｉ学Ｉ－苦＝２＋ｉ墨ｒ２
而当弦ＰＱ的斜率不存在时，点Ｒ到Ｙ轴之距Ｉｘ．１＝２。．・．点Ｒ到Ｙ轴的最短２巨离为２。
方法二：Ｒ为Ｐ，Ｑ的中点，我们可以先求出Ｒ点的轨迹方程。再求距离的最小值。
・．‘啄２。０），．．．直线ＰＱ的方程设为ｙ＝ｋ（ｘ一２）＝ｋｘ一２ｋ。．．由ｘ
ｙ３２－１整理得（３一旧ｘ２＋４ｋ２Ｘ一４ｋ２—３：０
化为一般式。
ｌｖ＝２、／３ｓｉｎｅ
消参得到方程（争）２＋（２弓ｆ）≮１
如图１：虚线为与椭圆相切且与直线ｙ＝５一Ｘ平行的直线，而此直线与ｙ＝５一Ｘ之距即为所求。
设虚线的直线方程为ｙ＝ｘ＋ｂ
Ｔ。
【ｙ＝ｋｘ一２ｋ
．．．Ｊ奢＋苦＝，
ｌｙ：ｘ＋ｂ
化筒得４ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ２－１２＝０
・．‘相切．‘．△＝０
．’．ｂ＝４－４
凡、、
≮
，二二
一夕｜｜
一Ｊ
，，夕苎
５
．’．Ｘ１＋ｘ２＝嚣§同理得ｙ，＋ｙ产丽２ｋ
．・．中点Ｒ的坐标为ｘ＝嵩，ｙ＝ｋ６。二ｋＦ
消ｋ得到中点Ｒ的轨迹方程为（ｘ－１）２一正３＝１（×≥１）
图２为中点Ｒ的轨迹方程所对应图形。从图中可以看出它到Ｙ轴的最短距离为它
由图可知ｂ＝一４
．・．图中两直线之距壮兽２
、／
＝孚
‘
的顶点到Ｙ轴之距。
・．‘顶点坐标为（２，０）
？。ｄｒｒｍ＝～０
例２：曲线Ｃ是中心在原点，焦点在Ｘ轴上的双曲线的右支，
．・．Ｒ到ｙ轴的最短距离为ｄ。ｎ＝２
图２
综上所述．要解决曲线上的点到直线距离的最值问题．既可以用代数方法。也可以用几何方法，当然也可以用到数形结合的方法。而要掌握这些方法。就需要我们在平时的学习中不断的积累学
习经验。
已知它的右准线方程为Ａ：ｘ＝妻。一条渐近线的方程为ｙ＝、／可
Ｘ，线段ＰＱ是过曲线Ｃ右焦点Ｆ的一条弦，Ｒ是弦ＰＱ的中点：①求曲线方程；２当点Ｐ在曲线Ｃ上运动时，求点Ｒ到Ｙ轴距离的高教学效果。
三、利用电教多媒体．渗透爱国主义教育
近年来。国家的富强使国人爱国意识淡薄，多媒体可将德育寓于智育之中。多媒体教学生动、形象，感染力强，易于激发学生的内在情感。使学生不仅学好功课，而且激发了学生的爱国热情。初三学生已经具备了比较稳定的心理特征。通过介绍我国古代在化学工艺的贡献。培养学生爱国主义精神；通过能源、材料、健康、环境等方面知识的介绍，让学生了解化学工业在社会发展的重要作用．逐渐培养学生的社会责任感；通过化学现象和化学本质的辩证认识．树立物质由量变到质变的辩证唯物主义观点；通过化学家化学
（拉萨市第：高级巾学）
探究活动的严谨与艰辛，探究过程中的合作精神，培养学生实事求
是的科学态度。
古语说得好“工欲善其事。必先利其器”．要真正让学生感受到现代信息技术带来的喜悦．教师既要不断提升自己的业务水平、业务能力。还要正确看待多媒体在教学中的辅助作用，千万不能把优势变成劣势，犯了画蛇添足的错误，不考虑教学内容和学生特点。像学生实验，通过播放影片取代实验教学。抑制了学生的动手操作能力。教学过程中．学生是学习的主体，是学习的主人，多媒体是通向知识的一座桥。在教学中应起到雪中送炭、锦上添花的效果。
（深州ｌｆ『东安庄学区东安庄巾学）
２０１０．３－◆５３
万方数据
曲线上的点到直线之距的最值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
曾德琼
拉萨市第二高级中学成才之路
WAY OF SUCCESS2010，""(7)0次
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_cczl201007058.aspx
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下载时间：2010年8月4日
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曲线上的点到直线之距的最值问题
●曾德琼
在解析几何中，曲线上的点到直线的最短（长埙！离或求动点到直线的最短（长）距离，是我们经常遇到的一个难题，要解决它。可以从两方面入手：可归结为求函数的最值问题；可借助于图形的性质。以下是我针对以上两点举例说明。
最小值。
解：ｊ用待定系数法
设曲线ｃ的方程｝一姜一ｌ（ｘ≥Ｖ１），其中入＞０
例１：求曲线｛ｆｘ＝２．ｃ罢．．（ｅ为参数）上一点到直线ｙ：５一ｘ例１：求曲线｛ｖ：２、／丁ｓｉｎｅ（ｅ为参数）上一点到直线ｙ＝５一。
、
则它的右准线方程为×。孬乡ｒ２弩＝２１
２、／九
ｚ
．・．入．１
ｚ
的距离的最小值。
故所求曲线Ｃ的方程为Ｘｚ一要＝１
（ｘ≥１）
方法一：用函数的最值问题来解决。
解：・．・点Ａ坐标为（２ｃｏｓｅ，２、／丁ｓ｜ｎｅ）．直线方程为
ｘ－ｙ－５＝Ｏ。
孕方法一：Ｅｌａｎ１．、知，曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为（２，Ｏ）。若弦ＰＱ的斜率存在，则弦ＰＱ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ一２）。
代入双曲线方程得（３一ｋ２）ｘ２＋４ｋＺｘ一４ｋ２３＝０。设点Ｐ（Ｘ，，Ｙ，）。Ｑ（ｘ２，ｙ２）
△＞０
．・．利用点到直线的距离公式可以得到
ｄ：＿［２ｃｏｓ０－２篁蔓业！＝列；Ｊ坐帅（∞∑！）＝墨Ｉ
、／２
、／２
当３００—ｅ＝９０。时ｓｉｎ（３００—ｅ）＝１，此时ｄ有最值ｄ。＝１一、厂≯
２、／虿
方法二：借助图形。即利用数形结合的方法。
由ｊＸｌ＋×产盏ｊ
刈。解得ｋ２＞３
ｘ１×２＝一下４ｋ２＋旷３＞Ｏ
解：把参数方程ｆｘ２２ｃ竺解：把参数方程｛一即为丁Ｘ２＋善＝１
点Ｒ到ｙ轴距鼽扣Ｉ学Ｉ－苦＝２＋ｉ墨ｒ２
而当弦ＰＱ的斜率不存在时，点Ｒ到Ｙ轴之距Ｉｘ．１＝２。．・．点Ｒ到Ｙ轴的最短２巨离为２。
方法二：Ｒ为Ｐ，Ｑ的中点，我们可以先求出Ｒ点的轨迹方程。再求距离的最小值。
・．‘啄２。０），．．．直线ＰＱ的方程设为ｙ＝ｋ（ｘ一２）＝ｋｘ一２ｋ。．．由ｘ
ｙ３２－１整理得（３一旧ｘ２＋４ｋ２Ｘ一４ｋ２—３：０
化为一般式。
ｌｖ＝２、／３ｓｉｎｅ
消参得到方程（争）２＋（２弓ｆ）≮１
如图１：虚线为与椭圆相切且与直线ｙ＝５一Ｘ平行的直线，而此直线与ｙ＝５一Ｘ之距即为所求。
设虚线的直线方程为ｙ＝ｘ＋ｂ
Ｔ。
【ｙ＝ｋｘ一２ｋ
．．．Ｊ奢＋苦＝，
ｌｙ：ｘ＋ｂ
化筒得４ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ２－１２＝０
・．‘相切．‘．△＝０
．’．ｂ＝４－４
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一夕｜｜
一Ｊ
，，夕苎
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．’．Ｘ１＋ｘ２＝嚣§同理得ｙ，＋ｙ产丽２ｋ
．・．中点Ｒ的坐标为ｘ＝嵩，ｙ＝ｋ６。二ｋＦ
消ｋ得到中点Ｒ的轨迹方程为（ｘ－１）２一正３＝１（×≥１）
图２为中点Ｒ的轨迹方程所对应图形。从图中可以看出它到Ｙ轴的最短距离为它
由图可知ｂ＝一４
．・．图中两直线之距壮兽２
、／
＝孚
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的顶点到Ｙ轴之距。
・．‘顶点坐标为（２，０）
？。ｄｒｒｍ＝～０
例２：曲线Ｃ是中心在原点，焦点在Ｘ轴上的双曲线的右支，
．・．Ｒ到ｙ轴的最短距离为ｄ。ｎ＝２
图２
综上所述．要解决曲线上的点到直线距离的最值问题．既可以用代数方法。也可以用几何方法，当然也可以用到数形结合的方法。而要掌握这些方法。就需要我们在平时的学习中不断的积累学
习经验。
已知它的右准线方程为Ａ：ｘ＝妻。一条渐近线的方程为ｙ＝、／可
Ｘ，线段ＰＱ是过曲线Ｃ右焦点Ｆ的一条弦，Ｒ是弦ＰＱ的中点：①求曲线方程；２当点Ｐ在曲线Ｃ上运动时，求点Ｒ到Ｙ轴距离的高教学效果。
三、利用电教多媒体．渗透爱国主义教育
近年来。国家的富强使国人爱国意识淡薄，多媒体可将德育寓于智育之中。多媒体教学生动、形象，感染力强，易于激发学生的内在情感。使学生不仅学好功课，而且激发了学生的爱国热情。初三学生已经具备了比较稳定的心理特征。通过介绍我国古代在化学工艺的贡献。培养学生爱国主义精神；通过能源、材料、健康、环境等方面知识的介绍，让学生了解化学工业在社会发展的重要作用．逐渐培养学生的社会责任感；通过化学现象和化学本质的辩证认识．树立物质由量变到质变的辩证唯物主义观点；通过化学家化学
（拉萨市第：高级巾学）
探究活动的严谨与艰辛，探究过程中的合作精神，培养学生实事求
是的科学态度。
古语说得好“工欲善其事。必先利其器”．要真正让学生感受到现代信息技术带来的喜悦．教师既要不断提升自己的业务水平、业务能力。还要正确看待多媒体在教学中的辅助作用，千万不能把优势变成劣势，犯了画蛇添足的错误，不考虑教学内容和学生特点。像学生实验，通过播放影片取代实验教学。抑制了学生的动手操作能力。教学过程中．学生是学习的主体，是学习的主人，多媒体是通向知识的一座桥。在教学中应起到雪中送炭、锦上添花的效果。
（深州ｌｆ『东安庄学区东安庄巾学）
２０１０．３－◆５３
万方数据
曲线上的点到直线之距的最值问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
曾德琼
拉萨市第二高级中学成才之路
WAY OF SUCCESS2010，""(7)0次
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