函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：
二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：
①y =
f (x )
，则g （x ）≠0； g (x )
2 ②y =
f (x ) (n ∈N *) 则x ）≥0；
③y =[f (x )]，则f （x ）≠0；
④如：y =log f (x ) g (x ) ，则
{
g (x ) >0
01；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。
三. 练习题:
1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，N ={4,7,n , n +3n }，m , n ∈N ，映射f :y →3x +1是从M 到N 的一个函数，则m -n 的值为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．
（1）P =Z , Q =N ，对应关系f :“对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”；
*
4
2
*
（2）P ={-1,1, -2,2},Q ={1,4}，对应关系：f :x →y =x , x ∈P , y ∈Q ；
（3）P ={三角形},Q ={x |x >0}，对应关系f :“对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”
3. M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）
A 、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
2
4. 若函数y =f (x ) 的定义域是[0,2]，则函数g (x ) =
f (2x )
的定义域是（B ） x -1
A ．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D．(0,1) 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．y =1, y =
（ C ）
x 2
B．y =x -1⨯x +1, y =x -1 x
C ．y =x , y =
x 3 D． y =|x |,y =(x ) 2
2
⎧ x ≤1，⎪1-x ，f (x ) =6. 设函数则⎨2
x +x -2，x >1，⎪⎩
⎛1⎫
f ⎪的值为（ A ）
f (2)⎝⎭
D ．18
A ．
15
16
B ．-
27 16
C ．
8 9
7. （1）函数
y =
lg x -3. 答：[0,2) (2,3) (3,4)) ；
（2）若函数y =
kx +7⎡3⎫
0, ⎪) ； 的定义域为R ，则_______(答：k ∈2⎢kx +4kx +3⎣4⎭
（3）函数f (x ) 的定义域是[a , b ]，则函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 的定义域是(答： [a , -a ]) ；b >-a >0，
o l g （4）若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (
2
⎡1⎤⎣⎦
2
x ) 的定义域为__________（答：x |2≤x ≤4）；
{}
（5）若函数f (x +1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）． 8．求下列函数的值域：
2
3x +1
； x -2
12323
解：（1）（配方法） y =3x 2-x +2=3(x -) 2+≥，
61212
232
∴y =3x -x +2的值域为[, +∞) 。
12
（1）y =3x -x +2；（2
）y =
2
；（3）y =
改题：求函数y =3x -x +2，x ∈[1,3]的值域。
解：（利用函数的单调性）函数y =3x -x +2在x ∈[1,3]上单调增， ∴当x =1时，原函数有最小值为4；当x =3时，原函数有最大值为26。 ∴函数y =3x -x +2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：
2
设μ=-x -6x -5（μ≥0）
，则原函数可化为y =
2
2
2
2
2
又∵μ=-x -6x -5=-(x +3) +4≤4， ∴0≤μ≤
4[0,2]，
∴y =
的值域为[0,2]。
3x +12x +1
的反函数为y =，其定义域为{x ∈R |x ≠3}，
x -3x -2
（3）（法一）反函数法： y =
∴原函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
3x +13(x -2) +77
， ==3+
x -2x -2x -2
（法二）分离变量法：y =∵
77
≠0，∴3+≠3， x -2x -2
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
112
9. （1）已知f (x +) =x +2，求f (x ) ；
x x
∴函数y =
（2）已知f (+1) =lg x ，求f (x ) ；
（3）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ； （4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) 。
(5)已知函数y=x2+x与y=g（x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式 解：（1）∵f (x +) =x 2+
2
2
x
1x
1x 112
=(x +) -2， x 2x
∴f (x ) =x -2（x ≥2或x ≤-2）。
22，则x =， +1=t （t >1）
x t -1
22
∴f (t ) =lg ，f (x ) =lg (x >1) 。
t -1x -1
（2）令
（3）设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，
则3f (x +1) -2f (x -1) =3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7， ∴f (x ) =2x +7。
（4）2f (x ) +f () =3x ①，
1
x
113
，得2f () +f (x ) = ②， x x x
3
①⨯2-②得3f (x ) =6x -，
x
1
∴f (x ) =2x -。
x
2
⎧x
10. （1）
设函数f (x ) =⎨，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是
⎪⎩4x ≥1)
(x ≥0) ⎧1
__________（答：(-∞, -2 ）；（2）已知f (x ) =⎨，则不等式][0, 10
-1 (x
3
x +(x +2) f (x +2) ≤5的解集是________（答：(-∞, ]）
2
把①中的x 换成
(x ≥100) ⎧x -3
, 求f (89). 11. （1）设函数f (x ) =⎨
f [f (x +5)](x
⎧2-x , x ∈(-∞, 1]1
（2）设函数f （x ）＝⎨，则满足f （x ）=的x 值为 。
4⎩log 81, x ∈(1, +∞)
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
f (89) =f (f (94)) =f (f (f (99))) =f (f (f (f (104)))) =f (f (f (101)))
=f (f (98)) =f (f (f (103))) =f (f (100)) =f (97) =f (f (102)) =f (99) =f (f (104)) =f (101) =98.
（2）当x ∈（－∞，1]，值域应为［
1
，＋∞］， 2
当x ∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y ＝
1
，y ∈（0，＋∞）， 4
1
∴此时x ∈（1，＋∞），
1
∴log 81x ＝，x ＝814＝3。
4
2
12. 对于抛物线线y =4x 上的每一个点Q ，点P (a , 0)都满足PQ ≥a ，则a 的取值范围B
A ．(-∞, 0) B ．(-∞, 2] C ．[0, 2] D ．(0, 2)
巩固练习: 13. 函数f(x)=
13
3x 2-x
+lg(3x+1)的定义域是 （ C ）
13
13
A. （-∞,-） B . （-, ） C. （-，1）
1
3
D.（-,+∞）
13
14. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.9 15. 已知函数ϕ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且ϕ()=16,
ϕ(1)=8,则ϕ5 x
13
⎧1
, x
16. 若函数f (x ) =⎨ 则不等式|f (x ) |≥的解集为________[-3,1].____.
3⎪(1) x , x ≥0
⎪⎩3
本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
⎧x
1⎪
（1）由|f (x ) |≥⇒⎨11⇒-3≤x
3⎪≥
⎩x 3
⎧x ≥0⎧x ≥01⎪⎪x x
（2）由|f (x ) |≥⇒⎨⎛1⎫1⇒⎨⎛1⎫1⇒0≤x ≤1.
3⎪ ⎪≥⎪ ⎪≥33⎩⎝3⎭3⎩⎝⎭
∴不等式|f (x ) |≥
1
的解集为{x |-3≤x ≤1}，∴应填[-3,1]. 3
⎧a , a ≤b ,
17 .对于任意实数a ，b ，定义min{a , b }=⎨ 设函数
b , a >b . ⎩
f (x ) =-x +3, g (x ) =log 2x ，则函数h (x ) =min{f (x ), g (x )}的最大值是__1_______ .
18. 若函数y =
12
x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 2
为 2 。
19. （1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,
有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
（2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),
22
即f(0)=f(x)-x-x, 而f(0)=1,∴f(x)=x+x+1. （2）以-x 代x, 依题意有
2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ① 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ② 两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=lg(1+x-x-x )(-1＜x ＜1).
20. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y 0) 关于原点的对称点为P(x,y),
2
13
23
⎧x 0+x
=0, ⎪⎧x =-x , ⎪2
则⎨ 即⎨0
y +y y =-y . ⎩0⎪0
=0,
⎪⎩2
∵点Q （x 0,y 0）在函数y=f(x)的图象上∴-y=x-2x, 即y=-x+2x,故g(x)=-x+2x.
2
(2)由g(x)≥f (x ) -|x -1|可得：2x -|x-1|≤0. 当x ≥1时，2x -x+1≤0, 此时不等式无解.
11⎤2
当x ＜1时，2x +x-1≤0, ∴-1≤x ≤. 因此，原不等式的解集为⎡-1, ⎢⎥.
2
2
222
⎣
2⎦
21. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上. 记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.
解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x, 点C 的纵坐标y 满足方程
x 2y 2
+=1(y≥0), r 24r 2
解得y=2r 2-x 2(0＜x ＜r).S=(2x+2r)·2r 2-x 2 =2(x+r)·r 2-x 2, 其定义域为{x|0＜x ＜r}.
（2）记f(x)=4(x+r)(r-x ),0＜x ＜r, 则f '(x ) =8(x+r)(r-2x). 令f '(x ) =0,得x=r. 因为当0＜x ＜时，f '(x ) ＞0; 当＜x ＜r 时, f '(x ) ＜0，所以f （r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=r 时，S 也取得最大值，最大值为f (r ) =即梯形面积S 的最大值为
22
2
2
2
12
12r 2
r 212
121232
r . 2
32
r . 2
22. 已知函数f(x)=x-4ax+2a+6 (x∈R ).
（1）求函数的值域为［0，+∞) 时的a 的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a-4(2a+6)=0⇒2a -a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a-a-3) ≤0⇒-1≤a ≤, ∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a-3a+2=-(a+) +
2
2
2
2
32
32
32
2
174
3⎤
(a∈⎡⎢-1
, ⎥).
⎣
2⎦
3193⎤
∵二次函数f(a)在⎡上单调递减，∴f （a ），f （a ）max =f（-1）=4， -1, min =f() =-⎢⎥
⎣
2⎦
24
∴f(a)的值域为⎡⎢-
19⎤
, 4⎥. ⎣4⎦
23. 已知二次函数f(x）的二次项系数为a, 且不等式f(x)＞-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 （1）∵f （x ）+2x＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0, 因而有
2
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax-(2+4a)x+3a,
①
2
由方程f(x)+6a=0,得ax -(2+4a)x+9a=0,
②
因为方程②有两个相等的根， ∴Δ=［-（2+4a）］-4a ·9a=0，即5a -4a-1=0,解得a=1或a=-. 由于a ＜0, 舍去a=1.将a=-代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=- x -x-.
1+2a 2a 2+4a +1（2）由f(x)=ax-2(1+2a)x+3a=a(x -, ) -
a a
2
2
2
1
5
15
15
2
6535
⎧a 2+4a +1
>0, a +4a +1⎪-
及a ＜0，可得f(x)的最大值为- , 由⎨a
a ⎪a
⎩
2
解得a ＜-2-或-2+＜a ＜0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (-∞,-2-) ∪(-2+,0).
函数的概念、表示法与定义域
一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：
二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：
①y =
f (x )
，则g （x ）≠0； g (x )
2 ②y =
f (x ) (n ∈N *) 则x ）≥0；
③y =[f (x )]，则f （x ）≠0；
④如：y =log f (x ) g (x ) ，则
{
g (x ) >0
01；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。
三. 练习题:
1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，N ={4,7,n , n +3n }，m , n ∈N ，映射f :y →3x +1是从M 到N 的一个函数，则m -n 的值为(B)
A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．
（1）P =Z , Q =N ，对应关系f :“对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”；
*
4
2
*
（2）P ={-1,1, -2,2},Q ={1,4}，对应关系：f :x →y =x , x ∈P , y ∈Q ；
（3）P ={三角形},Q ={x |x >0}，对应关系f :“对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应．”
3. M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤3}给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）
A 、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
2
4. 若函数y =f (x ) 的定义域是[0,2]，则函数g (x ) =
f (2x )
的定义域是（B ） x -1
A ．[0,1] B．[0,1) C． [0,1) (1,4] D．(0,1) 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．y =1, y =
（ C ）
x 2
B．y =x -1⨯x +1, y =x -1 x
C ．y =x , y =
x 3 D． y =|x |,y =(x ) 2
2
⎧ x ≤1，⎪1-x ，f (x ) =6. 设函数则⎨2
x +x -2，x >1，⎪⎩
⎛1⎫
f ⎪的值为（ A ）
f (2)⎝⎭
D ．18
A ．
15
16
B ．-
27 16
C ．
8 9
7. （1）函数
y =
lg x -3. 答：[0,2) (2,3) (3,4)) ；
（2）若函数y =
kx +7⎡3⎫
0, ⎪) ； 的定义域为R ，则_______(答：k ∈2⎢kx +4kx +3⎣4⎭
（3）函数f (x ) 的定义域是[a , b ]，则函数F (x ) =f (x ) +f (-x ) 的定义域是(答： [a , -a ]) ；b >-a >0，
o l g （4）若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f (
2
⎡1⎤⎣⎦
2
x ) 的定义域为__________（答：x |2≤x ≤4）；
{}
（5）若函数f (x +1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）． 8．求下列函数的值域：
2
3x +1
； x -2
12323
解：（1）（配方法） y =3x 2-x +2=3(x -) 2+≥，
61212
232
∴y =3x -x +2的值域为[, +∞) 。
12
（1）y =3x -x +2；（2
）y =
2
；（3）y =
改题：求函数y =3x -x +2，x ∈[1,3]的值域。
解：（利用函数的单调性）函数y =3x -x +2在x ∈[1,3]上单调增， ∴当x =1时，原函数有最小值为4；当x =3时，原函数有最大值为26。 ∴函数y =3x -x +2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：
2
设μ=-x -6x -5（μ≥0）
，则原函数可化为y =
2
2
2
2
2
又∵μ=-x -6x -5=-(x +3) +4≤4， ∴0≤μ≤
4[0,2]，
∴y =
的值域为[0,2]。
3x +12x +1
的反函数为y =，其定义域为{x ∈R |x ≠3}，
x -3x -2
（3）（法一）反函数法： y =
∴原函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
3x +13(x -2) +77
， ==3+
x -2x -2x -2
（法二）分离变量法：y =∵
77
≠0，∴3+≠3， x -2x -2
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
112
9. （1）已知f (x +) =x +2，求f (x ) ；
x x
∴函数y =
（2）已知f (+1) =lg x ，求f (x ) ；
（3）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x +1) -2f (x -1) =2x +17，求f (x ) ； （4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) 。
(5)已知函数y=x2+x与y=g（x ）关于点（-2，3）对称，求g （x ）的解析式 解：（1）∵f (x +) =x 2+
2
2
x
1x
1x 112
=(x +) -2， x 2x
∴f (x ) =x -2（x ≥2或x ≤-2）。
22，则x =， +1=t （t >1）
x t -1
22
∴f (t ) =lg ，f (x ) =lg (x >1) 。
t -1x -1
（2）令
（3）设f (x ) =ax +b (a ≠0) ，
则3f (x +1) -2f (x -1) =3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7， ∴f (x ) =2x +7。
（4）2f (x ) +f () =3x ①，
1
x
113
，得2f () +f (x ) = ②， x x x
3
①⨯2-②得3f (x ) =6x -，
x
1
∴f (x ) =2x -。
x
2
⎧x
10. （1）
设函数f (x ) =⎨，则使得f (x ) ≥1的自变量x 的取值范围是
⎪⎩4x ≥1)
(x ≥0) ⎧1
__________（答：(-∞, -2 ）；（2）已知f (x ) =⎨，则不等式][0, 10
-1 (x
3
x +(x +2) f (x +2) ≤5的解集是________（答：(-∞, ]）
2
把①中的x 换成
(x ≥100) ⎧x -3
, 求f (89). 11. （1）设函数f (x ) =⎨
f [f (x +5)](x
⎧2-x , x ∈(-∞, 1]1
（2）设函数f （x ）＝⎨，则满足f （x ）=的x 值为 。
4⎩log 81, x ∈(1, +∞)
解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，
f (89) =f (f (94)) =f (f (f (99))) =f (f (f (f (104)))) =f (f (f (101)))
=f (f (98)) =f (f (f (103))) =f (f (100)) =f (97) =f (f (102)) =f (99) =f (f (104)) =f (101) =98.
（2）当x ∈（－∞，1]，值域应为［
1
，＋∞］， 2
当x ∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞）， ∴y ＝
1
，y ∈（0，＋∞）， 4
1
∴此时x ∈（1，＋∞），
1
∴log 81x ＝，x ＝814＝3。
4
2
12. 对于抛物线线y =4x 上的每一个点Q ，点P (a , 0)都满足PQ ≥a ，则a 的取值范围B
A ．(-∞, 0) B ．(-∞, 2] C ．[0, 2] D ．(0, 2)
巩固练习: 13. 函数f(x)=
13
3x 2-x
+lg(3x+1)的定义域是 （ C ）
13
13
A. （-∞,-） B . （-, ） C. （-，1）
1
3
D.（-,+∞）
13
14. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R ),f(1)=2,则f(-3)等于（C ） A.2 B.3 C.6 D.9 15. 已知函数ϕ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数，且ϕ()=16,
ϕ(1)=8,则ϕ5 x
13
⎧1
, x
16. 若函数f (x ) =⎨ 则不等式|f (x ) |≥的解集为________[-3,1].____.
3⎪(1) x , x ≥0
⎪⎩3
本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
⎧x
1⎪
（1）由|f (x ) |≥⇒⎨11⇒-3≤x
3⎪≥
⎩x 3
⎧x ≥0⎧x ≥01⎪⎪x x
（2）由|f (x ) |≥⇒⎨⎛1⎫1⇒⎨⎛1⎫1⇒0≤x ≤1.
3⎪ ⎪≥⎪ ⎪≥33⎩⎝3⎭3⎩⎝⎭
∴不等式|f (x ) |≥
1
的解集为{x |-3≤x ≤1}，∴应填[-3,1]. 3
⎧a , a ≤b ,
17 .对于任意实数a ，b ，定义min{a , b }=⎨ 设函数
b , a >b . ⎩
f (x ) =-x +3, g (x ) =log 2x ，则函数h (x ) =min{f (x ), g (x )}的最大值是__1_______ .
18. 若函数y =
12
x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，则b 的 2
为 2 。
19. （1）设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a 、b,
有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
（2）函数f(x) (x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x). 解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),
22
即f(0)=f(x)-x-x, 而f(0)=1,∴f(x)=x+x+1. （2）以-x 代x, 依题意有
2f(-x)-f(x)=lg(1-x) ① 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) ② 两式联立消去f(-x)得 3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),∴f(x)=lg(1+x-x-x )(-1＜x ＜1).
20. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y 0) 关于原点的对称点为P(x,y),
2
13
23
⎧x 0+x
=0, ⎪⎧x =-x , ⎪2
则⎨ 即⎨0
y +y y =-y . ⎩0⎪0
=0,
⎪⎩2
∵点Q （x 0,y 0）在函数y=f(x)的图象上∴-y=x-2x, 即y=-x+2x,故g(x)=-x+2x.
2
(2)由g(x)≥f (x ) -|x -1|可得：2x -|x-1|≤0. 当x ≥1时，2x -x+1≤0, 此时不等式无解.
11⎤2
当x ＜1时，2x +x-1≤0, ∴-1≤x ≤. 因此，原不等式的解集为⎡-1, ⎢⎥.
2
2
222
⎣
2⎦
21. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上. 记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S 的最大值.
解（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O-xy （如图）， 则点C 的横坐标为x, 点C 的纵坐标y 满足方程
x 2y 2
+=1(y≥0), r 24r 2
解得y=2r 2-x 2(0＜x ＜r).S=(2x+2r)·2r 2-x 2 =2(x+r)·r 2-x 2, 其定义域为{x|0＜x ＜r}.
（2）记f(x)=4(x+r)(r-x ),0＜x ＜r, 则f '(x ) =8(x+r)(r-2x). 令f '(x ) =0,得x=r. 因为当0＜x ＜时，f '(x ) ＞0; 当＜x ＜r 时, f '(x ) ＜0，所以f （r ）是f(x)的最大值. 因此，当x=r 时，S 也取得最大值，最大值为f (r ) =即梯形面积S 的最大值为
22
2
2
2
12
12r 2
r 212
121232
r . 2
32
r . 2
22. 已知函数f(x)=x-4ax+2a+6 (x∈R ).
（1）求函数的值域为［0，+∞) 时的a 的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域. 解 (1）∵函数的值域为［0，+∞),
∴Δ=16a-4(2a+6)=0⇒2a -a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a-a-3) ≤0⇒-1≤a ≤, ∴a+3＞0, ∴f(a)=2-a(a+3)=-a-3a+2=-(a+) +
2
2
2
2
32
32
32
2
174
3⎤
(a∈⎡⎢-1
, ⎥).
⎣
2⎦
3193⎤
∵二次函数f(a)在⎡上单调递减，∴f （a ），f （a ）max =f（-1）=4， -1, min =f() =-⎢⎥
⎣
2⎦
24
∴f(a)的值域为⎡⎢-
19⎤
, 4⎥. ⎣4⎦
23. 已知二次函数f(x）的二次项系数为a, 且不等式f(x)＞-2x 的解集为（1，3）. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 （1）∵f （x ）+2x＞0的解集为（1，3）， 则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a ＜0, 因而有
2
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax-(2+4a)x+3a,
①
2
由方程f(x)+6a=0,得ax -(2+4a)x+9a=0,
②
因为方程②有两个相等的根， ∴Δ=［-（2+4a）］-4a ·9a=0，即5a -4a-1=0,解得a=1或a=-. 由于a ＜0, 舍去a=1.将a=-代入①式，得f(x)的解析式为 f(x)=- x -x-.
1+2a 2a 2+4a +1（2）由f(x)=ax-2(1+2a)x+3a=a(x -, ) -
a a
2
2
2
1
5
15
15
2
6535
⎧a 2+4a +1
>0, a +4a +1⎪-
及a ＜0，可得f(x)的最大值为- , 由⎨a
a ⎪a
⎩
2
解得a ＜-2-或-2+＜a ＜0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (-∞,-2-) ∪(-2+,0).