初中几何基本模型分析(一)
【基本模型一】
模型特征：一线三等角 关键词：相似、全等证明
1、 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
9
a 时，P 、Q 2
B
2、如图，AB ⊥MN 于点B ，点P 为MN 上的一个动点，∠APB ＝∠APC ，AC ⊥AP ，CD ⊥MN 于D 。 1、点P 在BD 上运动时，CD 是否为一定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； 2、若连接AD 交PC 于点E ，试求当BP 为何值时，
AE 5
＝？ ED 6
3、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE =90°．
（1）当DF ∥AB 时，连接EF ，求∠DEF 的余切值；
（2）当点F 在线段BC 上时，设AE =x ，BF =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ※（3）连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．
A
4、（2013福州中考题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，P 是BC 边上一点，△P AD 的面积为1，
2
设AB =x ，AD =y
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若∠APD =45°，当y ＝1时，求PB •PC 的值； （3）若∠APD =90°，求y 的最小值。
B
B
备用图
【基本模型二】
模型特征：关键词：正方形、45°角、线段和差
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°
1.3挖掘图形特征：
x-a
-a
E
a
具体运用：
1、正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点, 且∠EDF =45°. 将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长．
E
2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.
（1）求线段AB 的长.
（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形.
（3）求AE －CE 的值.
初中几何基本模型分析(一)
【基本模型一】
模型特征：一线三等角 关键词：相似、全等证明
1、 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
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a 时，P 、Q 2
B
2、如图，AB ⊥MN 于点B ，点P 为MN 上的一个动点，∠APB ＝∠APC ，AC ⊥AP ，CD ⊥MN 于D 。 1、点P 在BD 上运动时，CD 是否为一定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； 2、若连接AD 交PC 于点E ，试求当BP 为何值时，
AE 5
＝？ ED 6
3、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE =90°．
（1）当DF ∥AB 时，连接EF ，求∠DEF 的余切值；
（2）当点F 在线段BC 上时，设AE =x ，BF =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ※（3）连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．
A
4、（2013福州中考题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，P 是BC 边上一点，△P AD 的面积为1，
2
设AB =x ，AD =y
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若∠APD =45°，当y ＝1时，求PB •PC 的值； （3）若∠APD =90°，求y 的最小值。
B
B
备用图
【基本模型二】
模型特征：关键词：正方形、45°角、线段和差
1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF
1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°
1.3挖掘图形特征：
x-a
-a
E
a
具体运用：
1、正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点, 且∠EDF =45°. 将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长．
E
2、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.
（1）求线段AB 的长.
（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形.
（3）求AE －CE 的值.