与磁场运动相关的问题
湖北省恩施高中 陈恩谱
一、问题的缘起
在《磁场》《电磁感应》两章里，常常有一类习题，让磁场运动起来，然后分析带电粒子的运动或者产生的电磁感应现象。这类问题的处理，一般思路是转换参考系——以磁场为参考系，这样就可以利用洛伦兹力或切割动生电动势的方式处理了。如下题：
【例题】用绝缘细线悬挂一个质量为m 、电荷量为＋q 的小球，
处于如图的磁感应强度为B 的匀强磁场中．由于磁场的运动，小球
静止在如图所示位置，这时悬线与竖直方向的夹角为α，并被拉紧，
则磁场运动的速度大小和方向是 （ C ）
mg mg A ．v ＝ B ．v ＝ Bq Bq
mg tan αmg tan αC ．v ＝，竖直向上 D ．v ＝，竖直向下 Bq Bq
本题处理时，就是以磁场为参考系，小球向相反方向运动，从而受到洛伦兹力，利用洛伦兹力与重力、绳中张力的平衡分析。但是，实际上，本题中带电小球并没有运动，即v =0，小球没有受到洛伦兹力，那么在地面参考系里，小球所受的“洛伦兹力”实际上是什么力呢？ 这里的关键是运动的磁场——会不会是运动的磁场“产生”了感生电场，是这个电场力与重力、绳中张力平衡的呢？
二、运动的磁场“产生”感生电场
分析之一：动生电动势与感生电动势
在匀强磁场B 中，垂直磁场的导体棒以恒定速度v 向
右垂直切割磁感线，其中产生的感应电动势，本质是洛伦
兹力充当非静电力，如图所示f 1＝q v ×B .
若以导体棒为参考系，此时导体棒未动，而是磁场在
向左以速度v 运动，导体棒两端产生的电动势没有变化，
这个电动势显然不是洛伦兹力充当非静电力产生的，而是
“电场力”——“运动磁场”产生的“感生电场”E ，其方向向上，大小等于f 1，由于此时v 是向左的，因此f 电＝q E ＝－q v ×B ，由此可知运动磁场产生的“感生电场”为：
E ＝－v ×B ＝B ×v „„„„„„①
这时，导体棒中由于“感生电场”产生的电动势为：ε＝E L ＝B ×v L ，其大小等于BLv ，方向向上。
分析之二：电磁场的相对论变换
根据电磁场的相对论变换，在某参考系中，描述电磁场的两个参数为E 、B ，则选相对该参考系以速度v 运动的物体作参考系时，新的参考系里，该电磁场的两个参数变换为
E ’＝γ（E －v ×B ），B ’＝γ（B+v×E/c2) „„„„„„②
其中 γ=
高中物理处理的都是低速情况下问题，因此本文采纳③式形式讨论问题。
为讨论问题的方便，下文将E ’＝E －v ×B 写成E ’＝E ＋B ×v . 当原电场强度为零时，有E ’＝B ×v . 注意表达式中v 为磁场相对参考系的速度。
从上述分析可以看出，新参考系下的E ’、B ’中都有了新的部分，这个新的部分不能够简单的说成是运动的磁场产生的电场或者运动的电场产生的磁场，因为即便是E 、B 本身-(v /c ) 2，当v
前面也都乘了一个系数——这个新的表达式，就是参考系变换得来的结果。但从另一个角度来说，上述结果正好说明了电场和磁场是彼此联系在一起的统一的电磁场的两个侧面。
三、与磁场运动相关的问题的处理示例
【例1】前述例题 f 电
[解析]A 当磁场水平向左运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E ＝
mg vB ，方向竖直向上，则小球受到向上的电场力f 电=qvB ，当v ＝时， Bq
有mg ＝qvB ，此时绳中张力为零，绳松弛，未被拉紧，故A 错。 mg B 当磁场水平向右运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，方
向竖直向下，则小球受到竖直向下的电场力f 电=qvB ，则绳子不可能保持如图所示方向静止。
C 当磁场竖直向上运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，方向水平向右，则小球受到水平向右的电场力f 电=qvB ，则由平衡条件，有
F T cos α-mg =0
F T sin α-qvB =0
mg tan α 解得v ＝ ，C 正确。 Bq F T
f 电
D 当磁场竖直向下运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，
mg 方向水平向左，则小球受到水平向左的电场力f 电=qvB ，小球不可能
保持如图所示方向静止。
【例2】磁悬浮列车是一种高速运载工具，它是经典电磁学与现代科学技术相结合的产物。磁悬浮列车具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动系统，就是在沿轨道安装的绕组(线圈) 中，通上励磁电流，产生随空间做周期性变化、运动的磁场，磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力。下图就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图． 图10（甲）
在水
v
平地面上放
有 两根平行直导轨，轨间存在着等距离的正方形匀强磁场B l 和B 2，方向相反，B 1=B 2=lT，如下图所示。导轨上放有金属框abcd ，金属框电阻R =2Ω，导轨间距L =0.4m，当磁场B l 、B 2同时以v =5m/s的速度向右匀速运动时，求
(1)如果导轨和金属框均很光滑，金属框对地是否运动? 若不运动，请说明理由；如运动，原因是什么? 运动性质如何?
(2)如果金属框运动中所受到的阻力恒为其对地速度的K 倍，K =0.18，求金属框所能达到的最大速度v m 是多少?
[解析]（1）如图所示位置，设金属框静止，则由前述分析可知，金属框参考系里电场强度为E ’＝B ×v ，进而在金属框左边产生的感应电动势为ε1＝B 1×v L ，大小为B 1Lv ，方向向下，金属框右边产生的感应电动势为ε2＝B 2×v L ，大小为B 2Lv ，方向向上，整个回路电动势大小为ε＝ε1＋ε2，方向为逆时针，所以电路中有逆时针方向电流。另外，金属框参考系里磁感应强度B ’＝B ，根据左手定则可知，金属框两侧受安培力均向右。即金属框会运动起来，且做加速运动，且相对磁场的速度越来越小，若选金属框为参考系，可知感应电动势越来越小，进而导致感应电流、安培力减小，所以金属框做加速度减小的加速运动，最终加速度变为零，金属框由于惯性做匀速运动。
（2）取金属框为参考系，此时磁场的相对速度为 v 相对=v -v m
E ’在整个回路中产生的感应电动势大小为
ε＝ε1＋ε2＝B 1Lv 相对＋B 2Lv 相对
方向为逆时针，则电路中电流为
I =ε
R
由于金属框参考系中磁感应强度仍为B ’＝B ，故金属框左右两边受安培力为
F =F 1+F 2=ILB 1+ILB 2
选地面为参考系，安培力不变，由平衡条件，有
F －Kv m ＝0
联立解得 v m =4B 2L 2v /(KR +4B 2L 2) ＝3.2m/s
【例3】如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B . 该空间同时还存在沿
y 轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，现让质量为m ，电量为
q (q >0)的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以初速度v 0沿y 轴正方向
发射．不计粒子重力，试求该粒子运动过程中的最大速度值v m .
[解析]（1）由于电场力要做功，粒子将做复杂的曲线运动。
为了将问题简化，可以想办法把电场力的影响“去掉”。
取一个向右以恒定速度v 1=y v 0B E E 的参考系x ’O ’y ’来分析此问题，在此参考系中，E ’B
＝E ＋B ×v 1，其中B ×v 1部分大小Bv 1＝E ，方向沿y 轴负方向，与E 正好抵消，即E ’＝0。同时，该参考系下，磁感应强度仍为B ’＝B 。
（2）在该参考系下，粒子具有一个沿x 轴负方向向左的初速度v 1=E ，同时还有一个B 沿y 轴正方向的初速度v 0。所以粒子在这个参考系内将做匀速圆周运动，有 v 2
qv B '=m r
解得r =m v 22，其中v =v 0+v 1 q B '’
（3）换回地面参考系，则可知粒子参与了两个运动——一个随x ’O ’y ’参考系向右的匀速运动v 1=E ，一个相对x ’O ’y ’参考系的匀速圆周运动，其运动轨迹如下图所示。 B
则粒子整个运动过程中的速度，就是这两个分运动速度的矢量和；当v 的方向平行x 轴向右时，粒子对地速度达到最大，为 v m
v m =v 1+v =E E 2+v 0+() 2 B B
且方向沿x 轴正方向。
注：“v ×B ”中“×”是叉乘的意思，其结果为一个矢量，大小为vB sin θ（其中θ为v 和B 的方向夹角），方向由右手螺旋定则确定——四指伸向
v 的方向，然后弯向B 的方向，则大拇指所指的方向即为叉乘结果矢量“v ×B ”的方向。由该规则可知，－v ×B ＝B ×v 。
与磁场运动相关的问题
湖北省恩施高中 陈恩谱
一、问题的缘起
在《磁场》《电磁感应》两章里，常常有一类习题，让磁场运动起来，然后分析带电粒子的运动或者产生的电磁感应现象。这类问题的处理，一般思路是转换参考系——以磁场为参考系，这样就可以利用洛伦兹力或切割动生电动势的方式处理了。如下题：
【例题】用绝缘细线悬挂一个质量为m 、电荷量为＋q 的小球，
处于如图的磁感应强度为B 的匀强磁场中．由于磁场的运动，小球
静止在如图所示位置，这时悬线与竖直方向的夹角为α，并被拉紧，
则磁场运动的速度大小和方向是 （ C ）
mg mg A ．v ＝ B ．v ＝ Bq Bq
mg tan αmg tan αC ．v ＝，竖直向上 D ．v ＝，竖直向下 Bq Bq
本题处理时，就是以磁场为参考系，小球向相反方向运动，从而受到洛伦兹力，利用洛伦兹力与重力、绳中张力的平衡分析。但是，实际上，本题中带电小球并没有运动，即v =0，小球没有受到洛伦兹力，那么在地面参考系里，小球所受的“洛伦兹力”实际上是什么力呢？ 这里的关键是运动的磁场——会不会是运动的磁场“产生”了感生电场，是这个电场力与重力、绳中张力平衡的呢？
二、运动的磁场“产生”感生电场
分析之一：动生电动势与感生电动势
在匀强磁场B 中，垂直磁场的导体棒以恒定速度v 向
右垂直切割磁感线，其中产生的感应电动势，本质是洛伦
兹力充当非静电力，如图所示f 1＝q v ×B .
若以导体棒为参考系，此时导体棒未动，而是磁场在
向左以速度v 运动，导体棒两端产生的电动势没有变化，
这个电动势显然不是洛伦兹力充当非静电力产生的，而是
“电场力”——“运动磁场”产生的“感生电场”E ，其方向向上，大小等于f 1，由于此时v 是向左的，因此f 电＝q E ＝－q v ×B ，由此可知运动磁场产生的“感生电场”为：
E ＝－v ×B ＝B ×v „„„„„„①
这时，导体棒中由于“感生电场”产生的电动势为：ε＝E L ＝B ×v L ，其大小等于BLv ，方向向上。
分析之二：电磁场的相对论变换
根据电磁场的相对论变换，在某参考系中，描述电磁场的两个参数为E 、B ，则选相对该参考系以速度v 运动的物体作参考系时，新的参考系里，该电磁场的两个参数变换为
E ’＝γ（E －v ×B ），B ’＝γ（B+v×E/c2) „„„„„„②
其中 γ=
高中物理处理的都是低速情况下问题，因此本文采纳③式形式讨论问题。
为讨论问题的方便，下文将E ’＝E －v ×B 写成E ’＝E ＋B ×v . 当原电场强度为零时，有E ’＝B ×v . 注意表达式中v 为磁场相对参考系的速度。
从上述分析可以看出，新参考系下的E ’、B ’中都有了新的部分，这个新的部分不能够简单的说成是运动的磁场产生的电场或者运动的电场产生的磁场，因为即便是E 、B 本身-(v /c ) 2，当v
前面也都乘了一个系数——这个新的表达式，就是参考系变换得来的结果。但从另一个角度来说，上述结果正好说明了电场和磁场是彼此联系在一起的统一的电磁场的两个侧面。
三、与磁场运动相关的问题的处理示例
【例1】前述例题 f 电
[解析]A 当磁场水平向左运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E ＝
mg vB ，方向竖直向上，则小球受到向上的电场力f 电=qvB ，当v ＝时， Bq
有mg ＝qvB ，此时绳中张力为零，绳松弛，未被拉紧，故A 错。 mg B 当磁场水平向右运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，方
向竖直向下，则小球受到竖直向下的电场力f 电=qvB ，则绳子不可能保持如图所示方向静止。
C 当磁场竖直向上运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，方向水平向右，则小球受到水平向右的电场力f 电=qvB ，则由平衡条件，有
F T cos α-mg =0
F T sin α-qvB =0
mg tan α 解得v ＝ ，C 正确。 Bq F T
f 电
D 当磁场竖直向下运动时，E ’＝B ×v ，即其大小为E=vB，
mg 方向水平向左，则小球受到水平向左的电场力f 电=qvB ，小球不可能
保持如图所示方向静止。
【例2】磁悬浮列车是一种高速运载工具，它是经典电磁学与现代科学技术相结合的产物。磁悬浮列车具有两个重要系统：一是悬浮系统，利用磁力使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触；另一是驱动系统，就是在沿轨道安装的绕组(线圈) 中，通上励磁电流，产生随空间做周期性变化、运动的磁场，磁场与固定在车体下部的感应金属框相互作用，使车体获得牵引力。下图就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图． 图10（甲）
在水
v
平地面上放
有 两根平行直导轨，轨间存在着等距离的正方形匀强磁场B l 和B 2，方向相反，B 1=B 2=lT，如下图所示。导轨上放有金属框abcd ，金属框电阻R =2Ω，导轨间距L =0.4m，当磁场B l 、B 2同时以v =5m/s的速度向右匀速运动时，求
(1)如果导轨和金属框均很光滑，金属框对地是否运动? 若不运动，请说明理由；如运动，原因是什么? 运动性质如何?
(2)如果金属框运动中所受到的阻力恒为其对地速度的K 倍，K =0.18，求金属框所能达到的最大速度v m 是多少?
[解析]（1）如图所示位置，设金属框静止，则由前述分析可知，金属框参考系里电场强度为E ’＝B ×v ，进而在金属框左边产生的感应电动势为ε1＝B 1×v L ，大小为B 1Lv ，方向向下，金属框右边产生的感应电动势为ε2＝B 2×v L ，大小为B 2Lv ，方向向上，整个回路电动势大小为ε＝ε1＋ε2，方向为逆时针，所以电路中有逆时针方向电流。另外，金属框参考系里磁感应强度B ’＝B ，根据左手定则可知，金属框两侧受安培力均向右。即金属框会运动起来，且做加速运动，且相对磁场的速度越来越小，若选金属框为参考系，可知感应电动势越来越小，进而导致感应电流、安培力减小，所以金属框做加速度减小的加速运动，最终加速度变为零，金属框由于惯性做匀速运动。
（2）取金属框为参考系，此时磁场的相对速度为 v 相对=v -v m
E ’在整个回路中产生的感应电动势大小为
ε＝ε1＋ε2＝B 1Lv 相对＋B 2Lv 相对
方向为逆时针，则电路中电流为
I =ε
R
由于金属框参考系中磁感应强度仍为B ’＝B ，故金属框左右两边受安培力为
F =F 1+F 2=ILB 1+ILB 2
选地面为参考系，安培力不变，由平衡条件，有
F －Kv m ＝0
联立解得 v m =4B 2L 2v /(KR +4B 2L 2) ＝3.2m/s
【例3】如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy
平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B . 该空间同时还存在沿
y 轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，现让质量为m ，电量为
q (q >0)的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以初速度v 0沿y 轴正方向
发射．不计粒子重力，试求该粒子运动过程中的最大速度值v m .
[解析]（1）由于电场力要做功，粒子将做复杂的曲线运动。
为了将问题简化，可以想办法把电场力的影响“去掉”。
取一个向右以恒定速度v 1=y v 0B E E 的参考系x ’O ’y ’来分析此问题，在此参考系中，E ’B
＝E ＋B ×v 1，其中B ×v 1部分大小Bv 1＝E ，方向沿y 轴负方向，与E 正好抵消，即E ’＝0。同时，该参考系下，磁感应强度仍为B ’＝B 。
（2）在该参考系下，粒子具有一个沿x 轴负方向向左的初速度v 1=E ，同时还有一个B 沿y 轴正方向的初速度v 0。所以粒子在这个参考系内将做匀速圆周运动，有 v 2
qv B '=m r
解得r =m v 22，其中v =v 0+v 1 q B '’
（3）换回地面参考系，则可知粒子参与了两个运动——一个随x ’O ’y ’参考系向右的匀速运动v 1=E ，一个相对x ’O ’y ’参考系的匀速圆周运动，其运动轨迹如下图所示。 B
则粒子整个运动过程中的速度，就是这两个分运动速度的矢量和；当v 的方向平行x 轴向右时，粒子对地速度达到最大，为 v m
v m =v 1+v =E E 2+v 0+() 2 B B
且方向沿x 轴正方向。
注：“v ×B ”中“×”是叉乘的意思，其结果为一个矢量，大小为vB sin θ（其中θ为v 和B 的方向夹角），方向由右手螺旋定则确定——四指伸向
v 的方向，然后弯向B 的方向，则大拇指所指的方向即为叉乘结果矢量“v ×B ”的方向。由该规则可知，－v ×B ＝B ×v 。