几何发展概述
摘要：
从远古时期人们对形状的认识到现代几何的纷繁与美丽，几何经过数千年的发展与演变，经历了很多重大的转变与改革，我便从古至今对几何的发展做一个简单的介绍，由于篇幅有限，并不能介绍到几何这门美丽的学科的全部，只是通过这篇论文展现这门发展数千年的学科所具有的独特魅力，也阐述一点我对几何的认识。
关键词：
几何、概述、数学、发展
几何，不仅仅是数学这门伟大而又古老的学科中最为重要的一个分支，也是一门与人们生活密切相关的一门科学。几何这门学科的产生便是与人们对于形状的辨别以及对于土地面积的测量慢慢发展过来的。其英文“geometry”便是从拉丁文“geometria”演变过来，而这个拉丁文词语的意思就是土地测量。可见几何这门学科是人们为了在生活中应用而产生的。早在公元前3000年，古埃及、古印度、古巴比伦的人们就利用手边简单的测量工具计算土地面积，观察天文现象并计算高等星之间的角度以便确定方向，进行各种手工艺制作等，这便是几何的初步应用。
不过，从人们简单的计算图形面积、计算角度用于划分土地、建造房屋到真正的将几何这门学科初步形成统一则是经过了漫长的时期，而真正将几何统一成一门具有比较完整的数学体系的学科的人则是大家都知道的欧几里得。
欧几里得（约公元前330—前275），古希腊伟大的数学家，也世人称为几何学的奠基人。他在约公元前300年写出了举世闻名的几何巨著——《几何原本》，这本书从出版一直到1482年，其手抄本一直在欧洲大陆风靡，仅次于《圣经》，是当时最伟大的科学书籍。它对于数学的抽象化、标准化、理论化、系统化的思
想也被后世血多的科学家所沿袭，比如牛顿1的《自然哲学的数学原理》2和斯宾诺莎3的《几何伦理学》4都采用了欧几里得的《几何原本》的体例。
当然，《几何原本》最重要的贡献还是对几何学的定义与统一。《几何原本》共十三卷，欧几里得首先列出23条定义，然后以5条公设、5条公理为基础，演绎证明了共465条定理，内容涉及直线及圆的性质、比例论、相似形、数论、不可公度量的分类、立体几何以及穷竭法等多个方面，堪称当时最全面的一本几何乃至数学书籍。其中比较著名的有对于勾股定理，也就是毕达哥拉斯5定理6的巧妙证明，对于五种正多面体多分计算，严格的尺规作图方法的阐述等。当然，我们称之为《几何原本》是因为这本书的十三卷中大部分是讲述有关几何概念以及几何证明的，不过看其第七、八、九卷，则主要讲述的是数论的基础内容，这则主要是袋鼠的部分。因此，其实《几何原本》是对当时数百年古希腊所发明并产生的数学原理进行的一个整合，并不完全是单纯的几何方面的著作。不过，至于为什么欧几里得著写《几何原本》来对当时所发现的数学原理进行总结却有如此大部分是有关几何的，则要说明一下当时古希腊对于数学的认识。当时古希腊对于数学的理解主要在几何方面，因为毕竟几何离人们的生活较近，而且从毕达哥拉斯开始，古希腊的数学家们就将数字的求解转化为了几何图形来进行计算，这也就是为什么当时几何在古希腊长足进步而代数则发展缓慢的原因。不过这也成就了欧几里得伟大的《几何原本》流传千古。
当然说到古希腊的数学，我们不能不提数学之神——阿基米德。他对于几何方面的贡献是非常巨大的。阿基米德（约公元前287-前212）对于当时世界的数学发展起着巨大的作用，其中对于平面几何这方面他也有相对于当时及其深入而创新的研究。比如他利用穷竭法，用内接96边形逼近将π精确到了71与7之间，这是世界上最早的对于圆周率的估计。另外他发现了计算三角形面积的公式S = 7最早发现了该公式，因1
222322 牛顿：Isaac Newton，1643-1727，英国伟大的数学家、物理学家。 《自然哲学的数学原理》：牛顿的代表作，1687年成书，主要讲解数学、物理等方面的原理。
3 斯宾诺莎（Baruch Spinoza，1632-1677）荷兰哲学家。
4 《几何伦理学》：斯宾诺莎的代表作，其去世后才出版，主要是对欧式几何的定理的演绎、证明。 5 毕达哥拉斯：Pythagoras ，约公元前572 -约公元前497，古希腊数学家。
6 毕达哥拉斯定理：也就是勾股定理，即直角三角形中斜边平方等于两直角边平方和。
7 海伦：古希腊数学家，平生致力于对于几何的计算、研究，但大部分著作已失传。
而现在被成为海伦公式）。立体几何方面，他给出了椭圆、双曲线、抛物线形成的旋转体的体积公式以及著名的圆柱容球问题（圆柱容球图也被刻在了他的墓碑上）。阿基米德被称为与牛顿、高斯8齐名的历史上最伟大的数学家看来绝不是徒有虚名。
此外，古希腊还有如阿波罗尼奥斯9、海伦、托勒密10等一系列的数学家，他们的研究都为几何学科做出了很伟大的贡献。
此后几何则一直在前人的基础上完善与发展，但是一直没有重大突破，始终处于对于简单几何图形的计算、简单定理的证明以及平面、立体几何图形的作法、画法等。直到文艺复兴之后，坐标系的出现，使几何出现了重要的进展，也是目前几何中极为重要的一部分——解析几何。而解析几何的诞生，我们有不得不提到几位重量级的数学家。
首先是笛卡尔。笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650），出生在法国的一个贵族家庭中，虽然在大学中学习的是医学以及法律，但是他从小对数学的浓厚兴趣就一直没有磨灭。他在想象几何图形时觉得非常麻烦，希望可以几何图形可以像代数一样比较简明，并且易于计算，于是他便发明了坐标系，并引入坐标概念来表示几何图形的各个点，利用方程来表示几何图形的线段以及平面等其他特征。这一突破性的创造确实是给几何这么学科注入了一针强心剂。
笛卡尔在自己的著作《几何学》中，利用几何图形和坐标系解释了曲线的性质，并将几何问题化为代数问题求解，包括对于一次方程一直到六次方程的几何求解方法（其中对于二次到四次方程的求解阐述较为详细）。他还利用线段之间的关系导出x 与y 的一些二次方程关系，并说明在去无穷多个x 的情况下会得到无穷多个y 值，并能形成一条曲线。笛卡尔的这些理论将原本分离开来的代数与几何结合起来，的确是一个重大的突破。
当然，恩格斯11说道“解析几何的产生不是偶然的，是那个伟大时代的产物”。因而，笛卡尔并不是独自研究并发明解析几何的人，还有一位大数学家也对解析几何做出了巨大贡献，那便是费马。 8
9 高斯：Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855德国著名的数学家、天文学家、物理学家。 阿波罗尼奥斯：Apollonius ，约公元前262-约公元前190，古希腊数学家。
10 托勒密：Ptolemaeus Claudius Ptolemy，约90-168，古希腊天文学家、数学家。
11 恩格斯：Friedrich Engels，1820-1895，德国伟大的思想家、哲学家，马克思主义的创始人之一。
费马（Pierre de Fermat，1601～1665），法国著名的数学家，不过他的职业是律师，数学研究只是他的业余爱好而已。不过费马可以说是在笛卡尔之前就已经发现了解析几何的基本原理，即用代数方程表示几何曲线的方法。另外费马通过研究曲线方程和曲线的关系得到了关于方程中最大值、最小值的求解方法以及切线的求解方法。这相对于笛卡尔因为其数学观受到亚里士多德12的影响而不愿意对曲线的长度以及切线进行探索来说是一个重大的突破。另外费马也通过高次代数方程给出了许多新的曲线，譬如费马双曲线x m y n =a n 、费马抛物线y n =ax m 、费马螺旋线r n =a θ等。
两人虽然因为优先权展开过一番争夺，不过冷静下来以后两人发现对方仍是自己的好朋友，他们仍然经常在一起讨论数学问题。而后人也认为解析几何是两人独立发现的，笛卡尔是从几何研究到方程，而费马则是从代数研究到几何。
解析几何的产生是有着非凡的意义的。因为解析几何将很多复杂的曲线十分简单的用代数方程表示出来，对于曲线的研究也就因而变得更加容易了。而这也为当时的物理方面的发展提供了很多的便捷，恩格斯在《自然辩证法》13中说道，“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻变成必要的了”。因为解析几何的产生，物理运动中的很多曲线以及天文物理中星体的研究都变得简单了很多，这些复杂的运动方式都可以被较简单的方程表示出来，而这也为以后牛顿发明微积分应用于对于刚体运动的求解提供了基础。可以说，如果没有解析几何，也许现在广泛应用于物理中的微积分将很难发展。因此我们确实要承认解析几何的发明是一项革命，是几何发展的一个重要进程。
当然，解析几何的发展也是困难重重的。首先是费马生前一直没有将自己的思想著书出版，知道他死后十几年才出版。而他在阐述自己思想的时候主要使用了比较古老的算符，之后的人很难理解，因而他的思想十分难推广开来。而笛卡尔则过分强调几何作图，对于方程的思想却涉及甚少，加之他将此书作为其哲学著作的附录，同时用晦涩难懂的法文写成，因此推广上同样遭到了巨大的困难。此外，当时的数学家是很反对将代数与几何统一起来的，他们均认为这两者是有关系的，但是应该独立开来，并且他们对于通过代数方程推出的几何曲线是否严12
13 亚里士多德：Aristotle (公元前384-公元前322) ，古希腊伟大的哲学家、科学家。 《自然辩证法》：恩格斯主要著作，写于1872-1886年，涉及物理科学、自然科学、生产技术多方面。
密持怀疑态度。因而解析几何的推广和发展一度陷入了危机当中。
不过，先进的东西最终还是会被大家接受的。法国数学家拉克鲁阿14正式使用了“解析几何学”这个术语，荷兰数学家斯霍滕15将笛卡尔的《几何学》翻译成了欧洲学术界通用的拉丁文，并做了改进，加入了坐标变换的代数式，荷兰的维特16发表《曲线初步》通过变换将x 和y 的某些二次方程转化为标准型，这些都使解析几何取得了巨大的进步，并被广大数学家所接受。此外，1671年牛顿引入了极坐标的概念，1691年雅各布·伯努利17重新阐述了极坐标的思想，赫尔曼则给出了直角坐标系到极坐标系的转换方法，而欧拉18则利用三角函数的方法重新表示了极坐标中的点，这与现在的极坐标表示方法相同，这也算是正式地将极坐标系纳入了解析几何的大家庭当中。
而在18世纪，解析几何又有了重大的发展，特别是空间解析几何。笛卡尔在《几何学》中曾提到含有三个未知数的方程可能是一个更复杂的曲面或是立体图形，但是没有具体引入三维空间的坐标表示，而费马在自己的信中叶只是简单的提到了空间中的柱面、椭球面、椭圆抛物面等三维曲面，但是也没有较完整的体系来阐述这些几何图形。直到1715年约翰·伯努利19引入了现在通用的三维坐标系，克莱罗20在他1731年的著作《关于双重曲率曲线的研究》中给出了一些曲面的方程，同时说明了描述一条空间曲线需要两个方程。而欧拉则在1748年出版的著作《无穷分析引论》中系统研究了空间解析几何，得到了六种曲面：锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面。空间解析几何在18世纪确实取得了极大的发展，并且数学家们对其的研究导致了微分几何学的产生。
说完了解析几何这个几何学科中最重要的分支，我们又要回归到欧式几何了。自从欧几里得在约公元前300年发明了欧式几何以来，便一直被人们奉为几何史的里程碑，因为它是最早的由公理演绎而来的数学体系。不过，欧式几何却在两千多年来不断被各个数学家们推敲，这全是因为欧几里得在几何原本中提到的514
15 拉克鲁阿：S.F.Lacroix ，1764-1843，法国数学家。 斯霍滕：F.Van.Schooten ，1615-1660，荷兰数学家。
16 维特：J.de Witt，1625-1672，荷兰数学家。
17 雅各布·伯努利：Jacob Bernoulli，1654-1705，瑞士著名数学家。
18 欧拉：Leonhard Euler，1707-1783，生于瑞士，后在俄国和德国工作，是18世界最伟大的数学家之一。 19 约翰·伯努利：Johann Bernoulli，1667-1748，瑞士著名数学家。
20 克莱罗：A.C.Clairaut ，1713-1765，法国数学家、物理学家。
条公设：
1. 由任意一点到另外任意一点可以画直线。
2. 直线可以无限延长。
3. 以任意点为心以及任意距离(即半径) 可画圆。
4. 凡直角都彼此相等。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和
小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
但是恰恰是这条第五公设，它比其他四条共设都要冗长，也不是那么直观。因此这条公设很快就引起了人们的争议，而欧几里得当时将其放在公设中并不是因为它不能被证明，而是没有找到证明。因而两千多年来，无数的数学家都在企图证明这个论题，但是均以失败告终，因为他们在证明过程中往往自觉或不自觉引进了第五公设等价的命题。因此他们总结出了第五公设并不能直接证明出，要间接证明，但是这反倒是他们渐渐感觉到引出与其并不矛盾的假设，可能会得到一种新几何，而这就是非欧几何的萌芽。
到了19世纪20年代，德国的高斯，匈牙利的波尔约，俄国的罗巴切夫斯基，几乎同时提出了非欧几何的思想，创立了非欧几何。
高斯是最早研究并发现非欧几何的。高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777-1855），德国伟大的数学家，也是19世纪最伟大的数学家。他的天赋和数学发现都是后人无法企及的。他早在1816年便确认欧几里得第五公设不能从《几何原本》不能从其他的公设和公理推导出来，并且认为现实世界中的几何不一定就是欧式几何，他还实际测量三个山峰为定点的三角形的内角和，试图验证自己所发现的非欧几何学更符合实际，但是高斯本人是一个非常低调的人，并不愿意将自己的所有著作都发表出来（如果真的高斯发表了所有著作，也许许多数学家所做的工作都是徒劳了„„），另外他也害怕引起纷争，因而他没有发表自己关于非欧几何和不符合第五公设假设的任何文章。
至于波尔约（J.Bolyai.Janos ，1802-1860）则是匈牙利年轻的数学家。他的父亲老波尔约是高斯的同学及好朋友，他一生致力于研究第五公设，但是以失败告终，并且还告诫他的儿子不要研究第五公设，但是小波尔约并没有听从他父亲的意见，继续研究第五公设，并成功的发现了第五公设不成立的情况下仍然可以
推导出一套完整的几何理论。1823年，老波尔约便将自己儿子的著作——仅仅26页的《绝对空间的科学》寄给高斯，请高斯过目并评价。高斯看到之后非常高兴，大家赞赏小波尔约所做的工作，但他也委婉地表示了自己在之前一经发现了于这个十分相似的结论，这是小波尔约十分恼火，认为高斯想要剽窃自己的研究成果，而到1840年罗巴切夫斯基发表的《几何原理的概述和平行线定理的严格证明》被译为德文后，他便更加恼火，称以后不再发表任何数学论文。不过即便如此，他的《绝对空间的科学》还是被认为是世界一流的科学经典，是对几何学的重大突破。
而俄国人罗巴切夫斯基似乎更加坚强一些。罗巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky ，1792-1856），俄国伟大的数学家。他在1816年开始对第五公设的研究，刚开始他也在试图证明第五公设的正确性，不过很快他认识到自己的证明是错误的，于是他异乎常人的认为第五公设说不定不存在，可以不依靠第五公设来获得一门全新的几何观念，于是他开始了研究，并获得了成功，创造了罗氏几何，并且它的完备性是不亚于欧式几何的。他在1826年2月23日首次公开宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，但是当时就遭到了下面许多数学家的冷漠与嘲讽，认为他的这种理念简直是“无稽之谈”。之后还有很多人对他进行指责和讥讽，直到去世，在追悼会上大家也不愿意提及他所发现的非欧几何，认为这是一种耻辱。但是这一伟大的发现终究不会被埋没，到1868年，意大利数学家贝尔特拉米21对其论文进行翻译并解释，他的著作才最终被大家认同，并被高度赞扬。
当然，非欧几何并不是只有罗氏几何一个分支（波尔约、罗巴切夫斯基所发现的非欧几何都是罗氏几何），高斯在研究非欧几何时还研究到了曲面几何，但是很不成熟，不过他的学生，也是德国伟大的数学家黎曼，真正完善了这门几何，也就是我们所说的黎曼几何。
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826～1866），19世纪德国伟大的数学家，也是高斯的学生，他在一次评审助教的时候，由于高斯挑选了他关于研究非欧几何的论题，使他不得不潜心准备这个他还并不是很成熟的理论，并在哥廷根大学众多老师的面前讲演，但是这一讲演却让大家真正的见识到了非欧几何21 贝尔特拉米：E.Beltrami ，1835-1899，意大利数学家。
的内涵。黎曼定义了流形曲率这样一概念，并用该种曲率区分不同的空间类型。他认为流形曲率a=0时就是大家所熟悉的欧式平面，而欧式空间中适用的就是传统的欧式几何，而在a0时，得到的则是大家当时还没有涉及到的一种平面，这便是黎曼本人所创造的，而对应的几何学便是他所创造的，后人称之为“黎曼几何”。
下面我们来浅显的说明一下罗氏几何、欧式几何和黎曼几何。欧式几何是将人们生活的空间定义在了一个绝对平的平面上，任何直线都是直的，而三角形的内角和为180度，这也是我们所习惯的空间感觉。但是当我们将我们所生活的平面定义为双曲面时，就会变为罗氏几何，而在这种情况下，会有一系列的公理产生，比如过直线外一点有无数条直线与已知直线平行，若两个三角形相似，则它们全等，三角和内角和恒小于π，并且面积越小内角和越趋近于π等一系列看似违背常理的定理，但是这些定理在罗氏几何中则是最基本的。而如果将我们生活的平面变为球面的话（实际上我们就是生活在地球这个大球面上），则得出黎曼几何，而黎曼几何则有如下性质：三角和内角和恒大于π，两条直线一定会相交。罗氏几何和黎曼几何所得出的一系列不同于欧式几何的结论都是在否定了第五公设之后得到的，因此它们是完全独立的一门几何学。
而非欧几何在当时毕竟没有实际的物质参考，很难被广大数学家接受。但在1868年贝尔特拉米发表论文《非欧几何解释的尝试》给出了一种较为局部的罗氏几何的模型，是有一种“曳物线”旋转得到的旋转体（微分几何中的负常曲率曲面）。在这种平面中恰好实现了罗氏几何的所有定理，这是许多数学家第一次“真切”感受到了非欧几何的存在，因而慢慢不再认为这是荒诞无稽的东西了。之后德国数学家克莱因22则给出了完整的罗氏几何的模型，并利用射影几何使非欧几何的相容性问题转化为了欧式几何的相容性问题，得到了普遍的承认。而法国数学家庞加莱23则将克莱因模型中的弦改为了垂直于单位圆周的圆弧，正式将非欧几何与欧式几何联系起来，这也给罗氏几何的应用开辟了更广阔的道路，至此非欧几何猜得到了广泛的理解。
当然，罗氏几何和黎曼几何都是有其巨大用处的，在宇宙空间和原子核微观世界中，罗氏几何则更易于使用。而在航海等地球上大范围的计算，黎曼几何则22
23 克莱因：Klein ，Christian Felix，1849-1925，德国著名数学家。 庞加莱：Jules Henri Poincaré，1854-1912，法国伟大的数学家，20世纪最伟大的数学家。
更有用处。当然黎曼几何的最重要的应用还是作为爱因斯坦24的相对论的基础，因为在爱因斯坦的广义相对论中，四维时空是弯曲的，应该有四个独立的参数来表示，而他发现引力使光线弯曲的计算正是引用了黎曼几何最恰当的数学表示。因此说18世纪非欧几何学的发现是这个世纪最伟大的数学成果，是人类数学史上的瑰宝。
当然在非欧几何逐步被大家认同，并且日臻完善的时候，又有两门几何分支发展并完善起来，这便是微分几何和射影几何。
微分几何是随着解析几何和微积分的产生而产生的，主要是利用极限的方法来研究曲线和曲面。微分几何成为独立的数学分支主要也是在18世纪，法国数学家克莱罗开创了空间曲线的理论并在1731年发表了《关于双重曲率曲线的研究》，迈出了建立微分几何学的重要一步。而克莱罗之后，欧拉在1736年首先引入了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，开始了曲线的内在几何研究。1748年他又出版了《无限小分析引论》，胡饿死该科平面和空间图形的微分几何，将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率，引进了曲面上的法曲率、总曲率、法曲率的欧拉公式及球面映射等概念方法。1760年，欧拉又在曲面理论中得到欧拉定理等结果，成为微分几何发展的里程碑。之后微分几何的发展则是要源于蒙日25的贡献。1807年蒙日系统阐述了他在微分几何方面几十年的研究成果，并独立研究了可展曲面的课题，将同一问题分别置于几何和分析领域进行讨论。蒙日的研究极大地推进了克莱罗和欧拉的空间曲线与曲面理论。他还利用偏微分方程对曲面簇可展面及直纹面进行研究，这也是很大的突破。而19世纪微分几何的发展则是由高斯推动的。他在亲身参加测量以及地图绘制时得到了一系列重要的数据，并在1827年完成并发表了他的决定性的文章《关于曲面的一般研究》，这是微分几何的又一个重要的里程碑。在这篇论文中，高斯利用两个参数u,v 来表示曲面：
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)
从这些方程中，高斯又得到了曲面上弧长元素的表达式：
ds 2=E u, v du 2+2F u, v dudv +G u, v dv 2 24
25 爱因斯坦：Albert Einstein，1879-1955，德裔美国物理学家，现代无力的开创者，相对论的创造者。 蒙日：Gaspard Monge，1746-1818，法国数学家、化学家、物理学家。
222222其中E =x u +y u +z u , F =x u x v +y u y v +z u z v , G =x v +y v +z v 。
相比于他这篇关于三维空间中曲面的微分几何的决定性论述所做出的更重要的贡献是他提出了一个完全新的空间概念，即一张曲面本身就是一个空间。高斯这一思想是由极其深刻的意义的，因为以前的曲面一直当作三维欧式空间来研究，而高斯这一思想则是根据决定选定不同的ds 2得到不同的曲面所在的空间，于是这些几何对于这个曲面来说就是内蕴的，而之后他的学生黎曼所研究得出的黎曼几何就是基于高斯的内蕴几何得到的，只是推广到了任意维空间，因此说高斯的这种思想是一个很大的突破。
而射影几何则在古希腊是就已经被应用开来，包括大家所熟知的射影定理，不过这只是最基本的射影几何概念，还完全没有发展到几何学一个重要分支的地步。而到了18世纪末期蒙日的《画法几何学》出版一期他的学生卡诺的一系列工作是许多数学家重新重视起了纯粹的几何原理及几何画法，也渐渐的发展起了射影几何，其中主要包括综合法和代数法两方面。
综合射影几何的变革是由法国数学家庞斯列（Poncelet ，Jean-Victor ，1788-1867）推动的。他在1822年发表了《图形的射影性质》，系统阐述了连续性原理，并借助这一原理考察了无穷远点消失或变成虚无元素的点和线，引入了圆上的无穷远点、球上的无穷远点等概念。他还发展了对合与调合点列的理论。他为射影几何学成为几何学科重要分支做出了重大贡献，而他的这篇论著也成为射影几何学的第一部系统论著。1824至1829年，他又先后给出了配极对应关系，为射影几何中的对偶原理奠定了基础，这种方法是的数学家们对于几何学的研究变得轻松很多。因此他对于射影几何乃至整个几何学科的贡献是不可磨灭的。
代数射影几何则是许多热衷于代数研究的数学家得出的。1827年德国天文学家麦比乌斯26引入了射影几何学和仿射几何学的若干概念，引进了齐次坐标，证明了交比在投影和截影下的不变形，对代数射影几何起到了巨大的推进作用。之后德国物理学家普吕克27又引入了另一种齐次坐标，即三角形坐标，这样便给几何观念以十分优美的代数式表示。1839年他出版了《代数曲线理论》，考察了无穷远点邻域内代数曲线的性质，得到了平面上无穷远线的方程与无穷远圆的坐标等结果，也致使齐次坐标成为代数射影几何中的最重要、最基本的工具。 26
27 麦比乌斯：Mobius ，August Ferdinand，1790-1868，德国数学家、天文学家。 普吕克：Uulius Plucker，1801-1868，德国物理学家、数学家。
当然，射影几何至此还没有完善，无论是综合射影几何还是代数射影几何，普通的几何学家都认为解析证明有不严密性，知道1850年，德国数学家斯陶特28在《位置几何学》中提出了称之为“投”的“代数”方案，这样使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量无关的全新学科。至此，射影几何学才形成了一个比较完整的体系。
总的来说18-世纪到19世纪初期，非欧几何、微分几何、射影几何三方面的产生以及蓬勃发展使得人们对于几何的兴趣大大提高，而许多数学家也在疑问这些几何学之间是否有内在的联系呢？ 这就要提到德国伟大的数学家克莱因，他将这些几何学真正的统一起来。
克莱因（Klein ，Christian Felix，1849-1925），德国伟大的数学家。他在研究几何学时，巧妙地引入了群的概念。它的基本观点就是每种几何都由变换群所刻画，并且每种几何所要做的实际就是在这种变换群下考虑其不变量。再者，一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一簇不变量。简而言之，作为几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。1873年，克莱因发表了《论所谓欧几里得几何》，清楚地指出欧式几何、非欧几何均可以用纯射影的方法构造出来，为射影几何的公理铺平了道路。他还将集中经典几何看做射影几何的子几何，这种思想在其后的几十年产生了极大的影响。
当然，从古至今，几何学一直被视为是严密性的象征。不过当欧式几何的统治地位被非欧几何所撼动后，人们开始怀疑：几何学的前几条公设是否就那么严密？是否合理呢？而这是拯救数学界，完善几何基础的人便是希尔伯特。
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），德国伟大的数学家，也是20世纪最伟大的数学家。他对于数学的多个方面都有巨大的贡献，包括代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、狄利克雷29原理、特征值问题等等。他在几何基础方面所做出的贡献真正的完善了几何的基本定理。他在1899年出版的《几何基础》一书成为了近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，因此可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人。希尔伯特在其《几何原理》中给出了他的公理集的第一个叙述（后来经过了多次修改），28
29 斯陶特：K.G.C.V on.Staudt ，1798-1867，德国数学家。 狄利克雷：Dirichlet ，Peter Gustav Lejeune，1805-1859，德国著名数学家。
即给出了第一个完备的欧式几何形式的几何公理系统，其中不依赖于任何空间，直觉推出了欧氏几何的所有定理。在他的公理系统中包括三个基本元素：点、线、面；三个基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系。此外，在《几何基础》中，希尔伯特还成功地运用公理化方法，也就是从公理出发来建造各种几何。
由于希尔伯特的公理化方法，将几何对象进一步抽象化，几何学在某种程度上与现实空间相对脱离，因此几何系统的逻辑要求问题自然凸现出来。希尔伯特认识到了这一点，因此他明确提出了选择和组织公理的原则。这就是相容性、独立性和完备性。利用这种方法，欧式几何的相容性就合理地归结为算术系统的相容性，而全部几何公理也就转化为实数的算术问题。
希尔伯特关于几何基础的工作彻底结束了两年多年来欧式几何的整理工作及完善工作。但其实希尔伯特对于几何逻辑基础的完善已经大大超出了问题本身。他的公理化思想的方法对于整个数学甚至自然科学的理论建设都产生了极深远的影响。公理方法的使用不仅为寻求一些旧的和新的数学分支之间的联系提供了帮助，而且希尔伯特将对于几何的基础研究扩展到了对于整个数学基础的研究，这是一个具有非凡历史意义的进步。
到了20世纪，已经基本完善的几何体系，又有了许多新的理论，其中比较重要的是代数几何。
代数几何学时从黎曼开始的，他在1857年引入并发展了代数函数论，并引入了黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。
在黎曼之后，德国数学家马克斯·诺特30等用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。到19世纪80年代意大利许多数学家继承了诺特的几何思想，继续发展了代数几何学的理论，其中比较著名的有卡斯特尔诺沃31、塞维里32等。与此同时，庞加莱、皮卡33等法国数学家也对于黎曼所研究的代数曲线进行了更深入的研究，使用超越方法，把单变量代数函数论推广成两个变量代数函数论。
当然20世纪是代数几何学发展最重要的时期。范德瓦尔登将交换代数的方30
31 马克斯·诺特：Noether ，Amalie Emmy，1882-1935，德国数学家。 卡斯特尔诺沃：G.Castelnuovo ，1865-1952，意大利数学家。
32 塞维里：F.Seviri ，1879-1961，意大利数学家。
33 皮卡：C.E.Picard ，1856-1941，法国数学家。
法引入了代数几何研究中。韦依和扎里斯基的工作也为代数几何奠定了严格的基础，并将相交理想论建立在抽象域的基础上，同时把几何思想引入抽象代数的理论之中。此后代数几何便进入了一个全新发展的阶段。
当然，代数几何的重要作用是它与许多数学分支学科有着重要的联系，包括数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。因此说代数几何的发展与这些学科的发展起着相互促进的作用，而且其应用前景也十分良好。可以说，代数几何学是20世纪几何分支中最耀眼的一颗星。
从公元前300年，欧几里得耀眼的《几何原本》流传于世，到笛卡尔与费马解析几何为几何开创崭新的分支，再到罗巴切夫斯基和黎曼对于欧式几何的冲击而得到非欧几何，同时有射影几何与微分几何的发展，并由克莱因统一几何理论，最后希尔伯特完善几何基础，以及现代数学对于几何的完善与发展，几何这门具有无穷魅力的学科确实给人们带来了无尽的宝藏。几何也让人们在许多问题上有了全新的认识，包括简单的计算面积，复杂的计算物体运动轨迹，到非欧几何挑战人的直觉，内蕴几何和黎曼几何对于爱因斯坦相对论的帮助以及现代代数几何在控制论等多方面的应用，几何的确帮助人类在很多方面有了长足的进步。在这篇并不是很长的论文中，我无法对于所有几何学科分支一一作介绍，包括张量几何、复几何、分形几何、组合几何、计算几何、辛几何等等许多，而也因为我毕竟只是大一的新生，也不是数学学院的学生，数学知识有局限，还有很多知识没有学到，没有办法对我所介绍的几何的主要分支详细的深入的介绍，有一些介绍只是在书中读到，因而可能有一些介绍的观点是不完善的，甚至是错误的，但是我的确在写这篇论文的时候，详细的查阅资料中，了解到了许多以前不知道的几何历史和发展中的问题，让我对几何这门学科更加地明晰，更加地理解，也让我对几何有了更浓厚的兴趣。当然也很感谢古今数学思想这门课让我有了这样的机会接触了博大精深的几何、博大精深的数学，让我再一次的感受到了数学的魅力。希望能有机会让我的同学也看到我这篇不成熟的几何概论文章，能够激起更多的人对几何、数学的兴趣。也希望我有机会更多的了解几何、了解数学，也有更多机会去学习这些伟大数学家的杰作。
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参考文献：
1) 《数学简史》 张红主编，科学出版社
2) 《古今数学思想》【美】克莱因著，张理京，张锦炎，江泽涵，朱学贤等译，上海
科学技术出版社
3) 《简明数学史》 柳成行主编，哈尔滨工业大学出版社
4) 《数学史概论》第六版 【美】霍华德·依夫斯著，欧阳绛译，哈尔滨工业大学出
版社
5) 《数学思想史》
王树禾著，国防工业出版社
几何发展概述
摘要：
从远古时期人们对形状的认识到现代几何的纷繁与美丽，几何经过数千年的发展与演变，经历了很多重大的转变与改革，我便从古至今对几何的发展做一个简单的介绍，由于篇幅有限，并不能介绍到几何这门美丽的学科的全部，只是通过这篇论文展现这门发展数千年的学科所具有的独特魅力，也阐述一点我对几何的认识。
关键词：
几何、概述、数学、发展
几何，不仅仅是数学这门伟大而又古老的学科中最为重要的一个分支，也是一门与人们生活密切相关的一门科学。几何这门学科的产生便是与人们对于形状的辨别以及对于土地面积的测量慢慢发展过来的。其英文“geometry”便是从拉丁文“geometria”演变过来，而这个拉丁文词语的意思就是土地测量。可见几何这门学科是人们为了在生活中应用而产生的。早在公元前3000年，古埃及、古印度、古巴比伦的人们就利用手边简单的测量工具计算土地面积，观察天文现象并计算高等星之间的角度以便确定方向，进行各种手工艺制作等，这便是几何的初步应用。
不过，从人们简单的计算图形面积、计算角度用于划分土地、建造房屋到真正的将几何这门学科初步形成统一则是经过了漫长的时期，而真正将几何统一成一门具有比较完整的数学体系的学科的人则是大家都知道的欧几里得。
欧几里得（约公元前330—前275），古希腊伟大的数学家，也世人称为几何学的奠基人。他在约公元前300年写出了举世闻名的几何巨著——《几何原本》，这本书从出版一直到1482年，其手抄本一直在欧洲大陆风靡，仅次于《圣经》，是当时最伟大的科学书籍。它对于数学的抽象化、标准化、理论化、系统化的思
想也被后世血多的科学家所沿袭，比如牛顿1的《自然哲学的数学原理》2和斯宾诺莎3的《几何伦理学》4都采用了欧几里得的《几何原本》的体例。
当然，《几何原本》最重要的贡献还是对几何学的定义与统一。《几何原本》共十三卷，欧几里得首先列出23条定义，然后以5条公设、5条公理为基础，演绎证明了共465条定理，内容涉及直线及圆的性质、比例论、相似形、数论、不可公度量的分类、立体几何以及穷竭法等多个方面，堪称当时最全面的一本几何乃至数学书籍。其中比较著名的有对于勾股定理，也就是毕达哥拉斯5定理6的巧妙证明，对于五种正多面体多分计算，严格的尺规作图方法的阐述等。当然，我们称之为《几何原本》是因为这本书的十三卷中大部分是讲述有关几何概念以及几何证明的，不过看其第七、八、九卷，则主要讲述的是数论的基础内容，这则主要是袋鼠的部分。因此，其实《几何原本》是对当时数百年古希腊所发明并产生的数学原理进行的一个整合，并不完全是单纯的几何方面的著作。不过，至于为什么欧几里得著写《几何原本》来对当时所发现的数学原理进行总结却有如此大部分是有关几何的，则要说明一下当时古希腊对于数学的认识。当时古希腊对于数学的理解主要在几何方面，因为毕竟几何离人们的生活较近，而且从毕达哥拉斯开始，古希腊的数学家们就将数字的求解转化为了几何图形来进行计算，这也就是为什么当时几何在古希腊长足进步而代数则发展缓慢的原因。不过这也成就了欧几里得伟大的《几何原本》流传千古。
当然说到古希腊的数学，我们不能不提数学之神——阿基米德。他对于几何方面的贡献是非常巨大的。阿基米德（约公元前287-前212）对于当时世界的数学发展起着巨大的作用，其中对于平面几何这方面他也有相对于当时及其深入而创新的研究。比如他利用穷竭法，用内接96边形逼近将π精确到了71与7之间，这是世界上最早的对于圆周率的估计。另外他发现了计算三角形面积的公式S = 7最早发现了该公式，因1
222322 牛顿：Isaac Newton，1643-1727，英国伟大的数学家、物理学家。 《自然哲学的数学原理》：牛顿的代表作，1687年成书，主要讲解数学、物理等方面的原理。
3 斯宾诺莎（Baruch Spinoza，1632-1677）荷兰哲学家。
4 《几何伦理学》：斯宾诺莎的代表作，其去世后才出版，主要是对欧式几何的定理的演绎、证明。 5 毕达哥拉斯：Pythagoras ，约公元前572 -约公元前497，古希腊数学家。
6 毕达哥拉斯定理：也就是勾股定理，即直角三角形中斜边平方等于两直角边平方和。
7 海伦：古希腊数学家，平生致力于对于几何的计算、研究，但大部分著作已失传。
而现在被成为海伦公式）。立体几何方面，他给出了椭圆、双曲线、抛物线形成的旋转体的体积公式以及著名的圆柱容球问题（圆柱容球图也被刻在了他的墓碑上）。阿基米德被称为与牛顿、高斯8齐名的历史上最伟大的数学家看来绝不是徒有虚名。
此外，古希腊还有如阿波罗尼奥斯9、海伦、托勒密10等一系列的数学家，他们的研究都为几何学科做出了很伟大的贡献。
此后几何则一直在前人的基础上完善与发展，但是一直没有重大突破，始终处于对于简单几何图形的计算、简单定理的证明以及平面、立体几何图形的作法、画法等。直到文艺复兴之后，坐标系的出现，使几何出现了重要的进展，也是目前几何中极为重要的一部分——解析几何。而解析几何的诞生，我们有不得不提到几位重量级的数学家。
首先是笛卡尔。笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650），出生在法国的一个贵族家庭中，虽然在大学中学习的是医学以及法律，但是他从小对数学的浓厚兴趣就一直没有磨灭。他在想象几何图形时觉得非常麻烦，希望可以几何图形可以像代数一样比较简明，并且易于计算，于是他便发明了坐标系，并引入坐标概念来表示几何图形的各个点，利用方程来表示几何图形的线段以及平面等其他特征。这一突破性的创造确实是给几何这么学科注入了一针强心剂。
笛卡尔在自己的著作《几何学》中，利用几何图形和坐标系解释了曲线的性质，并将几何问题化为代数问题求解，包括对于一次方程一直到六次方程的几何求解方法（其中对于二次到四次方程的求解阐述较为详细）。他还利用线段之间的关系导出x 与y 的一些二次方程关系，并说明在去无穷多个x 的情况下会得到无穷多个y 值，并能形成一条曲线。笛卡尔的这些理论将原本分离开来的代数与几何结合起来，的确是一个重大的突破。
当然，恩格斯11说道“解析几何的产生不是偶然的，是那个伟大时代的产物”。因而，笛卡尔并不是独自研究并发明解析几何的人，还有一位大数学家也对解析几何做出了巨大贡献，那便是费马。 8
9 高斯：Johann Carl Friedrich Gauss，1777-1855德国著名的数学家、天文学家、物理学家。 阿波罗尼奥斯：Apollonius ，约公元前262-约公元前190，古希腊数学家。
10 托勒密：Ptolemaeus Claudius Ptolemy，约90-168，古希腊天文学家、数学家。
11 恩格斯：Friedrich Engels，1820-1895，德国伟大的思想家、哲学家，马克思主义的创始人之一。
费马（Pierre de Fermat，1601～1665），法国著名的数学家，不过他的职业是律师，数学研究只是他的业余爱好而已。不过费马可以说是在笛卡尔之前就已经发现了解析几何的基本原理，即用代数方程表示几何曲线的方法。另外费马通过研究曲线方程和曲线的关系得到了关于方程中最大值、最小值的求解方法以及切线的求解方法。这相对于笛卡尔因为其数学观受到亚里士多德12的影响而不愿意对曲线的长度以及切线进行探索来说是一个重大的突破。另外费马也通过高次代数方程给出了许多新的曲线，譬如费马双曲线x m y n =a n 、费马抛物线y n =ax m 、费马螺旋线r n =a θ等。
两人虽然因为优先权展开过一番争夺，不过冷静下来以后两人发现对方仍是自己的好朋友，他们仍然经常在一起讨论数学问题。而后人也认为解析几何是两人独立发现的，笛卡尔是从几何研究到方程，而费马则是从代数研究到几何。
解析几何的产生是有着非凡的意义的。因为解析几何将很多复杂的曲线十分简单的用代数方程表示出来，对于曲线的研究也就因而变得更加容易了。而这也为当时的物理方面的发展提供了很多的便捷，恩格斯在《自然辩证法》13中说道，“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻变成必要的了”。因为解析几何的产生，物理运动中的很多曲线以及天文物理中星体的研究都变得简单了很多，这些复杂的运动方式都可以被较简单的方程表示出来，而这也为以后牛顿发明微积分应用于对于刚体运动的求解提供了基础。可以说，如果没有解析几何，也许现在广泛应用于物理中的微积分将很难发展。因此我们确实要承认解析几何的发明是一项革命，是几何发展的一个重要进程。
当然，解析几何的发展也是困难重重的。首先是费马生前一直没有将自己的思想著书出版，知道他死后十几年才出版。而他在阐述自己思想的时候主要使用了比较古老的算符，之后的人很难理解，因而他的思想十分难推广开来。而笛卡尔则过分强调几何作图，对于方程的思想却涉及甚少，加之他将此书作为其哲学著作的附录，同时用晦涩难懂的法文写成，因此推广上同样遭到了巨大的困难。此外，当时的数学家是很反对将代数与几何统一起来的，他们均认为这两者是有关系的，但是应该独立开来，并且他们对于通过代数方程推出的几何曲线是否严12
13 亚里士多德：Aristotle (公元前384-公元前322) ，古希腊伟大的哲学家、科学家。 《自然辩证法》：恩格斯主要著作，写于1872-1886年，涉及物理科学、自然科学、生产技术多方面。
密持怀疑态度。因而解析几何的推广和发展一度陷入了危机当中。
不过，先进的东西最终还是会被大家接受的。法国数学家拉克鲁阿14正式使用了“解析几何学”这个术语，荷兰数学家斯霍滕15将笛卡尔的《几何学》翻译成了欧洲学术界通用的拉丁文，并做了改进，加入了坐标变换的代数式，荷兰的维特16发表《曲线初步》通过变换将x 和y 的某些二次方程转化为标准型，这些都使解析几何取得了巨大的进步，并被广大数学家所接受。此外，1671年牛顿引入了极坐标的概念，1691年雅各布·伯努利17重新阐述了极坐标的思想，赫尔曼则给出了直角坐标系到极坐标系的转换方法，而欧拉18则利用三角函数的方法重新表示了极坐标中的点，这与现在的极坐标表示方法相同，这也算是正式地将极坐标系纳入了解析几何的大家庭当中。
而在18世纪，解析几何又有了重大的发展，特别是空间解析几何。笛卡尔在《几何学》中曾提到含有三个未知数的方程可能是一个更复杂的曲面或是立体图形，但是没有具体引入三维空间的坐标表示，而费马在自己的信中叶只是简单的提到了空间中的柱面、椭球面、椭圆抛物面等三维曲面，但是也没有较完整的体系来阐述这些几何图形。直到1715年约翰·伯努利19引入了现在通用的三维坐标系，克莱罗20在他1731年的著作《关于双重曲率曲线的研究》中给出了一些曲面的方程，同时说明了描述一条空间曲线需要两个方程。而欧拉则在1748年出版的著作《无穷分析引论》中系统研究了空间解析几何，得到了六种曲面：锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面。空间解析几何在18世纪确实取得了极大的发展，并且数学家们对其的研究导致了微分几何学的产生。
说完了解析几何这个几何学科中最重要的分支，我们又要回归到欧式几何了。自从欧几里得在约公元前300年发明了欧式几何以来，便一直被人们奉为几何史的里程碑，因为它是最早的由公理演绎而来的数学体系。不过，欧式几何却在两千多年来不断被各个数学家们推敲，这全是因为欧几里得在几何原本中提到的514
15 拉克鲁阿：S.F.Lacroix ，1764-1843，法国数学家。 斯霍滕：F.Van.Schooten ，1615-1660，荷兰数学家。
16 维特：J.de Witt，1625-1672，荷兰数学家。
17 雅各布·伯努利：Jacob Bernoulli，1654-1705，瑞士著名数学家。
18 欧拉：Leonhard Euler，1707-1783，生于瑞士，后在俄国和德国工作，是18世界最伟大的数学家之一。 19 约翰·伯努利：Johann Bernoulli，1667-1748，瑞士著名数学家。
20 克莱罗：A.C.Clairaut ，1713-1765，法国数学家、物理学家。
条公设：
1. 由任意一点到另外任意一点可以画直线。
2. 直线可以无限延长。
3. 以任意点为心以及任意距离(即半径) 可画圆。
4. 凡直角都彼此相等。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和
小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
但是恰恰是这条第五公设，它比其他四条共设都要冗长，也不是那么直观。因此这条公设很快就引起了人们的争议，而欧几里得当时将其放在公设中并不是因为它不能被证明，而是没有找到证明。因而两千多年来，无数的数学家都在企图证明这个论题，但是均以失败告终，因为他们在证明过程中往往自觉或不自觉引进了第五公设等价的命题。因此他们总结出了第五公设并不能直接证明出，要间接证明，但是这反倒是他们渐渐感觉到引出与其并不矛盾的假设，可能会得到一种新几何，而这就是非欧几何的萌芽。
到了19世纪20年代，德国的高斯，匈牙利的波尔约，俄国的罗巴切夫斯基，几乎同时提出了非欧几何的思想，创立了非欧几何。
高斯是最早研究并发现非欧几何的。高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777-1855），德国伟大的数学家，也是19世纪最伟大的数学家。他的天赋和数学发现都是后人无法企及的。他早在1816年便确认欧几里得第五公设不能从《几何原本》不能从其他的公设和公理推导出来，并且认为现实世界中的几何不一定就是欧式几何，他还实际测量三个山峰为定点的三角形的内角和，试图验证自己所发现的非欧几何学更符合实际，但是高斯本人是一个非常低调的人，并不愿意将自己的所有著作都发表出来（如果真的高斯发表了所有著作，也许许多数学家所做的工作都是徒劳了„„），另外他也害怕引起纷争，因而他没有发表自己关于非欧几何和不符合第五公设假设的任何文章。
至于波尔约（J.Bolyai.Janos ，1802-1860）则是匈牙利年轻的数学家。他的父亲老波尔约是高斯的同学及好朋友，他一生致力于研究第五公设，但是以失败告终，并且还告诫他的儿子不要研究第五公设，但是小波尔约并没有听从他父亲的意见，继续研究第五公设，并成功的发现了第五公设不成立的情况下仍然可以
推导出一套完整的几何理论。1823年，老波尔约便将自己儿子的著作——仅仅26页的《绝对空间的科学》寄给高斯，请高斯过目并评价。高斯看到之后非常高兴，大家赞赏小波尔约所做的工作，但他也委婉地表示了自己在之前一经发现了于这个十分相似的结论，这是小波尔约十分恼火，认为高斯想要剽窃自己的研究成果，而到1840年罗巴切夫斯基发表的《几何原理的概述和平行线定理的严格证明》被译为德文后，他便更加恼火，称以后不再发表任何数学论文。不过即便如此，他的《绝对空间的科学》还是被认为是世界一流的科学经典，是对几何学的重大突破。
而俄国人罗巴切夫斯基似乎更加坚强一些。罗巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky ，1792-1856），俄国伟大的数学家。他在1816年开始对第五公设的研究，刚开始他也在试图证明第五公设的正确性，不过很快他认识到自己的证明是错误的，于是他异乎常人的认为第五公设说不定不存在，可以不依靠第五公设来获得一门全新的几何观念，于是他开始了研究，并获得了成功，创造了罗氏几何，并且它的完备性是不亚于欧式几何的。他在1826年2月23日首次公开宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，但是当时就遭到了下面许多数学家的冷漠与嘲讽，认为他的这种理念简直是“无稽之谈”。之后还有很多人对他进行指责和讥讽，直到去世，在追悼会上大家也不愿意提及他所发现的非欧几何，认为这是一种耻辱。但是这一伟大的发现终究不会被埋没，到1868年，意大利数学家贝尔特拉米21对其论文进行翻译并解释，他的著作才最终被大家认同，并被高度赞扬。
当然，非欧几何并不是只有罗氏几何一个分支（波尔约、罗巴切夫斯基所发现的非欧几何都是罗氏几何），高斯在研究非欧几何时还研究到了曲面几何，但是很不成熟，不过他的学生，也是德国伟大的数学家黎曼，真正完善了这门几何，也就是我们所说的黎曼几何。
黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826～1866），19世纪德国伟大的数学家，也是高斯的学生，他在一次评审助教的时候，由于高斯挑选了他关于研究非欧几何的论题，使他不得不潜心准备这个他还并不是很成熟的理论，并在哥廷根大学众多老师的面前讲演，但是这一讲演却让大家真正的见识到了非欧几何21 贝尔特拉米：E.Beltrami ，1835-1899，意大利数学家。
的内涵。黎曼定义了流形曲率这样一概念，并用该种曲率区分不同的空间类型。他认为流形曲率a=0时就是大家所熟悉的欧式平面，而欧式空间中适用的就是传统的欧式几何，而在a0时，得到的则是大家当时还没有涉及到的一种平面，这便是黎曼本人所创造的，而对应的几何学便是他所创造的，后人称之为“黎曼几何”。
下面我们来浅显的说明一下罗氏几何、欧式几何和黎曼几何。欧式几何是将人们生活的空间定义在了一个绝对平的平面上，任何直线都是直的，而三角形的内角和为180度，这也是我们所习惯的空间感觉。但是当我们将我们所生活的平面定义为双曲面时，就会变为罗氏几何，而在这种情况下，会有一系列的公理产生，比如过直线外一点有无数条直线与已知直线平行，若两个三角形相似，则它们全等，三角和内角和恒小于π，并且面积越小内角和越趋近于π等一系列看似违背常理的定理，但是这些定理在罗氏几何中则是最基本的。而如果将我们生活的平面变为球面的话（实际上我们就是生活在地球这个大球面上），则得出黎曼几何，而黎曼几何则有如下性质：三角和内角和恒大于π，两条直线一定会相交。罗氏几何和黎曼几何所得出的一系列不同于欧式几何的结论都是在否定了第五公设之后得到的，因此它们是完全独立的一门几何学。
而非欧几何在当时毕竟没有实际的物质参考，很难被广大数学家接受。但在1868年贝尔特拉米发表论文《非欧几何解释的尝试》给出了一种较为局部的罗氏几何的模型，是有一种“曳物线”旋转得到的旋转体（微分几何中的负常曲率曲面）。在这种平面中恰好实现了罗氏几何的所有定理，这是许多数学家第一次“真切”感受到了非欧几何的存在，因而慢慢不再认为这是荒诞无稽的东西了。之后德国数学家克莱因22则给出了完整的罗氏几何的模型，并利用射影几何使非欧几何的相容性问题转化为了欧式几何的相容性问题，得到了普遍的承认。而法国数学家庞加莱23则将克莱因模型中的弦改为了垂直于单位圆周的圆弧，正式将非欧几何与欧式几何联系起来，这也给罗氏几何的应用开辟了更广阔的道路，至此非欧几何猜得到了广泛的理解。
当然，罗氏几何和黎曼几何都是有其巨大用处的，在宇宙空间和原子核微观世界中，罗氏几何则更易于使用。而在航海等地球上大范围的计算，黎曼几何则22
23 克莱因：Klein ，Christian Felix，1849-1925，德国著名数学家。 庞加莱：Jules Henri Poincaré，1854-1912，法国伟大的数学家，20世纪最伟大的数学家。
更有用处。当然黎曼几何的最重要的应用还是作为爱因斯坦24的相对论的基础，因为在爱因斯坦的广义相对论中，四维时空是弯曲的，应该有四个独立的参数来表示，而他发现引力使光线弯曲的计算正是引用了黎曼几何最恰当的数学表示。因此说18世纪非欧几何学的发现是这个世纪最伟大的数学成果，是人类数学史上的瑰宝。
当然在非欧几何逐步被大家认同，并且日臻完善的时候，又有两门几何分支发展并完善起来，这便是微分几何和射影几何。
微分几何是随着解析几何和微积分的产生而产生的，主要是利用极限的方法来研究曲线和曲面。微分几何成为独立的数学分支主要也是在18世纪，法国数学家克莱罗开创了空间曲线的理论并在1731年发表了《关于双重曲率曲线的研究》，迈出了建立微分几何学的重要一步。而克莱罗之后，欧拉在1736年首先引入了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标，开始了曲线的内在几何研究。1748年他又出版了《无限小分析引论》，胡饿死该科平面和空间图形的微分几何，将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率，引进了曲面上的法曲率、总曲率、法曲率的欧拉公式及球面映射等概念方法。1760年，欧拉又在曲面理论中得到欧拉定理等结果，成为微分几何发展的里程碑。之后微分几何的发展则是要源于蒙日25的贡献。1807年蒙日系统阐述了他在微分几何方面几十年的研究成果，并独立研究了可展曲面的课题，将同一问题分别置于几何和分析领域进行讨论。蒙日的研究极大地推进了克莱罗和欧拉的空间曲线与曲面理论。他还利用偏微分方程对曲面簇可展面及直纹面进行研究，这也是很大的突破。而19世纪微分几何的发展则是由高斯推动的。他在亲身参加测量以及地图绘制时得到了一系列重要的数据，并在1827年完成并发表了他的决定性的文章《关于曲面的一般研究》，这是微分几何的又一个重要的里程碑。在这篇论文中，高斯利用两个参数u,v 来表示曲面：
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)
从这些方程中，高斯又得到了曲面上弧长元素的表达式：
ds 2=E u, v du 2+2F u, v dudv +G u, v dv 2 24
25 爱因斯坦：Albert Einstein，1879-1955，德裔美国物理学家，现代无力的开创者，相对论的创造者。 蒙日：Gaspard Monge，1746-1818，法国数学家、化学家、物理学家。
222222其中E =x u +y u +z u , F =x u x v +y u y v +z u z v , G =x v +y v +z v 。
相比于他这篇关于三维空间中曲面的微分几何的决定性论述所做出的更重要的贡献是他提出了一个完全新的空间概念，即一张曲面本身就是一个空间。高斯这一思想是由极其深刻的意义的，因为以前的曲面一直当作三维欧式空间来研究，而高斯这一思想则是根据决定选定不同的ds 2得到不同的曲面所在的空间，于是这些几何对于这个曲面来说就是内蕴的，而之后他的学生黎曼所研究得出的黎曼几何就是基于高斯的内蕴几何得到的，只是推广到了任意维空间，因此说高斯的这种思想是一个很大的突破。
而射影几何则在古希腊是就已经被应用开来，包括大家所熟知的射影定理，不过这只是最基本的射影几何概念，还完全没有发展到几何学一个重要分支的地步。而到了18世纪末期蒙日的《画法几何学》出版一期他的学生卡诺的一系列工作是许多数学家重新重视起了纯粹的几何原理及几何画法，也渐渐的发展起了射影几何，其中主要包括综合法和代数法两方面。
综合射影几何的变革是由法国数学家庞斯列（Poncelet ，Jean-Victor ，1788-1867）推动的。他在1822年发表了《图形的射影性质》，系统阐述了连续性原理，并借助这一原理考察了无穷远点消失或变成虚无元素的点和线，引入了圆上的无穷远点、球上的无穷远点等概念。他还发展了对合与调合点列的理论。他为射影几何学成为几何学科重要分支做出了重大贡献，而他的这篇论著也成为射影几何学的第一部系统论著。1824至1829年，他又先后给出了配极对应关系，为射影几何中的对偶原理奠定了基础，这种方法是的数学家们对于几何学的研究变得轻松很多。因此他对于射影几何乃至整个几何学科的贡献是不可磨灭的。
代数射影几何则是许多热衷于代数研究的数学家得出的。1827年德国天文学家麦比乌斯26引入了射影几何学和仿射几何学的若干概念，引进了齐次坐标，证明了交比在投影和截影下的不变形，对代数射影几何起到了巨大的推进作用。之后德国物理学家普吕克27又引入了另一种齐次坐标，即三角形坐标，这样便给几何观念以十分优美的代数式表示。1839年他出版了《代数曲线理论》，考察了无穷远点邻域内代数曲线的性质，得到了平面上无穷远线的方程与无穷远圆的坐标等结果，也致使齐次坐标成为代数射影几何中的最重要、最基本的工具。 26
27 麦比乌斯：Mobius ，August Ferdinand，1790-1868，德国数学家、天文学家。 普吕克：Uulius Plucker，1801-1868，德国物理学家、数学家。
当然，射影几何至此还没有完善，无论是综合射影几何还是代数射影几何，普通的几何学家都认为解析证明有不严密性，知道1850年，德国数学家斯陶特28在《位置几何学》中提出了称之为“投”的“代数”方案，这样使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量无关的全新学科。至此，射影几何学才形成了一个比较完整的体系。
总的来说18-世纪到19世纪初期，非欧几何、微分几何、射影几何三方面的产生以及蓬勃发展使得人们对于几何的兴趣大大提高，而许多数学家也在疑问这些几何学之间是否有内在的联系呢？ 这就要提到德国伟大的数学家克莱因，他将这些几何学真正的统一起来。
克莱因（Klein ，Christian Felix，1849-1925），德国伟大的数学家。他在研究几何学时，巧妙地引入了群的概念。它的基本观点就是每种几何都由变换群所刻画，并且每种几何所要做的实际就是在这种变换群下考虑其不变量。再者，一个几何的子几何是在原来变换群的子群下的一簇不变量。简而言之，作为几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。1873年，克莱因发表了《论所谓欧几里得几何》，清楚地指出欧式几何、非欧几何均可以用纯射影的方法构造出来，为射影几何的公理铺平了道路。他还将集中经典几何看做射影几何的子几何，这种思想在其后的几十年产生了极大的影响。
当然，从古至今，几何学一直被视为是严密性的象征。不过当欧式几何的统治地位被非欧几何所撼动后，人们开始怀疑：几何学的前几条公设是否就那么严密？是否合理呢？而这是拯救数学界，完善几何基础的人便是希尔伯特。
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943），德国伟大的数学家，也是20世纪最伟大的数学家。他对于数学的多个方面都有巨大的贡献，包括代数不变式、代数数域、几何基础、变分法、积分方程、狄利克雷29原理、特征值问题等等。他在几何基础方面所做出的贡献真正的完善了几何的基本定理。他在1899年出版的《几何基础》一书成为了近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派”，因此可以说希尔伯特是近代形式公理学派的创始人。希尔伯特在其《几何原理》中给出了他的公理集的第一个叙述（后来经过了多次修改），28
29 斯陶特：K.G.C.V on.Staudt ，1798-1867，德国数学家。 狄利克雷：Dirichlet ，Peter Gustav Lejeune，1805-1859，德国著名数学家。
即给出了第一个完备的欧式几何形式的几何公理系统，其中不依赖于任何空间，直觉推出了欧氏几何的所有定理。在他的公理系统中包括三个基本元素：点、线、面；三个基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系。此外，在《几何基础》中，希尔伯特还成功地运用公理化方法，也就是从公理出发来建造各种几何。
由于希尔伯特的公理化方法，将几何对象进一步抽象化，几何学在某种程度上与现实空间相对脱离，因此几何系统的逻辑要求问题自然凸现出来。希尔伯特认识到了这一点，因此他明确提出了选择和组织公理的原则。这就是相容性、独立性和完备性。利用这种方法，欧式几何的相容性就合理地归结为算术系统的相容性，而全部几何公理也就转化为实数的算术问题。
希尔伯特关于几何基础的工作彻底结束了两年多年来欧式几何的整理工作及完善工作。但其实希尔伯特对于几何逻辑基础的完善已经大大超出了问题本身。他的公理化思想的方法对于整个数学甚至自然科学的理论建设都产生了极深远的影响。公理方法的使用不仅为寻求一些旧的和新的数学分支之间的联系提供了帮助，而且希尔伯特将对于几何的基础研究扩展到了对于整个数学基础的研究，这是一个具有非凡历史意义的进步。
到了20世纪，已经基本完善的几何体系，又有了许多新的理论，其中比较重要的是代数几何。
代数几何学时从黎曼开始的，他在1857年引入并发展了代数函数论，并引入了黎曼曲面的概念。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变量：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变量。
在黎曼之后，德国数学家马克斯·诺特30等用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。到19世纪80年代意大利许多数学家继承了诺特的几何思想，继续发展了代数几何学的理论，其中比较著名的有卡斯特尔诺沃31、塞维里32等。与此同时，庞加莱、皮卡33等法国数学家也对于黎曼所研究的代数曲线进行了更深入的研究，使用超越方法，把单变量代数函数论推广成两个变量代数函数论。
当然20世纪是代数几何学发展最重要的时期。范德瓦尔登将交换代数的方30
31 马克斯·诺特：Noether ，Amalie Emmy，1882-1935，德国数学家。 卡斯特尔诺沃：G.Castelnuovo ，1865-1952，意大利数学家。
32 塞维里：F.Seviri ，1879-1961，意大利数学家。
33 皮卡：C.E.Picard ，1856-1941，法国数学家。
法引入了代数几何研究中。韦依和扎里斯基的工作也为代数几何奠定了严格的基础，并将相交理想论建立在抽象域的基础上，同时把几何思想引入抽象代数的理论之中。此后代数几何便进入了一个全新发展的阶段。
当然，代数几何的重要作用是它与许多数学分支学科有着重要的联系，包括数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。因此说代数几何的发展与这些学科的发展起着相互促进的作用，而且其应用前景也十分良好。可以说，代数几何学是20世纪几何分支中最耀眼的一颗星。
从公元前300年，欧几里得耀眼的《几何原本》流传于世，到笛卡尔与费马解析几何为几何开创崭新的分支，再到罗巴切夫斯基和黎曼对于欧式几何的冲击而得到非欧几何，同时有射影几何与微分几何的发展，并由克莱因统一几何理论，最后希尔伯特完善几何基础，以及现代数学对于几何的完善与发展，几何这门具有无穷魅力的学科确实给人们带来了无尽的宝藏。几何也让人们在许多问题上有了全新的认识，包括简单的计算面积，复杂的计算物体运动轨迹，到非欧几何挑战人的直觉，内蕴几何和黎曼几何对于爱因斯坦相对论的帮助以及现代代数几何在控制论等多方面的应用，几何的确帮助人类在很多方面有了长足的进步。在这篇并不是很长的论文中，我无法对于所有几何学科分支一一作介绍，包括张量几何、复几何、分形几何、组合几何、计算几何、辛几何等等许多，而也因为我毕竟只是大一的新生，也不是数学学院的学生，数学知识有局限，还有很多知识没有学到，没有办法对我所介绍的几何的主要分支详细的深入的介绍，有一些介绍只是在书中读到，因而可能有一些介绍的观点是不完善的，甚至是错误的，但是我的确在写这篇论文的时候，详细的查阅资料中，了解到了许多以前不知道的几何历史和发展中的问题，让我对几何这门学科更加地明晰，更加地理解，也让我对几何有了更浓厚的兴趣。当然也很感谢古今数学思想这门课让我有了这样的机会接触了博大精深的几何、博大精深的数学，让我再一次的感受到了数学的魅力。希望能有机会让我的同学也看到我这篇不成熟的几何概论文章，能够激起更多的人对几何、数学的兴趣。也希望我有机会更多的了解几何、了解数学，也有更多机会去学习这些伟大数学家的杰作。
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参考文献：
1) 《数学简史》 张红主编，科学出版社
2) 《古今数学思想》【美】克莱因著，张理京，张锦炎，江泽涵，朱学贤等译，上海
科学技术出版社
3) 《简明数学史》 柳成行主编，哈尔滨工业大学出版社
4) 《数学史概论》第六版 【美】霍华德·依夫斯著，欧阳绛译，哈尔滨工业大学出
版社
5) 《数学思想史》
王树禾著，国防工业出版社