二元一次方程组典型题

学业测试——期末复习

第十三章 二元一次方程组 第一部分：知识点突破

一、知识结构图：

二、本章知识点

1、二元一次方程的概念：含有 个未知数，并且含有 的次数都是1.

2、二元一次方程组的概念：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意：二元一次方程（组）未知数不能出现在分母中，必须是整式方程。 3、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 。 注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值

②一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件（例如，求整数解），那么就是有限个解。

5、代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含 的式子表示出来，再 另一个方程，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解。

适用范围：方程组的两个方程中，某一未知数的系数为1或-1时，使用此方法较为简便。 6、加减消元法：两个二元一次方程中同一一未知数的系数 或 时，把这两个方程的两边分别 或 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 适用范围：大部分采用加减消元。 7、含参的二元一次方程（组） 所谓含参的方程（组），就是关于x,y的二元一次方程（组）中某个未知数前面的系数是用字母表示的常数，通常把这个字母系数叫做参数。

注意：不要把这类方程（组）认为是三元或四元，只是字母系数暂时不知道具体的值而已，但可根据方程（组）满足的条件求出参数值。 8、方程组解的情况

3xy5

我们所解的方程组的解一般都是唯一的，但也有特殊的，例如：第二个方程是

6x2y10由第一个方程左右两侧同乘一个不为0的常数得到，这样的方程组就会有无数个解。再例如

3xy5

第二个方程不是由第一个方程两边乘以相同的数值得到的（左侧扩大3倍，右侧

6x2y7

扩大1.4倍），这样的方程组无解。 9、二元一次方程组的应用

二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

①审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 找 关系） ②考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． （设，列） ③列出方程组并求解，得到答案．（解）

④检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（答） 10、列方程组解应用题的常见题型： ①产品配套问题：加工总量成比例 ②V顺=V静+ ；V逆=V静- ③工程问题：工作总量= ×工作时间

④增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量 原量×（1＋减少率）=减少后的量 ⑤银行利率问题：免税利息=本金× ×时间

税后利息=本金×利率×时间×（1- ）

⑥利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷ ×100% ⑦数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 ⑧几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 ⑨年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的

11、三元一次方程的概念：三元一次方程就是含有 未知数，并且含有的 都是1次的方程。

12、三元一次方程组的概念：含有三个 的未知数，别且每个方程中含 都是1，共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 13、三元一次方程组的解法：

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元再转化为一元，转化为我们已经熟悉的问题。

（2）三元一次方程组解题的基本步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 三、典型例题

【考点一】二元一次方程（组）的概念

例1：下列方程中，是二元一次方程的是（ ）

1y2

A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=

x4

答案：D

分析：A.含有三个未知数，因此不是二元方程。

B．含未知数的项的次数为2次，注意：项的次数为该项中所有字母的指数和。

C．不是整式方程，因为未知数在分母中，注意：我们定义的几元几次方程是针对整式方程的定义方式，即等号左右两侧各个项都是整式。 例2：下列不是二元一次方程组的是( )

1

3x5y254x3y6xy4y4

A．x B. C.  D. 

x10y252xy4xy1xy1答案：A

分析：A中第一个方程不是整式方程。

例3：若方程mx-2y=3x+4是二元一次方程，则m满足（ ） A、m≠0 B、m≠－2 C、m≠3 D、m≠4 答案：C

分析：当m=3时，方程左右两侧的x项被消掉。

3m5n94m2n73x4y2是二元一次方程，则m值等于_______. 例4：若

n

3 7

分析：∵是二元一次方程

∴ 含x,y的项的次数都为1

答案：

∴



m12

133m5n9128

4m2n71 解得：n

13

m3 n7

例5：已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程； 当k=______时，方程为二元一次方程。

答案：k=-1时，为一元一次方程；k=1时，为二元一次方程。

∴

分析：为了保证为一次方程，必须有k210，得出k=±1。只有当k=-1时，x的二次项和一次都为0，即此时方程是关于y的一元一次方程；当k=1时，既能让x的二次项为0，又能含有两个未知数，此时是关于x,y的二元一次方程。方法总结：需要消掉哪个项就让这一项的系数为0.

【考点2】二元一次方程（组）的解

3x2y7

例1：方程组,的解是( )

4xy13

x1x3x3x1A．  B.  C.  D. 

y3y1y1y3

答案：B

分析：方程组的解是两个方程的公共解也就是使两个方程左右两边都成立的x,y的值，所以，将每个选项中的解代入到方程组中验证即可。

x2x2x2x1

例2：下列各组数中① ② ③ ④是方程4xy10的解的有

y2y1y2y6( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B

分析：将每组解代入方程中验证，①④都是方程的解。 例3：方程x3y9的正整数解是______。

x6x3

答案：y1，y2



分析：正整数解就是一组解中的x,y值都是正整数，可以通过给其中一个未知数赋值的方法求解。一般将其中一个未知数从最小的正整数取值，代入方程求另一未知数，另一未知数也是正整数就是一组符合条件的正整数解。 例4：求方程2x3y17的正整数解。

x7x4x1

答案：y1，y3，y5



先观察特殊系数的未知数，例如本题中的x，将方程变形为2x173y，说明17-3y的值一定是偶数，由于17为奇数，奇数-奇数=偶数，所以y一定为奇数，y可以从最小的正奇数1开始依次取值。 【考点3】二元一次方程组的解法

xy

例1：1，用含x的式子表示y为

32

2xy2答案：

3

yx

分析：把y当做唯一的未知数，把x当做常数，解出y。移项得1，系数化1即两侧

23

2x

2 同时乘以2得y3

x4y6①

例2：解二元一次方程组

x4y12②x9

答案：3

y4

分析：可以用四种方法求解

方法1：由①+②得2x=18；解得x=9,把x=9代入①得y=方法2：由①-②得-8y=-6； 解得y=

3

4

33

,把y=代入①得x=9 44

33

，把y=代入③得x=9 44

方法3：由①得x=6+4y③,将③代人②得6+4y+4y=12；解得y=

方法4：由②得x=12-4y④，将④代人①得，12-4y-4y=6；解得y=

33

，把y=代入④得x=9 44

y13(x2)

例3：解二元一次方程组

y42(x1)

答案：

x3

y4

分析：解有括号的方程组问题先化简，将每个方程都化简成ax+by=c的形式，在选择代入或

加减消元法解方程组。

3xy5

化简原方程组得 再用加减消元可求解。

2xy2

x3

例4：解二元一次方程组

x26

x17

答案：

60y17

y

1①4

y

1②3

分析：方程组中的方程含有分母，先去分母，利用等式性质两侧同时乘以分母的最小公倍数，将每个方程化简成ax+by=c的形式，再进行消元。

4x3y12③

化简原方程组得 ，（采用加减消元消掉y）

3x2y6④③×2得：8x+6y=24 ⑤ ④×3得：9x-6y=-18 ⑥

6

⑤＋⑥得：17x=6 x=

17

660将x=代入④得，y=

1717

6x17

∴原方程组的解为

y6017

【考点4】含参的二元一次方程（组）

x1x2

例1：若关于x,y的二元一次方程mxny6的两个解是，

y1y1则m_____,n_____

答案：m=4,n=2

x1x2

分析：∵，都是方程的解，因此这两个解都满足方程，将他们代入方程得。

y1y1

mn6①m4

 ①+②得解得

n22mn6②

xy5k

例2：若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x3y6 的解，

xy9k求k的值。 答案：k

3 4

xy5k①

分析：照常用消元的方法解关于x,y的方程组，这里采用加减消元，

xy9k② ①+②得，2x14k解得x7k 将x7k代入①得y2k。

x7k∴将 代入方程2x3y6

y2k

27k3(2k)6 解关于k的一元一次方程得k

3 4

方法总结：当方程组中的两个方程都含有参数时，照常用消元法解方程组，解用含参数的式子表示，再将方程组含参的解代入已知系数的方程中求参数。

4x3y7

例3：二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

kx(k1)y3答案：k=2 分析：∵x=y 且 4x+3y=7 ∴ 4x+3x=7 x=1

将x=1代入kx+(k-1)y=3得，k+(k-1)=3 ∴k=2

2xy4m0xy

例4：方程组，y值是x值的3倍。求m的值，并求 的值。

xy14x3y20答案：m=-1

分析：∵y=3x代入14x-3y=20 得，14x-3×3x=20 ∴解得x=4,y=12

把x=4,y=12代入2x-y-4m=0中，2×4-12-4m=0 解得 m=-1

1xy

= xy2

方法总结：当方程组中的两个方程一个含有参数一个不含参数时，通常还会给出x,y之间的关系式，将已知的关系式与不含参数的方程联立成方程组求出x,y的值，再代入含参数的方程中就可求出参数值。

2x3y13bxay5

例5：若关于x,y的二元一次方程组和同解，求a,b的值。

xy1axby1

答案：a=1,b=1

分析：由方程组解的概念可知：方程组的解是组内两个方程的公共解，这里两个方程组解相同说明这四个方程的解都相同，也就是任意两个方程的公共解都是这两个方程组的解。可以将这两个方程组中不含参数的方程组合求解。 ∵方程组解相同

2x3y13

∴ 的解就是两个方程组的解

xy1x2

解得

y3

x2bxay52b3a5将代入 得 

y3axby12a3b1a1解得

b1

ax5y15　　①

例6：甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的a,得到方程组

4xby2　　②x3x5

的解为；乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为。

y1y4试计算a

2004

1

b10

2005

的值.

答案：0

分析：方程组的解一定同时满足两个方程，但当看错某个方程的系数时所解出的解一定不是原方程组的解，但却可以利用这错误的解求出原方程组中正确的系数。像甲虽然看错了第①个方程，但求出的解却一定满足第②个方程；同理乙求出的错误的解也一定满足第①个方程。

x3 ∵甲看错了方程①中的a，得出解为

y1 ∴ 4×（-3）-b(-1)=-2, b=10

x5

∵乙看错了方程②中的b，得出解为

y4

∴ 5a+5×4=15 , a=-1

∴a

2004

1b10

2005

=（-1）2004+（-

1

×10）2005=0 10

【考点5】二元一次方程组解得情况

例：根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元。这个记录是否有误？如果有误，说明理由。

答案：记录有误。理由见分析。

分析：解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元。

39x21y396①

根据题意列方程组得：

52x28y518②13x7y132

化简方程组得：

13x7y129.5

因为这个方程组无解，所以记录有误。 【考点6】二元一次方程组的应用

例1：（行程问题）：甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．

分析： 设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时．

第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米．根据题意，得

3x3y303 

30(32)x230(32)y

解得：

x4



y5

第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米．根据题意，得 3x3y303



30(32)x2[30(32)y]

解得16

x3 

y17

3

答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时； 或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时．

例2（工程问题）：一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得

(48)x8y840

9x(49)y840 解得

x50



y30

答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件

例3：（年龄问题）：师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

分析：由“我像你这样大时，你才4岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减4，由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄．由这两个关系可列方程组求解．设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得

xyy4

52xxy 解得

x36



y20

答：现在师傅36岁，徒弟20岁．

例4：（几何问题）：有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积．

解析：设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm．

2(5x4x)2(3y2y)112

4x23y6解得

x9



y5

从而第一个长方形的面积为：5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；

第二个长方形的面积为：3y×2y＝6y2＝150（cm2）．

答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和150cm2．

例5（数字问题）：一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解

方

程

组

1x0

1y0

y

x

xy9x1

，得，因此，所求的两位数是14． 1x0yy247

总结：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难列出关于x的方程．一般地，与数位有关的数字问题，一般应设各个数位上的数为“未知数”，然后列多元方程组解之．

例6（利润问题）：一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

0.9xy20%yx200解方程组，解得，

0.8xy10y150

因此，此商品定价为200元．

总结：利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有两种方法，一是：利润=售价-进价；二是：利润=进价×利润率．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

例7（配套问题）：某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

xy120x20

，解之，得． 

50x220y1y100故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

总结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:b，要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a:b. 【考点7】三元一次方程组的解法 例1：解方程组

①4x9z17



3xy15z18②x2y3z2③



x5

答案：y2

1z

3

分析：此方程组中含有两个三元，一个二元方程，求解时可先将两个三元方程联立，消掉二

元方程中所不含的未知数。即先通过②和③消掉y，再将消元后得到二元方程与①联立消元。 解：②×2得：6x2y30z36④ ④-③得： 5x27z34

⑤

①×3+⑤得：17x85解得x5 将x5代入①得z 将x5，z

1

3

1

代入③得y2 3



x5

∴原方程组的解为y2

1z

3

2x6y3z6①



例2:解方程组3x15y7z6②

4x9y4z9③

x51答案：y

3z2

分析：三个方程都是三元的，就要分别进行两次消元，将任意两个方程联立，消掉同一个未知数，这样就会得到两个含有相同未知数的二元方程了，从而实现了从三元消元到二元的目的。

解：①×2-③得： 21y2z3④

②×2-①×3得：12y5z6⑤

1

④×5-⑤×2得：81y27解得y

3

1

把y代入④得：z2

31

把y，z2代入①得：x5

3

x5 ∴原方程组的解为

y1

3z2

例3：解方程组：

xy2①

yz3

② xz5③x5答案：

y3



z0分析：整体求值法：①+②+③得：2(xyz)4 ④-①得：z0 ④-②得：x5 ④-③得：y3

x5 ∴原方程组的解为：

y3



z0

xyz2④，

第二部分：专题突破

第一套：专题测试（A）

一、选择题（每题3分，共30分） 1、表示二元一次方程组的是（ ）

xy5,xy11,xy3,xy3,

A． B.2 C. D.2 2

y4;zx5;xy2;x2xyx

3x2y7,

2、方程组的解是（ ）

4xy13.

x1,x3,x3,x1,

A. B. C. D. y3;y1;y1;y3.x3y,

y0则x（ ） 3、设

zy4z0.

A.12 B.

11 C.12 D..

1212

axby1,x1,

4、设方程组的解是那么a,b的值分别为（ ）

a3x3by4.y1.A.2,3; B.3,2; C.2,3; D.3,2. 5、方程2xy8的正整数解的个数是（ ）

A．4 B.3 C.2 D.1

6、在等式yx2mxn中，当x2时,y5;x3时,y5.则x3时，y（ ）。

A.23 B.-13 C.-5 D.13

2x3y114m

7、关于关于x、y的方程组的解也是二元一次方程x3y7m20的解，

3x2y215m

则m的值是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.

1 2

2xy5

8、方程组，消去y后得到的方程是（ ）

3x2y8A.3x4x100 B.3x4x58

C.3x2(52x)8 D.3x4x108

yx2

9、以方程组的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中的位置是（ ）

yx1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、一台微波炉成本价是a元，销售价比成本价多22%，因库存积压按销售价的60%出售，则每台实际销售为（ ）元。

A.a(1+22%)(1+60%) B.a(1+22%)60% C.a(1+22%)(1-60%) D.a(1+22%+60%) 二、填空题（每题2分，共20分） 11、y

3111

x中，若x3,则y_______。

272

12、由11x9y60,用x表示y,得y_______，y表示x,得x_______。

x2y1,2x4y26x9y

_______。 13、如果那么

232x3y2.

14、如果2x2ab13y3a2b1610是一个二元一次方程，那么数a+b= 。 15、购面值各为20分，30分的邮票共27枚，用款6.6元。购20分邮票 枚。 16、在△ABC中，∠A－∠C=25°，∠B－∠A=10°，则∠B=________。 17、如果2xb5y2a与4x2ay24b是同类项，那么 a

x2mxy3

18、已知的解，则m=_______，n=______。 是方程组

y1xny6

19、乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组人数比乙组多15人。设甲组原有x人，乙组原有y人，则可得方程组为 。

20、五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，

小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受 了 折优惠． 三、解答题：

21、用适当的方法解下列方程

11xy14m2n5023

（1） （2）

123n4m6xy33

4x3y7

22、二元一次方程组的解x，y的值相等，求k值．

kx(k1)y3

23、某校举办数学竞赛，有120人报名参加，竞赛结果：总平均成绩为66分，合格生平均成

绩为76分，不及格生平均成绩为52分，则这次数学竞赛中，及格的学生有多少人，不及格的学生有多少人。

24、甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从乙地向甲地方向前进，两小

时后二人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2千米，求A、B二人的速度。

25、三个同学去A、B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况。A超市销售额今

年比去年增加15%；B超市销售额今年比去年增加10%；两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元。根据以上信息，请你求出A、B两个超市今年“五一节” 期间的销售额.

26、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

27、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

28、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，A（－6，2）， B(1,2)，D(-8,-3)， CD=14. （1） 求点C的坐标；

（2）有一动点E从A出发以1个单位/s的速度，由A向B运动;同时，另一动点F从D出发以2个单位/s的速度，由D向C运动（其中一点停止运动时另一个点也随之停止运动）,设点F运动时间为t秒，当t为何值时线段EF最短；

（3）在运动过程中，是否存在某时刻使直线EF分梯形ABCD面积为3∶2，若存在，求时间t值；若不存在，说明理由

.

第28题图 备用图

第一套：答案

一、选择题：1—5 DBCAB 6—10 DCDAB

3、分析：

x3y

①y4z0

②

由②得，y=-4z③

把③代入①得 x=3(-4z) x=-12z,∴

x

z

12 4、分析：把解x1,

代入原方程组得ab1a2y1.7 解得：a3b

b37、分析：∵方程组2x3y114m

的解满足x3y

3x2y215m7m20

∴这三个方程有公共解，把它们联立

2x3y∴114mx3

3x2y215m 解三元一次方程组得

y1 x3y7m20

m2二、11、4 12、

11x69,9y611 13、2 14、1 15、15 16、75°18、1 4

分析：将x2mxy3

1代入方程组ny6

中进行求解． y

x19、1yx21 20、6.5



x3y1523y15、分析：解：设20分的邮票x张，30分的邮票y张。

根据题意列方程组得xy27 解得：0.2x0.3y6.6x15

y12 ∴20分的有15张，30分的有12张。 20、解：设用贵宾卡打后的价格是原来的x倍。

根据题意列方程为：10000×80%-10000×80%x=2800 X=0.65=65% 答：打了六五折。

三、解答题：

、14

5

17

14

3xm11

21、（1） （2） 4

12y1y11

22、解：由题意可知x=y，

∴4x+3y=7可化为4x+3x=7， ∴x=1，y=1．

将x=1，y=•1•代入kx+（k－1）y=3中 得k+k－1=3， ∴k=2

分析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值． 23、及格的70人，不及格的50人

24、A的速度5.5千米/时，B的速度是4.5千米/时

25、解: 设去年A超市销售额为x万元，B 超市销售额为y万元，

xy150,

由题意得

115%x110%y170,

x100,解得

y50.

100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.

答：A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元， 26、分析：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

xy40x803xy120

，整理，得，解得， 

xy120y40xy120

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

注意：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在： “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

27、解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工， y天进行粗加工.

xy15,

由题意，得

6x16y140.

x10,

解得，

y5.

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

28、 （1）C（6，-3）

（2）当线段EF最短时，此时EF⊥CD，因为垂线段最短

且D点的横坐标比A点的横坐标小2，过点A做AH⊥CD，垂足为H ∴DF-AE=2 ∴ 2t-t=2 t=2 (3)存在

① 当SADFE:SEFCB=3:2时

由于这两个梯形等高，因此面积的比就等于上下底之和的比 （t+2t）：(7-t+14-2t)=3:2 t=4.2 ② 当SADFE:SEFCB=2:3时 （t+2t）:(7-t+14-2t)=2:3 t=2.8

∴ 当t=4.2或2.8时EF分梯形面积为3:2

第二套：专题测试（B）

一、选择题：（每题3分，共30分） 1、方程2x3y5，xy3，x

（ ）个。

A.1 B.2 C.3 D.4 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.;4个 3、若是5x2ym与4xnm1y2n2同类项，则m2n的值为 （ ） A．1 B．－1 C．－3 D．以上答案都不对

4、在方程(k2-4)x2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k值为（ ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．以上答案都不对．

3

3，3xy2z0，x2y6中是二元一次方程的有y

x25、若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）

y1x3y5yx32xy5x2yA． B． C． D．

2xy5y2x5xy1x3y16、在方程2(xy)3(yx)3中，用含x的代数式表示y，则 （ ） A．y5x3 B．yx3 C．y5x3 D．y5x3 7、已知x3k，yk2，则y与x的关系是（ ）

A．xy5 B．xy1 C．xy1 D．yx1 8、下列说法正确的是（ ）

A．二元一次方程只有一个解 B．二元一次方程组有无数个解 C．二元一次方程组的解必是它所含的每个二元一次方程的解 D．三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成

3x5y69、若方程组 的解也是方程3xky10的解，则k的值是（ ）

6x15y16

1

10

10、某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）

A.k=6 B.k=10 C.k=9 D.k＝

xy246xy246xy216A．B.C.

2yx22xy2y2x2二、填空题：（每题2分，共20分）

xy246

D.

2yx2

11、在x+3y=3中，若用x表示y，则y= ，用y表示x，则x= ； 12、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y =0是二元一次方程，则a的值为 ；

13、方程2x+y=5的正整数解是______；

x1ax2yb14、若y1是方程组的解，则ab ； 4xy2a115、若（x—y）2+|5x—7y-2|=0，则x=________，y=__________ ；

3x4y6x5y

1的解是___________； 16、方程组23

x1

17、若是关于x,y的方程axby1的一个解，且ab3，则5a2b＝ ；

y218、已知等腰三角形周长为15，腰比底长3，则它的腰长是______,底边长为______；

19、已知点A(－y－15，－15－2x)，点B（3x，9y）关于原点对称，则x的值是______，y的值是_________；

20、现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各有 枚。 三、解答题：（21、22每题4分，23—26每题6分，27、28每题9分） 21、解下列方程组：

121

11x9y12xy

（1）5 （2） 35

4x3y50.5x0.3y0.2

x2ym

22、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。

3x5ym1

23、同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

24、如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等． (1)求x,y的值； x 3 4 (2)在备用图中完成此方阵图． –2 y a

b 2y–x c

4 3

–2

(备用图) 25、某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．

（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；

（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？

26、奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠。小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱。

27、已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，AO=6cm,BO=8cm,AB=10cm。且两直角边落在平面直角坐标系的坐标轴上.

（1）如果点P从A点开始向O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始向B以2cm/s的速度移动。P,Q分别从A,O同时出发，那么几秒后，△POQ为等腰三角形？

（2）若P,Q分别从A,O出发在三角形的边上运动，若P点运动的速度是xcm/s,Q点运动的速度是ycm/s，且y>x.当P,Q同向逆时针运动时9s钟后相遇，当P,Q相向运动时，2s钟相遇。求P,Q的速度。

28、如图所示，长方形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=6cm,BC=10cm,点E为射线AD上一点，过E作EF∥CD。 （1）求证EF⊥BC.

（2）有一动点G从A出发以1cm/s的速度，由A向D运动;同时，另一动点H从C出发以

1.5cm/s的速度由C向B运动（其中一点停止运动时另一个点也随之停止运动）请问：出发后何时线段GH最短。

（3）已知AE=FB =2 cm，当线段GH最短时，新四边形EFHG开始在直线BC上以2cm/s的速度整体平移。问：新四边形EFHG经过多长时间与长方形ABCD重叠部分面积为30cm2?

第二套：答案 一、选择题：1-5 ADBCC 6-10 AACBB

1

、分析：只有第一个是二元一次方程，第二个是二元二次方程，第三个不是整式方程，第四个是三元一次方程，第五个是二元二次方程。

2、分析：为了取方程的正整数解，y应该取正奇数，∴当y=1时，x=4;当y=3时，x=3;当y=5

x4x3x2x1

时，x=2;当y=7时，x=1.所以正整数解为，，，四个。

y1y5y5y73、分析：同类项：含有相同字母，相同字母的指数也相同的项。

nm12m0

∴ 解得： ∴m2n0211

m2n2n1

4、分析：∵方程为二元一次方程。∴最高次数只能为1次，2次项要消掉

∴二次项系数为0，即k240解得：k2。验证:k=±2时，x的一次项和y的一

次项系数都不为0，因此两个值都满足条件。注意一定要检验，使一次项系数为0的值要舍掉。

8、主要容易进入误区的是D选项，三元一次方程组不一定三个方程都是三元一次方程，可能含有二元一次方程。

x

9、方程组的解为

y

2

3

，将解代入含k的方程中解得k=10. 45

二、填空题：

3x

,x33y 11、y3

12、a=-1

分析：∵方程为二元一次方程

∴二次项系数为0，即a210 解得 a=±1

又∵二元∴x，y的一次项系数≠0，即a-1≠0,2a-3≠0 ∴ a≠1, ∴ a=-1

x2x113、，

y1y314、a+b=4.

x1ab2a3分析：把代入方程组得 解得 ∴a+b=3+1=4

y12a15b115、-1，-1

分析：由非负数的和为0，得出每个非负数都为0.

xy0x1

∴ 解得

5x7y20y1

3x4yx12

16、将连等的方程转化成方程组得： 解得：

6x5yy1

317、-43

2

9 13

x1a7

分析：将代入axby1 得a+2b=1,与a+b=-3组成方程组，解得

y2b4∴5a-2b=5×（-7）-2×4=-43

18、6,3

分析：解：设等腰三角形的腰长为x,底长为y。

2xy15x6

根据题意列方程组 解得

xy3y3

19、x=6,y=3

分析：∵A与B关于原点对称

∴这两个点的横纵坐标互为相反数

3xy15x6

得方程组 解得 

9y152xy320、5,7,1

分析:解：设1角有x枚，5角有y枚，1元有z枚。

①xyz15

根据题意列方程组：

0.1x0.5yz7②

①-②×10得：4y+9z=55

∵x,y,z都是正整数，就转变成求4y+9z=55的正整数解

Z为正奇数，当z=3时，y=7,代入①得x=5只有这一组正整数解

x5

方程组的解为y7

z3

14xx317

21、（1） （2）7

12yy317

x2ym

22、∵方程的解满足x-y=7 ∴x=y+7

3x5ym1

(y7)2ym73ym

把x=y+7代入到方程组得，整理得

3(y7)5ym18y22m

x4



解得y3

m2 ∴m=-2

23、解：（1）解法一：设书包的单价为x元，则随身听的单价为(元 4x8) 根据题意，得4 x8x452 解这个方程，得 x 92 4 x84928360

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元

52xy4

根据题意，得

y4x8

x92

解这个方程组，得

y360

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。

（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金： 4（元） 5280%361.6 因为3，所以可以选择超市A购买。 61.6400

在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3（元） 602362 因为3，所以也可以选择在超市B购买。 62400 因为3，所以在超市A购买更省钱。 62361.6

x134x3(2)2yx24、（1）根据题意列方程组得 解得

y234xxy2yx

（2）

25、（1）一月5万元,二月6万元,三月9万元。

（2）解：设二月份男装销售收入为x万元，女装销售收入为y万元。

x3.5xy6

根据题意列方程组为解得

y2.5(140%)x(164%)y9 答：二月份男装收入3.5万元，女装收入2.5万元。

26、（1）解：设每本笔记本x元，每支钢笔y元

x144x2y86 根据题意列方程组 解得

y153xy57

答：每本笔记本14元，每支钢笔15元

（2）当买的支数不超过10时，就按每支15元收费；买的支数超过10时，每支钢笔12元（8折价），但10支还是原价。

∴设买奖品a个（a>10）

买a本笔记本花：14a元

买a支钢笔花：12(a-10)+15×10=（12a+30）元 ①当两者相同时有 14a=12a+30 a=15

②当1015时， 买钢笔省钱。 27、（1）设经过t秒钟。 OP=OQ 6-t=2t

t=2

(2)同向运动时属于追及问题，相遇时快的比慢的多走了OB+AB 相向时属相遇问题，两个点的路程和等于OA

x0.59(yx)18

列方程组为 解得

y2.52(xy)6

28、（1）证明：∵EF∥CD AB∥CD

∴ EF∥AB(如果两条直线都与第三条直线平行，那么着两条直线也互相平行) ∴∠EFB=∠ABC 又∵AB⊥BC

∴∠ABC=∠EFB=90° ∴EF⊥BC

（2） 解：设经过t秒GH最短

∵当GH⊥BC时，GH最短（垂线段最短）

∴此时四边形ABHG为长方形 ∴AG=BH ∴t=10-1.5t t=4

∴出发4s后GH最短

（3） 解：由上一问可知，当GH最短时，ABHG为长方形，此时AG=4 ∵EFHG与ABCD重合的面积为30 又∵长方形的宽为6cm

∴此时重合的长方形的长为：30÷6=5cm

∴说明长方形EFHG以2cm/s的速度又前进：5-4=1cm ∴t=1÷2=0.5s

学业测试——期末复习

第十三章 二元一次方程组 第一部分：知识点突破

一、知识结构图：

二、本章知识点

1、二元一次方程的概念：含有 个未知数，并且含有 的次数都是1.

2、二元一次方程组的概念：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意：二元一次方程（组）未知数不能出现在分母中，必须是整式方程。 3、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值。 4、二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的 。 注意：①二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而并不是一个数值

②一般情况下，一个二元一次方程有无数个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件（例如，求整数解），那么就是有限个解。

5、代入消元法：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含 的式子表示出来，再 另一个方程，实现 ，进而求得这个二元一次方程组的解。

适用范围：方程组的两个方程中，某一未知数的系数为1或-1时，使用此方法较为简便。 6、加减消元法：两个二元一次方程中同一一未知数的系数 或 时，把这两个方程的两边分别 或 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 适用范围：大部分采用加减消元。 7、含参的二元一次方程（组） 所谓含参的方程（组），就是关于x,y的二元一次方程（组）中某个未知数前面的系数是用字母表示的常数，通常把这个字母系数叫做参数。

注意：不要把这类方程（组）认为是三元或四元，只是字母系数暂时不知道具体的值而已，但可根据方程（组）满足的条件求出参数值。 8、方程组解的情况

3xy5

我们所解的方程组的解一般都是唯一的，但也有特殊的，例如：第二个方程是

6x2y10由第一个方程左右两侧同乘一个不为0的常数得到，这样的方程组就会有无数个解。再例如

3xy5

第二个方程不是由第一个方程两边乘以相同的数值得到的（左侧扩大3倍，右侧

6x2y7

扩大1.4倍），这样的方程组无解。 9、二元一次方程组的应用

二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

①审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 找 关系） ②考虑如何根据等量关系设元，列出方程组． （设，列） ③列出方程组并求解，得到答案．（解）

④检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（答） 10、列方程组解应用题的常见题型： ①产品配套问题：加工总量成比例 ②V顺=V静+ ；V逆=V静- ③工程问题：工作总量= ×工作时间

④增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量 原量×（1＋减少率）=减少后的量 ⑤银行利率问题：免税利息=本金× ×时间

税后利息=本金×利率×时间×（1- ）

⑥利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷ ×100% ⑦数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示 ⑧几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式 ⑨年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的

11、三元一次方程的概念：三元一次方程就是含有 未知数，并且含有的 都是1次的方程。

12、三元一次方程组的概念：含有三个 的未知数，别且每个方程中含 都是1，共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 13、三元一次方程组的解法：

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元再转化为一元，转化为我们已经熟悉的问题。

（2）三元一次方程组解题的基本步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。 ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。 三、典型例题

【考点一】二元一次方程（组）的概念

例1：下列方程中，是二元一次方程的是（ ）

1y2

A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=

x4

答案：D

分析：A.含有三个未知数，因此不是二元方程。

B．含未知数的项的次数为2次，注意：项的次数为该项中所有字母的指数和。

C．不是整式方程，因为未知数在分母中，注意：我们定义的几元几次方程是针对整式方程的定义方式，即等号左右两侧各个项都是整式。 例2：下列不是二元一次方程组的是( )

1

3x5y254x3y6xy4y4

A．x B. C.  D. 

x10y252xy4xy1xy1答案：A

分析：A中第一个方程不是整式方程。

例3：若方程mx-2y=3x+4是二元一次方程，则m满足（ ） A、m≠0 B、m≠－2 C、m≠3 D、m≠4 答案：C

分析：当m=3时，方程左右两侧的x项被消掉。

3m5n94m2n73x4y2是二元一次方程，则m值等于_______. 例4：若

n

3 7

分析：∵是二元一次方程

∴ 含x,y的项的次数都为1

答案：

∴



m12

133m5n9128

4m2n71 解得：n

13

m3 n7

例5：已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2，当k=______时，方程为一元一次方程； 当k=______时，方程为二元一次方程。

答案：k=-1时，为一元一次方程；k=1时，为二元一次方程。

∴

分析：为了保证为一次方程，必须有k210，得出k=±1。只有当k=-1时，x的二次项和一次都为0，即此时方程是关于y的一元一次方程；当k=1时，既能让x的二次项为0，又能含有两个未知数，此时是关于x,y的二元一次方程。方法总结：需要消掉哪个项就让这一项的系数为0.

【考点2】二元一次方程（组）的解

3x2y7

例1：方程组,的解是( )

4xy13

x1x3x3x1A．  B.  C.  D. 

y3y1y1y3

答案：B

分析：方程组的解是两个方程的公共解也就是使两个方程左右两边都成立的x,y的值，所以，将每个选项中的解代入到方程组中验证即可。

x2x2x2x1

例2：下列各组数中① ② ③ ④是方程4xy10的解的有

y2y1y2y6( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B

分析：将每组解代入方程中验证，①④都是方程的解。 例3：方程x3y9的正整数解是______。

x6x3

答案：y1，y2



分析：正整数解就是一组解中的x,y值都是正整数，可以通过给其中一个未知数赋值的方法求解。一般将其中一个未知数从最小的正整数取值，代入方程求另一未知数，另一未知数也是正整数就是一组符合条件的正整数解。 例4：求方程2x3y17的正整数解。

x7x4x1

答案：y1，y3，y5



先观察特殊系数的未知数，例如本题中的x，将方程变形为2x173y，说明17-3y的值一定是偶数，由于17为奇数，奇数-奇数=偶数，所以y一定为奇数，y可以从最小的正奇数1开始依次取值。 【考点3】二元一次方程组的解法

xy

例1：1，用含x的式子表示y为

32

2xy2答案：

3

yx

分析：把y当做唯一的未知数，把x当做常数，解出y。移项得1，系数化1即两侧

23

2x

2 同时乘以2得y3

x4y6①

例2：解二元一次方程组

x4y12②x9

答案：3

y4

分析：可以用四种方法求解

方法1：由①+②得2x=18；解得x=9,把x=9代入①得y=方法2：由①-②得-8y=-6； 解得y=

3

4

33

,把y=代入①得x=9 44

33

，把y=代入③得x=9 44

方法3：由①得x=6+4y③,将③代人②得6+4y+4y=12；解得y=

方法4：由②得x=12-4y④，将④代人①得，12-4y-4y=6；解得y=

33

，把y=代入④得x=9 44

y13(x2)

例3：解二元一次方程组

y42(x1)

答案：

x3

y4

分析：解有括号的方程组问题先化简，将每个方程都化简成ax+by=c的形式，在选择代入或

加减消元法解方程组。

3xy5

化简原方程组得 再用加减消元可求解。

2xy2

x3

例4：解二元一次方程组

x26

x17

答案：

60y17

y

1①4

y

1②3

分析：方程组中的方程含有分母，先去分母，利用等式性质两侧同时乘以分母的最小公倍数，将每个方程化简成ax+by=c的形式，再进行消元。

4x3y12③

化简原方程组得 ，（采用加减消元消掉y）

3x2y6④③×2得：8x+6y=24 ⑤ ④×3得：9x-6y=-18 ⑥

6

⑤＋⑥得：17x=6 x=

17

660将x=代入④得，y=

1717

6x17

∴原方程组的解为

y6017

【考点4】含参的二元一次方程（组）

x1x2

例1：若关于x,y的二元一次方程mxny6的两个解是，

y1y1则m_____,n_____

答案：m=4,n=2

x1x2

分析：∵，都是方程的解，因此这两个解都满足方程，将他们代入方程得。

y1y1

mn6①m4

 ①+②得解得

n22mn6②

xy5k

例2：若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x3y6 的解，

xy9k求k的值。 答案：k

3 4

xy5k①

分析：照常用消元的方法解关于x,y的方程组，这里采用加减消元，

xy9k② ①+②得，2x14k解得x7k 将x7k代入①得y2k。

x7k∴将 代入方程2x3y6

y2k

27k3(2k)6 解关于k的一元一次方程得k

3 4

方法总结：当方程组中的两个方程都含有参数时，照常用消元法解方程组，解用含参数的式子表示，再将方程组含参的解代入已知系数的方程中求参数。

4x3y7

例3：二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

kx(k1)y3答案：k=2 分析：∵x=y 且 4x+3y=7 ∴ 4x+3x=7 x=1

将x=1代入kx+(k-1)y=3得，k+(k-1)=3 ∴k=2

2xy4m0xy

例4：方程组，y值是x值的3倍。求m的值，并求 的值。

xy14x3y20答案：m=-1

分析：∵y=3x代入14x-3y=20 得，14x-3×3x=20 ∴解得x=4,y=12

把x=4,y=12代入2x-y-4m=0中，2×4-12-4m=0 解得 m=-1

1xy

= xy2

方法总结：当方程组中的两个方程一个含有参数一个不含参数时，通常还会给出x,y之间的关系式，将已知的关系式与不含参数的方程联立成方程组求出x,y的值，再代入含参数的方程中就可求出参数值。

2x3y13bxay5

例5：若关于x,y的二元一次方程组和同解，求a,b的值。

xy1axby1

答案：a=1,b=1

分析：由方程组解的概念可知：方程组的解是组内两个方程的公共解，这里两个方程组解相同说明这四个方程的解都相同，也就是任意两个方程的公共解都是这两个方程组的解。可以将这两个方程组中不含参数的方程组合求解。 ∵方程组解相同

2x3y13

∴ 的解就是两个方程组的解

xy1x2

解得

y3

x2bxay52b3a5将代入 得 

y3axby12a3b1a1解得

b1

ax5y15　　①

例6：甲、乙两人共同解方程组,由于甲看错了方程①中的a,得到方程组

4xby2　　②x3x5

的解为；乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为。

y1y4试计算a

2004

1

b10

2005

的值.

答案：0

分析：方程组的解一定同时满足两个方程，但当看错某个方程的系数时所解出的解一定不是原方程组的解，但却可以利用这错误的解求出原方程组中正确的系数。像甲虽然看错了第①个方程，但求出的解却一定满足第②个方程；同理乙求出的错误的解也一定满足第①个方程。

x3 ∵甲看错了方程①中的a，得出解为

y1 ∴ 4×（-3）-b(-1)=-2, b=10

x5

∵乙看错了方程②中的b，得出解为

y4

∴ 5a+5×4=15 , a=-1

∴a

2004

1b10

2005

=（-1）2004+（-

1

×10）2005=0 10

【考点5】二元一次方程组解得情况

例：根据一家商店的账目记录，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元。这个记录是否有误？如果有误，说明理由。

答案：记录有误。理由见分析。

分析：解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元。

39x21y396①

根据题意列方程组得：

52x28y518②13x7y132

化简方程组得：

13x7y129.5

因为这个方程组无解，所以记录有误。 【考点6】二元一次方程组的应用

例1：（行程问题）：甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．

分析： 设甲、乙的速度分别为x千米/时和y千米/时．

第一种情况：甲、乙两人相遇前还相距3千米．根据题意，得

3x3y303 

30(32)x230(32)y

解得：

x4



y5

第二种情况：甲、乙两人是相遇后相距3千米．根据题意，得 3x3y303



30(32)x2[30(32)y]

解得16

x3 

y17

3

答：甲、乙的速度分别为4千米/时和5千米/时； 或甲、乙的速度分别为千米/时和千米/时．

例2（工程问题）：一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

分析：由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，由此关系我们可列方程组求解．设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，根据题意，得

(48)x8y840

9x(49)y840 解得

x50



y30

答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件

例3：（年龄问题）：师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

分析：由“我像你这样大时，你才4岁”可知师傅现在的年龄等于徒弟现在的年龄加上徒弟现在的年龄减4，由“当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”可知52等于师傅现在的年龄加上师傅现在的年龄减去徒弟的年龄．由这两个关系可列方程组求解．设现在师傅x岁，徒弟y岁，根据题意，得

xyy4

52xxy 解得

x36



y20

答：现在师傅36岁，徒弟20岁．

例4：（几何问题）：有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积．

解析：设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm．

2(5x4x)2(3y2y)112

4x23y6解得

x9



y5

从而第一个长方形的面积为：5x×4x＝20x2＝1620（cm2）；

第二个长方形的面积为：3y×2y＝6y2＝150（cm2）．

答：这两个长方形的面积分别为1620cm2和150cm2．

例5（数字问题）：一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解

方

程

组

1x0

1y0

y

x

xy9x1

，得，因此，所求的两位数是14． 1x0yy247

总结：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难列出关于x的方程．一般地，与数位有关的数字问题，一般应设各个数位上的数为“未知数”，然后列多元方程组解之．

例6（利润问题）：一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

0.9xy20%yx200解方程组，解得，

0.8xy10y150

因此，此商品定价为200元．

总结：利润率是相对于进价而言的，利润的计算一般有两种方法，一是：利润=售价-进价；二是：利润=进价×利润率．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

例7（配套问题）：某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

xy120x20

，解之，得． 

50x220y1y100故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

总结：解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么一套中甲乙的数量比为a:b，要想生产出来的所有产品配套，就得满足甲乙的总数量之比也为a:b. 【考点7】三元一次方程组的解法 例1：解方程组

①4x9z17



3xy15z18②x2y3z2③



x5

答案：y2

1z

3

分析：此方程组中含有两个三元，一个二元方程，求解时可先将两个三元方程联立，消掉二

元方程中所不含的未知数。即先通过②和③消掉y，再将消元后得到二元方程与①联立消元。 解：②×2得：6x2y30z36④ ④-③得： 5x27z34

⑤

①×3+⑤得：17x85解得x5 将x5代入①得z 将x5，z

1

3

1

代入③得y2 3



x5

∴原方程组的解为y2

1z

3

2x6y3z6①



例2:解方程组3x15y7z6②

4x9y4z9③

x51答案：y

3z2

分析：三个方程都是三元的，就要分别进行两次消元，将任意两个方程联立，消掉同一个未知数，这样就会得到两个含有相同未知数的二元方程了，从而实现了从三元消元到二元的目的。

解：①×2-③得： 21y2z3④

②×2-①×3得：12y5z6⑤

1

④×5-⑤×2得：81y27解得y

3

1

把y代入④得：z2

31

把y，z2代入①得：x5

3

x5 ∴原方程组的解为

y1

3z2

例3：解方程组：

xy2①

yz3

② xz5③x5答案：

y3



z0分析：整体求值法：①+②+③得：2(xyz)4 ④-①得：z0 ④-②得：x5 ④-③得：y3

x5 ∴原方程组的解为：

y3



z0

xyz2④，

第二部分：专题突破

第一套：专题测试（A）

一、选择题（每题3分，共30分） 1、表示二元一次方程组的是（ ）

xy5,xy11,xy3,xy3,

A． B.2 C. D.2 2

y4;zx5;xy2;x2xyx

3x2y7,

2、方程组的解是（ ）

4xy13.

x1,x3,x3,x1,

A. B. C. D. y3;y1;y1;y3.x3y,

y0则x（ ） 3、设

zy4z0.

A.12 B.

11 C.12 D..

1212

axby1,x1,

4、设方程组的解是那么a,b的值分别为（ ）

a3x3by4.y1.A.2,3; B.3,2; C.2,3; D.3,2. 5、方程2xy8的正整数解的个数是（ ）

A．4 B.3 C.2 D.1

6、在等式yx2mxn中，当x2时,y5;x3时,y5.则x3时，y（ ）。

A.23 B.-13 C.-5 D.13

2x3y114m

7、关于关于x、y的方程组的解也是二元一次方程x3y7m20的解，

3x2y215m

则m的值是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.

1 2

2xy5

8、方程组，消去y后得到的方程是（ ）

3x2y8A.3x4x100 B.3x4x58

C.3x2(52x)8 D.3x4x108

yx2

9、以方程组的解为坐标的点(x,y)在平面直角坐标系中的位置是（ ）

yx1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、一台微波炉成本价是a元，销售价比成本价多22%，因库存积压按销售价的60%出售，则每台实际销售为（ ）元。

A.a(1+22%)(1+60%) B.a(1+22%)60% C.a(1+22%)(1-60%) D.a(1+22%+60%) 二、填空题（每题2分，共20分） 11、y

3111

x中，若x3,则y_______。

272

12、由11x9y60,用x表示y,得y_______，y表示x,得x_______。

x2y1,2x4y26x9y

_______。 13、如果那么

232x3y2.

14、如果2x2ab13y3a2b1610是一个二元一次方程，那么数a+b= 。 15、购面值各为20分，30分的邮票共27枚，用款6.6元。购20分邮票 枚。 16、在△ABC中，∠A－∠C=25°，∠B－∠A=10°，则∠B=________。 17、如果2xb5y2a与4x2ay24b是同类项，那么 a

x2mxy3

18、已知的解，则m=_______，n=______。 是方程组

y1xny6

19、乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组，则甲组人数比乙组多15人。设甲组原有x人，乙组原有y人，则可得方程组为 。

20、五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，

小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受 了 折优惠． 三、解答题：

21、用适当的方法解下列方程

11xy14m2n5023

（1） （2）

123n4m6xy33

4x3y7

22、二元一次方程组的解x，y的值相等，求k值．

kx(k1)y3

23、某校举办数学竞赛，有120人报名参加，竞赛结果：总平均成绩为66分，合格生平均成

绩为76分，不及格生平均成绩为52分，则这次数学竞赛中，及格的学生有多少人，不及格的学生有多少人。

24、甲乙两地相距20千米，A从甲地向乙地方向前进，同时B从乙地向甲地方向前进，两小

时后二人在途中相遇，相遇后A就返回甲地，B仍向甲地前进，A回到甲地时，B离甲地还有2千米，求A、B二人的速度。

25、三个同学去A、B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况。A超市销售额今

年比去年增加15%；B超市销售额今年比去年增加10%；两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元。根据以上信息，请你求出A、B两个超市今年“五一节” 期间的销售额.

26、在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

27、某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

28、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，A（－6，2）， B(1,2)，D(-8,-3)， CD=14. （1） 求点C的坐标；

（2）有一动点E从A出发以1个单位/s的速度，由A向B运动;同时，另一动点F从D出发以2个单位/s的速度，由D向C运动（其中一点停止运动时另一个点也随之停止运动）,设点F运动时间为t秒，当t为何值时线段EF最短；

（3）在运动过程中，是否存在某时刻使直线EF分梯形ABCD面积为3∶2，若存在，求时间t值；若不存在，说明理由

.

第28题图 备用图

第一套：答案

一、选择题：1—5 DBCAB 6—10 DCDAB

3、分析：

x3y

①y4z0

②

由②得，y=-4z③

把③代入①得 x=3(-4z) x=-12z,∴

x

z

12 4、分析：把解x1,

代入原方程组得ab1a2y1.7 解得：a3b

b37、分析：∵方程组2x3y114m

的解满足x3y

3x2y215m7m20

∴这三个方程有公共解，把它们联立

2x3y∴114mx3

3x2y215m 解三元一次方程组得

y1 x3y7m20

m2二、11、4 12、

11x69,9y611 13、2 14、1 15、15 16、75°18、1 4

分析：将x2mxy3

1代入方程组ny6

中进行求解． y

x19、1yx21 20、6.5



x3y1523y15、分析：解：设20分的邮票x张，30分的邮票y张。

根据题意列方程组得xy27 解得：0.2x0.3y6.6x15

y12 ∴20分的有15张，30分的有12张。 20、解：设用贵宾卡打后的价格是原来的x倍。

根据题意列方程为：10000×80%-10000×80%x=2800 X=0.65=65% 答：打了六五折。

三、解答题：

、14

5

17

14

3xm11

21、（1） （2） 4

12y1y11

22、解：由题意可知x=y，

∴4x+3y=7可化为4x+3x=7， ∴x=1，y=1．

将x=1，y=•1•代入kx+（k－1）y=3中 得k+k－1=3， ∴k=2

分析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值． 23、及格的70人，不及格的50人

24、A的速度5.5千米/时，B的速度是4.5千米/时

25、解: 设去年A超市销售额为x万元，B 超市销售额为y万元，

xy150,

由题意得

115%x110%y170,

x100,解得

y50.

100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.

答：A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元， 26、分析：设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

xy40x803xy120

，整理，得，解得， 

xy120y40xy120

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

注意：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在： “相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

27、解：（1）全部直接销售获利为：100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工， y天进行粗加工.

xy15,

由题意，得

6x16y140.

x10,

解得，

y5.

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

28、 （1）C（6，-3）

（2）当线段EF最短时，此时EF⊥CD，因为垂线段最短

且D点的横坐标比A点的横坐标小2，过点A做AH⊥CD，垂足为H ∴DF-AE=2 ∴ 2t-t=2 t=2 (3)存在

① 当SADFE:SEFCB=3:2时

由于这两个梯形等高，因此面积的比就等于上下底之和的比 （t+2t）：(7-t+14-2t)=3:2 t=4.2 ② 当SADFE:SEFCB=2:3时 （t+2t）:(7-t+14-2t)=2:3 t=2.8

∴ 当t=4.2或2.8时EF分梯形面积为3:2

第二套：专题测试（B）

一、选择题：（每题3分，共30分） 1、方程2x3y5，xy3，x

（ ）个。

A.1 B.2 C.3 D.4 2、方程2x+y=9在正整数范围内的解有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.;4个 3、若是5x2ym与4xnm1y2n2同类项，则m2n的值为 （ ） A．1 B．－1 C．－3 D．以上答案都不对

4、在方程(k2-4)x2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k值为（ ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．以上答案都不对．

3

3，3xy2z0，x2y6中是二元一次方程的有y

x25、若是二元一次方程组的解，则这个方程组是（ ）

y1x3y5yx32xy5x2yA． B． C． D．

2xy5y2x5xy1x3y16、在方程2(xy)3(yx)3中，用含x的代数式表示y，则 （ ） A．y5x3 B．yx3 C．y5x3 D．y5x3 7、已知x3k，yk2，则y与x的关系是（ ）

A．xy5 B．xy1 C．xy1 D．yx1 8、下列说法正确的是（ ）

A．二元一次方程只有一个解 B．二元一次方程组有无数个解 C．二元一次方程组的解必是它所含的每个二元一次方程的解 D．三元一次方程组一定由三个三元一次方程组成

3x5y69、若方程组 的解也是方程3xky10的解，则k的值是（ ）

6x15y16

1

10

10、某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，•则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）

A.k=6 B.k=10 C.k=9 D.k＝

xy246xy246xy216A．B.C.

2yx22xy2y2x2二、填空题：（每题2分，共20分）

xy246

D.

2yx2

11、在x+3y=3中，若用x表示y，则y= ，用y表示x，则x= ； 12、若(a2-1)x2+(a-1)x+(2a-3)y =0是二元一次方程，则a的值为 ；

13、方程2x+y=5的正整数解是______；

x1ax2yb14、若y1是方程组的解，则ab ； 4xy2a115、若（x—y）2+|5x—7y-2|=0，则x=________，y=__________ ；

3x4y6x5y

1的解是___________； 16、方程组23

x1

17、若是关于x,y的方程axby1的一个解，且ab3，则5a2b＝ ；

y218、已知等腰三角形周长为15，腰比底长3，则它的腰长是______,底边长为______；

19、已知点A(－y－15，－15－2x)，点B（3x，9y）关于原点对称，则x的值是______，y的值是_________；

20、现有1角，5角，1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各有 枚。 三、解答题：（21、22每题4分，23—26每题6分，27、28每题9分） 21、解下列方程组：

121

11x9y12xy

（1）5 （2） 35

4x3y50.5x0.3y0.2

x2ym

22、若关于x、y的二元一次方程组的解x与y的差是7，求m的值。

3x5ym1

23、同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。 （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

24、如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式(其中每个代数式都表示一个数)，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等． (1)求x,y的值； x 3 4 (2)在备用图中完成此方阵图． –2 y a

b 2y–x c

4 3

–2

(备用图) 25、某服装专卖店老板对第一季度男、女服装的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（如图）．由于三月份开展促销活动，男、女服装的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女服装的销售总收入为20万元．

（1）一月份销售收入为 万元，二月份销售收入为 万元，三月份销售收入为 万元；

（2）二月份男、女服装的销售收入分别是多少万元？

26、奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠。小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱。

27、已知：如图所示，在△ABO中，∠AOB=90°，AO=6cm,BO=8cm,AB=10cm。且两直角边落在平面直角坐标系的坐标轴上.

（1）如果点P从A点开始向O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始向B以2cm/s的速度移动。P,Q分别从A,O同时出发，那么几秒后，△POQ为等腰三角形？

（2）若P,Q分别从A,O出发在三角形的边上运动，若P点运动的速度是xcm/s,Q点运动的速度是ycm/s，且y>x.当P,Q同向逆时针运动时9s钟后相遇，当P,Q相向运动时，2s钟相遇。求P,Q的速度。

28、如图所示，长方形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=6cm,BC=10cm,点E为射线AD上一点，过E作EF∥CD。 （1）求证EF⊥BC.

（2）有一动点G从A出发以1cm/s的速度，由A向D运动;同时，另一动点H从C出发以

1.5cm/s的速度由C向B运动（其中一点停止运动时另一个点也随之停止运动）请问：出发后何时线段GH最短。

（3）已知AE=FB =2 cm，当线段GH最短时，新四边形EFHG开始在直线BC上以2cm/s的速度整体平移。问：新四边形EFHG经过多长时间与长方形ABCD重叠部分面积为30cm2?

第二套：答案 一、选择题：1-5 ADBCC 6-10 AACBB

1

、分析：只有第一个是二元一次方程，第二个是二元二次方程，第三个不是整式方程，第四个是三元一次方程，第五个是二元二次方程。

2、分析：为了取方程的正整数解，y应该取正奇数，∴当y=1时，x=4;当y=3时，x=3;当y=5

x4x3x2x1

时，x=2;当y=7时，x=1.所以正整数解为，，，四个。

y1y5y5y73、分析：同类项：含有相同字母，相同字母的指数也相同的项。

nm12m0

∴ 解得： ∴m2n0211

m2n2n1

4、分析：∵方程为二元一次方程。∴最高次数只能为1次，2次项要消掉

∴二次项系数为0，即k240解得：k2。验证:k=±2时，x的一次项和y的一

次项系数都不为0，因此两个值都满足条件。注意一定要检验，使一次项系数为0的值要舍掉。

8、主要容易进入误区的是D选项，三元一次方程组不一定三个方程都是三元一次方程，可能含有二元一次方程。

x

9、方程组的解为

y

2

3

，将解代入含k的方程中解得k=10. 45

二、填空题：

3x

,x33y 11、y3

12、a=-1

分析：∵方程为二元一次方程

∴二次项系数为0，即a210 解得 a=±1

又∵二元∴x，y的一次项系数≠0，即a-1≠0,2a-3≠0 ∴ a≠1, ∴ a=-1

x2x113、，

y1y314、a+b=4.

x1ab2a3分析：把代入方程组得 解得 ∴a+b=3+1=4

y12a15b115、-1，-1

分析：由非负数的和为0，得出每个非负数都为0.

xy0x1

∴ 解得

5x7y20y1

3x4yx12

16、将连等的方程转化成方程组得： 解得：

6x5yy1

317、-43

2

9 13

x1a7

分析：将代入axby1 得a+2b=1,与a+b=-3组成方程组，解得

y2b4∴5a-2b=5×（-7）-2×4=-43

18、6,3

分析：解：设等腰三角形的腰长为x,底长为y。

2xy15x6

根据题意列方程组 解得

xy3y3

19、x=6,y=3

分析：∵A与B关于原点对称

∴这两个点的横纵坐标互为相反数

3xy15x6

得方程组 解得 

9y152xy320、5,7,1

分析:解：设1角有x枚，5角有y枚，1元有z枚。

①xyz15

根据题意列方程组：

0.1x0.5yz7②

①-②×10得：4y+9z=55

∵x,y,z都是正整数，就转变成求4y+9z=55的正整数解

Z为正奇数，当z=3时，y=7,代入①得x=5只有这一组正整数解

x5

方程组的解为y7

z3

14xx317

21、（1） （2）7

12yy317

x2ym

22、∵方程的解满足x-y=7 ∴x=y+7

3x5ym1

(y7)2ym73ym

把x=y+7代入到方程组得，整理得

3(y7)5ym18y22m

x4



解得y3

m2 ∴m=-2

23、解：（1）解法一：设书包的单价为x元，则随身听的单价为(元 4x8) 根据题意，得4 x8x452 解这个方程，得 x 92 4 x84928360

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。 解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元

52xy4

根据题意，得

y4x8

x92

解这个方程组，得

y360

答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。

（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金： 4（元） 5280%361.6 因为3，所以可以选择超市A购买。 61.6400

在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金： 3（元） 602362 因为3，所以也可以选择在超市B购买。 62400 因为3，所以在超市A购买更省钱。 62361.6

x134x3(2)2yx24、（1）根据题意列方程组得 解得

y234xxy2yx

（2）

25、（1）一月5万元,二月6万元,三月9万元。

（2）解：设二月份男装销售收入为x万元，女装销售收入为y万元。

x3.5xy6

根据题意列方程组为解得

y2.5(140%)x(164%)y9 答：二月份男装收入3.5万元，女装收入2.5万元。

26、（1）解：设每本笔记本x元，每支钢笔y元

x144x2y86 根据题意列方程组 解得

y153xy57

答：每本笔记本14元，每支钢笔15元

（2）当买的支数不超过10时，就按每支15元收费；买的支数超过10时，每支钢笔12元（8折价），但10支还是原价。

∴设买奖品a个（a>10）

买a本笔记本花：14a元

买a支钢笔花：12(a-10)+15×10=（12a+30）元 ①当两者相同时有 14a=12a+30 a=15

②当1015时， 买钢笔省钱。 27、（1）设经过t秒钟。 OP=OQ 6-t=2t

t=2

(2)同向运动时属于追及问题，相遇时快的比慢的多走了OB+AB 相向时属相遇问题，两个点的路程和等于OA

x0.59(yx)18

列方程组为 解得

y2.52(xy)6

28、（1）证明：∵EF∥CD AB∥CD

∴ EF∥AB(如果两条直线都与第三条直线平行，那么着两条直线也互相平行) ∴∠EFB=∠ABC 又∵AB⊥BC

∴∠ABC=∠EFB=90° ∴EF⊥BC

（2） 解：设经过t秒GH最短

∵当GH⊥BC时，GH最短（垂线段最短）

∴此时四边形ABHG为长方形 ∴AG=BH ∴t=10-1.5t t=4

∴出发4s后GH最短

（3） 解：由上一问可知，当GH最短时，ABHG为长方形，此时AG=4 ∵EFHG与ABCD重合的面积为30 又∵长方形的宽为6cm

∴此时重合的长方形的长为：30÷6=5cm

∴说明长方形EFHG以2cm/s的速度又前进：5-4=1cm ∴t=1÷2=0.5s