中考中的“因式分解”题考点例析
因式分解是中考命题中很重要的一个考点，单独命题的题型多见填空题、选择题，也经常与方程、函数、化简求值、分式运算、根式运算等知识电结合进行综合考察．
因此，复习这一部分应从定义、方法、和一般步骤三个方面入手，在正确理解其定义、方法、和一般步骤的基础上应当明确运用公式法分解因式的思路：当多项式只有两项，各项指数都是2的倍数，且两项系数异号时，可考虑用平方差公式加以分解；若多项式为三项时，可考虑用完全平方式加以分解；若四项以上多项式，可考虑分组分解．
分解因式时，常见的思维误区有：
1、 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． 2、 提取公因时，如有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉． 3、 结果不彻底，如保留中括号形式等．
利用因式分解巧妙地简化计算或求值，解方程，解实际应用问题，解决整数论等问题：
因式分解的基本要求
1、结果一定是几个因式积的形式； 2、分解后的每一个因式都是整式；
3、如果没有特殊说明，分解的结果中，各个因式必须分解到有理数范围内不能再分解为止． 考点一：提公因式法
这类题目主要考查公因式是单项式、多项式以及能否运用提公因式法分解因式。解此类题目的关键在于找准公因式（公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，可以是字母，也可以是数字系数）以及利用乘法分配律分离公因式并提出公因式。
例1、(2004年长沙) 分解因式：xy2－x2y = . 解：xy2－x2y=xy(y－x).
例2、(2004年西宁) 分解因式：2x(a－2) + 3y(2－a) = .
解：2x(a－2) + 3y(2－a)= 2x(a－2) －3y(a－2)= (a－2)(2x －3y). 例3、(2004年安徽) 下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） （A ）x2－y （B ）x2+2x （C ）x2 + y2 （D ）x2－xy + y2 解：由公因式的定义可知 x2+2x中有公因式x ，故选B. 考点二：运用公式法
因式分解的公式主要包括：平方差公式、和（差）的完全平方公式。这类题目主要考查学生对因式分解中的公式的正确理解与掌握。解此类题目的关键是正确理解公式的结构特征与公式中字母的含义（可以是数字，也可以是字母，可以是单项式，也可以是多项式）。
例4、（2004年陕西）分解因式：x3y2 － 4x = . 解： x3y2 － 4x =x(x2y2 － 4)= x(xy +2)(xy －2). 例5、（2004年广西桂林）分解因式：a3 + 2a2 + a= . 解：a3 + 2a2 + a=a(a2 + 2a + 1)= a(a + 1)2. 考点三：分组分解法
这类题目是中考中因式分解的热点题，从某种意义上说，分组分解法可以看成是前两种方法的综合，主要考查学生对分组分解法中的二种分组及x2+(p +q) x + p q型式子的因式分解的正确选用。解此类题目的关键是对多项式的正确分组。
例6、( 2004年哈尔滨) 分解因式：a2－2ab+b2－c2= . 分析：这是一道分组后能直接运用公式的因式分解题。
解：原式=(a2－2ab+b2)－c2=(a－b)2－c2=(a－b + c)(a－b －c)
* 例7、（2004年杭州）要使二次三项式x2－5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ）
（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）无数多个
分析：这是一道利用x2+(p +q) x + p q型式子的因式分解题。只要分解的两个数满足：它们的和为一次项系数－5，积为常数项p ，而和为－5的两个整数有无数个。
解：选D 。
例8、（2004年四川）下列各式中，正确的是（ ） （A ）a －(b + c)=a－b + c （B ）x2－1=(x－1)2
（C ）a2－ab +ac－bc =(a－b) (a + c) （D ）(－x)2÷x3=x (x≠0) 分析：这是一道分组后能直接提公因式的因式分解题。
解：因为a2－ab +ac－bc = a (a－b) +c (a－b) = (a－b) (a + c) ，故选C 。
* 例9、（2003年河南）如果多项式x2－axy+y2－b 能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a= ，b= .
解：这是一道开放题，因为要能用分组分解法分解因式，所以前三项必须是完全平方公式，故a 为+2或－2，而b 必须是正整数，而且还应是完全平方数，如1、4、9、……
考点4：因式分解的应用
例10、（2004年山西）已知x+y = 1,那么的值为 .
分析：这是一道运用完全平方公式求值题，要注意要先分解因式后代入求值。 解：分解因式得： ，故原式的值为.
例11、（2003年湖北黄冈）若︱m －1︱+（n －5^2）=0，则m= , n= ,此时将mx2－ny2分解因式得mx2－ny2= .
分析：这是一道因式分解与二次根式、绝对值的综合题，它包含了绝对值、平方、二次根式等非负数的性质，还包含了因式分解中的平方差公式，解题的关键是利用非负数的性质先求出m 、n 的值，代入后再分解因式。
解：由非负数性质可知：m=1,n=25,把m 、n 的值代入得：mx2－ny2= x2－25y2=(x+5y)(x－5y). 因式分解是中考命题的热点之一，下列举因式分解在中考中的常见题型，供同学们参考: 一、考查因式分解的定义
例1 （2005年茂名市）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）. A ．a (x +y ) =ax +ay B ．x 2-4x +4=x (x -4) +4
C ．10x 3-5x =5x (2x -1) D ．x 2-16+3x =(x +4)(x -4) +3x
析解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 根据定义应选C ． 二、考查因式分解的方法 1．提公因式法
例2 （2005年长沙市）因式分解ax 2y +axy 2= 解：原式axy (x +y ) ． 2．公式法
例3 （2005年重庆市）分解因式x -1＝ ． 解：原式=(x +1)(x -1) ． 三、因式分解开放题
* 例4 （2005年武汉市）请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解 ． 析解：本题具有开放性，考查了多项式的定义和因式分解的方法．如，
2
x 2+2xy +y 2-1=(x +y ) 2-1=(x +y +1)(x +y -1) ．
因式分解:
x 4-y 4=(x-y)(x+y)(x2+y2). ． x 8-y 8=(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
2
例1 （07年，上海市）分解因式：2a -2ab =． 分析：运用提取公因式法．提取公因式2a 后，不能分解了． 原式=2a（a －b ）
例2 （07年，孝感市）分解因式: 2x 2－18= . 分析：提取公因式法和运用公式法的综合运用．首先提取公因式2后，还能运用平方差公式继续分解．
2
原式=2（ x －9）=2（x+3）(x－3)
例3 （07年，南宁市）因式分解：2x +4x +2=． 分析：首先提取公因式2后，还能运用完全平方公式继续分解． 原式=2（x 2+2x+1）=2(x+1)2 例4 分解因式
（1）﹣x 3 (x－2y) －x(2y－x) ；（2）49（2m －2x ）2－9(m+x)2；（3）（a －2b ）2+6（a －2b ）+9 分析：（1）首项系数为负数，应将负号一起提出来．
原式=﹣x 3(x－2y)+x(x－2y)
=﹣x (x－2y) [ x2 －1] =﹣x (x－2y)(x+1)(x－1)
2
(2)使用平方差公式时，首先要写成[7（2m －2x ）]2－[3(m+x)]2的形式，最后要注意合并同类项． 原式=（17m －11x ）（11m －17x ） (3)把（a －2b ）看作整体． 原式=（a －2b+3）2
例5（07年，温州）给出三个多项式：
1211
x +x -1, x 2+3x +1, x 2-x , 222
请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
分析：任意选择两个，看结果能否进行因式分解，它能够培养同学们的发散性思维．分三种情况解答如下： (
12111
x +x－1)+ (x 2+3x+1)= (x 2+x 2)+ (x+3x)+ (－1+1) = x2+4x =x(x+4) 2222
1111
（2）(x 2+x－1)+ (x 2－x)= (x 2+x 2)+ (x－x) －1 = x2－1 =(x+1)(x－1)
22221111
(3) (x 2+3x+1)+ (x 2－x)= (x 2+x 2)+ (3x－x) +1= x2+2 x+1=(x+1)2
2222
一. 直接分解因式，即从整式的构成形式直接观察出第一步分解因式所用的方法，经过第一步分解后再运
用其他方法分解。
* 例1．分解因式 x 2-5x -36
解： x 2-5x -36= x 2-5x +6x 2-5x -6= (x -2)(x -3)(x +1)(x -6) 例2.
解： 3x -24= 3x -8= 3(x -2)x +2x +4 二. 间接分解型：
1. 代数式的一部分运用完全平方公式再运用平方差公式分解，分解时应注意“各项”中正、负号的变化。
3
()
(
2
(
)
2
)()
分解因式 3x -24
3
(
3
)(
2
)
* 例3： 分解因式 a -b -2b -1
22
a 2-b 2-2b -1 = a 2-b 2+2b +1 = a 2-(b +1) = (a +b +1)(a -b -1)
2
2* 例4： 分解因式 4a 2+1 -2a -9b 4
()
)-9b 2=(2a -12)-(3b )2 = (2a -12+3b )(2a -12-3b ) 4a 2+1-2a -9b 2=(4a 2-2a +1
44
2
3
2
3
2
2. 将整式分成具有（或变形后具有）公因式的组，经提取公因式整理并运用适当方法分解。在运用此种方
法时要注意分组要准确，符号变化要避免失误。 * 例5：分解因式： -2a -2a +2a +2 =-2(a +1)a 2-1 = -2(a +1)(a -1)
2
解：-2a -2a +2a +2=-2a 3+a 2-a -1=-2a 3+a 2-(a +1) = -2a 2(a +1)-(a +1)
()
()[()][]
例6： 分解因式： x +x -4x -16
4
3
43
42232222
解:x +x -4x -16 = x -4x +4x -16+x -4x = x x -4+4x -4+x x -4
= (x +2)(x -2)x +x +4
3．将整式通过恒等变形（或采用拆项、补项）后再进行分组分解。
2
(
(
)
)()()()()()
例7： 分解因式： x -4+y (y -2x )
2
2
解： x -4+y (y -2x ) =x -2xy +y -4 =(x -y )-4 =(x -y +2)(x -y -2)
2
2
()
2
例8： 分解因式： 6x -6y -9x +18xy -9y -1
22
解： 原式=-9x +18xy -9y +(6x -6y )-1 =-9x -2xy +y +6(x -y )-1 =-[3(x -y )-1]
2
2
2
2
()
()
2
= -(3x -3y -1)
对于某些整式的分解因式它的分解方法又不是唯一的，可以通过不同的思路来分解。
2
例9：分解因式： x -2x +2y -y
2
2
22
解:x -2x +2y -y =x -2x +1+2y -y -1 =(x -1)-(y -1) =
2
2
()()
22
(x +y -2)(x -y )
另解：x 2-2x +2y -y 2=x 2-y 2+(-2x +2y ) =(x +y )(x -y )-2(x -y ) =(x -y )(x +y -2) 4．从局部到整体的分解类型。 例10：分解因式： x (x +1)(x +2)(x +3)+1
解： x (x +1)(x +2)(x +3)+1 =[x (x +3)][(x +1)(x +2)]+1 =x 2+3x x 2+3x +2+1 =x 2+3x +2x 2+3x +1 =x 2+3x +1 因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，代数的恒等变形，分式的通分/约分，解方程，根式的化简，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是已直接和间接的方式出题
典例剖析：
23
例1、解方程：（x+1）(x-1)-(x-1)=(2x+1)(2x-1)
析答：先化简方程得：（x-1）[(x+1)-(x-1)]=4x-1，即4x(x-1)=4x-1,∴-4x=-1.∴x=
2
配套练习1：(x-1)(x+2)+(x+3)(x-4)+(x-1)(x+3)+(x+2)(x-4)=(2x-1) 答案：x=
2
2
2
2
()
()()
()
2
()()
2
1 4
13 2
2
⎧(x +y -79)⎪
例2：解方程组：⎨
⎪(x +y +79)⎩
-(x +y -89)-(x -y -89)
2
=336,
22
=168.
23⎧
x =⎧x +y =6, ⎪⎧336(x +y -5)=336, 4, ⎪⎪
析答：由平方差公式，得⎨ ⇒⎨⇒1⎨
()336x -y -5=168. x -y =5⎩⎪⎪y =1. 2⎩⎪4⎩
配套练习2：正方形甲的周长比正方形乙的周长长96cm ，它们的面积相差为960cm ，求这两个正方
形的边长．
答案：正方形甲的边长为32 cm，正方形乙的边长为8cm.
例3、如图，水压机有4根钢管立柱，每根的高h 都是18 米，外径D 为1米，内径d 为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨，求4根立柱的总重量（π取3.14，结果保留两个有效数字）
析答：易知，R=
2
2
11
D=0.5米，r=d=0.2米， 22
2
∴W=π（0.5-0.2）×18×7.8×4=π⨯0. 7⨯0. 3⨯18⨯7. 8⨯4≈3. 7⨯10
2
答：4根立柱的总重量为3.7×10吨．
配套练习3：在一块边长为am 的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为b （b ＜部分的面积，并利用因式分解计算，当a=1.8m,b=0.6m时剩余部分的面积．
2
答案：其余部分的面积为1.8m .
例4、利用因式分解计算：
2
a
）m 的正方形，求其余2
1812-612
（1）1.99-2.99；（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5（3）
3012-1812
2
2
2
2
（4）1297的5%，减去897的5%，差是多少？ 精析：（1）（3）先用平方差公式分解后再计算，（2）先提取公因式80，再用完全平方公式；（4）先提取公因式5%．
22
解：（1）1.99-2.99 =（1.99+2.99）-（1.99-2.99）=4.98×（-1）=-4.98
22222
（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5 =80×（3.5+2×3.5×1.5+1.5） =80×（3.5+1.5） =2000
186+61）（186-61）242⨯1201211812-612（
（3）===
3012-1812（301+108）（301-108）482⨯120241
（4）1297×5%-897×5%=（1297-897）×5%=400×5%=20．
解后反思：化零为整是计算的技巧之一，要认真掌握．
配套练习4：（1） 869的36%，加上869的54%，和是多少？
22222
（2）计算：100-99+98-97+„„+2-1 答案： （1）782.1；（2）5050
222
例5、已知a 、b 、c 为三角形三边，且满足a +b+c-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形． 精析：联系完全平方公式中各项特征．
222222
解：∵a +b+c-ab-bc-ac=0，∴2（a +b+c-ab-bc-ac ）=0，
222222222
∴a +b-2ab+b+c-2bc+a+c-2ac=0，∴（a-b ）+(b-c)+(a-c)=0,
222
又因为（a-b ）≥0，(b-c)≥0，(a-c) ≥0， 所以 a-b=0，b-c=0，a-c=0，所以a=b=c 所以此三角形为等边三角形．
规律探究：本题是一道因式分解与三角形综合的探索性题目，解题关键在于恰当分组后，应用非负数的性质使问题得到解决．
配套练习5：（1）已知：a +b-a+4b+4
（2）已知a+b=2,ab=-
2
2
1
=0，求a 、b 的值． 4
12222
, 求a +b, a-ab+b的值． 2
112222
答案：（1）a=，b=-2；（2）a +b=5，a -ab+b=5
22
例1 分解因式：x 2－2x －3． 解：原式=（x －3）(x+1) 变式1：
分解因式：3+2x－x 2
分析：提取公因式“﹣1”，将原式3+2x－x 2转化为﹣（x 2－2x －3）． 解：原式=﹣（x 2－2x －3）=﹣（x －3）(x+1) 变式2：
分解因式：x(x－2) －3．
变式训练：
分析：若把x(x－2) 展开，原式便可以转化为几个单项式的和的形式． 解题过程略． 变式3： 分解因式：（a+b）2－2(a+b)－3．
分析：把a+b看成整体，设a+b=x，则原式可转化为x 2－2x －3的形式． 解：原式=（a+b－3）(a+b+1) 变式4：
分解因式：x 4－2x 2－3． 解：原式=（x 2－3）(x2+1) 变式5：
分解因式：x 2－2xy －3y 2． 解：原式= (x－3y)(x+y) 变式6：
分解因式：(x+2)( x+3)－7x －9
分析：先展开并合并同类项，将原式化成几个单项式的和的形式，再考虑解决的办法． 解：原式= x2+5x+6－7x －9= x2－2x －3=（x －3）(x+1) 变式7：
分解因式：3x 3yz －6x 2yz －9xyz ．
分析：先提取公因式，再考虑用公式．
解：原式=3xyz( x2－2x －3)= 3xyz（x －3）(x+1) 变式8： 分解因式：（3a －4b ）(7a－8b)+(4a－4b) (7a－8b) －14a+16b－3.
分析：注意到前两项可以提取公因式7a －8b ，将7a －8b 看作整体，所以，可以采取分组分解的方法． 解：原式=[(3a－4b)(7a－8b)+(4a－4b) (7a－8b)]+ (－14a+16b) －3. =(7a－8b) (3a－4b+4a－4b) －2(7a－8b) －3 =(7a－8b) 2－2(7a－8b) －3 =(7a－8b －3) (7a－8b+1) 变式9：
分解因式：4x 2－12xy+9 y2－4 x +6y－3
解：原式=(4x2－12xy+9 y2) －(4 x －6y) －3 =(2x－3y) 2－2(2x－3y) －3 ==(2x－3y －3) =(2x－3y+1)
中考中的“因式分解”题考点例析
因式分解是中考命题中很重要的一个考点，单独命题的题型多见填空题、选择题，也经常与方程、函数、化简求值、分式运算、根式运算等知识电结合进行综合考察．
因此，复习这一部分应从定义、方法、和一般步骤三个方面入手，在正确理解其定义、方法、和一般步骤的基础上应当明确运用公式法分解因式的思路：当多项式只有两项，各项指数都是2的倍数，且两项系数异号时，可考虑用平方差公式加以分解；若多项式为三项时，可考虑用完全平方式加以分解；若四项以上多项式，可考虑分组分解．
分解因式时，常见的思维误区有：
1、 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． 2、 提取公因时，如有一项被全部提出，括号内的项“1”易漏掉． 3、 结果不彻底，如保留中括号形式等．
利用因式分解巧妙地简化计算或求值，解方程，解实际应用问题，解决整数论等问题：
因式分解的基本要求
1、结果一定是几个因式积的形式； 2、分解后的每一个因式都是整式；
3、如果没有特殊说明，分解的结果中，各个因式必须分解到有理数范围内不能再分解为止． 考点一：提公因式法
这类题目主要考查公因式是单项式、多项式以及能否运用提公因式法分解因式。解此类题目的关键在于找准公因式（公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式，可以是字母，也可以是数字系数）以及利用乘法分配律分离公因式并提出公因式。
例1、(2004年长沙) 分解因式：xy2－x2y = . 解：xy2－x2y=xy(y－x).
例2、(2004年西宁) 分解因式：2x(a－2) + 3y(2－a) = .
解：2x(a－2) + 3y(2－a)= 2x(a－2) －3y(a－2)= (a－2)(2x －3y). 例3、(2004年安徽) 下列各式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） （A ）x2－y （B ）x2+2x （C ）x2 + y2 （D ）x2－xy + y2 解：由公因式的定义可知 x2+2x中有公因式x ，故选B. 考点二：运用公式法
因式分解的公式主要包括：平方差公式、和（差）的完全平方公式。这类题目主要考查学生对因式分解中的公式的正确理解与掌握。解此类题目的关键是正确理解公式的结构特征与公式中字母的含义（可以是数字，也可以是字母，可以是单项式，也可以是多项式）。
例4、（2004年陕西）分解因式：x3y2 － 4x = . 解： x3y2 － 4x =x(x2y2 － 4)= x(xy +2)(xy －2). 例5、（2004年广西桂林）分解因式：a3 + 2a2 + a= . 解：a3 + 2a2 + a=a(a2 + 2a + 1)= a(a + 1)2. 考点三：分组分解法
这类题目是中考中因式分解的热点题，从某种意义上说，分组分解法可以看成是前两种方法的综合，主要考查学生对分组分解法中的二种分组及x2+(p +q) x + p q型式子的因式分解的正确选用。解此类题目的关键是对多项式的正确分组。
例6、( 2004年哈尔滨) 分解因式：a2－2ab+b2－c2= . 分析：这是一道分组后能直接运用公式的因式分解题。
解：原式=(a2－2ab+b2)－c2=(a－b)2－c2=(a－b + c)(a－b －c)
* 例7、（2004年杭州）要使二次三项式x2－5x+p在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ）
（A ）2个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）无数多个
分析：这是一道利用x2+(p +q) x + p q型式子的因式分解题。只要分解的两个数满足：它们的和为一次项系数－5，积为常数项p ，而和为－5的两个整数有无数个。
解：选D 。
例8、（2004年四川）下列各式中，正确的是（ ） （A ）a －(b + c)=a－b + c （B ）x2－1=(x－1)2
（C ）a2－ab +ac－bc =(a－b) (a + c) （D ）(－x)2÷x3=x (x≠0) 分析：这是一道分组后能直接提公因式的因式分解题。
解：因为a2－ab +ac－bc = a (a－b) +c (a－b) = (a－b) (a + c) ，故选C 。
* 例9、（2003年河南）如果多项式x2－axy+y2－b 能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a= ，b= .
解：这是一道开放题，因为要能用分组分解法分解因式，所以前三项必须是完全平方公式，故a 为+2或－2，而b 必须是正整数，而且还应是完全平方数，如1、4、9、……
考点4：因式分解的应用
例10、（2004年山西）已知x+y = 1,那么的值为 .
分析：这是一道运用完全平方公式求值题，要注意要先分解因式后代入求值。 解：分解因式得： ，故原式的值为.
例11、（2003年湖北黄冈）若︱m －1︱+（n －5^2）=0，则m= , n= ,此时将mx2－ny2分解因式得mx2－ny2= .
分析：这是一道因式分解与二次根式、绝对值的综合题，它包含了绝对值、平方、二次根式等非负数的性质，还包含了因式分解中的平方差公式，解题的关键是利用非负数的性质先求出m 、n 的值，代入后再分解因式。
解：由非负数性质可知：m=1,n=25,把m 、n 的值代入得：mx2－ny2= x2－25y2=(x+5y)(x－5y). 因式分解是中考命题的热点之一，下列举因式分解在中考中的常见题型，供同学们参考: 一、考查因式分解的定义
例1 （2005年茂名市）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）. A ．a (x +y ) =ax +ay B ．x 2-4x +4=x (x -4) +4
C ．10x 3-5x =5x (2x -1) D ．x 2-16+3x =(x +4)(x -4) +3x
析解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 根据定义应选C ． 二、考查因式分解的方法 1．提公因式法
例2 （2005年长沙市）因式分解ax 2y +axy 2= 解：原式axy (x +y ) ． 2．公式法
例3 （2005年重庆市）分解因式x -1＝ ． 解：原式=(x +1)(x -1) ． 三、因式分解开放题
* 例4 （2005年武汉市）请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解 ． 析解：本题具有开放性，考查了多项式的定义和因式分解的方法．如，
2
x 2+2xy +y 2-1=(x +y ) 2-1=(x +y +1)(x +y -1) ．
因式分解:
x 4-y 4=(x-y)(x+y)(x2+y2). ． x 8-y 8=(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
2
例1 （07年，上海市）分解因式：2a -2ab =． 分析：运用提取公因式法．提取公因式2a 后，不能分解了． 原式=2a（a －b ）
例2 （07年，孝感市）分解因式: 2x 2－18= . 分析：提取公因式法和运用公式法的综合运用．首先提取公因式2后，还能运用平方差公式继续分解．
2
原式=2（ x －9）=2（x+3）(x－3)
例3 （07年，南宁市）因式分解：2x +4x +2=． 分析：首先提取公因式2后，还能运用完全平方公式继续分解． 原式=2（x 2+2x+1）=2(x+1)2 例4 分解因式
（1）﹣x 3 (x－2y) －x(2y－x) ；（2）49（2m －2x ）2－9(m+x)2；（3）（a －2b ）2+6（a －2b ）+9 分析：（1）首项系数为负数，应将负号一起提出来．
原式=﹣x 3(x－2y)+x(x－2y)
=﹣x (x－2y) [ x2 －1] =﹣x (x－2y)(x+1)(x－1)
2
(2)使用平方差公式时，首先要写成[7（2m －2x ）]2－[3(m+x)]2的形式，最后要注意合并同类项． 原式=（17m －11x ）（11m －17x ） (3)把（a －2b ）看作整体． 原式=（a －2b+3）2
例5（07年，温州）给出三个多项式：
1211
x +x -1, x 2+3x +1, x 2-x , 222
请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．
分析：任意选择两个，看结果能否进行因式分解，它能够培养同学们的发散性思维．分三种情况解答如下： (
12111
x +x－1)+ (x 2+3x+1)= (x 2+x 2)+ (x+3x)+ (－1+1) = x2+4x =x(x+4) 2222
1111
（2）(x 2+x－1)+ (x 2－x)= (x 2+x 2)+ (x－x) －1 = x2－1 =(x+1)(x－1)
22221111
(3) (x 2+3x+1)+ (x 2－x)= (x 2+x 2)+ (3x－x) +1= x2+2 x+1=(x+1)2
2222
一. 直接分解因式，即从整式的构成形式直接观察出第一步分解因式所用的方法，经过第一步分解后再运
用其他方法分解。
* 例1．分解因式 x 2-5x -36
解： x 2-5x -36= x 2-5x +6x 2-5x -6= (x -2)(x -3)(x +1)(x -6) 例2.
解： 3x -24= 3x -8= 3(x -2)x +2x +4 二. 间接分解型：
1. 代数式的一部分运用完全平方公式再运用平方差公式分解，分解时应注意“各项”中正、负号的变化。
3
()
(
2
(
)
2
)()
分解因式 3x -24
3
(
3
)(
2
)
* 例3： 分解因式 a -b -2b -1
22
a 2-b 2-2b -1 = a 2-b 2+2b +1 = a 2-(b +1) = (a +b +1)(a -b -1)
2
2* 例4： 分解因式 4a 2+1 -2a -9b 4
()
)-9b 2=(2a -12)-(3b )2 = (2a -12+3b )(2a -12-3b ) 4a 2+1-2a -9b 2=(4a 2-2a +1
44
2
3
2
3
2
2. 将整式分成具有（或变形后具有）公因式的组，经提取公因式整理并运用适当方法分解。在运用此种方
法时要注意分组要准确，符号变化要避免失误。 * 例5：分解因式： -2a -2a +2a +2 =-2(a +1)a 2-1 = -2(a +1)(a -1)
2
解：-2a -2a +2a +2=-2a 3+a 2-a -1=-2a 3+a 2-(a +1) = -2a 2(a +1)-(a +1)
()
()[()][]
例6： 分解因式： x +x -4x -16
4
3
43
42232222
解:x +x -4x -16 = x -4x +4x -16+x -4x = x x -4+4x -4+x x -4
= (x +2)(x -2)x +x +4
3．将整式通过恒等变形（或采用拆项、补项）后再进行分组分解。
2
(
(
)
)()()()()()
例7： 分解因式： x -4+y (y -2x )
2
2
解： x -4+y (y -2x ) =x -2xy +y -4 =(x -y )-4 =(x -y +2)(x -y -2)
2
2
()
2
例8： 分解因式： 6x -6y -9x +18xy -9y -1
22
解： 原式=-9x +18xy -9y +(6x -6y )-1 =-9x -2xy +y +6(x -y )-1 =-[3(x -y )-1]
2
2
2
2
()
()
2
= -(3x -3y -1)
对于某些整式的分解因式它的分解方法又不是唯一的，可以通过不同的思路来分解。
2
例9：分解因式： x -2x +2y -y
2
2
22
解:x -2x +2y -y =x -2x +1+2y -y -1 =(x -1)-(y -1) =
2
2
()()
22
(x +y -2)(x -y )
另解：x 2-2x +2y -y 2=x 2-y 2+(-2x +2y ) =(x +y )(x -y )-2(x -y ) =(x -y )(x +y -2) 4．从局部到整体的分解类型。 例10：分解因式： x (x +1)(x +2)(x +3)+1
解： x (x +1)(x +2)(x +3)+1 =[x (x +3)][(x +1)(x +2)]+1 =x 2+3x x 2+3x +2+1 =x 2+3x +2x 2+3x +1 =x 2+3x +1 因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，代数的恒等变形，分式的通分/约分，解方程，根式的化简，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是已直接和间接的方式出题
典例剖析：
23
例1、解方程：（x+1）(x-1)-(x-1)=(2x+1)(2x-1)
析答：先化简方程得：（x-1）[(x+1)-(x-1)]=4x-1，即4x(x-1)=4x-1,∴-4x=-1.∴x=
2
配套练习1：(x-1)(x+2)+(x+3)(x-4)+(x-1)(x+3)+(x+2)(x-4)=(2x-1) 答案：x=
2
2
2
2
()
()()
()
2
()()
2
1 4
13 2
2
⎧(x +y -79)⎪
例2：解方程组：⎨
⎪(x +y +79)⎩
-(x +y -89)-(x -y -89)
2
=336,
22
=168.
23⎧
x =⎧x +y =6, ⎪⎧336(x +y -5)=336, 4, ⎪⎪
析答：由平方差公式，得⎨ ⇒⎨⇒1⎨
()336x -y -5=168. x -y =5⎩⎪⎪y =1. 2⎩⎪4⎩
配套练习2：正方形甲的周长比正方形乙的周长长96cm ，它们的面积相差为960cm ，求这两个正方
形的边长．
答案：正方形甲的边长为32 cm，正方形乙的边长为8cm.
例3、如图，水压机有4根钢管立柱，每根的高h 都是18 米，外径D 为1米，内径d 为0.4米，每立方米钢的重量为7.8吨，求4根立柱的总重量（π取3.14，结果保留两个有效数字）
析答：易知，R=
2
2
11
D=0.5米，r=d=0.2米， 22
2
∴W=π（0.5-0.2）×18×7.8×4=π⨯0. 7⨯0. 3⨯18⨯7. 8⨯4≈3. 7⨯10
2
答：4根立柱的总重量为3.7×10吨．
配套练习3：在一块边长为am 的正方形铁皮的四角，各剪去一个边长为b （b ＜部分的面积，并利用因式分解计算，当a=1.8m,b=0.6m时剩余部分的面积．
2
答案：其余部分的面积为1.8m .
例4、利用因式分解计算：
2
a
）m 的正方形，求其余2
1812-612
（1）1.99-2.99；（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5（3）
3012-1812
2
2
2
2
（4）1297的5%，减去897的5%，差是多少？ 精析：（1）（3）先用平方差公式分解后再计算，（2）先提取公因式80，再用完全平方公式；（4）先提取公因式5%．
22
解：（1）1.99-2.99 =（1.99+2.99）-（1.99-2.99）=4.98×（-1）=-4.98
22222
（2）80×3.5+160×3.5×1.5+80×1.5 =80×（3.5+2×3.5×1.5+1.5） =80×（3.5+1.5） =2000
186+61）（186-61）242⨯1201211812-612（
（3）===
3012-1812（301+108）（301-108）482⨯120241
（4）1297×5%-897×5%=（1297-897）×5%=400×5%=20．
解后反思：化零为整是计算的技巧之一，要认真掌握．
配套练习4：（1） 869的36%，加上869的54%，和是多少？
22222
（2）计算：100-99+98-97+„„+2-1 答案： （1）782.1；（2）5050
222
例5、已知a 、b 、c 为三角形三边，且满足a +b+c-ab-bc-ac=0 ，试说明该三角形是等边三角形． 精析：联系完全平方公式中各项特征．
222222
解：∵a +b+c-ab-bc-ac=0，∴2（a +b+c-ab-bc-ac ）=0，
222222222
∴a +b-2ab+b+c-2bc+a+c-2ac=0，∴（a-b ）+(b-c)+(a-c)=0,
222
又因为（a-b ）≥0，(b-c)≥0，(a-c) ≥0， 所以 a-b=0，b-c=0，a-c=0，所以a=b=c 所以此三角形为等边三角形．
规律探究：本题是一道因式分解与三角形综合的探索性题目，解题关键在于恰当分组后，应用非负数的性质使问题得到解决．
配套练习5：（1）已知：a +b-a+4b+4
（2）已知a+b=2,ab=-
2
2
1
=0，求a 、b 的值． 4
12222
, 求a +b, a-ab+b的值． 2
112222
答案：（1）a=，b=-2；（2）a +b=5，a -ab+b=5
22
例1 分解因式：x 2－2x －3． 解：原式=（x －3）(x+1) 变式1：
分解因式：3+2x－x 2
分析：提取公因式“﹣1”，将原式3+2x－x 2转化为﹣（x 2－2x －3）． 解：原式=﹣（x 2－2x －3）=﹣（x －3）(x+1) 变式2：
分解因式：x(x－2) －3．
变式训练：
分析：若把x(x－2) 展开，原式便可以转化为几个单项式的和的形式． 解题过程略． 变式3： 分解因式：（a+b）2－2(a+b)－3．
分析：把a+b看成整体，设a+b=x，则原式可转化为x 2－2x －3的形式． 解：原式=（a+b－3）(a+b+1) 变式4：
分解因式：x 4－2x 2－3． 解：原式=（x 2－3）(x2+1) 变式5：
分解因式：x 2－2xy －3y 2． 解：原式= (x－3y)(x+y) 变式6：
分解因式：(x+2)( x+3)－7x －9
分析：先展开并合并同类项，将原式化成几个单项式的和的形式，再考虑解决的办法． 解：原式= x2+5x+6－7x －9= x2－2x －3=（x －3）(x+1) 变式7：
分解因式：3x 3yz －6x 2yz －9xyz ．
分析：先提取公因式，再考虑用公式．
解：原式=3xyz( x2－2x －3)= 3xyz（x －3）(x+1) 变式8： 分解因式：（3a －4b ）(7a－8b)+(4a－4b) (7a－8b) －14a+16b－3.
分析：注意到前两项可以提取公因式7a －8b ，将7a －8b 看作整体，所以，可以采取分组分解的方法． 解：原式=[(3a－4b)(7a－8b)+(4a－4b) (7a－8b)]+ (－14a+16b) －3. =(7a－8b) (3a－4b+4a－4b) －2(7a－8b) －3 =(7a－8b) 2－2(7a－8b) －3 =(7a－8b －3) (7a－8b+1) 变式9：
分解因式：4x 2－12xy+9 y2－4 x +6y－3
解：原式=(4x2－12xy+9 y2) －(4 x －6y) －3 =(2x－3y) 2－2(2x－3y) －3 ==(2x－3y －3) =(2x－3y+1)