二次函数顶点式

学生姓名：年级： 9 第次课

任课教师：石老师

课题：二次函数顶点式ya(xh)2k

知识要点：

1、二次函数的一般式是，一般式配平方为。 2．二次函数ya(xh)2k的顶点是（），对称轴是这种形式叫二次函数的顶点式。二次函数yax2bxc (a≠0)我们可以通过配方的方法求出其顶点坐标和对称轴。对称轴为x= 。

3．抛物线平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减。如：二次函数y=2（x-3）+2的图像

是由二次函数y=2x+2的图像向平移个单位，或者由二次函数y=2（x-3）的图像向平移个单位得到的。是由y=2x的图像先向平移的单位再向平移个单位得到的。

典例分析：

例1.求下列函数的顶点坐标和对称轴。

（1）y2x8x5 （2） y

例 2.根据下列条件求二次函数解析式。

（1）已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经过点（1，-3）。

（2）已知二次函数的图象经过（0，3），（4，6）两点，且对称轴为x=

5255

xx 1234

. 3

(3)抛物线y(k22)x2m4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y

例3．已知二次函数的图象与X轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2，求此函数解析式。

例4.已知抛物线y=ax+bx+c (a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别为 -1和3。与y轴的交点的纵坐标为－(1)确定抛物线的解析式。

(2)用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标。

例5.已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是M（1，16）且与X轴交于A，B两点，已知AB=8，求抛物线的解析式。

例6.已知抛物线y=ax+bx+c（a>0）的顶点为B（-1, m）并经过点A（-3,0）（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）

（2）若由点A,原点O与抛物线上一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值。

练习巩固：

1、若抛物线y(a1)xa5a6过坐标原点，则a的值为( ) A、a=2或a=-3 B、a=-2或a=3 C、a=-1或a=6 D、a=6

2．已知抛物线与y轴的交点为（0，a）,与x轴的交点为（b,0）和(-b,0),若a＞0,则函数解析式为（） A.y

222

x2上。 2

3。 2

a2a2a2a2

xayxayxayxa B. C. D.b2b2b2b2

3.抛物线y= x+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于 B，C两点，且BC=2，SABC=3，则b的值为（）

A. －5 B. －4 C .4 D. 4或－4。

4．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的解析式为（）

A. y= x+4x－3. B. y= x－4x－3. C. y= －x+4x－3. D. y= －x

－4x－3.

5.若抛物线的顶点坐标为（2，3）且点（3，1）在抛物线上，则抛物线的解析式为（）

A. y=2 x+8x－5. B. y=－2 x+8x－5. C. y=2 x－8x+5. D. y=－2 x+8x+5.

6、A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x24x3上的两点，若1x1x2，则y1与y2的大小关系是( ) A、y1＞y2

B、y1≥y2

C、y1＜y2

D、y1≤y2

7、若抛物线yax2a2的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是( ) A、a＜2

B、a＞2 C、a＞0 D、0＜a

8．已知抛物线y=ax+bx+c与x轴交点的横坐标分别为－1和3，与y轴交点的纵坐标为1，则函数解析式为______ ___. 9.若抛物线y= x+(m-3)x－2m的顶点在y轴上，则m=________. 10.若抛物线y= x+4x+m的顶点在x轴上，则m=________.

11、若抛物线ymx23x4与x轴只有一个交点，则m的值是。 12.根据下列条件求二次函数的解析式：

（1）已知当x=2时，y有最小值3，且经过点（1，5）。

（2）二次函数的图象经过点（3，8），对称轴x=2,抛物线与x轴两交点的距离为6。

13．一条抛物线y=ax+bx+c经过点（0，0）和（12，0），最高点的纵坐标为3，求这条抛物线的解析式。

14．在平面直角坐标系中，二次函数y= x+bx+c的图象与X轴的负半轴交于点A，与X 轴的正半轴交于点B，与Y轴交于点C，点C的坐标为（0，－3），且BO=CO。（1）求这个二次函数的解析式。

（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长。

15．一男生推铅球，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是二次函数y=－这位男生铅球推出的距离吗？

222

1225

xx,你能求出1233

课后作业：

1、抛物线yx22x1的顶点坐标为( ) A、(-2，1) B、(2，1) C、(1，0)

D、(0，1)

2、将抛物线y2x2先向左平移两个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( )

A、y2(x2)23 B、y2(x2)23 C、y2(x1)23 D、y2(x1)23 3、将抛物线yx24x5先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标为( ) A、(-1，2)

B、(3，-7)

C、(1，-7)

D、(3，1)

4、A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x24x3上的两点，若1x1x2，则y1与y2的大小关系是( ) A、y1＞y2

B、y1≥y2

C、y1＜y2

D、y1≤y2

5、若抛物线yax2a2的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是( ) A、a＜2

B、a＞2

C、a＞0

D、0＜a＜2

6、抛物线yax2bx与抛物线y3x2的形状相同，对称轴x2，则直线yaxb必过( ) A、一、二、三象限

B、一、二、四象限 C、二、三、四象限 D、一、三、四象限

7、在抛物线y3(x1)22中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) A、x1 B、x1 C、x2 D、x2

8.如图，P是抛物线yx上的一个动点，设P点坐标为(x，y)，已知点A的坐标为(4，0)。 (1)写出△OPA的面积S与x之间的函数关系式。

(2)在抛物线上能否找到一点Q，使OQ=QA，若能，求出Q点的坐标；若不能，说理由。

9、抛物线ya(xm1)m (m,a是不为0的常数)的顶点为A，抛物线yx2x1的顶点为B。

(1)判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？ (2)如果抛物线ya(xm1)m经过点B，求a的值。

10、抛物线yaxbxc与y轴交于点C(0，5)，与x轴的正半轴交于A、B两点(B在A的右侧)，对称轴x=3且

△ABC的面积为10。 (1)求抛物线的解析式

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

学生姓名：年级： 9 第次课

任课教师：石老师

课题：二次函数顶点式ya(xh)2k

知识要点：

3．抛物线平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减。如：二次函数y=2（x-3）+2的图像

是由二次函数y=2x+2的图像向平移个单位，或者由二次函数y=2（x-3）的图像向平移个单位得到的。是由y=2x的图像先向平移的单位再向平移个单位得到的。

典例分析：

例1.求下列函数的顶点坐标和对称轴。

（1）y2x8x5 （2） y

例 2.根据下列条件求二次函数解析式。

（1）已知二次函数的图象的顶点是（-1，2），且经过点（1，-3）。

（2）已知二次函数的图象经过（0，3），（4，6）两点，且对称轴为x=

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xx 1234

. 3

(3)抛物线y(k22)x2m4kx 的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y

例3．已知二次函数的图象与X轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2，求此函数解析式。

例4.已知抛物线y=ax+bx+c (a≠0)与x轴的两个交点的横坐标分别为 -1和3。与y轴的交点的纵坐标为－(1)确定抛物线的解析式。

(2)用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标。

例5.已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是M（1，16）且与X轴交于A，B两点，已知AB=8，求抛物线的解析式。

例6.已知抛物线y=ax+bx+c（a>0）的顶点为B（-1, m）并经过点A（-3,0）（1）求此抛物线的解析式（系数和常数项用含m的代数式表示）

（2）若由点A,原点O与抛物线上一点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求m的值。

练习巩固：

1、若抛物线y(a1)xa5a6过坐标原点，则a的值为( ) A、a=2或a=-3 B、a=-2或a=3 C、a=-1或a=6 D、a=6

2．已知抛物线与y轴的交点为（0，a）,与x轴的交点为（b,0）和(-b,0),若a＞0,则函数解析式为（） A.y

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x2上。 2

3。 2

a2a2a2a2

xayxayxayxa B. C. D.b2b2b2b2

3.抛物线y= x+bx+c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于 B，C两点，且BC=2，SABC=3，则b的值为（）

A. －5 B. －4 C .4 D. 4或－4。

4．已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的解析式为（）

A. y= x+4x－3. B. y= x－4x－3. C. y= －x+4x－3. D. y= －x

－4x－3.

5.若抛物线的顶点坐标为（2，3）且点（3，1）在抛物线上，则抛物线的解析式为（）

A. y=2 x+8x－5. B. y=－2 x+8x－5. C. y=2 x－8x+5. D. y=－2 x+8x+5.

6、A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x24x3上的两点，若1x1x2，则y1与y2的大小关系是( ) A、y1＞y2

B、y1≥y2

C、y1＜y2

D、y1≤y2

7、若抛物线yax2a2的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是( ) A、a＜2

B、a＞2 C、a＞0 D、0＜a

11、若抛物线ymx23x4与x轴只有一个交点，则m的值是。 12.根据下列条件求二次函数的解析式：

（1）已知当x=2时，y有最小值3，且经过点（1，5）。

（2）二次函数的图象经过点（3，8），对称轴x=2,抛物线与x轴两交点的距离为6。

13．一条抛物线y=ax+bx+c经过点（0，0）和（12，0），最高点的纵坐标为3，求这条抛物线的解析式。

（2）设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长。

15．一男生推铅球，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是二次函数y=－这位男生铅球推出的距离吗？

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xx,你能求出1233

课后作业：

1、抛物线yx22x1的顶点坐标为( ) A、(-2，1) B、(2，1) C、(1，0)

D、(0，1)

2、将抛物线y2x2先向左平移两个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是( )

B、(3，-7)

C、(1，-7)

D、(3，1)

4、A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2x24x3上的两点，若1x1x2，则y1与y2的大小关系是( ) A、y1＞y2

B、y1≥y2

C、y1＜y2

D、y1≤y2

5、若抛物线yax2a2的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则a的取值范围是( ) A、a＜2

B、a＞2

C、a＞0

D、0＜a＜2

6、抛物线yax2bx与抛物线y3x2的形状相同，对称轴x2，则直线yaxb必过( ) A、一、二、三象限

B、一、二、四象限 C、二、三、四象限 D、一、三、四象限

7、在抛物线y3(x1)22中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) A、x1 B、x1 C、x2 D、x2

8.如图，P是抛物线yx上的一个动点，设P点坐标为(x，y)，已知点A的坐标为(4，0)。 (1)写出△OPA的面积S与x之间的函数关系式。

(2)在抛物线上能否找到一点Q，使OQ=QA，若能，求出Q点的坐标；若不能，说理由。

9、抛物线ya(xm1)m (m,a是不为0的常数)的顶点为A，抛物线yx2x1的顶点为B。

(1)判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？ (2)如果抛物线ya(xm1)m经过点B，求a的值。

10、抛物线yaxbxc与y轴交于点C(0，5)，与x轴的正半轴交于A、B两点(B在A的右侧)，对称轴x=3且

△ABC的面积为10。 (1)求抛物线的解析式

(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

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