第27卷第4期2005年10月
探测与控制学报
JournalofDetection&Control
Vol.27No.4Oct.2005
MEMS平面微弹簧弹性系数的研究
李 华，石庚辰
（北京理工大学机电工程学院，北京 100081）
摘 要：分析了在MEMS引信安全系统中平面微弹簧的作用、性能等特点。针对平面微弹簧的设计没有有效的
平面微弹簧进行了弹性系数计计算公式这一问题，应用力学中的能量法，对一种应用在引信安全系统中的“Z型”算公式推导，并用有限元分析软件进行了仿真计算。仿真结果与公式计算结果相吻合，验证了公式推导的正确性。
关键词：MEMS；引信安全系统；平面微弹簧；能量法
中图分类号：TH703.1；TJ43 文献标识码：A 文章编号：1008-1194（2005）04-0041-03
StudyontheElasticCoefficientofMEMSPlanarMicrospring
LIHua，SHIGeng-chen
（BeijingInstituteofTechnology，Beijing100081，China）
Abstract：Inthispaper，thecharacteristicsoffunction，performanceofplanarmicrospringinMEMSfuzesafetysystemareanalyzed.Tosolvetheproblemthattherearenoeffectivecalculationformulasforthedesignsofplanarmicrosprings，theelasticcoefficientformulaofaplanarmicrospringusedinfuzesafetysystem，theformofwhichis“Z”，isderivedwiththeenergymethodinappliedmechanics.Anditisalsocalculatedbythefiniteelementanalysissoftware.Thesimulationresultstallywiththatofformula，whichvalidatesthecorrectnessoftheformula.
Keywords：MEMS；fuzesafetysystem；planarmicrospring；energymethod
目前主要是利用有限元仿真软件或直接用实验的方
法来求得弹性系数，而无相应的计算公式，给微弹簧的设计、加工、优化等带来很多不便。本文对一种应
平面微弹簧，推导出用在引信安全系统中的“Z型”
了其弹性系数计算公式，并用有限元仿真软件进行了仿真计算。理论公式计算结果与有限元仿真结果的对比，表明两种方法的计算结果非常接近，从另一个方面验证了理论公式的正确性，为MEMS微弹簧的相关研究和应用提供了理论基础。
0 引言
微机电系统（MEMS）技术是近年来新兴的一门学科，在航空航天、汽车、生物技术、电信等方面都得到了广泛的应用。相对于传统的机电系统而言，微机电系统具有微型化、集成化、智能化、能耗低和批
［1］
，非常适合引信技术发展的量生产成本低等特点
要求，因此国内外都对MEMS技术在引信中的应用展开了大量研究。
弹簧在引信中应用的十分广泛，如后坐簧、离心簧、击针簧等，常用的结构形式有圆柱簧、锥形簧等。这些弹簧都是利用传统的机械缠簧机绕制而成，其弹性系数计算公式在相关的引信设计手册中都有详细介绍。MEMS引信安全系统中的平面微弹簧，其结构形式和加工工艺都不同于传统的引信用弹簧， *收稿日期：2004-12-27
1 微弹簧在MEMS引信安全系统中
的应用分析
微弹簧是一种重要的MEMS器件，可以实现能量和力的传递，在MEMS引信安全系统中发挥着重要的作用。图1所示为一种MEMS引信安全系统
作者简介：李华（1978—），男，湖南郴州人，在读博士研究生，研究方向：MEMS技术及其在引信中的应用。
42
作用前后示意图。
探测与控制学报
图1 一种MEMS引信安全系统
由图1可见，离心滑块受第一安全锁和第二安全锁的作用锁定在安全位置。发射时，后坐滑块在后坐力的作用下克服微弹簧的抗力向下运动，同时在离心力的作用下沿着两边的“之”字形锯齿结构左右摇摆运动，以达到延时的目的。在行程末端，后坐滑块撞击第一安全锁使其产生弹性变形并被闭锁销锁定在末端位置，从而解除对离心滑块的第一道保险；当命令驱动器接到控制器的命令时，使第二保险锁向上运动，解除对离心滑块的第二道保险。离心滑块在离心力的作用下克服微弹簧的抗力及摩擦力，运动到位并被闭锁销锁定。此时，安全系统解除保险，引信处于待发状态。
此MEMS安全系统用到两个微弹簧：后坐微弹簧和离心微弹簧。后坐微弹簧既要保证后坐滑块平时碰撞、跌落等情况下的安全性，又要保证发射时在后坐惯性力的作用下能可靠运动到位；离心微弹簧的设计要保证离心滑块在离心力的作用下可靠运动到位，并被锁销卡住。可见，微弹簧是保证引信安全系统平时安全与发射后可靠作用的一个重要零件，而微弹簧的刚度又是安全系统设计不可缺少的基本条件。
2 弹性系数公式推导
一种应用在引信安全系统中的MEMS平面微弹簧，形状如“Z”，厚度只有100µm，与后坐滑块固连在一起。滑块边沿和运动轨道边沿处有互相作用的“之”字形锯齿，起延时作用，如图2所示。
图2 “Z型”微弹簧电镜照片
对于所研究的微弹簧，在弹性范围内，其应变与
应力成线性关系，根据能量法的卡氏第二定理
［2］
，微弹簧在力作用点的位移为：δU
（Nx）∂F（Nx）
M（x）∂M（x）i=
∂∂F=i
∫
FEA∂Fdx+i
∫
IE∂Fdx+
i∫T（x）∂T
（x）GIp
∂F
xi
式中，E为微弹簧材料的弹性模量，A为微弹簧横截面面积，F为作用于微弹簧的外力，M（x）为作用于微弹簧某截面的弯矩，I为截面的惯性矩，Ip为截面的极惯性矩，G为材料的剪切模量，T（x）为作用于某截面的扭矩。对平面微弹簧，受垂直平面力的作用，所受扭矩为零。
“Z型”微弹簧由n节结构完全相同的部分组成，在对其进行分析时，取出其中一个基本单元进行分析，建立力学分析模型。假设弹簧上端固定，下端沿对称轴施加一竖直向下的力F，分析这个基本单元在力F作用下沿竖直方向的位移，如图3所示。图中b和h分别为微弹簧截面的宽度和厚度，l为微弹簧宽度的一半，t为竖直段的高度，θ为倾斜段的倾斜角度。
将基本单元分成六个部分进行分析，由于结构的对称性，①②③与④⑤⑥是完全对称的两部分，只分析其中①②③部分即可。
第①部分：M（∂M（1x）
1x）=Fx∂F=x，（0≤x≤l），δM（1x）∂M（1x）
1=
∫
l
EI∂F
dx=
Fl33EI第②部分：M（2
x）=Fl∂M（2x）
∂F=l，（0≤x≤t），δ2x）∂M（2x）
Fl2t21=
∫
t
M（0
EI∂F
dx=
EI
李 华等：MEMS平面微弹簧弹性系数的研究43
图3 一节“Z型”微弹簧
图4 有限元仿真变分析模型
形量云图
轴力引起的变形：δF
22=
∫
t
EAdx=Ft0
EA
，A=bh为横截面的面积，I=b3h/12为截面的惯性积。
第②部分总的变形量δ2=δ21+δ22。
第③部分：M（3
x）=F（l-xcosθ∂M（3x）∂F=l-xcosθ，（0≤x≤1/cosθ）。
l
δM（3x）∂M（3x）Fl33=∫
0EI∂F
dx=3EIcosθ故一个基本单元在力F作用下的位移δ总=
2（δ1+δ2+δ3），则包含n个基本单元的“Z型”弹簧的弹性常数为：K=F/nδEb3h
总=
n（8l3+248l
3
l2t+2b2t+
cosθ
）正弹簧材料为镍时，E=2.1×105GPa，取h=
300µm，t=150µm，n=7，θ=π/6，然后在b取80µm时取不同的l值、在l取560µm时取不同的b值分别代入公式和有限元仿真软件进行建模仿真计算。假设微弹簧上端固定，下端施加竖直向下的力F=0.1N，h=300µm，t=150µm，n=7，θ=π/6，b=80µm，l=480µm时的有限元仿真结果如图4所示。对公式计算数值和有限元仿真数值用Matlab
进行曲线拟合
［3］
，结果如图5所示。图5 取不同微弹簧宽度和截面宽度时的计算值
由图5可见，随着微弹簧宽度2l的增大，其弹性系数逐渐变小，即刚度逐渐变小；当线宽b变大时，
其刚度变大。有限元仿真软件计算结果和公式计算结果比较吻合。
当θ为零时，则“Z型”微弹簧变成了“L型”，其弹性系数为：k=Eb3h/n（16l3+24l2t+2b2t）。
根据目前的研究，一般认为对于微米级和毫米级的微系统，宏观经典理论仍是建立理论分析模型的依据，而对于纳观微系统，则要用量子力学的方法
来研究［4］
。由北京理工大学与上海交通大学微米/
纳米加工技术国防科技重点实验室合作，用UV-LIGA工艺加工出的某型平面微弹簧，材料为镍，截面厚度为300µm，宽度为80µm，弹簧宽度为1940µm，共10个基本单元。用力学性能测量装置测出其拉力-伸长曲线。对测得的多个数据点用最小二乘法进行处理，求出其弹性系数为148N/m。用能量法的卡氏第二定理公式计算，求出其弹性系数k=154N/m。两者结果吻合较好，进一步说明了本文所采用的理论对于分析微米和毫米级别的平面微弹簧是可行的。
3 结束语
通过建立力学分析模型，用能量法的卡氏第二定理来求得“Z型”MEMS微弹簧的弹性系数计算公
式，最后用有限元仿真软件进行仿真计算。验证了公式推导的正确性。
在推导出来的计算公式基础上，就可进行微弹簧有关参数的优化设计、分析各参数对弹簧刚度的影响等。本文所用的分析方法也可适用于分析其他形式的MEMS微弹簧，如“B型”、“O型”，“L型”等。不同结构形式的微弹簧其刚度也不同，可根据MEMS引信安全系统的需要选择合适的MEMS微弹簧。
本文仅考虑在弹性范围内平面微弹簧的弹性系数计算公式及其变化规律。对于非线性范围内的弹性系数的分析计算，需进一步深入研究。参考文献：
1］石庚辰.微机电系统技术［M］.北京：国防工业出版社，
2002.
2］杨伯源.材料力学（I）［M］.北京：机械工业出版社，2002.3］刘卫国.科学计算与MATLAB语言［M］.北京：中国铁道
出版社，2000.
4］高行山，赵亚薄，吕胜利，等.微机电系统多场耦合仿真
分析［J］.动力学与控制学报，2004，2（1）：71-72.
［［［［
第27卷第4期2005年10月
探测与控制学报
JournalofDetection&Control
Vol.27No.4Oct.2005
MEMS平面微弹簧弹性系数的研究
李 华，石庚辰
（北京理工大学机电工程学院，北京 100081）
摘 要：分析了在MEMS引信安全系统中平面微弹簧的作用、性能等特点。针对平面微弹簧的设计没有有效的
平面微弹簧进行了弹性系数计计算公式这一问题，应用力学中的能量法，对一种应用在引信安全系统中的“Z型”算公式推导，并用有限元分析软件进行了仿真计算。仿真结果与公式计算结果相吻合，验证了公式推导的正确性。
关键词：MEMS；引信安全系统；平面微弹簧；能量法
中图分类号：TH703.1；TJ43 文献标识码：A 文章编号：1008-1194（2005）04-0041-03
StudyontheElasticCoefficientofMEMSPlanarMicrospring
LIHua，SHIGeng-chen
（BeijingInstituteofTechnology，Beijing100081，China）
Abstract：Inthispaper，thecharacteristicsoffunction，performanceofplanarmicrospringinMEMSfuzesafetysystemareanalyzed.Tosolvetheproblemthattherearenoeffectivecalculationformulasforthedesignsofplanarmicrosprings，theelasticcoefficientformulaofaplanarmicrospringusedinfuzesafetysystem，theformofwhichis“Z”，isderivedwiththeenergymethodinappliedmechanics.Anditisalsocalculatedbythefiniteelementanalysissoftware.Thesimulationresultstallywiththatofformula，whichvalidatesthecorrectnessoftheformula.
Keywords：MEMS；fuzesafetysystem；planarmicrospring；energymethod
目前主要是利用有限元仿真软件或直接用实验的方
法来求得弹性系数，而无相应的计算公式，给微弹簧的设计、加工、优化等带来很多不便。本文对一种应
平面微弹簧，推导出用在引信安全系统中的“Z型”
了其弹性系数计算公式，并用有限元仿真软件进行了仿真计算。理论公式计算结果与有限元仿真结果的对比，表明两种方法的计算结果非常接近，从另一个方面验证了理论公式的正确性，为MEMS微弹簧的相关研究和应用提供了理论基础。
0 引言
微机电系统（MEMS）技术是近年来新兴的一门学科，在航空航天、汽车、生物技术、电信等方面都得到了广泛的应用。相对于传统的机电系统而言，微机电系统具有微型化、集成化、智能化、能耗低和批
［1］
，非常适合引信技术发展的量生产成本低等特点
要求，因此国内外都对MEMS技术在引信中的应用展开了大量研究。
弹簧在引信中应用的十分广泛，如后坐簧、离心簧、击针簧等，常用的结构形式有圆柱簧、锥形簧等。这些弹簧都是利用传统的机械缠簧机绕制而成，其弹性系数计算公式在相关的引信设计手册中都有详细介绍。MEMS引信安全系统中的平面微弹簧，其结构形式和加工工艺都不同于传统的引信用弹簧， *收稿日期：2004-12-27
1 微弹簧在MEMS引信安全系统中
的应用分析
微弹簧是一种重要的MEMS器件，可以实现能量和力的传递，在MEMS引信安全系统中发挥着重要的作用。图1所示为一种MEMS引信安全系统
作者简介：李华（1978—），男，湖南郴州人，在读博士研究生，研究方向：MEMS技术及其在引信中的应用。
42
作用前后示意图。
探测与控制学报
图1 一种MEMS引信安全系统
由图1可见，离心滑块受第一安全锁和第二安全锁的作用锁定在安全位置。发射时，后坐滑块在后坐力的作用下克服微弹簧的抗力向下运动，同时在离心力的作用下沿着两边的“之”字形锯齿结构左右摇摆运动，以达到延时的目的。在行程末端，后坐滑块撞击第一安全锁使其产生弹性变形并被闭锁销锁定在末端位置，从而解除对离心滑块的第一道保险；当命令驱动器接到控制器的命令时，使第二保险锁向上运动，解除对离心滑块的第二道保险。离心滑块在离心力的作用下克服微弹簧的抗力及摩擦力，运动到位并被闭锁销锁定。此时，安全系统解除保险，引信处于待发状态。
此MEMS安全系统用到两个微弹簧：后坐微弹簧和离心微弹簧。后坐微弹簧既要保证后坐滑块平时碰撞、跌落等情况下的安全性，又要保证发射时在后坐惯性力的作用下能可靠运动到位；离心微弹簧的设计要保证离心滑块在离心力的作用下可靠运动到位，并被锁销卡住。可见，微弹簧是保证引信安全系统平时安全与发射后可靠作用的一个重要零件，而微弹簧的刚度又是安全系统设计不可缺少的基本条件。
2 弹性系数公式推导
一种应用在引信安全系统中的MEMS平面微弹簧，形状如“Z”，厚度只有100µm，与后坐滑块固连在一起。滑块边沿和运动轨道边沿处有互相作用的“之”字形锯齿，起延时作用，如图2所示。
图2 “Z型”微弹簧电镜照片
对于所研究的微弹簧，在弹性范围内，其应变与
应力成线性关系，根据能量法的卡氏第二定理
［2］
，微弹簧在力作用点的位移为：δU
（Nx）∂F（Nx）
M（x）∂M（x）i=
∂∂F=i
∫
FEA∂Fdx+i
∫
IE∂Fdx+
i∫T（x）∂T
（x）GIp
∂F
xi
式中，E为微弹簧材料的弹性模量，A为微弹簧横截面面积，F为作用于微弹簧的外力，M（x）为作用于微弹簧某截面的弯矩，I为截面的惯性矩，Ip为截面的极惯性矩，G为材料的剪切模量，T（x）为作用于某截面的扭矩。对平面微弹簧，受垂直平面力的作用，所受扭矩为零。
“Z型”微弹簧由n节结构完全相同的部分组成，在对其进行分析时，取出其中一个基本单元进行分析，建立力学分析模型。假设弹簧上端固定，下端沿对称轴施加一竖直向下的力F，分析这个基本单元在力F作用下沿竖直方向的位移，如图3所示。图中b和h分别为微弹簧截面的宽度和厚度，l为微弹簧宽度的一半，t为竖直段的高度，θ为倾斜段的倾斜角度。
将基本单元分成六个部分进行分析，由于结构的对称性，①②③与④⑤⑥是完全对称的两部分，只分析其中①②③部分即可。
第①部分：M（∂M（1x）
1x）=Fx∂F=x，（0≤x≤l），δM（1x）∂M（1x）
1=
∫
l
EI∂F
dx=
Fl33EI第②部分：M（2
x）=Fl∂M（2x）
∂F=l，（0≤x≤t），δ2x）∂M（2x）
Fl2t21=
∫
t
M（0
EI∂F
dx=
EI
李 华等：MEMS平面微弹簧弹性系数的研究43
图3 一节“Z型”微弹簧
图4 有限元仿真变分析模型
形量云图
轴力引起的变形：δF
22=
∫
t
EAdx=Ft0
EA
，A=bh为横截面的面积，I=b3h/12为截面的惯性积。
第②部分总的变形量δ2=δ21+δ22。
第③部分：M（3
x）=F（l-xcosθ∂M（3x）∂F=l-xcosθ，（0≤x≤1/cosθ）。
l
δM（3x）∂M（3x）Fl33=∫
0EI∂F
dx=3EIcosθ故一个基本单元在力F作用下的位移δ总=
2（δ1+δ2+δ3），则包含n个基本单元的“Z型”弹簧的弹性常数为：K=F/nδEb3h
总=
n（8l3+248l
3
l2t+2b2t+
cosθ
）正弹簧材料为镍时，E=2.1×105GPa，取h=
300µm，t=150µm，n=7，θ=π/6，然后在b取80µm时取不同的l值、在l取560µm时取不同的b值分别代入公式和有限元仿真软件进行建模仿真计算。假设微弹簧上端固定，下端施加竖直向下的力F=0.1N，h=300µm，t=150µm，n=7，θ=π/6，b=80µm，l=480µm时的有限元仿真结果如图4所示。对公式计算数值和有限元仿真数值用Matlab
进行曲线拟合
［3］
，结果如图5所示。图5 取不同微弹簧宽度和截面宽度时的计算值
由图5可见，随着微弹簧宽度2l的增大，其弹性系数逐渐变小，即刚度逐渐变小；当线宽b变大时，
其刚度变大。有限元仿真软件计算结果和公式计算结果比较吻合。
当θ为零时，则“Z型”微弹簧变成了“L型”，其弹性系数为：k=Eb3h/n（16l3+24l2t+2b2t）。
根据目前的研究，一般认为对于微米级和毫米级的微系统，宏观经典理论仍是建立理论分析模型的依据，而对于纳观微系统，则要用量子力学的方法
来研究［4］
。由北京理工大学与上海交通大学微米/
纳米加工技术国防科技重点实验室合作，用UV-LIGA工艺加工出的某型平面微弹簧，材料为镍，截面厚度为300µm，宽度为80µm，弹簧宽度为1940µm，共10个基本单元。用力学性能测量装置测出其拉力-伸长曲线。对测得的多个数据点用最小二乘法进行处理，求出其弹性系数为148N/m。用能量法的卡氏第二定理公式计算，求出其弹性系数k=154N/m。两者结果吻合较好，进一步说明了本文所采用的理论对于分析微米和毫米级别的平面微弹簧是可行的。
3 结束语
通过建立力学分析模型，用能量法的卡氏第二定理来求得“Z型”MEMS微弹簧的弹性系数计算公
式，最后用有限元仿真软件进行仿真计算。验证了公式推导的正确性。
在推导出来的计算公式基础上，就可进行微弹簧有关参数的优化设计、分析各参数对弹簧刚度的影响等。本文所用的分析方法也可适用于分析其他形式的MEMS微弹簧，如“B型”、“O型”，“L型”等。不同结构形式的微弹簧其刚度也不同，可根据MEMS引信安全系统的需要选择合适的MEMS微弹簧。
本文仅考虑在弹性范围内平面微弹簧的弹性系数计算公式及其变化规律。对于非线性范围内的弹性系数的分析计算，需进一步深入研究。参考文献：
1］石庚辰.微机电系统技术［M］.北京：国防工业出版社，
2002.
2］杨伯源.材料力学（I）［M］.北京：机械工业出版社，2002.3］刘卫国.科学计算与MATLAB语言［M］.北京：中国铁道
出版社，2000.
4］高行山，赵亚薄，吕胜利，等.微机电系统多场耦合仿真
分析［J］.动力学与控制学报，2004，2（1）：71-72.
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