含弹簧的物理模型
纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当的比重，高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等。几乎贯穿整个力学的知识体系。
对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件。因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题者的亲睐。题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量相关的弹簧问题。
1．静力学中的弹簧问题
（1）胡克定律：F ＝kx ，ΔF ＝k ·Δx
（2）对弹簧秤的两端施加（沿轴线方向）大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力。
例题1：一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为 C A ．F 2-F 1 B ．F 2+F 1 C ．F 2+F 1 D ．F 2-F 1
l
2-l 1l 2+l 1l 2-l 1l 2+l 1
例题2：如图所示，两木块A 、B 的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，两弹簧分别连接A 、B ，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提木块A ，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A 和B 的重力势能共增加了
(m 1+m 22) 2g (m 1+m 2k k B ．) 2g 2A ．+k
1+22(k 12)
C ．(m 22k +k 2
1+m 2) g (1k )
1k 2(m 2
D ．1+m 2) 2g 2m 1(m 1+m 2) g k ＋
2k 1
解析：取A 、B 以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压
力为零时，向上提A 的力F 恰好为：
F ＝(m 1+m 2)g
设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x
1、x 2，由胡克定律得：
x 1＝
(m 1+m 2) g k ，x 2＝(m 1+m 2) g
1k 2
故A 、B 增加的重力势能共为：
ΔE m (m 1g (x 1＋x 2) ＋m 2gx 2＝1+m 2) 2g 2m 1(m 1+m 2) g 2
P ＝k ＋k
21
答案：D
【点评】计算上面弹簧的伸长量时，较多的同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx ＝
∆F
k
进行计算更快捷方便。
2．动力学中的弹簧问题
（1）瞬时加速度问题（与轻绳、轻杆不同）：一端固定、另一端接
有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变。
（2）如图所示，将A 、B 下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B 与A 开始分离。
在弹力作用下物体的运动，由于弹力与弹簧的伸长量有关，随着物体的运动，弹簧的长度随之改变。因此，在许多情况下，物体的运动不是匀变速运动，解决这类问题，首先要分析清楚物体的受力情况和运动情况，定性知道物体的速度、加速度的方向及大小变化情况，分成几个阶段，各段情况如何，相互关系是什么，等等。
例题3：一个弹簧秤放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质
量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m，系统处于静止，如右图所示，现给P 施加一个方向向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内F 为变力，0.2s 以后F 为恒力，求力F 的最大值与最小值（取g ＝10m/s2
）
分析：P 受到的外力有三个：重力M g 、向上的力F 及Q 对P 的支持力N ，由牛顿第二定律：
F ＋N －Mg ＝Ma
Q 受到的外力有也三个，重力mg 、向上的弹力kx 、P 对Q 的向下的压力N ，则
kx －N －mg ＝ma
（1）P 做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力。其中重力Mg 为恒力，在上升过程中，弹簧压缩量x 逐渐减小，kx 逐渐减小，N 也逐渐减小，F 逐渐增大。题目说0.2s 以后F 为恒力，说明t ＝0.2s 的时刻，正是P 与Q 开始脱离接触的时刻，即临界点。
（2）t ＝0.2 s 的时刻，是Q 对P 的作用力N 恰好为零的时刻，此时刻P 与Q 具有相同的速度和加速度。因此此时刻弹簧并未恢复原长，也不能认为此时刻弹簧的弹力为零。 （3）当t ＝0的时刻，就是力F 最小的时刻，此时刻F 小＝(M ＋m ) a （a 为它们的加速度）。随后，由于弹簧的弹力逐渐变小，而P 与Q 的合力保持不变，因此力F 逐渐变大，至t ＝0.2 s时刻，F 增至最大，此时刻F 大＝M (g ＋a ) 。
以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P 与Q 脱离接触的瞬间情况，才能确定这0.2 s时间内物体的位移，从而求出加速度a ，其余问题也就迎刃而解了。
解：设开始时弹簧压缩量为x (1，t ＝0.2 s时弹簧压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1=M +m )g ①
kx 2-mg =ma ②
x 11-x 2=
2
at 2
③ 由①式，x (M +m )g 1=
k ＝0.15m
解②③式，a ＝6m/s2
.
在平衡位置拉力有最小值：F 小＝(M ＋m ) a ＝72 N P 、Q 分离时拉力达最大值，对P ： F 大－M g ＝Ma
所以：F 大＝M (g ＋a ) ＝168N
【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m 1与m 2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a ，故秤盘与重物分离。
3．与动量、能量相关的弹簧问题
与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的确应用非常重要：
（1）弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等。
（2）弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变量最大时两物体的速度相等。
例题4：如图所示，用轻弹簧将质量均为m ＝1 kg 的物块A 和B 连结起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A 距地面的高度h 1＝0.90 m 。同时释放两
物块，A 与地面碰撞后速度立即变为零，由于B 压缩弹簧后被反弹，使
B A 刚好能离开地面（但不继续上升）。若将B 物块换为质量为2m 的物块C （图中未画出），仍将它与A 固定在空中且弹簧处于原长，从A 距地面的高度为h 2处同时释放，C 压缩弹簧被反弹后，也刚好能离开地面，
已知弹簧的劲度系数k ＝100 N/m，求h
A
2的大小。解：设A 物块落地时，B 物块的速度为v 1，则有：
1
2
m v 12＝mgh 1 设A 刚好离地时，弹簧的形变量为x ，对A 物块有： mg ＝kx
从A 落地后到A 刚好离开地面的过程中，对于A 、B 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：1
2
m v 12＝mgx ＋ΔE p 将B 换成C 后，设A 落地时，C 的速度为v 2，则有：
1
2
·2m v 22＝2mgh 2 从A 落地后到A 刚好离开地面的过程中，A 、C 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：
12
·2m v 22＝2mgx ＋ΔE p 联立解得：h 2＝0.50 m
【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论（1）。
例题5：如图所示，质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x 0．一个物块从钢板的正上方相距3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块的质量也为m 时，它们恰能回到O 点；若物块的质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时还具有向上的速度．求物块向上运动所到达的最高点与O 点之间的距离。
【解析】设物块与钢板碰撞前瞬间的速度为v 0，由机械能守恒定律得：
mg 3x 1
0＝
2
m v 02 v 0＝6gx 0 设质量为m 的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v 1，由动量守恒定律有：
m v v 10＝(m ＋m ) v1 1＝
2
6gx 0
设弹簧的压缩量为x 0时的弹性势能为E p ，对于物块和钢板碰撞后直至回到O 点的过程，由机械能守恒定律得：
E 1
p ＋
2
×2m ×v 12＝2mgx 0 设质量为2m 的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v 2，物块与钢板回到O 点时所具有的速度为v 3，由动量守恒定律有：
2m v 0＝(2m ＋m ) v 2 由机械能守恒定律有：
E 1p ＋
×3m ×v 1
22＝3mgx 0＋×3m ×v 322
2
解得：v 3＝gx 0
当质量为2m 的物块与钢板一起回到O 点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g ；一过O 点，钢板就会受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g ，由于物块与钢板不粘连，故在O 点处物块与钢板分离；分离后，物块以速度v 3开始竖直上抛，由机械能守恒定律得：
1
·2m v 解得：h ＝x 32＝2mgh 022
所以物块向上运动所到达的最高点与O 点之间的距离为
x 0
2
． 【点评】
①物块与钢板碰撞的瞬间外力之和并不为零，但这一过程时间极短，内力远大于外力，故可近似看成动量守恒．
②两次下压至回到O 点的过程中，速度、路程并不相同，但弹性势能的改变(弹力做的功)
相同．
③在本题中，物块与钢板下压至回到O 点的过程也可以运用动能定理列方程．
第一次：W 0－
1
弹－2mgx 0＝×2m ×v 122 第二次：W 13m ×v 1
弹－3mgx 0＝×32－×3m ×v 2222
例题6：用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A 、B 两物块都以v 0＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg的物块C 静止在前方，如图所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：
（1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大？ （2）弹簧弹性势能的最大值是多少？
（3）A 的速度方向有可能向左吗？为什么？
解析：（1）B 、C 发生碰撞时，B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间，B 、C 两者速度为v ，则有：
m B v ＝(m B ＋m C ) v 解得：v ＝2 m/s。
此后A 、B 、C 继续运动，弹簧被压缩，当A 、B 、C 三者的速度相等（设为v ′）时，弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，则有：
(m A ＋m B ) v0＝(m A ＋m B ＋m C ) v′ 解得：v ′＝3 m/s
（2）A 的速度为v ′ 时，弹簧的弹性势能最大，设其值为E p ，根据能量守恒定律得；
E 11p ＝
2m v 2(m v2＋－1
A 02B ＋m C ) 2
(m A ＋m B ＋m C ) v′2 解得：E p ＝12 J
（3）方法一：A 不可能向左运动。 根据系统动量守恒定律有：
(m A ＋m B ) v0＝m A v A ＋(m B ＋m C ) vB
设A 速度向左，则v A ＜0，解得：v B ＞4 m/s
则B 、C 发生碰撞后，A 、B 、C 三者的动能之和为： E ′＝
12m 11
A v A 2＋2(m B ＋m C ) vB 2 ＞2(m B ＋m C ) vB 2＝48 J 实际上系统的机械能为： E ＝
12m v 02＋1
A 2
(m B ＋m C ) v2＝36 J＋12 J＝48 J 根据能量守恒定律可知，E ′＞E 是不可能的，所以A 不可能向左运动。 方法二：B 、C 碰撞后系统的运动可以看到做整体向
右匀速运动与A 、B 和C 相对振动的合成（即相当于在
匀速运动的车厢中两物块相对振动）
由（1）知整体匀速运动的速度v 1＝v ′＝3 m/s
取以v 1＝3 m/s匀速运动的物体为参考系，可知弹簧处于原长时，A 、B 和C 相对振动的
速率最大，分别为：
v AO ＝v 0－v 1＝3 m/s v BO ＝│v －v 1│＝1 m/s
由此可画出A 、B 和C 的速度随时间变化的图象如图所示，故A 不可能有向左运动的时刻。
【点评】（1）要清晰地想象、理解研究对象的运动过程：相当于在3 m/s匀速行驶的车厢内，A 、B 和C 做相对弹簧上某点的简谐运动，振动的最大速率分别为3 m/s和1 m/s。
（2）当弹簧由压缩恢复至原长时，A 最有可能向左运动，但此时A 的速度为零。
例题7：探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m 和4m ，笔的弹跳过程分为三个阶段：
①把笔竖起倒立于水平硬桌面，下压使其下端接触桌面（如图甲所示）；
②由静止释放，外壳竖直上升到下端距桌面高度为h 1时，与静止的内芯碰撞（如图乙所示）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h 2处（如图丙所示）。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g ，求：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小。 （2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功。
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h 2处，笔损失的机械能。（2009高考重庆理综卷） 解析：设外壳上升到h 1时速度的大小为v 1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v 2。（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h 2处，由于动能定理得：
(4m ＋m ) g (h 1
2－h 1) ＝
2
(4m ＋m ) v 22－ 0 解得：v 2＝2g (h 2-h 1)
（2）外壳与内芯在碰撞过程中动量守恒，即： 4m v 1＝(4m ＋m ) v 2 将v 2代入得：v 1＝
5
4
2g (h 2-h 1)
弹簧做的功为W ，对外壳应用动能定理有：
W －4mgh 1
1＝
2
×4m v 12 将v 1
1代入得：W ＝4
mg (25h 2－9h 1)
(3)由于外壳和内芯达到共同速度后上升至高h 2度的过程中机械能守恒，只有外壳和内芯的碰撞中有能量损失，损失的能量
E 1损＝
×4m v 2－1
1(4m ＋m ) v 2222
将v 5
1、v 2代入得：E 损＝4
mg (h 2－h 1
)
【点评】从以上例题可以看出，弹簧类试题的确是培养和训练学生的物理思维、反映和开发学生的学习潜能的优秀试题。弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化，为学生充分运动物理概念和规律（牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律）巧妙解决问题、施展自身才华提供了广阔空间，当然也是区分学生能力强弱、拉大差距、选拔人才的一种常规题型。因此，弹簧试题也就成为高考物理题中的一类重要的、独具特色的考题。
经典考题：
1．如图所示，竖直放置的劲度系数为k 的轻质弹簧上端与质量为m 的小球连接，下端与放在水平桌面上的质量为M 的绝缘物块相连．小球带正电，电荷量为q ，且与弹簧绝缘，物块、弹簧和小球组成的系统处于静止状态．现突然加上一个竖直向上的大小为E 的匀强电场，小球向上运动，某时刻物块对水平面的压力为零．从加上匀强电场到物块对水平面的压力为零的过程中，小球电势能的改变量为：
A ．
qE (M +m ) g qE (M k B ．－+m ) g
k
C ．qEMg k D ．qEmg k
[答案] B
2．如图所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入到木块到弹簧压缩到最短的整个过程中： A 、动量守恒、机械能守恒 B 、动量不守恒、机械能不守恒 C 、动量守恒、机械能不守恒
D 、动量不守恒、机械能守恒
答案：B
3．如图，光滑水平面上有质量相等的两物体A 和B ，B 上装有轻质弹簧，B 原来静止，A 以速度v 正对B 滑行，当弹簧压缩到最大时：（ B ） A 、A 的速度减小到零
B 、A 和B 具有相同的速度
C 、此刻B 刚开始运动
D 、此刻B 达到最大速度
4．一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示.
在A 点，物体开始与弹簧接触，到B 点时，物体速度为零，然后被
弹回. 下列说法中正确的是：
A 、物体从A 下降到B 的过程中，动能不断变小；
B
B 、物体从B 上升到A 的过程中，动能不断变大；
C 、物体从A 下降到B ，以及从B 上升到A 的过程中，速率都是先增大，后减小；
D 、物体在B 点时，所受合力为零； 答案：C
5．如图所示，质量为m A ＝3kg 和m B ＝2kg 的A 、B 两物块，用劲度系数
为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F ＝55N 的力把物
块A 向下压使之处于静止状态，突然撤去压力，则： A ．物块B 一定能离开水平面
B ．物块B 不可能离开水平面
C ．只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面 D ．只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面
答案：A 根据简谐运动的对称性分析，当F ＞（m A ＋m B ）g 时，能离开地面。
6．如图所示，在劲度为k 的轻弹簧两端分别固定有两个相同的木块P 、Q ，质量均为m ，开始系统静止在水平桌面上。用竖直向下的力F 缓慢向下压P 木块到某一位置，系统又处于静止。这时突然撤去压力F ，发现P 木块开始做简谐运动，而Q 木块恰好始终没有离开水平面。求：
（1）P 做简谐运动的振幅A 。
（2）振动过程中P 的最大加速度a m 。
（3）在缓慢向下压P 的过程中压力F 所做的功W 。
答案：（1）A ＝2mg /k （2）20m/s2 （3）2 m2g 2/k
7．如图所示，一根轻弹簧竖直放在水平地面上，一个物块从高处自由下落
到弹簧上端O ，当弹簧被压缩x 0时物块的速度变为零。从物块与弹簧接
O 触开始，物块的速率v 随下降的位移x 变化情况与下面四个图象中比较x 0
一致的是：
0 0
Ａ
B C D
8．如图所示，一个质量为m 的木块放在质量为M 的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力
是f m ，在劲度系数为k 的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于：
A ．(M +m ) +f m /kM B ．f m /kM
C ．f m /M D ．(M +m )f m /kM 答案：
D
解析：小车做简谐运动的回复力是木块对它的静摩擦力。当它们的位移最大时，加速度最大，
受到的静摩擦力最大。为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的最大加速度
由①～②得 v ＝g
2m 1m 1+m 2 2m 1+m 3k
a =f m /M ，此即系统一起振动的最大加速度，对整体达到最大位移时的加速度最大，
回复力kA=（M+m）a ，则振幅A ≤(M +m )f m /kM 。
说明：本题要学生正确认识回复力在简谐运动中的作用，从力与运动的关系去分析回复力与加速度、位移以及最大回复力与振幅的关系。还要正确使用隔离法和整体法。
9．（05全国Ⅰ）（19分）如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A ．B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为
（m 1＋m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这
次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
【解析】开始时，A 、B 都静止，设弹簧的压缩量为x 1，有 kx 1＝m 1g ①
挂上C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有 Kx 2＝m 2g ②
B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量量为
ΔE ＝m 3g (x 1＋x 2) －m 1g (x 1＋x 2) ③
C 换成D 后，当B 离地时弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得：
点评：该题以能力立意，情景新颖区分度好，是一道综合的好题。解法1是一般的解法，代表一般性的思维习惯与解题程序。解法2简捷准确，在深刻挖掘题目中的隐含条件后，妙用能量守恒，在考场上能节省时间提高效率，介这建立在厚实的物理素养之上。
11
(m 1＋m 3) v 2＋m 1v 2＝(m 1＋m 3) g (x 1＋x 2) －m 1g (x 1＋x 2) －ΔE ④ 22
1
由③④式得：(2m 1＋m 3) v 2＝m 1g (x 1＋x 2) ⑤
2
2m 1m 1+m 2g 2
由①②⑤式得：v ＝ ⑥
2m 1+m 2k
解法2：能量补偿法
根据题意，设弹簧的总形变量即物体A 上升的距离为
h ＝
m 1g +m 2g
…………① k 1
( 2m 1＋m 3) v 2 …………② 2
第二次释放D 与第一次释放C 相比较，根据能量守恒，可得
m 1gh ＝
含弹簧的物理模型
纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当的比重，高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等。几乎贯穿整个力学的知识体系。
对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件。因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题者的亲睐。题目类型有：静力学中的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量相关的弹簧问题。
1．静力学中的弹簧问题
（1）胡克定律：F ＝kx ，ΔF ＝k ·Δx
（2）对弹簧秤的两端施加（沿轴线方向）大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力。
例题1：一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2。弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为 C A ．F 2-F 1 B ．F 2+F 1 C ．F 2+F 1 D ．F 2-F 1
l
2-l 1l 2+l 1l 2-l 1l 2+l 1
例题2：如图所示，两木块A 、B 的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，两弹簧分别连接A 、B ，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提木块A ，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A 和B 的重力势能共增加了
(m 1+m 22) 2g (m 1+m 2k k B ．) 2g 2A ．+k
1+22(k 12)
C ．(m 22k +k 2
1+m 2) g (1k )
1k 2(m 2
D ．1+m 2) 2g 2m 1(m 1+m 2) g k ＋
2k 1
解析：取A 、B 以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压
力为零时，向上提A 的力F 恰好为：
F ＝(m 1+m 2)g
设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x
1、x 2，由胡克定律得：
x 1＝
(m 1+m 2) g k ，x 2＝(m 1+m 2) g
1k 2
故A 、B 增加的重力势能共为：
ΔE m (m 1g (x 1＋x 2) ＋m 2gx 2＝1+m 2) 2g 2m 1(m 1+m 2) g 2
P ＝k ＋k
21
答案：D
【点评】计算上面弹簧的伸长量时，较多的同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx ＝
∆F
k
进行计算更快捷方便。
2．动力学中的弹簧问题
（1）瞬时加速度问题（与轻绳、轻杆不同）：一端固定、另一端接
有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变。
（2）如图所示，将A 、B 下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B 与A 开始分离。
在弹力作用下物体的运动，由于弹力与弹簧的伸长量有关，随着物体的运动，弹簧的长度随之改变。因此，在许多情况下，物体的运动不是匀变速运动，解决这类问题，首先要分析清楚物体的受力情况和运动情况，定性知道物体的速度、加速度的方向及大小变化情况，分成几个阶段，各段情况如何，相互关系是什么，等等。
例题3：一个弹簧秤放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质
量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m，系统处于静止，如右图所示，现给P 施加一个方向向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内F 为变力，0.2s 以后F 为恒力，求力F 的最大值与最小值（取g ＝10m/s2
）
分析：P 受到的外力有三个：重力M g 、向上的力F 及Q 对P 的支持力N ，由牛顿第二定律：
F ＋N －Mg ＝Ma
Q 受到的外力有也三个，重力mg 、向上的弹力kx 、P 对Q 的向下的压力N ，则
kx －N －mg ＝ma
（1）P 做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力。其中重力Mg 为恒力，在上升过程中，弹簧压缩量x 逐渐减小，kx 逐渐减小，N 也逐渐减小，F 逐渐增大。题目说0.2s 以后F 为恒力，说明t ＝0.2s 的时刻，正是P 与Q 开始脱离接触的时刻，即临界点。
（2）t ＝0.2 s 的时刻，是Q 对P 的作用力N 恰好为零的时刻，此时刻P 与Q 具有相同的速度和加速度。因此此时刻弹簧并未恢复原长，也不能认为此时刻弹簧的弹力为零。 （3）当t ＝0的时刻，就是力F 最小的时刻，此时刻F 小＝(M ＋m ) a （a 为它们的加速度）。随后，由于弹簧的弹力逐渐变小，而P 与Q 的合力保持不变，因此力F 逐渐变大，至t ＝0.2 s时刻，F 增至最大，此时刻F 大＝M (g ＋a ) 。
以上三点中第（2）点是解决此问题的关键所在，只有明确了P 与Q 脱离接触的瞬间情况，才能确定这0.2 s时间内物体的位移，从而求出加速度a ，其余问题也就迎刃而解了。
解：设开始时弹簧压缩量为x (1，t ＝0.2 s时弹簧压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1=M +m )g ①
kx 2-mg =ma ②
x 11-x 2=
2
at 2
③ 由①式，x (M +m )g 1=
k ＝0.15m
解②③式，a ＝6m/s2
.
在平衡位置拉力有最小值：F 小＝(M ＋m ) a ＝72 N P 、Q 分离时拉力达最大值，对P ： F 大－M g ＝Ma
所以：F 大＝M (g ＋a ) ＝168N
【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m 1与m 2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a ，故秤盘与重物分离。
3．与动量、能量相关的弹簧问题
与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的确应用非常重要：
（1）弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等。
（2）弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变量最大时两物体的速度相等。
例题4：如图所示，用轻弹簧将质量均为m ＝1 kg 的物块A 和B 连结起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A 距地面的高度h 1＝0.90 m 。同时释放两
物块，A 与地面碰撞后速度立即变为零，由于B 压缩弹簧后被反弹，使
B A 刚好能离开地面（但不继续上升）。若将B 物块换为质量为2m 的物块C （图中未画出），仍将它与A 固定在空中且弹簧处于原长，从A 距地面的高度为h 2处同时释放，C 压缩弹簧被反弹后，也刚好能离开地面，
已知弹簧的劲度系数k ＝100 N/m，求h
A
2的大小。解：设A 物块落地时，B 物块的速度为v 1，则有：
1
2
m v 12＝mgh 1 设A 刚好离地时，弹簧的形变量为x ，对A 物块有： mg ＝kx
从A 落地后到A 刚好离开地面的过程中，对于A 、B 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：1
2
m v 12＝mgx ＋ΔE p 将B 换成C 后，设A 落地时，C 的速度为v 2，则有：
1
2
·2m v 22＝2mgh 2 从A 落地后到A 刚好离开地面的过程中，A 、C 及弹簧组成的系统机械能守恒，则有：
12
·2m v 22＝2mgx ＋ΔE p 联立解得：h 2＝0.50 m
【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论（1）。
例题5：如图所示，质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x 0．一个物块从钢板的正上方相距3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动．已知物块的质量也为m 时，它们恰能回到O 点；若物块的质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块与钢板回到O 点时还具有向上的速度．求物块向上运动所到达的最高点与O 点之间的距离。
【解析】设物块与钢板碰撞前瞬间的速度为v 0，由机械能守恒定律得：
mg 3x 1
0＝
2
m v 02 v 0＝6gx 0 设质量为m 的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v 1，由动量守恒定律有：
m v v 10＝(m ＋m ) v1 1＝
2
6gx 0
设弹簧的压缩量为x 0时的弹性势能为E p ，对于物块和钢板碰撞后直至回到O 点的过程，由机械能守恒定律得：
E 1
p ＋
2
×2m ×v 12＝2mgx 0 设质量为2m 的物块与钢板碰撞后瞬间的速度为v 2，物块与钢板回到O 点时所具有的速度为v 3，由动量守恒定律有：
2m v 0＝(2m ＋m ) v 2 由机械能守恒定律有：
E 1p ＋
×3m ×v 1
22＝3mgx 0＋×3m ×v 322
2
解得：v 3＝gx 0
当质量为2m 的物块与钢板一起回到O 点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力的作用，加速度为g ；一过O 点，钢板就会受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g ，由于物块与钢板不粘连，故在O 点处物块与钢板分离；分离后，物块以速度v 3开始竖直上抛，由机械能守恒定律得：
1
·2m v 解得：h ＝x 32＝2mgh 022
所以物块向上运动所到达的最高点与O 点之间的距离为
x 0
2
． 【点评】
①物块与钢板碰撞的瞬间外力之和并不为零，但这一过程时间极短，内力远大于外力，故可近似看成动量守恒．
②两次下压至回到O 点的过程中，速度、路程并不相同，但弹性势能的改变(弹力做的功)
相同．
③在本题中，物块与钢板下压至回到O 点的过程也可以运用动能定理列方程．
第一次：W 0－
1
弹－2mgx 0＝×2m ×v 122 第二次：W 13m ×v 1
弹－3mgx 0＝×32－×3m ×v 2222
例题6：用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A 、B 两物块都以v 0＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg的物块C 静止在前方，如图所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：
（1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大？ （2）弹簧弹性势能的最大值是多少？
（3）A 的速度方向有可能向左吗？为什么？
解析：（1）B 、C 发生碰撞时，B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间，B 、C 两者速度为v ，则有：
m B v ＝(m B ＋m C ) v 解得：v ＝2 m/s。
此后A 、B 、C 继续运动，弹簧被压缩，当A 、B 、C 三者的速度相等（设为v ′）时，弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，则有：
(m A ＋m B ) v0＝(m A ＋m B ＋m C ) v′ 解得：v ′＝3 m/s
（2）A 的速度为v ′ 时，弹簧的弹性势能最大，设其值为E p ，根据能量守恒定律得；
E 11p ＝
2m v 2(m v2＋－1
A 02B ＋m C ) 2
(m A ＋m B ＋m C ) v′2 解得：E p ＝12 J
（3）方法一：A 不可能向左运动。 根据系统动量守恒定律有：
(m A ＋m B ) v0＝m A v A ＋(m B ＋m C ) vB
设A 速度向左，则v A ＜0，解得：v B ＞4 m/s
则B 、C 发生碰撞后，A 、B 、C 三者的动能之和为： E ′＝
12m 11
A v A 2＋2(m B ＋m C ) vB 2 ＞2(m B ＋m C ) vB 2＝48 J 实际上系统的机械能为： E ＝
12m v 02＋1
A 2
(m B ＋m C ) v2＝36 J＋12 J＝48 J 根据能量守恒定律可知，E ′＞E 是不可能的，所以A 不可能向左运动。 方法二：B 、C 碰撞后系统的运动可以看到做整体向
右匀速运动与A 、B 和C 相对振动的合成（即相当于在
匀速运动的车厢中两物块相对振动）
由（1）知整体匀速运动的速度v 1＝v ′＝3 m/s
取以v 1＝3 m/s匀速运动的物体为参考系，可知弹簧处于原长时，A 、B 和C 相对振动的
速率最大，分别为：
v AO ＝v 0－v 1＝3 m/s v BO ＝│v －v 1│＝1 m/s
由此可画出A 、B 和C 的速度随时间变化的图象如图所示，故A 不可能有向左运动的时刻。
【点评】（1）要清晰地想象、理解研究对象的运动过程：相当于在3 m/s匀速行驶的车厢内，A 、B 和C 做相对弹簧上某点的简谐运动，振动的最大速率分别为3 m/s和1 m/s。
（2）当弹簧由压缩恢复至原长时，A 最有可能向左运动，但此时A 的速度为零。
例题7：探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m 和4m ，笔的弹跳过程分为三个阶段：
①把笔竖起倒立于水平硬桌面，下压使其下端接触桌面（如图甲所示）；
②由静止释放，外壳竖直上升到下端距桌面高度为h 1时，与静止的内芯碰撞（如图乙所示）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h 2处（如图丙所示）。
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力，不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g ，求：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小。 （2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功。
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h 2处，笔损失的机械能。（2009高考重庆理综卷） 解析：设外壳上升到h 1时速度的大小为v 1，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为v 2。（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h 2处，由于动能定理得：
(4m ＋m ) g (h 1
2－h 1) ＝
2
(4m ＋m ) v 22－ 0 解得：v 2＝2g (h 2-h 1)
（2）外壳与内芯在碰撞过程中动量守恒，即： 4m v 1＝(4m ＋m ) v 2 将v 2代入得：v 1＝
5
4
2g (h 2-h 1)
弹簧做的功为W ，对外壳应用动能定理有：
W －4mgh 1
1＝
2
×4m v 12 将v 1
1代入得：W ＝4
mg (25h 2－9h 1)
(3)由于外壳和内芯达到共同速度后上升至高h 2度的过程中机械能守恒，只有外壳和内芯的碰撞中有能量损失，损失的能量
E 1损＝
×4m v 2－1
1(4m ＋m ) v 2222
将v 5
1、v 2代入得：E 损＝4
mg (h 2－h 1
)
【点评】从以上例题可以看出，弹簧类试题的确是培养和训练学生的物理思维、反映和开发学生的学习潜能的优秀试题。弹簧与相连物体构成的系统所表现出来的运动状态的变化，为学生充分运动物理概念和规律（牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律）巧妙解决问题、施展自身才华提供了广阔空间，当然也是区分学生能力强弱、拉大差距、选拔人才的一种常规题型。因此，弹簧试题也就成为高考物理题中的一类重要的、独具特色的考题。
经典考题：
1．如图所示，竖直放置的劲度系数为k 的轻质弹簧上端与质量为m 的小球连接，下端与放在水平桌面上的质量为M 的绝缘物块相连．小球带正电，电荷量为q ，且与弹簧绝缘，物块、弹簧和小球组成的系统处于静止状态．现突然加上一个竖直向上的大小为E 的匀强电场，小球向上运动，某时刻物块对水平面的压力为零．从加上匀强电场到物块对水平面的压力为零的过程中，小球电势能的改变量为：
A ．
qE (M +m ) g qE (M k B ．－+m ) g
k
C ．qEMg k D ．qEmg k
[答案] B
2．如图所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入到木块到弹簧压缩到最短的整个过程中： A 、动量守恒、机械能守恒 B 、动量不守恒、机械能不守恒 C 、动量守恒、机械能不守恒
D 、动量不守恒、机械能守恒
答案：B
3．如图，光滑水平面上有质量相等的两物体A 和B ，B 上装有轻质弹簧，B 原来静止，A 以速度v 正对B 滑行，当弹簧压缩到最大时：（ B ） A 、A 的速度减小到零
B 、A 和B 具有相同的速度
C 、此刻B 刚开始运动
D 、此刻B 达到最大速度
4．一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图所示.
在A 点，物体开始与弹簧接触，到B 点时，物体速度为零，然后被
弹回. 下列说法中正确的是：
A 、物体从A 下降到B 的过程中，动能不断变小；
B
B 、物体从B 上升到A 的过程中，动能不断变大；
C 、物体从A 下降到B ，以及从B 上升到A 的过程中，速率都是先增大，后减小；
D 、物体在B 点时，所受合力为零； 答案：C
5．如图所示，质量为m A ＝3kg 和m B ＝2kg 的A 、B 两物块，用劲度系数
为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F ＝55N 的力把物
块A 向下压使之处于静止状态，突然撤去压力，则： A ．物块B 一定能离开水平面
B ．物块B 不可能离开水平面
C ．只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面 D ．只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面
答案：A 根据简谐运动的对称性分析，当F ＞（m A ＋m B ）g 时，能离开地面。
6．如图所示，在劲度为k 的轻弹簧两端分别固定有两个相同的木块P 、Q ，质量均为m ，开始系统静止在水平桌面上。用竖直向下的力F 缓慢向下压P 木块到某一位置，系统又处于静止。这时突然撤去压力F ，发现P 木块开始做简谐运动，而Q 木块恰好始终没有离开水平面。求：
（1）P 做简谐运动的振幅A 。
（2）振动过程中P 的最大加速度a m 。
（3）在缓慢向下压P 的过程中压力F 所做的功W 。
答案：（1）A ＝2mg /k （2）20m/s2 （3）2 m2g 2/k
7．如图所示，一根轻弹簧竖直放在水平地面上，一个物块从高处自由下落
到弹簧上端O ，当弹簧被压缩x 0时物块的速度变为零。从物块与弹簧接
O 触开始，物块的速率v 随下降的位移x 变化情况与下面四个图象中比较x 0
一致的是：
0 0
Ａ
B C D
8．如图所示，一个质量为m 的木块放在质量为M 的平板小车上，它们之间的最大静摩擦力
是f m ，在劲度系数为k 的轻质弹簧作用下，沿光滑水平面做简谐运动。为使小车能跟木块一起振动，不发生相对滑动，简谐运动的振幅不能大于：
A ．(M +m ) +f m /kM B ．f m /kM
C ．f m /M D ．(M +m )f m /kM 答案：
D
解析：小车做简谐运动的回复力是木块对它的静摩擦力。当它们的位移最大时，加速度最大，
受到的静摩擦力最大。为了不发生相对滑动，达到最大位移时，小车的最大加速度
由①～②得 v ＝g
2m 1m 1+m 2 2m 1+m 3k
a =f m /M ，此即系统一起振动的最大加速度，对整体达到最大位移时的加速度最大，
回复力kA=（M+m）a ，则振幅A ≤(M +m )f m /kM 。
说明：本题要学生正确认识回复力在简谐运动中的作用，从力与运动的关系去分析回复力与加速度、位移以及最大回复力与振幅的关系。还要正确使用隔离法和整体法。
9．（05全国Ⅰ）（19分）如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A ．B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一个质量为
（m 1＋m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这
次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
【解析】开始时，A 、B 都静止，设弹簧的压缩量为x 1，有 kx 1＝m 1g ①
挂上C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为x 2，有 Kx 2＝m 2g ②
B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量量为
ΔE ＝m 3g (x 1＋x 2) －m 1g (x 1＋x 2) ③
C 换成D 后，当B 离地时弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得：
点评：该题以能力立意，情景新颖区分度好，是一道综合的好题。解法1是一般的解法，代表一般性的思维习惯与解题程序。解法2简捷准确，在深刻挖掘题目中的隐含条件后，妙用能量守恒，在考场上能节省时间提高效率，介这建立在厚实的物理素养之上。
11
(m 1＋m 3) v 2＋m 1v 2＝(m 1＋m 3) g (x 1＋x 2) －m 1g (x 1＋x 2) －ΔE ④ 22
1
由③④式得：(2m 1＋m 3) v 2＝m 1g (x 1＋x 2) ⑤
2
2m 1m 1+m 2g 2
由①②⑤式得：v ＝ ⑥
2m 1+m 2k
解法2：能量补偿法
根据题意，设弹簧的总形变量即物体A 上升的距离为
h ＝
m 1g +m 2g
…………① k 1
( 2m 1＋m 3) v 2 …………② 2
第二次释放D 与第一次释放C 相比较，根据能量守恒，可得
m 1gh ＝