专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》
姓名________学号________
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。及等角为直角时的特例。
F
如图：以上各图中在一条直线上的三个角如果相等，那么对应的三角形相似，请你证明
. 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60
° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；
（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
B
M
C
【例3】（1）在∆ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点
P 不与点C 、点B 重合），且保持∠APQ =∠ABC .
①若点P 在线段CB 上（如图10），且BP =6，求线段CQ 的长；
B
C
备用图 ②若BP =x ，CQ =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点
C 、点B 重合），且保持∠APQ =90︒. 当CQ =1时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，
请直接写出结果）.
【例4】如图，在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，AB =5，tan B =
A
D
B
图12
C
3
，点D 是BC 的中点，点E 4
是AB 边上的动点，DF ⊥DE 交射线AC 于点F ．
（1）求AC 和BC 的长； （2）联结EF ，当EF//BC时，求BE 的长．
回家作业：
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，BC =10，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE =∠C ．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果BD =x ，AE =y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE
是什么三角形，并说明理由．
o
E
D
C
2. 在∆ABC 中，∠C =90, AC =4, BC =3, O 是AB 上的一点，且
AO 2
=，点P 是AC 上的AB 5
一个动点，PQ ⊥OP 交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ
3. 已知在等腰三角形ABC 中，AB =BC =4, AC =6，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动
D F =∠A ，点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使∠E 射线DF 交射线EB
于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：∆CED ∽∆ADH ； H
（2）设EC =x , BF =y .
①用含x 的代数式表示BH ；
②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.
C
F E
D
A
4. 如图，在平面直角系中，直线AB ：y =
4
x +4(a ≠0)分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，a
直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA =OD ，过D 作CD ⊥x
轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB ⊥BC 时 (1)求证：∆ABO ∽∆BCD ； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是y =-
13
x +b ，求BC:AB的值． 16
5. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．
专题八《“一线三等角、三直角”相似三角形》
姓名________学号________
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示。及等角为直角时的特例。
F
如图：以上各图中在一条直线上的三个角如果相等，那么对应的三角形相似，请你证明
. 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60
° （1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
【例2】如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD =BC =4，AD =2．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作∠EMF =∠B ，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，连结EF ． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明；
（2）设BE =x ，CF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；
B
M
C
【例3】（1）在∆ABC 中，AB =AC =5，BC =8，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上（点
P 不与点C 、点B 重合），且保持∠APQ =∠ABC .
①若点P 在线段CB 上（如图10），且BP =6，求线段CQ 的长；
B
C
备用图 ②若BP =x ，CQ =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形ABCD 的边长为5（如图12），点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点
C 、点B 重合），且保持∠APQ =90︒. 当CQ =1时，写出线段BP 的长（不需要计算过程，
请直接写出结果）.
【例4】如图，在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，AB =5，tan B =
A
D
B
图12
C
3
，点D 是BC 的中点，点E 4
是AB 边上的动点，DF ⊥DE 交射线AC 于点F ．
（1）求AC 和BC 的长； （2）联结EF ，当EF//BC时，求BE 的长．
回家作业：
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC =8，BC =10，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且∠ADE =∠C ．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果BD =x ，AE =y ，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE
是什么三角形，并说明理由．
o
E
D
C
2. 在∆ABC 中，∠C =90, AC =4, BC =3, O 是AB 上的一点，且
AO 2
=，点P 是AC 上的AB 5
一个动点，PQ ⊥OP 交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ
3. 已知在等腰三角形ABC 中，AB =BC =4, AC =6，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动
D F =∠A ，点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使∠E 射线DF 交射线EB
于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：∆CED ∽∆ADH ； H
（2）设EC =x , BF =y .
①用含x 的代数式表示BH ；
②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域.
C
F E
D
A
4. 如图，在平面直角系中，直线AB ：y =
4
x +4(a ≠0)分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，a
直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA =OD ，过D 作CD ⊥x
轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB ⊥BC 时 (1)求证：∆ABO ∽∆BCD ； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是y =-
13
x +b ，求BC:AB的值． 16
5. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．