红顶收益率曲线制作说明（交易所市场）
投资固定收益证券(Fixed Income Securities) 最重要的市场指标之一就是收益率曲线(Yield Curve)。红顶金融工程研究中心曾先后参与过国外债券交易中心的收益率曲线编制工作，以及提供国内银行间债券市场期限结构编制的技术并通过论证，因此本文根据这些研究成果与编制经验，为各位读者介绍收益率曲线的概念、使用方法、以及如何制作国内交易所债券市场的收益率曲线。 一、基础介绍
何谓收益率曲线(Yield Curve)
收益率曲线是指零息债券的收益率与其到期日之关系－横轴为各到期期限(Time to Maturity)，纵轴为相对应之到期收益率(Yield to Maturity)，用以描述两者之关系。
为何需要估计收益率曲线？
从固定收益证券的投资与操作来看，掌握市场的收益率曲线是进行投资的首要工作，因为收益率曲线具有下列义涵：
代表性
收益率曲线代表一个市场的利率结构，能够真实反应出一个市场短中长期利率的关系，对投资者操作长天期或短天期债券十分重要。
操作性
收益率曲线是根据市场上具有代表性的交易品种所绘制出来的利率曲线，这些具代表性的品种称为指标债券，由于指标债券必须具备流动性大、交投热络的条件，因此具备可操作性。投资者可以根据收益率曲线上的利率进行操作
解释性
收利率曲线对固定收益证券的价格具有极强的解释性，了解曲线的结构有助于了解债券价格。如果某一支债券价格偏离了根据收益率曲线推算出来的理论价格，通常会有两种情况：一是该支债券流动性不足，因此偏离的价格无法透过市场机制加以修正，二是该支债券流动性足够，这种偏差将只是短暂现象，很快就会被拉回合理价位。
分析性
在进行债券的资产管理与风险分析时，收益率曲线是必要参考的数据：在许多财务金融的应用上，如未来开放利率衍生性商品后，对于这相商品的订价，以及利率相关商品风险管理制度等，收益率曲线均是不可缺少之基本数据。
二、名词解释
“收益率曲线” 以及“期限结构” 两个名词常被国内投资人混淆，虽然两者的概念很类似，但是定义截然不同，在债券市场上的应用也完全不一样，因此投资人有必要把这两个名词的观念搞懂。
(1) 收益率曲线(Yield Curve)
指的是附息债券到期收益率(Yield to Maturity) 和剩余年期的关系，代表着如果当下持有这个剩余年期的债券而且持有到期，包含期间所有的利息收入与期末的本金反还，整体的内部投资报酬率(Internal Rate of Return)。
(2) 期限结构(Term Structure)
指的是计算未来一笔现金流当前现值所用的贴现率(Discounted Rate) 和该笔现金流距今年期的关系，代表持有这笔现金的时间价值。
由以上定义可知：“收益率曲线” 与“期限结构”在学术上是有严格区别的，分别有着各自的定义。而一般通称的即期利率(Spot Rate) 指的是期限结构上某一个年期点上的利率，因为相对于远期利率的概念，因此称为即期利率。
由于期限结构制作方法较为复杂，因此以下先探讨收益率曲线的制作方式。
三、红顶收益率曲线的制作思路
红顶收益率曲线的制作思路就是使制作出来的收益率曲线具备前文所说的代表性、操作性、解释性。为了具有代表性，因此采用市场全部有交易的债券为样本（当然，必须扣掉极不合理债券），为了具有操作性，必须让曲线尽可能通过市场的观测点，为了具有解释性，因此透过债券风险补偿的学理来设计流动性指标。
红顶收益率曲线的制作思路图示
此外，曲线必须尽可能的平滑，使期限变化过程中利率变化最为平缓。由于作为指标的债券数目有限，无法单靠指标债券把整个收益率曲线连续完整的绘制出来，传统上绘制收益率曲线时，习惯把两个利率点用直线连接起来，这样做法虽然简单、直观，但是在利率点前后短期时间利率变化极大，无法真正解释实际利率的状况，实务上并不合理，且对精确评估市场利率以及用收益率曲线估计债券效率市场价格会出现极大的偏差。
针对这个问题，可以用平滑线的技术来加以解决：以所有可以计算到的收益率曲线的年期与利率为已知点，然后应用物理力学的原理，想象一个具有韧性的物质加以外力弯曲，使其通过所有点，这样形成的曲线是自然界最优化的曲线。计算方式需用到力学上，各点所受邻近两个(以上) 点的外力总和相等的特性，通过微分方程可以解出一组解，可以描述这样的曲线。
这样做的好处是：
(1) 通过观测点，具有可操作性
(2) 曲线各点切线连续，消除利率剧烈变动的因素
(3) 数学上为最适化的平滑线
综合以上两大思路，红顶采用样条法(Spline Method) 拟合模型，透过电脑寻优技术，找出最能适切描述市场利率状况的收益率曲线。
四、红顶收益率曲线制作的过程
第一步 建立基准年期
基准年期指的是收益率曲线上关键年期，是与国际债券市场收益率曲线比较时比较的基准年期。
参照国际通行的收益率曲线做法以及配合国内债券发行的期限，将基准年期分为以下几个年期：1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年、30年
基准年期中短年期的间隔比较小，长年期的间隔比较大，这是符合投资人利率边际敏感性递减的特征，因为投资人对距今较近各年的利率变化比较关切，而对较远的利率每年的变化则不是那么敏感。
第二步 筛选样本债券
为了使收益率曲线具有良好的代表性，红顶采用“最近一段期间有成交且价格合理的固定利率且不含期权债券” 作为样本债券。
(1) 所谓最近一段期间有成交是指：只要过去N日有交易，就可以纳入债
券（目前N = 3），这样可以避免债券除息前後交易所市场暂停交易造成曲线的空缺。
(2) 所谓价格合理是指：该债券最近N日有交易的最後一日交易价格与平
均价不能超过X倍的标准差（目前X = 2），这样做的目的是防止曲线受到单一债券价格剧烈波动的影响。
(3) 仅包含固定利率、不含期权的债券是因为浮动利率债券无法计算合适
的到期收益率，因此在收益率曲线的平面上没有合理的观测点。含期权债券由於不知道未来是回售还是赎回，也无法计算合适的到期收益率，因此也排除在样本之外。
第三步 样条曲线模型的建立
收益率曲线编制过程中较艰深的一个部分，就是建立样条曲线的模型，这个模型是：令t0= 1, t1, t2, „tn= 20为各个基准年期：
(1)
假设t在债券的当前期限上是连续的，想要求出收益率曲线y = f(t)的f函数，并取一个样条函数S(x)来分段趋近f(t)，条件满足：
(2)
其中(x, y) 每个债券的剩余年限和到期收益率的数值。
S函数的取法有很多，红顶采用的是指数样条法，该曲线的公式为：
(3)
由於曲线相连且最平滑，因此要求：
(4)
令
, 则：
, (5)
且同时满足边界条件：
第四步 优化条件的设置与寻优
寻优的目标是：为当前拟合出来的收益率曲线对市场上所有m个观察得到的债券所有现金流现值加总的解释误差之和必须最小，这些误差乘上一个债券的流动性系数，使得万一同一期限的两个债券出现不同收益率时，曲线会通过、或比较接近流动性好的那个债券。
定义目标函数为：
(6)
其中：
(7)
CFi,j: 债券i的第j个现金流
DPi: 债券k当日的收盘全价
Li: 债券i的流动性系数
有了这个条件，配合(2) ~ (7) 解连立方程式，就能把曲线函数f决定出来了
如何有效地使用债券收益率散点图分析？
债券收益率散点图分析是债券市场最基本的分析工具，透过这项分析工具我们可以了解债券收益率与剩余年期分布的情形、判别价格异常状况、察觉市场投资机会。红顶金融工程研究中心于2002年在市场上提出债券收益率与收益率曲线散点图的分析，并与多家投资机构探讨了这个领域的技术，特别以本文与大家分享这份经验。
什么是债券收益率散点图？
债券收益率散点图是个二维空间图，把债券剩余年期与到期收益率的关系以散点形式标明出来，同时绘制收益率曲线。这样的图形便叫做债券收益率散点图。
债券收益率散点图范例 (2004.6.4盘中)
债券收益率散点图有什么用处？
无论用什么数量方法做出来的收益率曲线一定要具备 (1)代表性 (2)解释性 (3)可操作性。
代表性是指收益率曲线必须代表市场上看不到的利率与期限之间的关系，解释性是指收益率曲线必须能解释债券市场上的价格成因，可操作性就是指收益率曲线上各年期的利率是投资人可以在该年期的债券品种上以曲线上的到期收益率进行买卖。
代表性与可操作性通常反映在市场上流动性较高的债券品种上，只有这些流动性好的债券才有代表性。因此如果某个债券利率的散点落于曲线的下方，代表该债券的流动性不佳却要求较低的收益率（较高的价格），因此是相对价格不合理的债券。
相反的，如果债券的利率的散点落于曲线的上方，代表该债券的流动性不佳，因此求较高的收益率（较低的价格），只要是利率在一定范围以内，就是价格相对合理的债券。
因此债券收益率曲线的散点图可以说明那些债券是价格相对合理、那些是相对不合理。
债券收益率散点图的分析法
债券收益率散点图有三种分析法：
1.合理价格区间法
投资人可以在债券收益率散点图设定上下合理利率范围（如范例图中的绿色曲线），当债券的收益率散点落于该曲线范围内，则价格视为合理，如果落于曲线范围之外，代表相对不合理，便有了介入的机会（因为至少当下立即卖掉债券可以买入同年期、收益率更高的债券，或是当下持有到期比从市场上另外买入同年期的债券获得更高的收益率）。
2.浮动利率债券分析法
由于国内的浮动利率债券票面基础利率是按照一年期定期存款利率设定的，该利率又是人民银行所规定、非市场交易的结果，因此常常市场利率大幅波动时定期存款利率并不会改变。
但是正向浮动利率债券 (Positive Floaters) 却可以在未来利率上升时获得票面的补偿、弥补利率上升时的跌价损失，反向的浮动利率债券 (Negative Floaters) 则可以在未来利率下升时获得票面的补偿、增加利率上升时的升值空间，因此浮动利率债券搭配债券收益率散点图会对国内这种基础利率不变动的情形起了很大的指导作用。
将浮动利率债券的基础利率按照当前基础利率推展，使之成为一个固定利率债券，按照当前市价可以推算出一个到期收益率，把这个到期收益率与债券剩余年限的关系以散点形式画在散点图上，如果是一个正向浮动利率债券、散点落于
曲线下方，代表着价格较高，则投资人会普遍存着未来利率上升的期待（如当前本范例中的010004, 010010两债券）。反之如果散点在曲线上方，则代表未来有降息的可能。
浮动利率债券分析法范例
所以用债券收益率散点图搭配浮动利率债券，可以观察出市场的利率走向与预期。
3.分段利率机会分析法
分析收益率曲线的形状与散点可以推出额外的投资机会。以当前上交所国债与国债收益率曲线的散点图来看，10年以上的四个债券收益率散点几乎成为水平线，这代表着10年至20年的区段可能有了投资的机会。
按照预期理论与风险回报关系来看，如果要投资20年，先投资10年券、十年后再投资10年券与当下直接投资20年券，显然先投资10年券就可以获得与直接投资20年券相同的收益率（暂时忽略课税考量），那后来的10年投资都是额外赚得的收益（假设无再投资风险）。
至于如何决策，则可按照前面所讲的收益率曲线与散点的关系下手。
分段利率机会分析法范例
红顶收益率曲线制作说明（交易所市场）
投资固定收益证券(Fixed Income Securities) 最重要的市场指标之一就是收益率曲线(Yield Curve)。红顶金融工程研究中心曾先后参与过国外债券交易中心的收益率曲线编制工作，以及提供国内银行间债券市场期限结构编制的技术并通过论证，因此本文根据这些研究成果与编制经验，为各位读者介绍收益率曲线的概念、使用方法、以及如何制作国内交易所债券市场的收益率曲线。 一、基础介绍
何谓收益率曲线(Yield Curve)
收益率曲线是指零息债券的收益率与其到期日之关系－横轴为各到期期限(Time to Maturity)，纵轴为相对应之到期收益率(Yield to Maturity)，用以描述两者之关系。
为何需要估计收益率曲线？
从固定收益证券的投资与操作来看，掌握市场的收益率曲线是进行投资的首要工作，因为收益率曲线具有下列义涵：
代表性
收益率曲线代表一个市场的利率结构，能够真实反应出一个市场短中长期利率的关系，对投资者操作长天期或短天期债券十分重要。
操作性
收益率曲线是根据市场上具有代表性的交易品种所绘制出来的利率曲线，这些具代表性的品种称为指标债券，由于指标债券必须具备流动性大、交投热络的条件，因此具备可操作性。投资者可以根据收益率曲线上的利率进行操作
解释性
收利率曲线对固定收益证券的价格具有极强的解释性，了解曲线的结构有助于了解债券价格。如果某一支债券价格偏离了根据收益率曲线推算出来的理论价格，通常会有两种情况：一是该支债券流动性不足，因此偏离的价格无法透过市场机制加以修正，二是该支债券流动性足够，这种偏差将只是短暂现象，很快就会被拉回合理价位。
分析性
在进行债券的资产管理与风险分析时，收益率曲线是必要参考的数据：在许多财务金融的应用上，如未来开放利率衍生性商品后，对于这相商品的订价，以及利率相关商品风险管理制度等，收益率曲线均是不可缺少之基本数据。
二、名词解释
“收益率曲线” 以及“期限结构” 两个名词常被国内投资人混淆，虽然两者的概念很类似，但是定义截然不同，在债券市场上的应用也完全不一样，因此投资人有必要把这两个名词的观念搞懂。
(1) 收益率曲线(Yield Curve)
指的是附息债券到期收益率(Yield to Maturity) 和剩余年期的关系，代表着如果当下持有这个剩余年期的债券而且持有到期，包含期间所有的利息收入与期末的本金反还，整体的内部投资报酬率(Internal Rate of Return)。
(2) 期限结构(Term Structure)
指的是计算未来一笔现金流当前现值所用的贴现率(Discounted Rate) 和该笔现金流距今年期的关系，代表持有这笔现金的时间价值。
由以上定义可知：“收益率曲线” 与“期限结构”在学术上是有严格区别的，分别有着各自的定义。而一般通称的即期利率(Spot Rate) 指的是期限结构上某一个年期点上的利率，因为相对于远期利率的概念，因此称为即期利率。
由于期限结构制作方法较为复杂，因此以下先探讨收益率曲线的制作方式。
三、红顶收益率曲线的制作思路
红顶收益率曲线的制作思路就是使制作出来的收益率曲线具备前文所说的代表性、操作性、解释性。为了具有代表性，因此采用市场全部有交易的债券为样本（当然，必须扣掉极不合理债券），为了具有操作性，必须让曲线尽可能通过市场的观测点，为了具有解释性，因此透过债券风险补偿的学理来设计流动性指标。
红顶收益率曲线的制作思路图示
此外，曲线必须尽可能的平滑，使期限变化过程中利率变化最为平缓。由于作为指标的债券数目有限，无法单靠指标债券把整个收益率曲线连续完整的绘制出来，传统上绘制收益率曲线时，习惯把两个利率点用直线连接起来，这样做法虽然简单、直观，但是在利率点前后短期时间利率变化极大，无法真正解释实际利率的状况，实务上并不合理，且对精确评估市场利率以及用收益率曲线估计债券效率市场价格会出现极大的偏差。
针对这个问题，可以用平滑线的技术来加以解决：以所有可以计算到的收益率曲线的年期与利率为已知点，然后应用物理力学的原理，想象一个具有韧性的物质加以外力弯曲，使其通过所有点，这样形成的曲线是自然界最优化的曲线。计算方式需用到力学上，各点所受邻近两个(以上) 点的外力总和相等的特性，通过微分方程可以解出一组解，可以描述这样的曲线。
这样做的好处是：
(1) 通过观测点，具有可操作性
(2) 曲线各点切线连续，消除利率剧烈变动的因素
(3) 数学上为最适化的平滑线
综合以上两大思路，红顶采用样条法(Spline Method) 拟合模型，透过电脑寻优技术，找出最能适切描述市场利率状况的收益率曲线。
四、红顶收益率曲线制作的过程
第一步 建立基准年期
基准年期指的是收益率曲线上关键年期，是与国际债券市场收益率曲线比较时比较的基准年期。
参照国际通行的收益率曲线做法以及配合国内债券发行的期限，将基准年期分为以下几个年期：1年、2年、3年、5年、7年、10年、15年、20年、30年
基准年期中短年期的间隔比较小，长年期的间隔比较大，这是符合投资人利率边际敏感性递减的特征，因为投资人对距今较近各年的利率变化比较关切，而对较远的利率每年的变化则不是那么敏感。
第二步 筛选样本债券
为了使收益率曲线具有良好的代表性，红顶采用“最近一段期间有成交且价格合理的固定利率且不含期权债券” 作为样本债券。
(1) 所谓最近一段期间有成交是指：只要过去N日有交易，就可以纳入债
券（目前N = 3），这样可以避免债券除息前後交易所市场暂停交易造成曲线的空缺。
(2) 所谓价格合理是指：该债券最近N日有交易的最後一日交易价格与平
均价不能超过X倍的标准差（目前X = 2），这样做的目的是防止曲线受到单一债券价格剧烈波动的影响。
(3) 仅包含固定利率、不含期权的债券是因为浮动利率债券无法计算合适
的到期收益率，因此在收益率曲线的平面上没有合理的观测点。含期权债券由於不知道未来是回售还是赎回，也无法计算合适的到期收益率，因此也排除在样本之外。
第三步 样条曲线模型的建立
收益率曲线编制过程中较艰深的一个部分，就是建立样条曲线的模型，这个模型是：令t0= 1, t1, t2, „tn= 20为各个基准年期：
(1)
假设t在债券的当前期限上是连续的，想要求出收益率曲线y = f(t)的f函数，并取一个样条函数S(x)来分段趋近f(t)，条件满足：
(2)
其中(x, y) 每个债券的剩余年限和到期收益率的数值。
S函数的取法有很多，红顶采用的是指数样条法，该曲线的公式为：
(3)
由於曲线相连且最平滑，因此要求：
(4)
令
, 则：
, (5)
且同时满足边界条件：
第四步 优化条件的设置与寻优
寻优的目标是：为当前拟合出来的收益率曲线对市场上所有m个观察得到的债券所有现金流现值加总的解释误差之和必须最小，这些误差乘上一个债券的流动性系数，使得万一同一期限的两个债券出现不同收益率时，曲线会通过、或比较接近流动性好的那个债券。
定义目标函数为：
(6)
其中：
(7)
CFi,j: 债券i的第j个现金流
DPi: 债券k当日的收盘全价
Li: 债券i的流动性系数
有了这个条件，配合(2) ~ (7) 解连立方程式，就能把曲线函数f决定出来了
如何有效地使用债券收益率散点图分析？
债券收益率散点图分析是债券市场最基本的分析工具，透过这项分析工具我们可以了解债券收益率与剩余年期分布的情形、判别价格异常状况、察觉市场投资机会。红顶金融工程研究中心于2002年在市场上提出债券收益率与收益率曲线散点图的分析，并与多家投资机构探讨了这个领域的技术，特别以本文与大家分享这份经验。
什么是债券收益率散点图？
债券收益率散点图是个二维空间图，把债券剩余年期与到期收益率的关系以散点形式标明出来，同时绘制收益率曲线。这样的图形便叫做债券收益率散点图。
债券收益率散点图范例 (2004.6.4盘中)
债券收益率散点图有什么用处？
无论用什么数量方法做出来的收益率曲线一定要具备 (1)代表性 (2)解释性 (3)可操作性。
代表性是指收益率曲线必须代表市场上看不到的利率与期限之间的关系，解释性是指收益率曲线必须能解释债券市场上的价格成因，可操作性就是指收益率曲线上各年期的利率是投资人可以在该年期的债券品种上以曲线上的到期收益率进行买卖。
代表性与可操作性通常反映在市场上流动性较高的债券品种上，只有这些流动性好的债券才有代表性。因此如果某个债券利率的散点落于曲线的下方，代表该债券的流动性不佳却要求较低的收益率（较高的价格），因此是相对价格不合理的债券。
相反的，如果债券的利率的散点落于曲线的上方，代表该债券的流动性不佳，因此求较高的收益率（较低的价格），只要是利率在一定范围以内，就是价格相对合理的债券。
因此债券收益率曲线的散点图可以说明那些债券是价格相对合理、那些是相对不合理。
债券收益率散点图的分析法
债券收益率散点图有三种分析法：
1.合理价格区间法
投资人可以在债券收益率散点图设定上下合理利率范围（如范例图中的绿色曲线），当债券的收益率散点落于该曲线范围内，则价格视为合理，如果落于曲线范围之外，代表相对不合理，便有了介入的机会（因为至少当下立即卖掉债券可以买入同年期、收益率更高的债券，或是当下持有到期比从市场上另外买入同年期的债券获得更高的收益率）。
2.浮动利率债券分析法
由于国内的浮动利率债券票面基础利率是按照一年期定期存款利率设定的，该利率又是人民银行所规定、非市场交易的结果，因此常常市场利率大幅波动时定期存款利率并不会改变。
但是正向浮动利率债券 (Positive Floaters) 却可以在未来利率上升时获得票面的补偿、弥补利率上升时的跌价损失，反向的浮动利率债券 (Negative Floaters) 则可以在未来利率下升时获得票面的补偿、增加利率上升时的升值空间，因此浮动利率债券搭配债券收益率散点图会对国内这种基础利率不变动的情形起了很大的指导作用。
将浮动利率债券的基础利率按照当前基础利率推展，使之成为一个固定利率债券，按照当前市价可以推算出一个到期收益率，把这个到期收益率与债券剩余年限的关系以散点形式画在散点图上，如果是一个正向浮动利率债券、散点落于
曲线下方，代表着价格较高，则投资人会普遍存着未来利率上升的期待（如当前本范例中的010004, 010010两债券）。反之如果散点在曲线上方，则代表未来有降息的可能。
浮动利率债券分析法范例
所以用债券收益率散点图搭配浮动利率债券，可以观察出市场的利率走向与预期。
3.分段利率机会分析法
分析收益率曲线的形状与散点可以推出额外的投资机会。以当前上交所国债与国债收益率曲线的散点图来看，10年以上的四个债券收益率散点几乎成为水平线，这代表着10年至20年的区段可能有了投资的机会。
按照预期理论与风险回报关系来看，如果要投资20年，先投资10年券、十年后再投资10年券与当下直接投资20年券，显然先投资10年券就可以获得与直接投资20年券相同的收益率（暂时忽略课税考量），那后来的10年投资都是额外赚得的收益（假设无再投资风险）。
至于如何决策，则可按照前面所讲的收益率曲线与散点的关系下手。
分段利率机会分析法范例