狄拉克函数证明

试证明：∇21K K =−4πδ(r −r ′) r −r ′

证明：三维空间中δ函数的定义式是

K K K ⎧0(x ′, y ′, z ′) ∉V ∫V δ(r −r ′)d V (r ) =⎨′′′1(x , y , z ) ∈V ⎩

若能证明下式即可

1K ⎧0(x ′, y ′, z ′) ∉V d V (r ) =⎨∫V ∇r ′′′′−πx y z ∈V 4(, , ) −r ⎩2

当r ≠r ′时，应用矢量恒等式得到 K K

K K ⎤⎡⎡⎤r 11(−r ′) ∇2=∇⋅⎢∇⎥=∇⋅⎢−3⎥r −r ′⎢⎣r −r ′⎦⎣r −r ′⎥⎦K ∇⋅(r −r ′) K K 1=−3−(r −r ′) ⋅∇3r −r ′r −r ′ K K 33(r −r ′) K K =−3+4⋅∇r −r ′r −r ′r −r ′K K K 33(r −r ′) (r −r ′) =−3+4⋅=0r −r ′r −r ′r −r ′

当r ′在V 时，应用高斯定理及恒等式得到 K

1K 2∇V r d () ∫V r ′−r

K ⎡1⎤1K =∫∇⋅⎢∇⎥d V (r ) =v ⋅d S ∫S ∇r V ′r −r −r ′⎣⎦

K K K K ⎡(r −r ′) K (r −r ′) K ⎤=−v ⎢−v 3⋅d S =lim 3⋅d S ⎥ ∫S r ∫S a a 0→r −r ′−r ′⎢⎥⎣⎦K K a K K ⎤⎡⎤⎡1=lim ⎢−v ⋅d S ⎥=−lim ⎢2v n ⋅d S ⎥=∫S a a 3a →0a →0a ∫S a ⎣⎦⎣⎦

1=−24πa 2=−4πa

K K K S a 为以r ′为球心，半径为a 的V 内的一个小球面，在此球面上r −r ′=a ，得证。

试证明：∇21K K =−4πδ(r −r ′) r −r ′

证明：三维空间中δ函数的定义式是

K K K ⎧0(x ′, y ′, z ′) ∉V ∫V δ(r −r ′)d V (r ) =⎨′′′1(x , y , z ) ∈V ⎩

若能证明下式即可

1K ⎧0(x ′, y ′, z ′) ∉V d V (r ) =⎨∫V ∇r ′′′′−πx y z ∈V 4(, , ) −r ⎩2

当r ≠r ′时，应用矢量恒等式得到 K K

K K ⎤⎡⎡⎤r 11(−r ′) ∇2=∇⋅⎢∇⎥=∇⋅⎢−3⎥r −r ′⎢⎣r −r ′⎦⎣r −r ′⎥⎦K ∇⋅(r −r ′) K K 1=−3−(r −r ′) ⋅∇3r −r ′r −r ′ K K 33(r −r ′) K K =−3+4⋅∇r −r ′r −r ′r −r ′K K K 33(r −r ′) (r −r ′) =−3+4⋅=0r −r ′r −r ′r −r ′

当r ′在V 时，应用高斯定理及恒等式得到 K

1K 2∇V r d () ∫V r ′−r

K ⎡1⎤1K =∫∇⋅⎢∇⎥d V (r ) =v ⋅d S ∫S ∇r V ′r −r −r ′⎣⎦

K K K K ⎡(r −r ′) K (r −r ′) K ⎤=−v ⎢−v 3⋅d S =lim 3⋅d S ⎥ ∫S r ∫S a a 0→r −r ′−r ′⎢⎥⎣⎦K K a K K ⎤⎡⎤⎡1=lim ⎢−v ⋅d S ⎥=−lim ⎢2v n ⋅d S ⎥=∫S a a 3a →0a →0a ∫S a ⎣⎦⎣⎦

1=−24πa 2=−4πa

K K K S a 为以r ′为球心，半径为a 的V 内的一个小球面，在此球面上r −r ′=a ，得证。


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