Dirac 符号系统与表象
一、Dirac 符号
1. 引言
我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间, 即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax , Ay , Az ) 表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量
（1）. 右矢空间
力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：
=∑a n n
n
（2）. 左矢空间
右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Qn > 展开：
|ψ > = a1 |Q 1> + a2 |Q 2> + ... + a3 |Q3 > + ...
展开系数即相当于 Q 表象中的表示：
⎛a 1 a 2
ψ=
a n ⎝
⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭
展开系数即相当于 Q 表象中的表示：
ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )
同理 某一左矢量
和
的标积为：=ψ=
∑b
n
n
*a n 。显然 = 。对于满足归
*
∑a
n
n
这样，本征态的归一化条件可以写为： *a n =1。
=δ(p ' -p '') 连续谱 =δ(x ' -x '') 连续谱
=δnm 分立谱
由此可以看出： 满足：
a ）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；
b ）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；
c ）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）. 本征函数的封闭性 a ）分立谱 展开式：
ψ=∑a n Q n
n
⇒
=
∑
n
a n (t )
=
∑
n
a n (t ) δmn =a n (t )
可得：
|ψ>=
∑
n
|Q n >
因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：
∑
n
|Q n >
b ）连续谱
对于连续谱 |q > ，q 取连续值，任一状态 |ψ >展开式为：
|ψ>=
⎰
a q (t ) |q >dq
⇒
|ψ >=
⎰
|q >dq
因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：
⎰
|q >dq
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符
|Qn >
上，相当于把 |ψ> 投影到左基矢 |Qn > 或 |q> 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn > 上的分量 或
。故称 |Qn >
因为|ψ> 在 X 表象的表示是ψ(x, t)，所以显然有：
⎧=ψ(x , t )
⎨
⎩=*=ψ*(x , t ) 在分立谱下：
∑|Q n >
='
n
n
所以∑u n *(x ') u n (x ) =δ(x -x ') 。
n
在连续谱下：
⎰
|q >dq
⎰
d
=
'> |x x
所以⎰u q *(x ') u q (x ) dq =δ(x -x ') 。
上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下： ∑u n *(x ' ) u n (x ) =δ(x -x ' ) u n *(x ) u m (x ) dx =δnm
⎰n
⎰u q *(x ' ) u q (x ) dq =δ(x -x ' ) ⎰u q ' *(x ) u q (x ) dx =δ(q -q ' )
正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 3. 算符
（1）. 右矢空间 X 表象下：
ˆ(x , p ˆ) ϕ(x , t ) ψ(x , t ) =F
在一般Dirac 表象下： ˆ|Q >
ˆ|φ>=|ψ>=F ∑
n
ˆ|φ>=
写成矩阵形式为： ˆ|Q >,
, ⎫⎛
⎫112⎛⎫1⎪⎛ ⎪ ⎪
ˆˆ⎪
,
,
⎪ ⎪ 221222 ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪
⎪ ⎪
⎪ ˆ|Q >
⎪
⎪
即Q 表象下ψ = F φ。
ˆ|ψ>。利用利用分立谱下的完备性可以得到： 平均值公式：F =
F ==
∑
m n
ˆ|Q >
*
m
∑
m n
（2）. 共轭式（右矢空间）
=
⎛
Q m |ψ>*= ∑
⎝n
ˆ|Q >
⎫
⎭
*
*
⎛⎫= ∑F m n
⎪=⎝n ⎭=
∑
n
*=F nm n
∑
n
(F ) nm
+
∑
n
ˆ+|Q >=
ˆ+。如果F ˆ。 ˆ+为厄米算符，则有
表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。
例：力学量算符 x 在动量中的形式
ˆ|ϕ>=ˆ|ϕ>
=
=x
⎰
ˆ|p '>dp '
ˆ|p '>=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
12π ∂
ˆ|x '>dx '
dx
dxx 'dx '
dxx 'δ(x -x ') dx '
xdx =
==
⎰⎰2π
12π
i
1
e ∂∂p
-
i
px
i
xe e
-
p 'x
dx
i p 'x
dx
⎰⎰
i
∂∂p
e
-
i
px
i
e
p 'x
i
dx =
⎰⎰
px
e
=i
∂p
δ(p -p ')
ˆ|φ>=ˆ|p '>d p '
即有：
=
∂∂
=⎰i δ(p -p ') d p '
=i
∂p ∂p 故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式：
4. 总结
ˆ=i x
∂∂p
项目
波函数
X 表象
ψ(x , t ) ˆ(r F , -i ∇)
Dirac 符号
|ψ(t ) >
ˆF
=δ
mn
（1）算符
X *
u m (x ) u n (x ) dx =δmn 归一化⎰表*
本征函数ψ(x , t ) ψ(x , t ) dx =1⎰象
正交*描u q '(x ) u q ''(x ) dx =δ(q '-q '') ⎰归一性述
*u n (x ') u n (x ) =δ(x '-x ) ∑与本征函数
n
*狄封闭性
⎰u q (x ') u q (x ) dq =δ(x '-x )
拉
ˆ(x , p ˆx ) Φ(x , t ) 公式ψ(x , t ) =F 克
ˆ) ψ(r ˆ(r 符本征方程F , p ) =λψ(r )
号ˆψdx 平均值=⎰ψ*F
矩阵元S -方程
i F mn =∂∂t
=1
=δ(q '-q '')
|Q n >
⎰|q >dq
ˆ|Φ(t ) >|ψ(t ) >=F ˆ|ψ>=λ|ψ>F
ˆ|ψ>=
ˆ|n >F mn =
d dt
ˆ|ψ(t ) >|ψ(t ) >=H
⎰
ψ
*
m
ˆψdx F n
ˆ(r ψ(r , t ) =H , -i ∇) ψ(r , t )
（2）左右矢空间的对应关系
左矢空间
右矢空间
ˆF
+
ˆF
ˆ|φ>|ψ>=F
由常量C 、左矢、右矢和算符组成的表
示式，求其厄密共轭式的表示规则
ˆ+
（3）厄密共轭规则
1）把全部次序整个颠倒
常量
2）作如下代换：
右矢
| >
C C*
| >
ˆF
ˆ|v >|φ>
C
ˆ+F
ˆ+|u >C *|ψ>
|F
二、态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z) 的函数表示，也就是说描写状态的
波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
1. 动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
动量本征函数：
ψp (x ) =
ipx /
组成完备系，任一状态Ψ可按其展开。 展开系数：ψ(x , t ) =
⎰
C (p , t ) ψp (x ) dp ，C (p , t ) =
⎰
ψp *(x ) ψ(x , t ) dx 。
命题：假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一。 证明：
1=====
⎰
ψ*(x , t ) ψ(x , t ) dx
C (p ', t ) ψ
p '
⎰[⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(x ) dp ']*[⎰C (p , t ) ψp (x ) dp ]dx
p '
C (p ', t ) *C (p , t ) dp 'dp ⎰ψ
*(x ) ψp (x ) dx
C (p ', t ) *C (p , t ) dp 'dp δ(p '-p )
C (p , t ) *C (p , t ) dp
C (p , t ) 的物理意义：
|Ψ(x,t)|2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)|2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。 若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量 p’ 的自由粒子态，即：
-iE t /
ψ(x , t ) =ψp '(x ) e
2
p '
E p '=
2μ
则相应动量表象中的波函数：
-iE t / C (p , t ) =ψ*(x ) ψ(x , t ) dx =ψ*(x ) ψ(x ) e dx p '⎰p ⎰p
-iE t / -iE t / =e ψ*(x ) ψ(x ) dx =e δ(p -p ') 'p ⎰p
所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ- 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。
x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x) 。这可有本
p '
p '
p '
p '
征方程看出：
x δ(x '-x ) =x 'δ(x '-x )
ψx '(x ) =δ(x '-x )
2. 力学量表象 推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 （1）. 具有分立本征值的情况
设 算符Q 的本征值为： Q 1, Q 2, ... , Q n , ... ， 相应本征函数为： u 1(x), u 2(x), ... , u n (x), ... 。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：
ψ(x , t ) =
a n (t ) u n (x )
∑
n
a n (t ) =
⎰u
n
*(x ) ψ(x . t ) dx
若Ψ, un 都是归一化的，则 a n (t) 也是归一化的。 证明：
1=
⎰ψ*(x , t ) ψ(x . t ) dx =⎰[∑a m
(t ) u m
(x )]*∑
a n (t ) u n (x ) dx
m
n
=∑∑
a m *(t ) a n (t ) m *(x ) u n (x ) dx
m
n
⎰u =∑∑
a m *(t ) a n (t ) δm n
m
n
=
∑
a n *(t ) a n (t )
n
根据矩阵形式归一化可写为： ⎛a 1 (t ) ⎫
⎪
a 2(t ) ⎪
ψ= ⎪⎪ψ+
=(a 1(t ) *
a 2(t ) *
a n (t ) *
a n (t ) ⎪
⎝ ⎪
⎭ ⎛a 1(t ) ⎫
a (t ) ⎪2⎪+ ψψ=(a 1(t ) *a 2(t ) *
a n (t ) *
)
⎪ ) ⎪ a n (t ⎪ ⎝ ⎪⎭
=∑a n (t ) *a n (t ) =1
n
（2）. 具有连续本征值的情况
)
设力学量Q 的本征值和本征函数为：
Q 1, Q 2, ..., Q n , ..., q
u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ..., u q (x)
则有： ψ(x , t ) =∑a n (t ) u n (x ) +⎰a q (t ) u q (x ) dq n 归一化： ∑a n *(t ) a n (t ) +⎰a q *(t ) a q (t ) dq =1
n
其中：
⎧a (t ) =
⎰u n *(x ) ψ(x , t ) dx ⎪n
⎨
a q (t ) =⎰u q *(x ) ψ(x , t ) dx ⎪⎩
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示：
⎛a 1(t ) ⎫ ⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ψ= ⎪
a (t ) n ⎪ ⎪ ⎪ a (t ) ⎪⎝q ⎭
ψ+=(a 1(t ) *
a 2(t ) *
a n (t ) *
a q (t ) *)
3. 讨论
有上述讨论可以知道，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ... 是Q 表象的基本矢量简称基矢。
波函数
⎛a 1(t ) ⎫ ⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ψ= ⎪
a (t ) n ⎪ ⎪ ⎪ a (t ) ⎪⎝q ⎭
是态矢量Ψ在Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q 表象的基矢有无限多个，
所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。
三、算符的矩阵表示
1. 力学量算符的矩阵表示
Q 表象：
代入坐标表象： 得到：
⎧ψ(x , t ) =∑a m (t ) u m (x ) ⎪m
⎨
⎪Φ(x , t ) =∑b m (t ) u m (x )
m ⎩
ˆ(x , p ˆ) ψ(x , t ) Φ(x , t ) =F
ˆ(x , -i =F
∂
∂x
) ψ(x , t )
∑
m
ˆ(x , -i b m (t ) u m (x ) =F
∂
∂x
) ∑a m (t ) u m (x )
m
∂∂x
∑
m
b m (t ) ⎰u n *u m (x ) dx =
∑[⎰
m
ˆ(x , -i u n *F F nm a m (t )
) u m (x ) dx ]a m (t )
∑
m
b m (t ) δnm =
∑
m
即b n (t ) =
∑
m
F nm a m (t )
。其中利用了下式：
F nm ≡
⎰
ˆ(x , -i u n *(x ) F
∂∂x ) u m (x ) dx
从而得到Q 表象的表达方式：b n (t ) =写成矩阵形式为 ⎛b 1(t ) ⎫
⎪
b 2(t ) ⎪ ⎪
简写为ψ=F ϕ
∑
m
F nm a m (t )
n =1, 2,
⎛F 11 F 21
= ⎪ b n (t ) ⎪ F n 1 ⎪ ⎝⎭⎝
F 12F 22 F n 2
F 1m F 2m F nm
⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎭⎛a 1(t ) ⎫ ⎪ a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪ a m (t ) ⎪ ⎪ ⎝⎭
例：求 L x 在 L 2, Lz 共同表象，λ=1子空间中的矩阵表示。
令： u 1 = Y11 u 2 = Y10 , u3 = Y1-1，则L x 的矩阵元计算如下：
利用
可得：
(L x ) ij =
⎰
12
ˆu d Ωu i *L x j
i , j =1, 2, 3
L x =
ˆ+L ˆ) (L +-
L ±Y lm =l , m ±1
1ˆ⎧ˆ) Y =1 Y L u =(L +L +-1110x 1
写成矩阵：
10⎫⎛0⎛0-i 0⎫
⎪⎪
L =101L =i 0-i ⎪ ⎪x y
2 2 0i 10⎪0⎪ ⎝0⎭⎝⎭
由此可得L x 的矩阵元为
(Lx ) 11 = (Lx ) 22 = (Lx ) 33 = 0
(Lx ) 13 = (Lx ) 31 = 0
2. Q表象中力学量算符F 的性质 （1）. 力学量算符用厄米矩阵表示
F nm =
⎛1 L z = 0
0⎝
000
⎫⎪0⎪-1⎪⎭
(Lx ) 12 = (Lx ) 21 = (Lx ) 23 = (Lx ) 32 = η/21/2
⎰
ˆ(x ) dx u n *(x ) Fu m
ˆ(x )) *dx ]*=[⎰u n (x )(Fu m =[⎰
ˆ(x ) dx ]*u m *(x ) Fu n
*=(F +) =F m n *=F nm nm
所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。
例：在例1中给出了 L x , L y 在 L 2, L 表象中的矩阵形式，下面我们验证
一下这两个矩阵是厄密矩阵。（略） （2）. 力学量算符在自身表象中的形式
ˆ(x ) =Q u (x ) ，则Q 的矩阵元为： Qu n n n
Q nm =
⎰
ˆu (x ) dx u n *(x ) Q m
=Q m ⎰u n *(x ) u m (x ) dx =Q m δnm
结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。 3 .Q有连续本征值的情况 讨论只有连续本征值的情况
如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q ，求和换成积分，见下表。
F qq '=
算符F 在Q 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：
⎰u
q
ˆ(x , -i *(x ) F
∂
∂x
) u q '(x ) dx
四、量子力学公式的矩阵表示
1 .平均值公式 坐标表象下：F =在Q 表象中：
⎧ψ(x , t ) =∑a n (t ) u n (x ) ⎪n
⎨
⎪ψ*(x , t ) =∑a n *(t ) u n *(x )
n ⎩F =
⎰
ˆψ(x , t ) dx 。 ψ*(x , t ) F
⎰∑
m
ˆa m *(t ) u m *(x ) F ∑a n (t ) u n (x ) dx
n
==
∑∑
m
n
ˆ(x ) dx ]a (t ) a m (t ) *[⎰u m *(x ) Fu n n a m (t ) *F m n a n (t )
∑∑
m
n
写成矩阵形式为：
⎛F 11
F 21 F m 1 ⎝
F 12F 22 F m 2
F 1n F 2n
F m n
⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
⎛a 1(t ) ⎫
⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪a (t ) n ⎪ ⎪⎝⎭
F =(a 1*(t ), a 2*(t ), , a m *(t ) )
即F =ψ*F ψ 2 .本征方程
ˆψ(x ) =λψ(x ) F
F ψ=
λ ψ
写成矩阵形式为：
F 12 F 1n ⎫⎛a 1⎫⎛F 11⎛a 1⎫
⎪ ⎪ ⎪
F F F a a 21⎪ 2⎪ 2⎪222n ⎪ ⎪ ⎪
=λ ⎪ ⎪ ⎪
F n 1 a n ⎪F n 2 F nn ⎪ a n ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
整理改写为： F 12 F 1n ⎫⎛a 1⎫⎛F 11-λ
⎪ ⎪
F F -λ F a 21⎪ 2⎪222n ⎪ ⎪
=0 ⎪ ⎪
F n 1F n 2 F nn -λ ⎪ a n ⎪
⎪ ⎪
⎭⎝⎭⎝
上式是一个齐次线性方程组：
∑(F mn -λδmn ) a n =0 n
m =1, 2,
方程组不完全为零解的条件为久期方程等于零，即：
F 11-λF 12 F 1n
F 21F 22-λ F 2n
=0
F n 1F n 2 F nn -λ
求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn , ....就是F 的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi 的本征矢：
⎛a 1i ⎫
⎪
a 2i ⎪
⎪ i =1, 2, , n ⎪
a ni ⎪
⎪
⎝⎭
于是求解微分方程的问题化为求解代数根的问题。
例： Â 本征函数 u m (x) 在自身表象中的矩阵表示。
同样将 u m (x) 按 Â 的本征函数展开：u m (x ) =∑a n u n (x ) ，所以 u m (x)
n
在自身表象中的矩阵表示如下：
⎛1⎫ ⎪ 0⎪ 0⎪u 1= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭⎛0⎫ ⎪ 1⎪ 0⎪u 2= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭
u m
⎛0⎫ ⎪0 ⎪ ⎪
⎪=
a m =1⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭
例：求 L x 本征态在 L z 表象中的矩阵表示，只讨论(λ=1)情况。
L x 本征方程为：
2
⎛ -λ 2 0⎝
⎛0 1 0⎝
1
01
0⎫⎪1⎪0⎪⎭⎛a 1⎫
⎪ a 2⎪=λ ⎪⎝a 3⎭⎛a 1⎫ ⎪ a 2⎪ ⎪⎝a 3⎭
-λ
⎫⎪
2⎪
⎪
-λ⎪
2⎪⎪
-λ⎪2⎭
2-λ 2
0 2-λ
=0
⎛a 1⎫
⎪ a 2⎪=0 ⎪⎝a 3⎭
2
从而有λ(-λ2 + ħ2) = 0 ，解得本征值为：λ= 0, ±ħ。 取λ= ħ代入本征方程得： ⎛⎫
0⎪ -
2 ⎪⎛a ⎫
1
⎪ ⎪
- ⎪ a 2⎪=0 22 ⎪ ⎪
⎝a 3⎭ ⎪
- ⎪ 0
2⎝⎭
解得：a 1=(1/21/2) a2 a 3=(1/21/2) a2 则λ=1, Lx = ħ的本征态可记为： ⎛2⎫
⎪
ξ11= 1⎪a 2
1⎪
⎪⎝2⎭
有归一化条件得到：
⎛12⎫
⎪⎛1⎫+12⎪a 2* 1⎪a 2 ξ11ξ11= =2|a 2|=1 212⎪
1⎪⎝⎭ ⎪
⎝2⎭
同理得到另外两个本征值对应的本征函数：
a 2=
12
⎛1⎫ 2⎪
ξ11= 12⎪ξ10=
⎪
1⎪
⎝2⎭
2 .薛定谔方程的矩阵形式
i ∂∂t
⎛12 0 -⎝
12
⎫⎪⎪⎪⎪⎭
ξ1-1
⎛1⎫ 2⎪= 12⎪ ⎪ -1⎪⎝2⎭
ˆψ(x , t ) ，按力学量算符ψ(x , t ) =H
Q 的本征矢展开有
ψ(x , t ) =
∑
n
a n (t ) u n (x )
代入薛定谔方程得到：
∂
i
∑∂t
n
∂
a n (t ) u
n
ˆx (=) H u ) n x () ∑a n t (
n
i
∑∂t
n
a n (t ) ⎰u m *(x ) u n (x ) dx =
∂∂t
∑
n
ˆ(x ) dx a n (t ) ⎰u m *(x ) Hu n
i
∑
n
a n (t ) δmn =
∑
n
a n (t ) H mn
i
∂∂t
a m (t ) =
∑
n
H mn a n (t )
m , n =1, 2,
H mn =
⎰
ˆ(x ) dx u m *(x ) Hu n
⎫
⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
⎛a 1(t ) ⎫
⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪a (t ) n ⎪ ⎪⎝⎭
得到：i
∂∂t
⎛a 1(t ) ⎫⎛H 11
⎪
H a 2(t )
⎪ 21 ⎪= ⎪ a (t ) n ⎪ H m 1 ⎪ ⎝⎭⎝
∂∂t
ψ=H ψ
H 12H 22 H m 2
H 1n H 2n H m n
简写为：i ，其中H ，Ψ都是矩阵。
四、Hellmann - Feynman定理及应用
1 .引言
关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F 定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。
（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F 定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。 2 .H-F定理
设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，E n 是 H 的本征值，ψn 是归一
的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则
∂E n ∂λ
=ψ
ˆ∂H
n
∂λ
ψn
证明：据题设，ψn 满足本征值方程：
ˆ-E ) |ψ>=0 (H n n
其共轭方程为：
ˆ-E ) =0
∂∂λ
ˆ-E ) ψ|>+
∂
H |ˆ(-E n
∂∂λψn >=|
∂ˆψH |n >-=
∂λ∂λ∂λ
=
∂∂λ
∂∂λ
ˆψH |n >
∂E n
∂E n ∂λ
ˆ|ψ>H n
3 .实例
（1）证明一维谐振子 = 。
证明：一维谐振子哈密顿量： 22
d 221ˆ=- H +μωx 222μdx
E n =(n +1) ωn =0,1, 2, 2
方法 I ：取μ作为参数λ
2222ˆ∂H d ∂E n 1 d 22122
=+2ωx ==0[-(-) +1μωx ]2222
∂μ2μdx ∂μμ2μdx
2ˆ 1p ∂E n ∂H
+V (x )]=ψn n =[-
μ2μ∂μ∂μ 22
p 1p
n + V ( x ) n n (x ) n =ψn 0 =
ψ n - 2μμ2μ
简记为
=
p
2
2μ
>
方法II
ˆ∂H ∂ω
令λ= ω
=μωx
2
==
2
ω
2
[
12
μω
n
V (x ) >
ω
V (x )
=(n +) ω=
222E n
2
p ˆ>=+
2μp 2
2=+
p 2
=
2μ
2
方法III
ˆ∂H ∂
=∂∂ ψ
取λ=
[-
2
2
d
22
2μdx +
1
2
22
μωx ]=-
d
μdx
2
2p
=[-]=[]2 2μdx 2μ
2
2d
22
由HF
定理
∂E n ∂
=
ˆ∂H
n
∂
n
(n +
1
2
) ω=
2μ
>
p
2
2μ
>=
12(n +1) ω=21
2E n =12
[
p
2
2μ
>+]
p 2
=
2μ
2
=
ψ
n
=
2
12
n
r ∙∇V (r ) n
将 视为参数由HF 定理
ˆ=-H
ˆ∂H ∂
2μ
=-
2
∇+V (r )
∇
2
μ
=
2p
2
2μ
∂E n ∂
=ψ
ˆ∂H
n
∂
n
=
2
ψn
ˆ2p 2μ
II. 在动量表象
∂ˆr =i ∂p
ˆ=H
∂
+V (i 2μ∂p p
2
ˆ∂H
由HF 定理
=∂V (i
∂E n ∂
=1
∂)
∂ ∂ ∂p
∂r ∂
=V (r ) ∂r ∂
2
2
p 2μ
>=
1
1
=r ∙∇V
p 21
=2μ2
Dirac 符号系统与表象
一、Dirac 符号
1. 引言
我们知道任一力学量在不同表象中有不同形式，它们都是取定了某一具体的 力学量空间, 即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式 A 来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax , Ay , Az ) 表示一样。
量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描 述方法是由 Dirac 首先引用的，本质是一个线性泛函空间，所以该方法所使用的符号称为 Dirac 符号。 2. 态矢量
（1）. 右矢空间
力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。 右矢空间的任一矢量 |ψ> 可按该空间的某一完备基矢展开。例如：
=∑a n n
n
（2）. 左矢空间
右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 称为伴矢量。
的关系 |ψ >按 Q 的左基矢 |Qn > 展开：
|ψ > = a1 |Q 1> + a2 |Q 2> + ... + a3 |Q3 > + ...
展开系数即相当于 Q 表象中的表示：
⎛a 1 a 2
ψ=
a n ⎝
⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭
展开系数即相当于 Q 表象中的表示：
ψ+= (a*1, a*2, ..., a*n , ... )
同理 某一左矢量
和
的标积为：=ψ=
∑b
n
n
*a n 。显然 = 。对于满足归
*
∑a
n
n
这样，本征态的归一化条件可以写为： *a n =1。
=δ(p ' -p '') 连续谱 =δ(x ' -x '') 连续谱
=δnm 分立谱
由此可以看出： 满足：
a ）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；
b ）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；
c ）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。
（4）. 本征函数的封闭性 a ）分立谱 展开式：
ψ=∑a n Q n
n
⇒
=
∑
n
a n (t )
=
∑
n
a n (t ) δmn =a n (t )
可得：
|ψ>=
∑
n
|Q n >
因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：
∑
n
|Q n >
b ）连续谱
对于连续谱 |q > ，q 取连续值，任一状态 |ψ >展开式为：
|ψ>=
⎰
a q (t ) |q >dq
⇒
|ψ >=
⎰
|q >dq
因为 |ψ> 是任意态矢量，所以：
⎰
|q >dq
这就是连续本征值的本征矢的封闭性。
c ）投影算符
|Qn >
上，相当于把 |ψ> 投影到左基矢 |Qn > 或 |q> 上，即作用的结果只是留下了该态矢在 |Qn > 上的分量 或
。故称 |Qn >
因为|ψ> 在 X 表象的表示是ψ(x, t)，所以显然有：
⎧=ψ(x , t )
⎨
⎩=*=ψ*(x , t ) 在分立谱下：
∑|Q n >
='
n
n
所以∑u n *(x ') u n (x ) =δ(x -x ') 。
n
在连续谱下：
⎰
|q >dq
⎰
d
=
'> |x x
所以⎰u q *(x ') u q (x ) dq =δ(x -x ') 。
上述讨论即本征矢的封闭性，其与完备性的区别如下： ∑u n *(x ' ) u n (x ) =δ(x -x ' ) u n *(x ) u m (x ) dx =δnm
⎰n
⎰u q *(x ' ) u q (x ) dq =δ(x -x ' ) ⎰u q ' *(x ) u q (x ) dx =δ(q -q ' )
正交归一性的表示式是对坐标的积分，封闭性的表示式是对本征值的求和或积分。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正 交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 3. 算符
（1）. 右矢空间 X 表象下：
ˆ(x , p ˆ) ϕ(x , t ) ψ(x , t ) =F
在一般Dirac 表象下： ˆ|Q >
ˆ|φ>=|ψ>=F ∑
n
ˆ|φ>=
写成矩阵形式为： ˆ|Q >,
, ⎫⎛
⎫112⎛⎫1⎪⎛ ⎪ ⎪
ˆˆ⎪
,
,
⎪ ⎪ 221222 ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪
⎪ ⎪
⎪ ˆ|Q >
⎪
⎪
即Q 表象下ψ = F φ。
ˆ|ψ>。利用利用分立谱下的完备性可以得到： 平均值公式：F =
F ==
∑
m n
ˆ|Q >
*
m
∑
m n
（2）. 共轭式（右矢空间）
=
⎛
Q m |ψ>*= ∑
⎝n
ˆ|Q >
⎫
⎭
*
*
⎛⎫= ∑F m n
⎪=⎝n ⎭=
∑
n
*=F nm n
∑
n
(F ) nm
+
∑
n
ˆ+|Q >=
ˆ+。如果F ˆ。 ˆ+为厄米算符，则有
表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。
例：力学量算符 x 在动量中的形式
ˆ|ϕ>=ˆ|ϕ>
=
=x
⎰
ˆ|p '>dp '
ˆ|p '>=
==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
12π ∂
ˆ|x '>dx '
dx
dxx 'dx '
dxx 'δ(x -x ') dx '
xdx =
==
⎰⎰2π
12π
i
1
e ∂∂p
-
i
px
i
xe e
-
p 'x
dx
i p 'x
dx
⎰⎰
i
∂∂p
e
-
i
px
i
e
p 'x
i
dx =
⎰⎰
px
e
=i
∂p
δ(p -p ')
ˆ|φ>=ˆ|p '>d p '
即有：
=
∂∂
=⎰i δ(p -p ') d p '
=i
∂p ∂p 故坐标算符 x 在动量表象中取如下形式：
4. 总结
ˆ=i x
∂∂p
项目
波函数
X 表象
ψ(x , t ) ˆ(r F , -i ∇)
Dirac 符号
|ψ(t ) >
ˆF
=δ
mn
（1）算符
X *
u m (x ) u n (x ) dx =δmn 归一化⎰表*
本征函数ψ(x , t ) ψ(x , t ) dx =1⎰象
正交*描u q '(x ) u q ''(x ) dx =δ(q '-q '') ⎰归一性述
*u n (x ') u n (x ) =δ(x '-x ) ∑与本征函数
n
*狄封闭性
⎰u q (x ') u q (x ) dq =δ(x '-x )
拉
ˆ(x , p ˆx ) Φ(x , t ) 公式ψ(x , t ) =F 克
ˆ) ψ(r ˆ(r 符本征方程F , p ) =λψ(r )
号ˆψdx 平均值=⎰ψ*F
矩阵元S -方程
i F mn =∂∂t
=1
=δ(q '-q '')
|Q n >
⎰|q >dq
ˆ|Φ(t ) >|ψ(t ) >=F ˆ|ψ>=λ|ψ>F
ˆ|ψ>=
ˆ|n >F mn =
d dt
ˆ|ψ(t ) >|ψ(t ) >=H
⎰
ψ
*
m
ˆψdx F n
ˆ(r ψ(r , t ) =H , -i ∇) ψ(r , t )
（2）左右矢空间的对应关系
左矢空间
右矢空间
ˆF
+
ˆF
ˆ|φ>|ψ>=F
由常量C 、左矢、右矢和算符组成的表
示式，求其厄密共轭式的表示规则
ˆ+
（3）厄密共轭规则
1）把全部次序整个颠倒
常量
2）作如下代换：
右矢
| >
C C*
| >
ˆF
ˆ|v >|φ>
C
ˆ+F
ˆ+|u >C *|ψ>
|F
二、态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z) 的函数表示，也就是说描写状态的
波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。
表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。
1. 动量表象
在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。
动量本征函数：
ψp (x ) =
ipx /
组成完备系，任一状态Ψ可按其展开。 展开系数：ψ(x , t ) =
⎰
C (p , t ) ψp (x ) dp ，C (p , t ) =
⎰
ψp *(x ) ψ(x , t ) dx 。
命题：假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一。 证明：
1=====
⎰
ψ*(x , t ) ψ(x , t ) dx
C (p ', t ) ψ
p '
⎰[⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(x ) dp ']*[⎰C (p , t ) ψp (x ) dp ]dx
p '
C (p ', t ) *C (p , t ) dp 'dp ⎰ψ
*(x ) ψp (x ) dx
C (p ', t ) *C (p , t ) dp 'dp δ(p '-p )
C (p , t ) *C (p , t ) dp
C (p , t ) 的物理意义：
|Ψ(x,t)|2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。
|C(p,t)|2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。 若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定动量 p’ 的自由粒子态，即：
-iE t /
ψ(x , t ) =ψp '(x ) e
2
p '
E p '=
2μ
则相应动量表象中的波函数：
-iE t / C (p , t ) =ψ*(x ) ψ(x , t ) dx =ψ*(x ) ψ(x ) e dx p '⎰p ⎰p
-iE t / -iE t / =e ψ*(x ) ψ(x ) dx =e δ(p -p ') 'p ⎰p
所以，在动量表象中，具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ- 函数。换言之，动量本征函数在自身表象中是一个δ函数。
x 在自身表象即坐标表象中对应有确定值 x’本征函数是 δ(x'-x) 。这可有本
p '
p '
p '
p '
征方程看出：
x δ(x '-x ) =x 'δ(x '-x )
ψx '(x ) =δ(x '-x )
2. 力学量表象 推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量Q 都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 （1）. 具有分立本征值的情况
设 算符Q 的本征值为： Q 1, Q 2, ... , Q n , ... ， 相应本征函数为： u 1(x), u 2(x), ... , u n (x), ... 。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：
ψ(x , t ) =
a n (t ) u n (x )
∑
n
a n (t ) =
⎰u
n
*(x ) ψ(x . t ) dx
若Ψ, un 都是归一化的，则 a n (t) 也是归一化的。 证明：
1=
⎰ψ*(x , t ) ψ(x . t ) dx =⎰[∑a m
(t ) u m
(x )]*∑
a n (t ) u n (x ) dx
m
n
=∑∑
a m *(t ) a n (t ) m *(x ) u n (x ) dx
m
n
⎰u =∑∑
a m *(t ) a n (t ) δm n
m
n
=
∑
a n *(t ) a n (t )
n
根据矩阵形式归一化可写为： ⎛a 1 (t ) ⎫
⎪
a 2(t ) ⎪
ψ= ⎪⎪ψ+
=(a 1(t ) *
a 2(t ) *
a n (t ) *
a n (t ) ⎪
⎝ ⎪
⎭ ⎛a 1(t ) ⎫
a (t ) ⎪2⎪+ ψψ=(a 1(t ) *a 2(t ) *
a n (t ) *
)
⎪ ) ⎪ a n (t ⎪ ⎝ ⎪⎭
=∑a n (t ) *a n (t ) =1
n
（2）. 具有连续本征值的情况
)
设力学量Q 的本征值和本征函数为：
Q 1, Q 2, ..., Q n , ..., q
u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ..., u q (x)
则有： ψ(x , t ) =∑a n (t ) u n (x ) +⎰a q (t ) u q (x ) dq n 归一化： ∑a n *(t ) a n (t ) +⎰a q *(t ) a q (t ) dq =1
n
其中：
⎧a (t ) =
⎰u n *(x ) ψ(x , t ) dx ⎪n
⎨
a q (t ) =⎰u q *(x ) ψ(x , t ) dx ⎪⎩
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示：
⎛a 1(t ) ⎫ ⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ψ= ⎪
a (t ) n ⎪ ⎪ ⎪ a (t ) ⎪⎝q ⎭
ψ+=(a 1(t ) *
a 2(t ) *
a n (t ) *
a q (t ) *)
3. 讨论
有上述讨论可以知道，我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
u 1(x), u 2(x), ..., u n (x), ... 是Q 表象的基本矢量简称基矢。
波函数
⎛a 1(t ) ⎫ ⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ψ= ⎪
a (t ) n ⎪ ⎪ ⎪ a (t ) ⎪⎝q ⎭
是态矢量Ψ在Q 表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q 表象的基矢有无限多个，
所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert 空间。
三、算符的矩阵表示
1. 力学量算符的矩阵表示
Q 表象：
代入坐标表象： 得到：
⎧ψ(x , t ) =∑a m (t ) u m (x ) ⎪m
⎨
⎪Φ(x , t ) =∑b m (t ) u m (x )
m ⎩
ˆ(x , p ˆ) ψ(x , t ) Φ(x , t ) =F
ˆ(x , -i =F
∂
∂x
) ψ(x , t )
∑
m
ˆ(x , -i b m (t ) u m (x ) =F
∂
∂x
) ∑a m (t ) u m (x )
m
∂∂x
∑
m
b m (t ) ⎰u n *u m (x ) dx =
∑[⎰
m
ˆ(x , -i u n *F F nm a m (t )
) u m (x ) dx ]a m (t )
∑
m
b m (t ) δnm =
∑
m
即b n (t ) =
∑
m
F nm a m (t )
。其中利用了下式：
F nm ≡
⎰
ˆ(x , -i u n *(x ) F
∂∂x ) u m (x ) dx
从而得到Q 表象的表达方式：b n (t ) =写成矩阵形式为 ⎛b 1(t ) ⎫
⎪
b 2(t ) ⎪ ⎪
简写为ψ=F ϕ
∑
m
F nm a m (t )
n =1, 2,
⎛F 11 F 21
= ⎪ b n (t ) ⎪ F n 1 ⎪ ⎝⎭⎝
F 12F 22 F n 2
F 1m F 2m F nm
⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎭⎛a 1(t ) ⎫ ⎪ a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪ a m (t ) ⎪ ⎪ ⎝⎭
例：求 L x 在 L 2, Lz 共同表象，λ=1子空间中的矩阵表示。
令： u 1 = Y11 u 2 = Y10 , u3 = Y1-1，则L x 的矩阵元计算如下：
利用
可得：
(L x ) ij =
⎰
12
ˆu d Ωu i *L x j
i , j =1, 2, 3
L x =
ˆ+L ˆ) (L +-
L ±Y lm =l , m ±1
1ˆ⎧ˆ) Y =1 Y L u =(L +L +-1110x 1
写成矩阵：
10⎫⎛0⎛0-i 0⎫
⎪⎪
L =101L =i 0-i ⎪ ⎪x y
2 2 0i 10⎪0⎪ ⎝0⎭⎝⎭
由此可得L x 的矩阵元为
(Lx ) 11 = (Lx ) 22 = (Lx ) 33 = 0
(Lx ) 13 = (Lx ) 31 = 0
2. Q表象中力学量算符F 的性质 （1）. 力学量算符用厄米矩阵表示
F nm =
⎛1 L z = 0
0⎝
000
⎫⎪0⎪-1⎪⎭
(Lx ) 12 = (Lx ) 21 = (Lx ) 23 = (Lx ) 32 = η/21/2
⎰
ˆ(x ) dx u n *(x ) Fu m
ˆ(x )) *dx ]*=[⎰u n (x )(Fu m =[⎰
ˆ(x ) dx ]*u m *(x ) Fu n
*=(F +) =F m n *=F nm nm
所以厄米算符的矩阵表示是厄米矩阵。
例：在例1中给出了 L x , L y 在 L 2, L 表象中的矩阵形式，下面我们验证
一下这两个矩阵是厄密矩阵。（略） （2）. 力学量算符在自身表象中的形式
ˆ(x ) =Q u (x ) ，则Q 的矩阵元为： Qu n n n
Q nm =
⎰
ˆu (x ) dx u n *(x ) Q m
=Q m ⎰u n *(x ) u m (x ) dx =Q m δnm
结论：算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。 3 .Q有连续本征值的情况 讨论只有连续本征值的情况
如果 Q 只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q ，求和换成积分，见下表。
F qq '=
算符F 在Q 表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：
⎰u
q
ˆ(x , -i *(x ) F
∂
∂x
) u q '(x ) dx
四、量子力学公式的矩阵表示
1 .平均值公式 坐标表象下：F =在Q 表象中：
⎧ψ(x , t ) =∑a n (t ) u n (x ) ⎪n
⎨
⎪ψ*(x , t ) =∑a n *(t ) u n *(x )
n ⎩F =
⎰
ˆψ(x , t ) dx 。 ψ*(x , t ) F
⎰∑
m
ˆa m *(t ) u m *(x ) F ∑a n (t ) u n (x ) dx
n
==
∑∑
m
n
ˆ(x ) dx ]a (t ) a m (t ) *[⎰u m *(x ) Fu n n a m (t ) *F m n a n (t )
∑∑
m
n
写成矩阵形式为：
⎛F 11
F 21 F m 1 ⎝
F 12F 22 F m 2
F 1n F 2n
F m n
⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
⎛a 1(t ) ⎫
⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪a (t ) n ⎪ ⎪⎝⎭
F =(a 1*(t ), a 2*(t ), , a m *(t ) )
即F =ψ*F ψ 2 .本征方程
ˆψ(x ) =λψ(x ) F
F ψ=
λ ψ
写成矩阵形式为：
F 12 F 1n ⎫⎛a 1⎫⎛F 11⎛a 1⎫
⎪ ⎪ ⎪
F F F a a 21⎪ 2⎪ 2⎪222n ⎪ ⎪ ⎪
=λ ⎪ ⎪ ⎪
F n 1 a n ⎪F n 2 F nn ⎪ a n ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
整理改写为： F 12 F 1n ⎫⎛a 1⎫⎛F 11-λ
⎪ ⎪
F F -λ F a 21⎪ 2⎪222n ⎪ ⎪
=0 ⎪ ⎪
F n 1F n 2 F nn -λ ⎪ a n ⎪
⎪ ⎪
⎭⎝⎭⎝
上式是一个齐次线性方程组：
∑(F mn -λδmn ) a n =0 n
m =1, 2,
方程组不完全为零解的条件为久期方程等于零，即：
F 11-λF 12 F 1n
F 21F 22-λ F 2n
=0
F n 1F n 2 F nn -λ
求解此久期方程得到一组λ值：λ1, λ2, ..., λn , ....就是F 的本征值。 将其分别代入原齐次线性方程组就能得到相应于各λi 的本征矢：
⎛a 1i ⎫
⎪
a 2i ⎪
⎪ i =1, 2, , n ⎪
a ni ⎪
⎪
⎝⎭
于是求解微分方程的问题化为求解代数根的问题。
例： Â 本征函数 u m (x) 在自身表象中的矩阵表示。
同样将 u m (x) 按 Â 的本征函数展开：u m (x ) =∑a n u n (x ) ，所以 u m (x)
n
在自身表象中的矩阵表示如下：
⎛1⎫ ⎪ 0⎪ 0⎪u 1= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭⎛0⎫ ⎪ 1⎪ 0⎪u 2= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭
u m
⎛0⎫ ⎪0 ⎪ ⎪
⎪=
a m =1⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝0⎭
例：求 L x 本征态在 L z 表象中的矩阵表示，只讨论(λ=1)情况。
L x 本征方程为：
2
⎛ -λ 2 0⎝
⎛0 1 0⎝
1
01
0⎫⎪1⎪0⎪⎭⎛a 1⎫
⎪ a 2⎪=λ ⎪⎝a 3⎭⎛a 1⎫ ⎪ a 2⎪ ⎪⎝a 3⎭
-λ
⎫⎪
2⎪
⎪
-λ⎪
2⎪⎪
-λ⎪2⎭
2-λ 2
0 2-λ
=0
⎛a 1⎫
⎪ a 2⎪=0 ⎪⎝a 3⎭
2
从而有λ(-λ2 + ħ2) = 0 ，解得本征值为：λ= 0, ±ħ。 取λ= ħ代入本征方程得： ⎛⎫
0⎪ -
2 ⎪⎛a ⎫
1
⎪ ⎪
- ⎪ a 2⎪=0 22 ⎪ ⎪
⎝a 3⎭ ⎪
- ⎪ 0
2⎝⎭
解得：a 1=(1/21/2) a2 a 3=(1/21/2) a2 则λ=1, Lx = ħ的本征态可记为： ⎛2⎫
⎪
ξ11= 1⎪a 2
1⎪
⎪⎝2⎭
有归一化条件得到：
⎛12⎫
⎪⎛1⎫+12⎪a 2* 1⎪a 2 ξ11ξ11= =2|a 2|=1 212⎪
1⎪⎝⎭ ⎪
⎝2⎭
同理得到另外两个本征值对应的本征函数：
a 2=
12
⎛1⎫ 2⎪
ξ11= 12⎪ξ10=
⎪
1⎪
⎝2⎭
2 .薛定谔方程的矩阵形式
i ∂∂t
⎛12 0 -⎝
12
⎫⎪⎪⎪⎪⎭
ξ1-1
⎛1⎫ 2⎪= 12⎪ ⎪ -1⎪⎝2⎭
ˆψ(x , t ) ，按力学量算符ψ(x , t ) =H
Q 的本征矢展开有
ψ(x , t ) =
∑
n
a n (t ) u n (x )
代入薛定谔方程得到：
∂
i
∑∂t
n
∂
a n (t ) u
n
ˆx (=) H u ) n x () ∑a n t (
n
i
∑∂t
n
a n (t ) ⎰u m *(x ) u n (x ) dx =
∂∂t
∑
n
ˆ(x ) dx a n (t ) ⎰u m *(x ) Hu n
i
∑
n
a n (t ) δmn =
∑
n
a n (t ) H mn
i
∂∂t
a m (t ) =
∑
n
H mn a n (t )
m , n =1, 2,
H mn =
⎰
ˆ(x ) dx u m *(x ) Hu n
⎫
⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭
⎛a 1(t ) ⎫
⎪a 2(t ) ⎪ ⎪ ⎪a (t ) n ⎪ ⎪⎝⎭
得到：i
∂∂t
⎛a 1(t ) ⎫⎛H 11
⎪
H a 2(t )
⎪ 21 ⎪= ⎪ a (t ) n ⎪ H m 1 ⎪ ⎝⎭⎝
∂∂t
ψ=H ψ
H 12H 22 H m 2
H 1n H 2n H m n
简写为：i ，其中H ，Ψ都是矩阵。
四、Hellmann - Feynman定理及应用
1 .引言
关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F 定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。
（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F 定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。 2 .H-F定理
设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 λ，E n 是 H 的本征值，ψn 是归一
的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则
∂E n ∂λ
=ψ
ˆ∂H
n
∂λ
ψn
证明：据题设，ψn 满足本征值方程：
ˆ-E ) |ψ>=0 (H n n
其共轭方程为：
ˆ-E ) =0
∂∂λ
ˆ-E ) ψ|>+
∂
H |ˆ(-E n
∂∂λψn >=|
∂ˆψH |n >-=
∂λ∂λ∂λ
=
∂∂λ
∂∂λ
ˆψH |n >
∂E n
∂E n ∂λ
ˆ|ψ>H n
3 .实例
（1）证明一维谐振子 = 。
证明：一维谐振子哈密顿量： 22
d 221ˆ=- H +μωx 222μdx
E n =(n +1) ωn =0,1, 2, 2
方法 I ：取μ作为参数λ
2222ˆ∂H d ∂E n 1 d 22122
=+2ωx ==0[-(-) +1μωx ]2222
∂μ2μdx ∂μμ2μdx
2ˆ 1p ∂E n ∂H
+V (x )]=ψn n =[-
μ2μ∂μ∂μ 22
p 1p
n + V ( x ) n n (x ) n =ψn 0 =
ψ n - 2μμ2μ
简记为
=
p
2
2μ
>
方法II
ˆ∂H ∂ω
令λ= ω
=μωx
2
==
2
ω
2
[
12
μω
n
V (x ) >
ω
V (x )
=(n +) ω=
222E n
2
p ˆ>=+
2μp 2
2=+
p 2
=
2μ
2
方法III
ˆ∂H ∂
=∂∂ ψ
取λ=
[-
2
2
d
22
2μdx +
1
2
22
μωx ]=-
d
μdx
2
2p
=[-]=[]2 2μdx 2μ
2
2d
22
由HF
定理
∂E n ∂
=
ˆ∂H
n
∂
n
(n +
1
2
) ω=
2μ
>
p
2
2μ
>=
12(n +1) ω=21
2E n =12
[
p
2
2μ
>+]
p 2
=
2μ
2
=
ψ
n
=
2
12
n
r ∙∇V (r ) n
将 视为参数由HF 定理
ˆ=-H
ˆ∂H ∂
2μ
=-
2
∇+V (r )
∇
2
μ
=
2p
2
2μ
∂E n ∂
=ψ
ˆ∂H
n
∂
n
=
2
ψn
ˆ2p 2μ
II. 在动量表象
∂ˆr =i ∂p
ˆ=H
∂
+V (i 2μ∂p p
2
ˆ∂H
由HF 定理
=∂V (i
∂E n ∂
=1
∂)
∂ ∂ ∂p
∂r ∂
=V (r ) ∂r ∂
2
2
p 2μ
>=
1
1
=r ∙∇V
p 21
=2μ2