离心率求法专题讲义
一、直接求出a 、c ，求解e
已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式e =
2
c
来求解。 a
y 2
例1. 过双曲线C ：x -2=1(b >0) 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐
b
近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）
A.
B.
C.
3
D.
2
分析：这里的a =1，c=b 2+1，故关键是求出b 2，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为y =x +1。直线与两条渐近线y =-bx 和y =bx 的交点分别为B (-选A 。
二、变用公式，整体求出e
1b 1b c
, ) 、C (, ) ，又|AB|=|BC|，可解得b 2=9，则c =故有e ==，从而b +1b +1b -1b -1a
x 2y 24
例2. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线方程为y =x ，则双曲线的离心率为
3a b
（ ）
A.
5 3
B.
4 3
C.
5 4
D.
3 2
分析：本题已知
b 4
=，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。 a 3
c a 2+b 2a 2+b 2b 2b 42
解：由e ==（其中k 为渐近线的斜率）。这里==+=+k =，22
a a a 3a a
c 45
则e ==+() 2=，从而选A 。
a 33
三、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
2 B.
2 2
C.
1 2
D.
2 4
解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则M F ⊥x 轴，知|MF|是通径的一半，
|MF |2
=则有|MF |=。由圆锥曲线统一定义，得离心率e =，从而选B 。
2d 2
四. 构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过
解方程得出离心率e 的值，这也是常用的一种方法。
x 2y 2
例4. 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正∆MF 1F 2，若
a b
边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 4+23
B.
-1 C.
+1
2
D. +1
解：如图，设|OF 1|=c , MF 1的中点为P ，则点P 的横坐标为-
c 1，由|PF |F 1F 2|=c ，由焦半径1|=22
222
公式|PF 1|=-ex p -a ，即c =-⨯(-) -a ，得c -2a -2ac =0，有e -2e -2=0，解得
c
a c 2
，故选D 。 e =1+3, e =1-3（舍去）
练一练
设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线
于点P ，若∆F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）
A.
交椭圆
2 2
D. 2-1
B.
2-1
2
C. 2-2
b 2
PF 2==2c ⇒a 2-c 2=2ac 解：由 a
化为齐次式e 2+2e -1=0⇒e =1
高考试题分析
x 2y 22
1. （2009全国卷Ⅰ）设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线
a b
的离心率等于( C )
（A
（B ）2 （C
（D
解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点P (x 0, y 0) ，则切线的斜率为y 意有
'
|x =x 0=2x 0. 由题
y 0
=2x 0又y 0=x 02+1， x 0
2
解得
: x 0=1, ∴
b =2, e ==a bx x 2y 2
由题双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，代入抛物线方程整理得
a a b ax 2-bx +a =0，因渐近线与抛物线相切，所以b 2-4a 2=0，即c 2=5a 2⇔e =，
x 2y 2
2. （2009浙江理）过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线
a b
的两条渐近线的交点分别为B , C ．若AB =
1
BC ，则双曲线的离心率是 (
) 2
A
B
C
D
答案：C
【解析】对于A (a ,0)，则直线方程为x +y -a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
⎛a 22a 2b 2a 2b ab ⎫ab ⎫a 2ab ⎛ab
，BC =(, -), AB =-, B , , C (, -) ⎪ ⎪，
2222
a -b a -b a -b a -b ⎝a +b a +b ⎭⎝a +b a +b ⎭
因此2AB =BC , ∴4a 2=b 2, ∴e =
x 2y 2
3. （2009浙江文）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且
a b BF ⊥x 轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若AP =2PB ，则椭圆的离心率是（ ）
A
．
11 B
． C ． D ．
3222
【解析】对于椭圆，因为AP =2PB ，则OA =2OF , ∴a =2c , ∴e =
1
2
x 2y 22
4. (2009山东卷理) 设双曲线2-2=1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的
a b
离心率为( ). A.
55
B. 5 C. D. 42
b ⎧
b b x 2y 2⎪y =x 2
【解析】:双曲线2-2=1的一条渐近线为y =x , 由方程组⎨a , 消去y, 得x -x +1=0
a a a b 2⎪y =x +1⎩
b 2
有唯一解, 所以△=() -4=0,
a
b c 所以=
2, e ===2=故选D
a a a 5. （2009
2222x y x y x 2y 2x 2y 2
（A ）- （B ） （C ）=1-=1-=1 （D ）-=1
244246410
b 23b 21c 23[解析]
由e =2=,1+2=, 2=，选B
a 2a 2a 2x 2y 2
6. （2009江西卷文）设F ，F 2，P (0,2b ) 是1和F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点, 若F 1
a b
正三角形的三个顶点, 则双曲线的离心率为
35
B ．2 C ． D ．3
22
c πc 2222
=【解析】由tan =有3c =4b =4(c -a ) , 则e ==2, 故选B.
a 62b 3
x 2y 2
P ，F 2为右7. （2009江西卷理）过椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点
a b
A ．
焦点，若∠F 1PF 2=60，则椭圆的离心率为 A
．
11 B
C ． D ．
232
b 23b 2c =
2a , 【解析】因为P (-c , ±) ，再由∠F 有从而可得，故选B e ==PF =6012
a a a x 2y 2
8. （2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
a b
交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率 (A) 6759 B. C. D. 5585
x 2y 2
9. （2008福建理11）双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2, 若P 为其上一点，且
a b
A ．
|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（B ）
A.(1,3)
B. (1,3]
C.(3,+∞)
D. [3, +∞)
利用第二定义及焦半径判断x 0³a
3a x 2y 2
10. （2008湖南理8）若双曲线2-2=1（a ＞0, b ＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到
2a b
左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
3a a 23a a 2
e (-) >+, 整理得3e 2-5e -2>0
解析：利用第二定义2 c 2c
M 总在椭圆内部，则11. （2008江西理7）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⋅MF 2=0的点
椭圆离心率的取值范围是（C ）
1 D
．
222
M 总在椭圆内部，所以c
A ．(0,1) B．(0,] C
．x 2y 2
12. （2008全国二理9）设a >1，则双曲线2-=1的离心率e 的取值范围是（ B ） 2
a (a +1)
A
．
B
．
5) C ．(2，D
．(2
x 2y 2
13. （2008陕西理8）双曲线2-2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜
a b
角为30的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
B
C
D
x 2y 2
14. （2008浙江理7）若双曲线2-2=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心
a b
率是（D ）
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
15. （2008全国二文11）设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120，则以A ，B 为焦点且过点C 的双
曲线的离心率为（ B ） A ．
1+2
2
B ．
1+ 2
C ． 1+2 D ．1+3
16. （2008湖南文10）双曲线
x 2a 2
y 2
-2=1(a >0, b >0) 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距b
离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A
． B
．+∞) C
．(11] D
．1, +∞) 利用焦半径公式及x 0>a ，解不等式即可。
x 2y 2
17. （2007全国2理）设F 1，F 2分别是双曲线2-2的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使
a b
∠F 1AF 2=90且AF 1=3AF 2，则双曲线的离心率为（ B ） B
． C
． 222ìAF 1-AF 2=2AF 2=2a ïï? a ? e 解í222ï(AF ) +(AF ) =(2c ) 12ïî
A
．A ．
D
18（07全国2文）．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ D ）
1 D
219（07江苏理3）．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x -2y =0，则它的离心率为（A ）
1 3
B
C ．
A
B
．（注意焦点在y 轴上）
C
D ．2 2
x 2y 2
20．设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P , 使线段PF 1
a b
的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A
． 0⎛ ⎝ ⎦
B
． 0
⎛⎝⎦
C
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
D
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
a 2
+c
a 2=2c ?
2c
3c ? e
3
x 2y 2
21（07湖南文）．设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐
a b
（c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P |，则椭圆的离心率是（ D ） 1 C
D
2x 2y 2
22（07北京文4）．椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，F 2，
a b
A
B ．
若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是（ D ） Ａ． 0⎥
⎛⎝1⎤2⎦
Ｂ． 0⎛ ⎝ ⎦
Ｃ．⎢，1⎪
⎡1⎫
⎣2⎭
Ｄ．⎫
1⎪⎪ ⎣⎭
x 2y 2
23. （2009重庆卷文）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆
a b
a c
上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为．
=
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
【答案】
1,1
)
. 解法1，因为在∆PF 1F 2中，由正弦定理得
则由已知，得
PF 2PF 1
=
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
a c
，即aPF 1=cPF 2 =
PF PF 1211
设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0)
a (c -a ) a (e -1) a (e -1)
记得x 0=由椭圆的几何性质知x 0>-a 则=>-a ，整理得
e (c -a ) e (e +1) e (e +1)
e 2+2e -1>
0, 解得e
e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈1,1)
24.(2009湖南卷理) 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60
o
，则双曲线C
b
=
tan 30︒，所以c =
，所以a =，离
c
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b , c (b 是虚半轴长，c 是焦半距) ，且一个内角是30，即得心率e =
︒
c ==
a 7
．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，18
25. （2008全国一理15）在△ABC 中，AB =BC ，cos B =-则该椭圆的离心率e = ．
3
8
26（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条
渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A
（B
（C
（D
x 2y 2
解析：选D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，
a b
则一个焦点为F (c ,0), B (0,b ) 一条渐近线斜率为：
b b b b
，直线FB 的斜率为：-，∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac a c a c
c 2-a 2-ac =
0，解得e =
c =a x 2y 2
27（2010四川理数）（9）椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭
a b
圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A
） ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
,1⎪ （D ）1,1 （B ） 0, ⎥ （C ）
⎢⎦⎝2⎦⎣2⎭
)
解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等
a 2b 2b 2
-c = ， |PF |∈[a －c , a ＋c ]，于是∈[a －c , a ＋c ] 而|F A |＝c c c
即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2
2
2
2
⎧c
≤1⎪⎧⎪a ⎪ac -c ≤a -c ⎡1⎫
∴⎨2⇒又e ∈(0, 1) 故e ∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
答案：D
（2010广东文数）7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 28A.
4321
B. C. D. 5555
（2010全国卷1文数）(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C
uu r uu r
于点D ， 且BF =2FD ，则C 的离心率为
.
本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1
】如图，|BF |a ,
uu r uu r
作DD 1⊥y 轴于点D 1, 则由BF =2FD ，得
33|OF ||BF |2
==, 所以|DD 1|=|OF |=c ,
22|DD 1||BD |3
3c a 23c 3c 2
即x D =, 由椭圆的第二定义得|FD |=e (-) =a -
2c 22a
3c 2, ⇒e =又由|BF |=2|FD |, 得a =
2a - a 3
x 2y 2
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D (x 2, y 2)，F 分 BD所成的比为2，
a b
3y -b 3⋅0-b 0+2x 2b +2y 233b
x c =⇒x 2=x c =c ; y c =⇒y 2=c ==-，代入
1+2221+22229c 21b 2+=
1⇒e =， 22
4a 4b 3
（2010全国卷1理数）
（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
x 2y 2
设椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直
a b
线l 的倾斜角为60o , AF =2FB .
(I) (II)
求椭圆C 的离心率； 如果|AB|=
15
，求椭圆C 的方程. 4
解：
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由题意知y 1＜0，y 2＞0.
（Ⅰ）直线l 的方程为
y =(x -
c ) ，其中c =
⎧y =x -c ),
⎪
联立⎨x 2y 2得(3a 2+b 2) y 2+2cy -3b 4=0
⎪2+2=1
b ⎩
a
2(c +2a ) 2(c -2a )
解得y 1= , y 2=
3a 2+b 23a 2+b 2
因为AF =2FB ，所以-y 1=2y 2.
2(c +2a ) 2(c -2a ) 即
=2∙2222
3a +b 3a +b
c 2
得离心率 e ==. „„6分
a 3
15
（Ⅱ）因为AB =2-
y 1=.
4515c 2=
得b =. 所以a =，得a=3
，b =44a 3x 2y 2
+=1. „„12分 椭圆C 的方程为95
由
（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）
x 2y 2
已知斜率为1的直线1与双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M
a b
（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求C 的离心率； （Ⅱ）（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|=17证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B 的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A 的代数式表示，即可求得A ，则A 点坐标可得（1，0），由于A 在X 轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。
（2010江西理数）21. （本小题满分12分）
x 2y 2
C 1:2+2=1(a >b >0) 22
C :x +by =b a b 2设椭圆，抛物线。
（1） 若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；
（2） 设A （0，b ）
，Q ⎪, 又M 、N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为
⎛
⎝5⎫4⎭
⎛3⎫
B 0b ⎪，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程。 ⎝4⎭
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c =b ，由
2
2
c 21。 a =b +c =2c , 有2=⇒e =
a 22
2
2
2
2
(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设
M (-x 1, y 1), N (x 1, y 1)(x 1>0) , 由∆AMN 的垂心为B ，有
3
BM ⋅AN =0⇒-x 12+(y 1-b )(y 1-b ) =0。
4
2
由点N (x 1, y 1) 在抛物线上，x 1+by 1=b 2，解得：
b
y 1=-或y 1=b (舍
4
b b b
, M (, -), N , -) ，得∆
QMN 重心坐标) .
444
11b 2
=b 2, 所以
b =2，M (-), N -) ，又因为M 、N 在椭圆 由重心在抛物线上得：3+
224
16x 2y 22
+=1，抛物线方程为x 2+2y =4。 上得：a =，椭圆方程为1634
故x 1=
3
离心率求法专题讲义
一、直接求出a 、c ，求解e
已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式e =
2
c
来求解。 a
y 2
例1. 过双曲线C ：x -2=1(b >0) 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐
b
近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）
A.
B.
C.
3
D.
2
分析：这里的a =1，c=b 2+1，故关键是求出b 2，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为y =x +1。直线与两条渐近线y =-bx 和y =bx 的交点分别为B (-选A 。
二、变用公式，整体求出e
1b 1b c
, ) 、C (, ) ，又|AB|=|BC|，可解得b 2=9，则c =故有e ==，从而b +1b +1b -1b -1a
x 2y 24
例2. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线方程为y =x ，则双曲线的离心率为
3a b
（ ）
A.
5 3
B.
4 3
C.
5 4
D.
3 2
分析：本题已知
b 4
=，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。 a 3
c a 2+b 2a 2+b 2b 2b 42
解：由e ==（其中k 为渐近线的斜率）。这里==+=+k =，22
a a a 3a a
c 45
则e ==+() 2=，从而选A 。
a 33
三、第二定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
2 B.
2 2
C.
1 2
D.
2 4
解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则M F ⊥x 轴，知|MF|是通径的一半，
|MF |2
=则有|MF |=。由圆锥曲线统一定义，得离心率e =，从而选B 。
2d 2
四. 构造a 、c 的齐次式，解出e
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造出a 、c 的齐次式，进而得到关于e 的方程，通过
解方程得出离心率e 的值，这也是常用的一种方法。
x 2y 2
例4. 已知F 1、F 2是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正∆MF 1F 2，若
a b
边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 4+23
B.
-1 C.
+1
2
D. +1
解：如图，设|OF 1|=c , MF 1的中点为P ，则点P 的横坐标为-
c 1，由|PF |F 1F 2|=c ，由焦半径1|=22
222
公式|PF 1|=-ex p -a ，即c =-⨯(-) -a ，得c -2a -2ac =0，有e -2e -2=0，解得
c
a c 2
，故选D 。 e =1+3, e =1-3（舍去）
练一练
设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线
于点P ，若∆F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ D ）
A.
交椭圆
2 2
D. 2-1
B.
2-1
2
C. 2-2
b 2
PF 2==2c ⇒a 2-c 2=2ac 解：由 a
化为齐次式e 2+2e -1=0⇒e =1
高考试题分析
x 2y 22
1. （2009全国卷Ⅰ）设双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线
a b
的离心率等于( C )
（A
（B ）2 （C
（D
解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点P (x 0, y 0) ，则切线的斜率为y 意有
'
|x =x 0=2x 0. 由题
y 0
=2x 0又y 0=x 02+1， x 0
2
解得
: x 0=1, ∴
b =2, e ==a bx x 2y 2
由题双曲线2－2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y =，代入抛物线方程整理得
a a b ax 2-bx +a =0，因渐近线与抛物线相切，所以b 2-4a 2=0，即c 2=5a 2⇔e =，
x 2y 2
2. （2009浙江理）过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线
a b
的两条渐近线的交点分别为B , C ．若AB =
1
BC ，则双曲线的离心率是 (
) 2
A
B
C
D
答案：C
【解析】对于A (a ,0)，则直线方程为x +y -a =0，直线与两渐近线的交点为B ，C ，
⎛a 22a 2b 2a 2b ab ⎫ab ⎫a 2ab ⎛ab
，BC =(, -), AB =-, B , , C (, -) ⎪ ⎪，
2222
a -b a -b a -b a -b ⎝a +b a +b ⎭⎝a +b a +b ⎭
因此2AB =BC , ∴4a 2=b 2, ∴e =
x 2y 2
3. （2009浙江文）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且
a b BF ⊥x 轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若AP =2PB ，则椭圆的离心率是（ ）
A
．
11 B
． C ． D ．
3222
【解析】对于椭圆，因为AP =2PB ，则OA =2OF , ∴a =2c , ∴e =
1
2
x 2y 22
4. (2009山东卷理) 设双曲线2-2=1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的
a b
离心率为( ). A.
55
B. 5 C. D. 42
b ⎧
b b x 2y 2⎪y =x 2
【解析】:双曲线2-2=1的一条渐近线为y =x , 由方程组⎨a , 消去y, 得x -x +1=0
a a a b 2⎪y =x +1⎩
b 2
有唯一解, 所以△=() -4=0,
a
b c 所以=
2, e ===2=故选D
a a a 5. （2009
2222x y x y x 2y 2x 2y 2
（A ）- （B ） （C ）=1-=1-=1 （D ）-=1
244246410
b 23b 21c 23[解析]
由e =2=,1+2=, 2=，选B
a 2a 2a 2x 2y 2
6. （2009江西卷文）设F ，F 2，P (0,2b ) 是1和F 2为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的两个焦点, 若F 1
a b
正三角形的三个顶点, 则双曲线的离心率为
35
B ．2 C ． D ．3
22
c πc 2222
=【解析】由tan =有3c =4b =4(c -a ) , 则e ==2, 故选B.
a 62b 3
x 2y 2
P ，F 2为右7. （2009江西卷理）过椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点
a b
A ．
焦点，若∠F 1PF 2=60，则椭圆的离心率为 A
．
11 B
C ． D ．
232
b 23b 2c =
2a , 【解析】因为P (-c , ±) ，再由∠F 有从而可得，故选B e ==PF =6012
a a a x 2y 2
8. （2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线C 2-2=1(a >0, b >0)的右焦点为F , 过F
a b
交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 则C 的离心率 (A) 6759 B. C. D. 5585
x 2y 2
9. （2008福建理11）双曲线2-2=1（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2, 若P 为其上一点，且
a b
A ．
|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（B ）
A.(1,3)
B. (1,3]
C.(3,+∞)
D. [3, +∞)
利用第二定义及焦半径判断x 0³a
3a x 2y 2
10. （2008湖南理8）若双曲线2-2=1（a ＞0, b ＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到
2a b
左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )
A.(1,2)
B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
3a a 23a a 2
e (-) >+, 整理得3e 2-5e -2>0
解析：利用第二定义2 c 2c
M 总在椭圆内部，则11. （2008江西理7）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1⋅MF 2=0的点
椭圆离心率的取值范围是（C ）
1 D
．
222
M 总在椭圆内部，所以c
A ．(0,1) B．(0,] C
．x 2y 2
12. （2008全国二理9）设a >1，则双曲线2-=1的离心率e 的取值范围是（ B ） 2
a (a +1)
A
．
B
．
5) C ．(2，D
．(2
x 2y 2
13. （2008陕西理8）双曲线2-2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜
a b
角为30的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A
B
C
D
x 2y 2
14. （2008浙江理7）若双曲线2-2=1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心
a b
率是（D ）
（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5
15. （2008全国二文11）设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120，则以A ，B 为焦点且过点C 的双
曲线的离心率为（ B ） A ．
1+2
2
B ．
1+ 2
C ． 1+2 D ．1+3
16. （2008湖南文10）双曲线
x 2a 2
y 2
-2=1(a >0, b >0) 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距b
离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )
A
． B
．+∞) C
．(11] D
．1, +∞) 利用焦半径公式及x 0>a ，解不等式即可。
x 2y 2
17. （2007全国2理）设F 1，F 2分别是双曲线2-2的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使
a b
∠F 1AF 2=90且AF 1=3AF 2，则双曲线的离心率为（ B ） B
． C
． 222ìAF 1-AF 2=2AF 2=2a ïï? a ? e 解í222ï(AF ) +(AF ) =(2c ) 12ïî
A
．A ．
D
18（07全国2文）．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ D ）
1 D
219（07江苏理3）．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x -2y =0，则它的离心率为（A ）
1 3
B
C ．
A
B
．（注意焦点在y 轴上）
C
D ．2 2
x 2y 2
20．设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P , 使线段PF 1
a b
的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A
． 0⎛ ⎝ ⎦
B
． 0
⎛⎝⎦
C
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
D
．⎫
1⎪ ⎪⎣⎭
a 2
+c
a 2=2c ?
2c
3c ? e
3
x 2y 2
21（07湖南文）．设F 1，F 2分别是椭圆2+2=1（a >b >0）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐
a b
（c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P |，则椭圆的离心率是（ D ） 1 C
D
2x 2y 2
22（07北京文4）．椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦点为F 1，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，F 2，
a b
A
B ．
若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是（ D ） Ａ． 0⎥
⎛⎝1⎤2⎦
Ｂ． 0⎛ ⎝ ⎦
Ｃ．⎢，1⎪
⎡1⎫
⎣2⎭
Ｄ．⎫
1⎪⎪ ⎣⎭
x 2y 2
23. （2009重庆卷文）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆
a b
a c
上存在一点P 使，则该椭圆的离心率的取值范围为．
=
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
【答案】
1,1
)
. 解法1，因为在∆PF 1F 2中，由正弦定理得
则由已知，得
PF 2PF 1
=
sin PF 1F 2sin PF 2F 1
a c
，即aPF 1=cPF 2 =
PF PF 1211
设点(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0)
a (c -a ) a (e -1) a (e -1)
记得x 0=由椭圆的几何性质知x 0>-a 则=>-a ，整理得
e (c -a ) e (e +1) e (e +1)
e 2+2e -1>
0, 解得e
e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈1,1)
24.(2009湖南卷理) 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60
o
，则双曲线C
b
=
tan 30︒，所以c =
，所以a =，离
c
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是b , c (b 是虚半轴长，c 是焦半距) ，且一个内角是30，即得心率e =
︒
c ==
a 7
．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，18
25. （2008全国一理15）在△ABC 中，AB =BC ，cos B =-则该椭圆的离心率e = ．
3
8
26（2010辽宁文数）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B , 如果直线FB 与该双曲线的一条
渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A
（B
（C
（D
x 2y 2
解析：选D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：2-2=1(a >0, b >0) ，
a b
则一个焦点为F (c ,0), B (0,b ) 一条渐近线斜率为：
b b b b
，直线FB 的斜率为：-，∴⋅(-) =-1，∴b 2=ac a c a c
c 2-a 2-ac =
0，解得e =
c =a x 2y 2
27（2010四川理数）（9）椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭
a b
圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是
（A
） ⎝⎛
⎛1⎤⎡1⎫
,1⎪ （D ）1,1 （B ） 0, ⎥ （C ）
⎢⎦⎝2⎦⎣2⎭
)
解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ， 即F 点到P 点与A 点的距离相等
a 2b 2b 2
-c = ， |PF |∈[a －c , a ＋c ]，于是∈[a －c , a ＋c ] 而|F A |＝c c c
即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2
2
2
2
⎧c
≤1⎪⎧⎪a ⎪ac -c ≤a -c ⎡1⎫
∴⎨2⇒又e ∈(0, 1) 故e ∈,1⎪ ⎨⎢22⎣2⎭⎪⎩a -c ≤ac +c ⎪c ≤-1或c ≥1
⎪a 2⎩a
答案：D
（2010广东文数）7. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 28A.
4321
B. C. D. 5555
（2010全国卷1文数）(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C
uu r uu r
于点D ， 且BF =2FD ，则C 的离心率为
.
本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1
】如图，|BF |a ,
uu r uu r
作DD 1⊥y 轴于点D 1, 则由BF =2FD ，得
33|OF ||BF |2
==, 所以|DD 1|=|OF |=c ,
22|DD 1||BD |3
3c a 23c 3c 2
即x D =, 由椭圆的第二定义得|FD |=e (-) =a -
2c 22a
3c 2, ⇒e =又由|BF |=2|FD |, 得a =
2a - a 3
x 2y 2
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2+2=1，设D (x 2, y 2)，F 分 BD所成的比为2，
a b
3y -b 3⋅0-b 0+2x 2b +2y 233b
x c =⇒x 2=x c =c ; y c =⇒y 2=c ==-，代入
1+2221+22229c 21b 2+=
1⇒e =， 22
4a 4b 3
（2010全国卷1理数）
（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
x 2y 2
设椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直
a b
线l 的倾斜角为60o , AF =2FB .
(I) (II)
求椭圆C 的离心率； 如果|AB|=
15
，求椭圆C 的方程. 4
解：
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由题意知y 1＜0，y 2＞0.
（Ⅰ）直线l 的方程为
y =(x -
c ) ，其中c =
⎧y =x -c ),
⎪
联立⎨x 2y 2得(3a 2+b 2) y 2+2cy -3b 4=0
⎪2+2=1
b ⎩
a
2(c +2a ) 2(c -2a )
解得y 1= , y 2=
3a 2+b 23a 2+b 2
因为AF =2FB ，所以-y 1=2y 2.
2(c +2a ) 2(c -2a ) 即
=2∙2222
3a +b 3a +b
c 2
得离心率 e ==. „„6分
a 3
15
（Ⅱ）因为AB =2-
y 1=.
4515c 2=
得b =. 所以a =，得a=3
，b =44a 3x 2y 2
+=1. „„12分 椭圆C 的方程为95
由
（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）
x 2y 2
已知斜率为1的直线1与双曲线C ：2-2=1(a >0, b >0) 相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M
a b
（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求C 的离心率； （Ⅱ）（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|=17证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B 的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A 的代数式表示，即可求得A ，则A 点坐标可得（1，0），由于A 在X 轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。
（2010江西理数）21. （本小题满分12分）
x 2y 2
C 1:2+2=1(a >b >0) 22
C :x +by =b a b 2设椭圆，抛物线。
（1） 若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；
（2） 设A （0，b ）
，Q ⎪, 又M 、N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为
⎛
⎝5⎫4⎭
⎛3⎫
B 0b ⎪，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程。 ⎝4⎭
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：c =b ，由
2
2
c 21。 a =b +c =2c , 有2=⇒e =
a 22
2
2
2
2
(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设
M (-x 1, y 1), N (x 1, y 1)(x 1>0) , 由∆AMN 的垂心为B ，有
3
BM ⋅AN =0⇒-x 12+(y 1-b )(y 1-b ) =0。
4
2
由点N (x 1, y 1) 在抛物线上，x 1+by 1=b 2，解得：
b
y 1=-或y 1=b (舍
4
b b b
, M (, -), N , -) ，得∆
QMN 重心坐标) .
444
11b 2
=b 2, 所以
b =2，M (-), N -) ，又因为M 、N 在椭圆 由重心在抛物线上得：3+
224
16x 2y 22
+=1，抛物线方程为x 2+2y =4。 上得：a =，椭圆方程为1634
故x 1=
3