数 统 学 院
毕 业 论 文
课题名称：矩阵A 的m 重伴随矩阵的性质
学生姓名 胡旭强
学 号
专 业 数学与应用数学
班 级 09级数学与应用数学一班
指导教师
2011 年 12 月 15 日
目 录
1 引言 . ....................................................................................................................... 3 1.1 量词的定义 .................................................................................................. 3 1.2 现状调查 ...................................................................................................... 3 1.3 文章的目的 .................................................................................................. 4 2 预备知识 ............................................................................................................... 4 2.1 等值式 .......................................................................................................... 4 2.2 确界 .............................................................................................................. 4 2.3 简单命题的否定 .......................................................................................... 5 2.4 常见命题的转化方案 .................................................................................. 5 3 量词的混合使用 ................................................................................................... 5 4 还原量词 ............................................................................................................... 6 5带着量词解决不等式问题 .................................................................................... 7 5.1 量词的初探 .................................................................................................. 7 5.2 均值不等式与量词 ...................................................................................... 8 6结论 . ...................................................................................................................... 15 参考文献： ............................................................................................................. 15
使用量词解决一类不等式问题的初探
摘要：本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，为量词可以更好的和其他知识内容及技巧方法融为一体。 通过对一道不等式的习题进行深入分析，得到均值不等式的不能使用其实是因为量词不可达、以及对量词的否定的一些缺陷。 关键字：不等式；量词；量词否定；均值不等式；
1 引言
1.1 量词的定义：
1）离散数学中对量词的定义
[1]
：
全称量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的如“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词汇统称为全称量词，用符号“∀”表示，∀x 表示个体域里的所有个体x ，其中个体域是事先约定的
[1]
。
存在量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词汇统称为存在量词，用符号“∃”表示。 ∃x 表示个体域里有一个个体x 2) 高中课程里量词的定义
[2]
[1]
.
:
“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词（universal quantifier）, 数学上用符号“∀”表示。 “存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词（existential quantifier ），数学上用符号“∃”表示，涉及量词的命题必须指出量词的作用范围3）离散数学中的定义与高中课本定义的区别与联系
这两种对于量词的定义本质上是相同的，都是“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词来概括全称量词，用“存在”、“某一个”、“至少有一个”等词来概括存在量词，用符号“∀”，“∃”分别表示任意量词和存在量词。 但也有一定的区别，离散数学中对量词的定义的着重点在利用量词来表示自然语言，而高中的量词定义着重点在于量词的作用范围。
[2]
。
1.2 现状调查
1）中学数学量词使用的广泛性
在中学数学中，量词被广泛的运用到各个类型的题目中，函数、不等式、数列、几何等，几乎各方面都有涉及到量词，在文献[4-20]中都有体现。 2）中学数学量词结论的滞后
虽然量词在中学数学中被广泛的应用，并且关于量词的文献也是随处可见，但对于量词理论上的讨论及论证却是少之又少。 ①教材上的匮乏
在必修内容中，不含有量词的理论知识，高中课本选修2-1中有将量词单独列出
[2]
。 但
选修2-1作为选修课程并没有仔细的讲解，甚至文科生都没有讲授量词的理论知识（文科的考试大纲
[22]
不要求量词这部分的知识）。
②知识点的紧缺
中学数学中只涉及到对含有一个量词的命题的讲解及分析却时常出现含两个量词以上的命题要。 3）研究情况
由于量词这部分知识是新增的内容，很多教师对这部分知识还不是很了解，使得在讲授量词这部分知识点的时候，教师讲解含糊，学生听的也不清不楚。 很多学生对量词这部分知识的掌握只能是知其然不知其所以然，形成对量词部分知识没有很清晰的了解。 并且学习了之后没有并且不会运用到问题的解决中，与具体解答题目脱节。 这就使得学生在做有关量词题目的时候容易出现错误。
4）中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾
量词虽不是必修的内容，但在练习中却经常出现（常与不等式结合考查参数的取值范围）甚至在高考题中都经常出现
[20]
[4-21]
[2]
，然而中学数学的题目中
，这就造成了中学中量词的理论无法满足实践的需
，而高考题是一个地方教学目标及教学内容的指挥棒在高中
的整个教学阶段起着极其重要的作用，由此可见量词在高中阶段所占的分量不可忽视。 但若要将量词讲清楚，又涉及到对一阶逻辑的内容的讲解，如此而来，关于量词的知识点又会超出中学生所能接受的范围，而且在课时方面也不允许。 这便体现了中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾。
1.3 文章的目的
中学数学中含有量词的题目不乏其数，但大部分都是抛开量词来讨论题目。 这样便与教学目标脱节，因为量词的重要性故而引入了量词的定义及其否定，学而不用就会造成一种浪费。 所以就需要教师和学生一起将量词拿到实际应用中来。 本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，使量词可以更好的为其他知识内容及技巧方法服务，使学生在学习量词的同时提升自我的逻辑思维能力，并且为今后的教学实践与研究打下基础。
2 预备知识
2.1 等值式
德摩根律 ⌝(A ∧B ) ⇔⌝A ∨⌝B ⌝(A ∨B ) ⇔⌝A ∧⌝B 蕴含等值式 A →B ⇔⌝A ∨B （见文[1]）
2.2 确界
一个无限数集E 即使它有上确界β（或下确界α），然而这个β（或α）可属于E 也
可不属于E 。 如果β（或α）属于E ，则我们说上确界β（或下确界α）可达到；否则就说上（或下）确界不达到(见文[3])
2.3 简单命题的否定
一般的，命题“∀x ∈R , p (x ) ”的否定是“∃x ∈R , ⌝p (x ) ” 命题“∃x ∈R , p (x ) ”的否定是“∀x ∈R , ⌝p (x ) ”(见文[2]) .
2.4 常见命题的转化方案
1） ∀x ∈A , f (x ) >m , 求m 的取值范围⇔f (x ) 在A 上的最小值>m 2） ∃x ∈A , f (x ) >m , 求m 的取值范围⇔f (x ) 在A 上的最大值>m 3） ∀x ∈A , f (x )
5） ∃x ∈A , f (x ) =m , 求m 的取值范围⇔f (x ) =m 在A 上有解。 （见文[10]）
3 量词的混合使用
文献[20]讲述了特称命题与全称命题的混合命题 其对混合命题的定义如下：“当一个命题中既出现“至少”“存在”等存在量词，又出现“任意”、“都有”等全称量词时，本文称之为存在命题与全称命题的混合命题。” 文献[20]中给出的试题赏析都是一些字面上就出现“任意”、“存在”之类的字眼 如
[20]
（ 2009 年 福 建 省 质 检 文 22 ）已 知 函 数
f (x ) =
mx
(m , n ∈R ) 在 x = 1 处取得极值 2． x 2+n
（Ⅰ）求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设A 是曲线y =f (x ) 上除原点O 外的任意一点，过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ，试问：是否存在这样的点A ，使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设函数g (x ) =x 2-2ax +a ，若对于任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[-1,1]，使得
g (x 2) ≤f (x 1) ，求实数a 的取值范围．
但在高中的题目中有许多只出现“任意”或者“存在”或者都没出现量词的，那这些题目是不是就不是混合命题？
在高中的题目中有许多是隐藏了量词的，若将量词还原了，那么这些题目有的也同时含有存在量词和全称量词，所以本文认为并不只是出现在字面上的“全称”、“存在”的命题是混合命题，若将隐含的量词挖掘出来并且同时含有全称、存在的命题也可称为混合命题。 下面我们举几个例子来说
例1 （2010山西调研）若不等式x +ax +1≥0对一切x ∈ 0, ⎥成立，则a 的最小值。
2
2
⎛⎝
1⎤⎦
分析 先将命题符号化：∀x ∈ 0, ⎥, x 2+ax +1≥0，求a 的最小值
2
⎛⎝
1⎤⎦
即在∀x ∈ 0, ⎥上，寻找x 0使a 最小。
2
⎛⎝
1⎤⎦
这个题目其实就是在全称量词的情况下寻找存在量词，即∃x 0，使a min 。 这便是存在量词与全称量词的混合使用，这里隐含了存在量词。 例2（由文
[20]
改编） 设函数f (x ) =-
21⎡1⎤
x ++ln x 在⎢,1⎥存在x 0, 使得不等式33x ⎣4⎦
f (x 0) ≤c 成立, 求c 的取值范围。
分析c 的取值范围设为[a , +∞) 那么其实可以将题目还原：
⎡1⎤
∃x ∈⎢,1⎥, ∀c ∈[a , +∞), f (x 0) ≤c
⎣4⎦
由此可以清晰地看出，这道题目其实是隐藏了全称量词。 所以它也是一道存在命题与全称命题的混合命题。
例3 （2010江西二次联考）若关于x
的不等式x -t ≤则实数t 的取值范围是_____
分析 在这道题目中没有明显的出现量词 那这道题是不是混合命题呢？ 先将题目还原：（在此设A 为t 的取值范围）
对于∃x ∈R , ∀t ∈A , x -t ≤
将题目还原后会发现，其实这道题目也是同时含有存在量词和全称量词的混合命题，只是出题者将其都隐藏了。
纵观中学数学一些不等式的题目，会发现其实大部分都是混合命题的题目。
综上，在解这类题目时，要还原题目的本来面目，在对其进行分析。 所以教师在讲解题目的时候要融入量词的知识，使学生在学习中潜移默化的接受并应用量词，做到学以致用。
4 还原量词
还原量词是为了更准确的解决一些不等式的问题，以及命题的否定等。 对于隐藏了量词的命题要如何将其中的量词还原？
要将量词还原就需要教师在平时的教学中要融入量词的知识（这个将在第五点详细讲） 以下举几个还原量词常用的方法
1） 对于一些不含有量词的名词一般都隐含了全称量词
例如：平行四边形对边平行。
像这个命题就隐藏了全称量词，将其还原就可得所有的平行四边形对边都平行
2） 含有“恒成立”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了全称量词，还原为所有的自变量
都属于R
例如：x +ax ≥0恒成立，即∀x ∈R , x 2+ax ≥0成立
含有“恒有解”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了存在量词，还原为所有的自变量都属于R
例如：例3，可还原为∃x ∈R 3） 求最大值，最小值得问题。
这类问题一般是在全称量词的情况下寻找存在量词
例如：例1，∃x 0，使a min 。
4） 不含量词的自变量的取值范围
这种情况一般是隐藏了全称量词，可以将全称量词还原
例如：已知x ∈[2,5], f (x ) =log a x . 就可以将x ∈[2,5]还原成∀x ∈[2,5].
2
2
5带着量词解决不等式问题
中学引入了量词，主要从两方面分析讲解，一是量词的定义，其二是量词的否定
[2]
。 量
词经常出现在中学的题目中，比如命题的否定、不等式的恒成立与有解问题、全称量词与存在量词的概念、反证法等等。 在高中阶段，在遇到判断命题的真假的题目时需要考虑到量词的全称性或者存在性，既然在选修1-1、2-1中有量词的知识点
[2]
，那么在平时讲解的时
候，老师就可以结合量词知识理论逐步养成在量词知识指导下得解题能力的培养。 例如可以利用量词来解释全称命题或存在命题的真假值，还有对含有量词命题的否定。
5.1 量词的初探
例4
[4]
（2009. 宁夏海南5）有四个关于三角函数的命题：
p 1:∃x ∈R ,sin 2
x x 1
+cos 2=; p 2:∃x 、y ∈R ,sin(x -y ) =sin x -sin y ; 222
p 3:∀x ∈[
0, π]（A ）
π
=sin x ; p 4:sinx =cos y ⇒x +y =。 其中假命题的是2
A . p 1p 4 B . p 2p 4 C . p 1p 3 D . p 2p 3
分析 这道题目就可以用量词来分析：
p 1为假命题，由于量词的存在性，需证明每个x 不满足p 1即可
∀x ∈R ，sin 2x +cos 2x =1恒成立。
x x x
∴∀∈R ,sin 2+cos 2=1 ，由此可以判断p 1为假命题
由于题目只有p 1p 4或p 1p 3，所以不需要分析p 2
p 3为真。
p 4:sin x =cos y ⇒x +y =
当x =2, y =2π⇒x +y =例5
[4]
π
2
，p 4其实隐藏了全称量词
∴p 4为假命题，由于量词的任意性，只需证明一个x 不满足p 4即可
2
π，∴p 4为假命题
（2007. 山东7）命题“对任意的x ∈R , x 3-x 2+1≤0”的否定是（C ）
A 不存在x ∈R , x 3-x 2+1≤0 B 存在x 0∈R , x 03-x 02+1≤0 C 存在x 0∈R , x 03-x 02+1>0 D. 对任意的x ∈R , x 3-x 2+1>0
分析 将命题用量词来表示：即∀x ∈R , x 3-x 2+1≤0 在对其进行否定（利用预备知识2.3）
得到⌝(∀x ∈R , x 3-x 2+1≤0) ⇔∃x 0∈R , x 03-x 02+1>0 由此可以判断答案应是C 。
5.2 均值不等式与量词
学生在解类似f (x ) +
1
的题目时，会立马想到用均值不等式来解决这个题目。 f (x )
但是不是所有这类题目都可以用均值不等式来解决呢。 我们来看一道题目 例6 对于任意θ∈(0,
π
2
), 4sin 2θ+2m cos θ-2cos θ-5≤0恒成立，求实数m 的取值范
围(由文[5]例3改编) 。 解 4(1-cos
2
θ) +2m cos θ-2cos θ-5≤0
4cos 2θ+2cos θ+11
=2cos θ++1
m ≤
2cos θ2cos θ
设y =2cos θ+
11（当且仅当cos θ=时 “=”成+1≥1≥3，
22cos θ立），则y ≥3。 要使对于任意θ∈(0,
π
2
), 4cos 2θ+2m sin θ-2sin θ-5≤0恒成立，必须有m 小于等于y
的最小值，即m ≤3。
此时我们利用均值不等式可以求出最值。
接下来我们对题目作如下改变： 变式1对于任意θ∈(0,范围。
分析 此时我们在利用上述的方法进行运算，得到
π
2
), 4sin 2θ+2m cos θ-2cos θ-10≤0恒成立，求实数m 的取值
4cos 2θ+2cos θ+63m ≤=2cos θ++1
2cos θcos θ
设y =2cos θ+
33+1≥1=1，当cos 2θ=时等式成立，而
2cos θ2
此时不存在θ使cos θ=
3
，所以等号是取不到的。
2
那么是不是可以得到y >1呢？
若y >
1成立的话，我们就可以得到m ∈(-∞1。 ）
接下来我们用求导的方法来验证下利用均值不等式的方法求出的区间是否准确 令f (θ) =2cos θ+
3
+1 cos θ
3sin θ3
=sin θ(-2) 22
cos θcos θ
对其进行求导f '(θ) =-2sin θ+
3⎛π⎫
θ∈ 0, ⎪∴f '(x ) =sin θ(2-2) >0
cos θ⎝2⎭
由此可得f '(θ) 是单调递增函数
f (x ) 在θ=0的时候连续
所以我们可以求得f '(0)=5。
→f (θ) =2cos θ+
3
+1≥6 cos θ
那么，m 取值范围应该是m ∈(-∞,6) 而
6>1。
由此可得，
利用均值不等式求出的m ∈(-∞1这个取值范围相比于m ∈(-∞,6) 缩小）了取值范围。
为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？
在此我们可以用数学分析
[3]
中的定理来解释
当等号可以取到的时候，即cos θ=
1π⎛π⎫
，θ=∈ 0, ⎪则f (x ) 的下确界可达 23⎝2⎭
而等号取不到的时候，即θ∉ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪，则f (x ) 的下确界不可达。 2⎭
但是中学数学中并没有涉及到对下确界的定义，那么对于下确界的讲解应该从何入手呢？ 所以在此量词的重要性的凸显出来了，在高中的选修课程中有对“量词”定义及讲解，由此我们便找到了突破口。 我们可以从量词入手，来解释“为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？” 用量词的定义分析如下： 已知∀θ∈ 0,
⎛⎝
π⎫
2⎭
⎪，由量词的任意性即对于任意的θ∈ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪，若能找到x 0使得f (x ) 最小 2⎭
即∃x 0, f (x 0) min
若等号成立，就能找到x 0（即前面所说的下确界可达）。 而等号不成立的时候，就把区间的范围扩大或缩小了。 变式2对于任意x ∈(范围。
分析 当定义域的区间为x ∈(
π
2
, π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值
π
2
, π) 的时候，cos x 的取值范围也发生了改变
cos x ∈(-1,0)
此时我们在利用上述的方法进行运算，得到
4cos 2x +2cos x +63m ≥=2cos x ++1
2cos x cos x
设f (x ) =2cos x +
3
+1，则上式可以转化成m ≥f (x ) max ，只需求出f (x ) max cos x
若利用均值不等式来求f (x
) max
f (x ) =2cos x +
3+1≤1=-1，而此时的等号是取不到的。 cos x 那么这里的x （∃x , f (x ) max ）就是不可达的。
因此我们还是用求导的方法来解答这个问题 对其进行求导f '(x ) =-2sin x +3sin x 3=sin x (-2) 22cos x cos x
3⎛π⎫ x ∈ , π⎪∴f '(x ) =sin x (2-2) >0 cos x ⎝2⎭
∴f (x ) 单调递增
又 f (x ) 在x =π上连续
∴f (x ) max =f (π) =0
∴m ≥1
变式3 对于任意x ∈(0,π),4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值范围。
分析 已知x ∈(0,π) ，那么cos x ∈(-1,1)
由cos x 的取值范围得，不能再利用变式1,2的方法来对不等式进行变形
我们还是先将其转化成都含有cos x 的式子
4(1-cos 2x ) +2m cos x -2cos x -10≤0
整理得 -4cos x +2m cos x -2cos x -6≤0
利用二次函数的单调性和对称轴的关系来完成题目。
设f (x ) =-4cos x +2m cos x -2cos x -6，对称轴为x =
当x =22m 4m ≤-1时，f (x ) 在区间x ∈(0,π) 内是单调递减的 4
∴只需证f (0)≤0
即f (0)=-4+2m -2-6=2m -12≤0，得到m ≤6
又 m ≤-4∴m ≤-4 m m
m ∴只需证明f () ≤0 4
m m m 2m +2m cos -2cos -6≤0 即f () =-4cos 4444当-1
当x =m ≥1时，f (x ) 在区间x ∈(0,π) 内是单调递增的 4
∴只需证f (π) ≤0
即f (π) =-4-2m +2-6=-2m -8≤0，得到m ≥-4 又 x =m ≥1∴m ≥4 4
综上，m 的取值范围为[4, +∞)
变式4对于任意x ∈(π,
范围。
分析 当∀x ∈(π,
一致。 3π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值23π) 的时候，虽然定义域发生了改变但cos x ∈(-1,0) 的取值范围与变式22
4cos 2x +2cos x +63m ≥=2cos x ++1 2cos x cos x
设f (x ) =2cos x +3+1，若利用均值不等式
cos x
f (x ) ≥1=1 但是“=”取不到，所以还是利用求导的方法来完成
3sin x 3=sin x (-2) cos 2x cos 2x
3π3 ∀x ∈(π, ) ∴f '(x ) =sin x (2-2)
∴f (x ) 单调递减
又 f (x ) 在x =π上连续
∴f (x ) max =f (π) =0
∴m ≥1
变式5对于任意x ∈(
值范围。
分析 当∀x ∈(3π, 2π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取23π, 2π) 的时候，虽然定义域发生了改变但cos x ∈(0,1)的取值范围与变式32
一致。 所以可以运用变式1的方法来解题
变式6对于任意x ∈(π,2π),4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值范围。
分析 当∀x ∈(π, 2π) 时，cos x ∈(-1,1)
情况与变式4一致，可以选择变式4的方法来解题。 综上，在解形如f (x ) +
11题目时，由于f (x ) +≥f (x ) f (x ) 不需要考虑f (x ) 的取值。 我们对f (x ) =4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0定义域的一整个周期的取值范围做了变化，可以发现，不管在哪个定义域范围内都不能利用均值不等式。 由上面的证明可得在解这类题目时要充分考虑到量词是否可达。
对于在解答过程中提到的函数f (x ) 在x =0、x =π上连续，也可以利用量词来解释： 函数f (x ) 在点x =x 0处连续必须满足：f (x ) 在点x =x 0处有定义，
∃lim f (x ), lim f (x ) =f (x 0) x →x 0x →x 0
（1）当参数可以被提出来的时候可以通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决（即预备知识2.4的转化方案）。
对于2.4 1）可以利用量词解释如下：
因为量词的任意性，所以要求f (x ) >m 每一个x 都满足f (x ) >m 。
由此可以推出我们需要证明f (x ) 在A 上的最小值>m 。 （小于等于的情况可以依次类推） 对于2.4 2）可以利用量词解释如下：
对于这种情况，因为量词的存在性，所以要求f (x ) >m 只需求出一个x 满足f (x ) >m 。 由此可以推出我们只需证明f (x ) 在A 上的最大值>m 。 （小于等于的情况可以依次类推）
（2）当函数不是单调的话，就不能提取出参数来解答，而应该利用二次函数的性质或其他方法来解决问题。
例7[8] x +ax +1≥0对于任意的x ∈ 0, ⎪恒成立，求实数a 的取值范围。
22⎛⎝1⎫2⎭解[8] 设f (x ) =x +ax +1, 则对称轴的方程为x =-a a 1若-≥, 即a ≤-1, 则f (x ) 在222
15⎛1⎫x ∈ 0, ⎪上是减函数, 故f () ≥0. 解得-≤a ≤-1; 22⎝2⎭
若-a ⎛1⎫≤0, 即a ≥0, 则f (x ) 在x ∈ 0, ⎪上是增函数, 故f (0)=1>0恒成立, 解得a ≥0 2⎝2⎭
222a 1a a a a +1=1若0-1
综上所述, a ≥-5⎡5⎫, 故a 的取值范围为⎢-, +∞⎪。 2⎣2⎭
由此可以说明，均值不等式并不是对于所有形如f (x ) +
在此基础上，我们在来分析以下这道题目：
例8（2008. 上海19）已知函数f (x ) =2x -2
成立，求实数m 的取值范围。
解[4][4]1题目都可以解答。 f (x ) -x ，若2t f (2) t +m f (t ) 0≥对于∀t ∈[1,2]恒 当∀t ∈[1,2]时，2(2-t 2t 11t 2t 4t ) +m (2-) ≥0，即m (2-1) ≥-(2-1). 2t t 22
22t -1>0,
∴m ≥-(22t +1)
记g (t ) =-(2+1) ，t ∈[1,2]易得g (x ) max =-5 2t
∴m ≥-5。
可以利用量词来分析如下：
2t -(2+1) ⎤m ≥-(22t +1) 根据（2.4）可得m ≥⎡⎣⎦max
例9 （2011届. 双鸭山一中高三期中（文）17）已知不等式x -x -m +1>0，若对任意的实数x ，此不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
解 由x ∈R ，不等式x -x -m +1>0变形为 22
m
设f (x ) =-x +x -1，则m
得到m ∈ -∞, ⎛
⎝3⎫⎪。 4⎭
可以利用量词来分析如下：
∀x ∈R , m
2x 3
例10 （2007. 浙江22）设f (x ) =，对任意实数t ，记g t (x ) =t x -t 。 求证：（1）33
当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立[9]。
x 322-t x +t (x >0) 解析 以x 为变量t 为参数构造函数，令h (x ) =f (x ) -g t (x ) =33
则h '(x ) =x 2-t 当t >0时，由h '(x ) =0，得到x =t ，则x ∈t , +∞时，h '(x ) >0 1(1)
∴h (x ) 在(0, +∞)内的最小值是h (t ) =0
故当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立。 6 结论
本文主要讲解的是量词的混合命题，利用量词来分析这类题目的一些思想方法， 明白量词的重要性，在此基础上利用量词的知识指导分析题目的解题方法。 使学生在学习时可以充分的运用量词，让学生在解题过程中逻辑思维也随之提高。
参考文献
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数 统 学 院
毕 业 论 文
课题名称：矩阵A 的m 重伴随矩阵的性质
学生姓名 胡旭强
学 号
专 业 数学与应用数学
班 级 09级数学与应用数学一班
指导教师
2011 年 12 月 15 日
目 录
1 引言 . ....................................................................................................................... 3 1.1 量词的定义 .................................................................................................. 3 1.2 现状调查 ...................................................................................................... 3 1.3 文章的目的 .................................................................................................. 4 2 预备知识 ............................................................................................................... 4 2.1 等值式 .......................................................................................................... 4 2.2 确界 .............................................................................................................. 4 2.3 简单命题的否定 .......................................................................................... 5 2.4 常见命题的转化方案 .................................................................................. 5 3 量词的混合使用 ................................................................................................... 5 4 还原量词 ............................................................................................................... 6 5带着量词解决不等式问题 .................................................................................... 7 5.1 量词的初探 .................................................................................................. 7 5.2 均值不等式与量词 ...................................................................................... 8 6结论 . ...................................................................................................................... 15 参考文献： ............................................................................................................. 15
使用量词解决一类不等式问题的初探
摘要：本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，为量词可以更好的和其他知识内容及技巧方法融为一体。 通过对一道不等式的习题进行深入分析，得到均值不等式的不能使用其实是因为量词不可达、以及对量词的否定的一些缺陷。 关键字：不等式；量词；量词否定；均值不等式；
1 引言
1.1 量词的定义：
1）离散数学中对量词的定义
[1]
：
全称量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的如“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词汇统称为全称量词，用符号“∀”表示，∀x 表示个体域里的所有个体x ，其中个体域是事先约定的
[1]
。
存在量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词汇统称为存在量词，用符号“∃”表示。 ∃x 表示个体域里有一个个体x 2) 高中课程里量词的定义
[2]
[1]
.
:
“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词（universal quantifier）, 数学上用符号“∀”表示。 “存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词（existential quantifier ），数学上用符号“∃”表示，涉及量词的命题必须指出量词的作用范围3）离散数学中的定义与高中课本定义的区别与联系
这两种对于量词的定义本质上是相同的，都是“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词来概括全称量词，用“存在”、“某一个”、“至少有一个”等词来概括存在量词，用符号“∀”，“∃”分别表示任意量词和存在量词。 但也有一定的区别，离散数学中对量词的定义的着重点在利用量词来表示自然语言，而高中的量词定义着重点在于量词的作用范围。
[2]
。
1.2 现状调查
1）中学数学量词使用的广泛性
在中学数学中，量词被广泛的运用到各个类型的题目中，函数、不等式、数列、几何等，几乎各方面都有涉及到量词，在文献[4-20]中都有体现。 2）中学数学量词结论的滞后
虽然量词在中学数学中被广泛的应用，并且关于量词的文献也是随处可见，但对于量词理论上的讨论及论证却是少之又少。 ①教材上的匮乏
在必修内容中，不含有量词的理论知识，高中课本选修2-1中有将量词单独列出
[2]
。 但
选修2-1作为选修课程并没有仔细的讲解，甚至文科生都没有讲授量词的理论知识（文科的考试大纲
[22]
不要求量词这部分的知识）。
②知识点的紧缺
中学数学中只涉及到对含有一个量词的命题的讲解及分析却时常出现含两个量词以上的命题要。 3）研究情况
由于量词这部分知识是新增的内容，很多教师对这部分知识还不是很了解，使得在讲授量词这部分知识点的时候，教师讲解含糊，学生听的也不清不楚。 很多学生对量词这部分知识的掌握只能是知其然不知其所以然，形成对量词部分知识没有很清晰的了解。 并且学习了之后没有并且不会运用到问题的解决中，与具体解答题目脱节。 这就使得学生在做有关量词题目的时候容易出现错误。
4）中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾
量词虽不是必修的内容，但在练习中却经常出现（常与不等式结合考查参数的取值范围）甚至在高考题中都经常出现
[20]
[4-21]
[2]
，然而中学数学的题目中
，这就造成了中学中量词的理论无法满足实践的需
，而高考题是一个地方教学目标及教学内容的指挥棒在高中
的整个教学阶段起着极其重要的作用，由此可见量词在高中阶段所占的分量不可忽视。 但若要将量词讲清楚，又涉及到对一阶逻辑的内容的讲解，如此而来，关于量词的知识点又会超出中学生所能接受的范围，而且在课时方面也不允许。 这便体现了中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾。
1.3 文章的目的
中学数学中含有量词的题目不乏其数，但大部分都是抛开量词来讨论题目。 这样便与教学目标脱节，因为量词的重要性故而引入了量词的定义及其否定，学而不用就会造成一种浪费。 所以就需要教师和学生一起将量词拿到实际应用中来。 本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，使量词可以更好的为其他知识内容及技巧方法服务，使学生在学习量词的同时提升自我的逻辑思维能力，并且为今后的教学实践与研究打下基础。
2 预备知识
2.1 等值式
德摩根律 ⌝(A ∧B ) ⇔⌝A ∨⌝B ⌝(A ∨B ) ⇔⌝A ∧⌝B 蕴含等值式 A →B ⇔⌝A ∨B （见文[1]）
2.2 确界
一个无限数集E 即使它有上确界β（或下确界α），然而这个β（或α）可属于E 也
可不属于E 。 如果β（或α）属于E ，则我们说上确界β（或下确界α）可达到；否则就说上（或下）确界不达到(见文[3])
2.3 简单命题的否定
一般的，命题“∀x ∈R , p (x ) ”的否定是“∃x ∈R , ⌝p (x ) ” 命题“∃x ∈R , p (x ) ”的否定是“∀x ∈R , ⌝p (x ) ”(见文[2]) .
2.4 常见命题的转化方案
1） ∀x ∈A , f (x ) >m , 求m 的取值范围⇔f (x ) 在A 上的最小值>m 2） ∃x ∈A , f (x ) >m , 求m 的取值范围⇔f (x ) 在A 上的最大值>m 3） ∀x ∈A , f (x )
5） ∃x ∈A , f (x ) =m , 求m 的取值范围⇔f (x ) =m 在A 上有解。 （见文[10]）
3 量词的混合使用
文献[20]讲述了特称命题与全称命题的混合命题 其对混合命题的定义如下：“当一个命题中既出现“至少”“存在”等存在量词，又出现“任意”、“都有”等全称量词时，本文称之为存在命题与全称命题的混合命题。” 文献[20]中给出的试题赏析都是一些字面上就出现“任意”、“存在”之类的字眼 如
[20]
（ 2009 年 福 建 省 质 检 文 22 ）已 知 函 数
f (x ) =
mx
(m , n ∈R ) 在 x = 1 处取得极值 2． x 2+n
（Ⅰ）求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设A 是曲线y =f (x ) 上除原点O 外的任意一点，过OA 的中点且垂直于x 轴的直线交曲线于点B ，试问：是否存在这样的点A ，使得曲线在点B 处的切线与OA 平行？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设函数g (x ) =x 2-2ax +a ，若对于任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[-1,1]，使得
g (x 2) ≤f (x 1) ，求实数a 的取值范围．
但在高中的题目中有许多只出现“任意”或者“存在”或者都没出现量词的，那这些题目是不是就不是混合命题？
在高中的题目中有许多是隐藏了量词的，若将量词还原了，那么这些题目有的也同时含有存在量词和全称量词，所以本文认为并不只是出现在字面上的“全称”、“存在”的命题是混合命题，若将隐含的量词挖掘出来并且同时含有全称、存在的命题也可称为混合命题。 下面我们举几个例子来说
例1 （2010山西调研）若不等式x +ax +1≥0对一切x ∈ 0, ⎥成立，则a 的最小值。
2
2
⎛⎝
1⎤⎦
分析 先将命题符号化：∀x ∈ 0, ⎥, x 2+ax +1≥0，求a 的最小值
2
⎛⎝
1⎤⎦
即在∀x ∈ 0, ⎥上，寻找x 0使a 最小。
2
⎛⎝
1⎤⎦
这个题目其实就是在全称量词的情况下寻找存在量词，即∃x 0，使a min 。 这便是存在量词与全称量词的混合使用，这里隐含了存在量词。 例2（由文
[20]
改编） 设函数f (x ) =-
21⎡1⎤
x ++ln x 在⎢,1⎥存在x 0, 使得不等式33x ⎣4⎦
f (x 0) ≤c 成立, 求c 的取值范围。
分析c 的取值范围设为[a , +∞) 那么其实可以将题目还原：
⎡1⎤
∃x ∈⎢,1⎥, ∀c ∈[a , +∞), f (x 0) ≤c
⎣4⎦
由此可以清晰地看出，这道题目其实是隐藏了全称量词。 所以它也是一道存在命题与全称命题的混合命题。
例3 （2010江西二次联考）若关于x
的不等式x -t ≤则实数t 的取值范围是_____
分析 在这道题目中没有明显的出现量词 那这道题是不是混合命题呢？ 先将题目还原：（在此设A 为t 的取值范围）
对于∃x ∈R , ∀t ∈A , x -t ≤
将题目还原后会发现，其实这道题目也是同时含有存在量词和全称量词的混合命题，只是出题者将其都隐藏了。
纵观中学数学一些不等式的题目，会发现其实大部分都是混合命题的题目。
综上，在解这类题目时，要还原题目的本来面目，在对其进行分析。 所以教师在讲解题目的时候要融入量词的知识，使学生在学习中潜移默化的接受并应用量词，做到学以致用。
4 还原量词
还原量词是为了更准确的解决一些不等式的问题，以及命题的否定等。 对于隐藏了量词的命题要如何将其中的量词还原？
要将量词还原就需要教师在平时的教学中要融入量词的知识（这个将在第五点详细讲） 以下举几个还原量词常用的方法
1） 对于一些不含有量词的名词一般都隐含了全称量词
例如：平行四边形对边平行。
像这个命题就隐藏了全称量词，将其还原就可得所有的平行四边形对边都平行
2） 含有“恒成立”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了全称量词，还原为所有的自变量
都属于R
例如：x +ax ≥0恒成立，即∀x ∈R , x 2+ax ≥0成立
含有“恒有解”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了存在量词，还原为所有的自变量都属于R
例如：例3，可还原为∃x ∈R 3） 求最大值，最小值得问题。
这类问题一般是在全称量词的情况下寻找存在量词
例如：例1，∃x 0，使a min 。
4） 不含量词的自变量的取值范围
这种情况一般是隐藏了全称量词，可以将全称量词还原
例如：已知x ∈[2,5], f (x ) =log a x . 就可以将x ∈[2,5]还原成∀x ∈[2,5].
2
2
5带着量词解决不等式问题
中学引入了量词，主要从两方面分析讲解，一是量词的定义，其二是量词的否定
[2]
。 量
词经常出现在中学的题目中，比如命题的否定、不等式的恒成立与有解问题、全称量词与存在量词的概念、反证法等等。 在高中阶段，在遇到判断命题的真假的题目时需要考虑到量词的全称性或者存在性，既然在选修1-1、2-1中有量词的知识点
[2]
，那么在平时讲解的时
候，老师就可以结合量词知识理论逐步养成在量词知识指导下得解题能力的培养。 例如可以利用量词来解释全称命题或存在命题的真假值，还有对含有量词命题的否定。
5.1 量词的初探
例4
[4]
（2009. 宁夏海南5）有四个关于三角函数的命题：
p 1:∃x ∈R ,sin 2
x x 1
+cos 2=; p 2:∃x 、y ∈R ,sin(x -y ) =sin x -sin y ; 222
p 3:∀x ∈[
0, π]（A ）
π
=sin x ; p 4:sinx =cos y ⇒x +y =。 其中假命题的是2
A . p 1p 4 B . p 2p 4 C . p 1p 3 D . p 2p 3
分析 这道题目就可以用量词来分析：
p 1为假命题，由于量词的存在性，需证明每个x 不满足p 1即可
∀x ∈R ，sin 2x +cos 2x =1恒成立。
x x x
∴∀∈R ,sin 2+cos 2=1 ，由此可以判断p 1为假命题
由于题目只有p 1p 4或p 1p 3，所以不需要分析p 2
p 3为真。
p 4:sin x =cos y ⇒x +y =
当x =2, y =2π⇒x +y =例5
[4]
π
2
，p 4其实隐藏了全称量词
∴p 4为假命题，由于量词的任意性，只需证明一个x 不满足p 4即可
2
π，∴p 4为假命题
（2007. 山东7）命题“对任意的x ∈R , x 3-x 2+1≤0”的否定是（C ）
A 不存在x ∈R , x 3-x 2+1≤0 B 存在x 0∈R , x 03-x 02+1≤0 C 存在x 0∈R , x 03-x 02+1>0 D. 对任意的x ∈R , x 3-x 2+1>0
分析 将命题用量词来表示：即∀x ∈R , x 3-x 2+1≤0 在对其进行否定（利用预备知识2.3）
得到⌝(∀x ∈R , x 3-x 2+1≤0) ⇔∃x 0∈R , x 03-x 02+1>0 由此可以判断答案应是C 。
5.2 均值不等式与量词
学生在解类似f (x ) +
1
的题目时，会立马想到用均值不等式来解决这个题目。 f (x )
但是不是所有这类题目都可以用均值不等式来解决呢。 我们来看一道题目 例6 对于任意θ∈(0,
π
2
), 4sin 2θ+2m cos θ-2cos θ-5≤0恒成立，求实数m 的取值范
围(由文[5]例3改编) 。 解 4(1-cos
2
θ) +2m cos θ-2cos θ-5≤0
4cos 2θ+2cos θ+11
=2cos θ++1
m ≤
2cos θ2cos θ
设y =2cos θ+
11（当且仅当cos θ=时 “=”成+1≥1≥3，
22cos θ立），则y ≥3。 要使对于任意θ∈(0,
π
2
), 4cos 2θ+2m sin θ-2sin θ-5≤0恒成立，必须有m 小于等于y
的最小值，即m ≤3。
此时我们利用均值不等式可以求出最值。
接下来我们对题目作如下改变： 变式1对于任意θ∈(0,范围。
分析 此时我们在利用上述的方法进行运算，得到
π
2
), 4sin 2θ+2m cos θ-2cos θ-10≤0恒成立，求实数m 的取值
4cos 2θ+2cos θ+63m ≤=2cos θ++1
2cos θcos θ
设y =2cos θ+
33+1≥1=1，当cos 2θ=时等式成立，而
2cos θ2
此时不存在θ使cos θ=
3
，所以等号是取不到的。
2
那么是不是可以得到y >1呢？
若y >
1成立的话，我们就可以得到m ∈(-∞1。 ）
接下来我们用求导的方法来验证下利用均值不等式的方法求出的区间是否准确 令f (θ) =2cos θ+
3
+1 cos θ
3sin θ3
=sin θ(-2) 22
cos θcos θ
对其进行求导f '(θ) =-2sin θ+
3⎛π⎫
θ∈ 0, ⎪∴f '(x ) =sin θ(2-2) >0
cos θ⎝2⎭
由此可得f '(θ) 是单调递增函数
f (x ) 在θ=0的时候连续
所以我们可以求得f '(0)=5。
→f (θ) =2cos θ+
3
+1≥6 cos θ
那么，m 取值范围应该是m ∈(-∞,6) 而
6>1。
由此可得，
利用均值不等式求出的m ∈(-∞1这个取值范围相比于m ∈(-∞,6) 缩小）了取值范围。
为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？
在此我们可以用数学分析
[3]
中的定理来解释
当等号可以取到的时候，即cos θ=
1π⎛π⎫
，θ=∈ 0, ⎪则f (x ) 的下确界可达 23⎝2⎭
而等号取不到的时候，即θ∉ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪，则f (x ) 的下确界不可达。 2⎭
但是中学数学中并没有涉及到对下确界的定义，那么对于下确界的讲解应该从何入手呢？ 所以在此量词的重要性的凸显出来了，在高中的选修课程中有对“量词”定义及讲解，由此我们便找到了突破口。 我们可以从量词入手，来解释“为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？” 用量词的定义分析如下： 已知∀θ∈ 0,
⎛⎝
π⎫
2⎭
⎪，由量词的任意性即对于任意的θ∈ 0,
⎛⎝
π⎫
⎪，若能找到x 0使得f (x ) 最小 2⎭
即∃x 0, f (x 0) min
若等号成立，就能找到x 0（即前面所说的下确界可达）。 而等号不成立的时候，就把区间的范围扩大或缩小了。 变式2对于任意x ∈(范围。
分析 当定义域的区间为x ∈(
π
2
, π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值
π
2
, π) 的时候，cos x 的取值范围也发生了改变
cos x ∈(-1,0)
此时我们在利用上述的方法进行运算，得到
4cos 2x +2cos x +63m ≥=2cos x ++1
2cos x cos x
设f (x ) =2cos x +
3
+1，则上式可以转化成m ≥f (x ) max ，只需求出f (x ) max cos x
若利用均值不等式来求f (x
) max
f (x ) =2cos x +
3+1≤1=-1，而此时的等号是取不到的。 cos x 那么这里的x （∃x , f (x ) max ）就是不可达的。
因此我们还是用求导的方法来解答这个问题 对其进行求导f '(x ) =-2sin x +3sin x 3=sin x (-2) 22cos x cos x
3⎛π⎫ x ∈ , π⎪∴f '(x ) =sin x (2-2) >0 cos x ⎝2⎭
∴f (x ) 单调递增
又 f (x ) 在x =π上连续
∴f (x ) max =f (π) =0
∴m ≥1
变式3 对于任意x ∈(0,π),4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值范围。
分析 已知x ∈(0,π) ，那么cos x ∈(-1,1)
由cos x 的取值范围得，不能再利用变式1,2的方法来对不等式进行变形
我们还是先将其转化成都含有cos x 的式子
4(1-cos 2x ) +2m cos x -2cos x -10≤0
整理得 -4cos x +2m cos x -2cos x -6≤0
利用二次函数的单调性和对称轴的关系来完成题目。
设f (x ) =-4cos x +2m cos x -2cos x -6，对称轴为x =
当x =22m 4m ≤-1时，f (x ) 在区间x ∈(0,π) 内是单调递减的 4
∴只需证f (0)≤0
即f (0)=-4+2m -2-6=2m -12≤0，得到m ≤6
又 m ≤-4∴m ≤-4 m m
m ∴只需证明f () ≤0 4
m m m 2m +2m cos -2cos -6≤0 即f () =-4cos 4444当-1
当x =m ≥1时，f (x ) 在区间x ∈(0,π) 内是单调递增的 4
∴只需证f (π) ≤0
即f (π) =-4-2m +2-6=-2m -8≤0，得到m ≥-4 又 x =m ≥1∴m ≥4 4
综上，m 的取值范围为[4, +∞)
变式4对于任意x ∈(π,
范围。
分析 当∀x ∈(π,
一致。 3π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值23π) 的时候，虽然定义域发生了改变但cos x ∈(-1,0) 的取值范围与变式22
4cos 2x +2cos x +63m ≥=2cos x ++1 2cos x cos x
设f (x ) =2cos x +3+1，若利用均值不等式
cos x
f (x ) ≥1=1 但是“=”取不到，所以还是利用求导的方法来完成
3sin x 3=sin x (-2) cos 2x cos 2x
3π3 ∀x ∈(π, ) ∴f '(x ) =sin x (2-2)
∴f (x ) 单调递减
又 f (x ) 在x =π上连续
∴f (x ) max =f (π) =0
∴m ≥1
变式5对于任意x ∈(
值范围。
分析 当∀x ∈(3π, 2π), 4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取23π, 2π) 的时候，虽然定义域发生了改变但cos x ∈(0,1)的取值范围与变式32
一致。 所以可以运用变式1的方法来解题
变式6对于任意x ∈(π,2π),4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0恒成立，求实数m 的取值范围。
分析 当∀x ∈(π, 2π) 时，cos x ∈(-1,1)
情况与变式4一致，可以选择变式4的方法来解题。 综上，在解形如f (x ) +
11题目时，由于f (x ) +≥f (x ) f (x ) 不需要考虑f (x ) 的取值。 我们对f (x ) =4sin 2x +2m cos x -2cos x -10≤0定义域的一整个周期的取值范围做了变化，可以发现，不管在哪个定义域范围内都不能利用均值不等式。 由上面的证明可得在解这类题目时要充分考虑到量词是否可达。
对于在解答过程中提到的函数f (x ) 在x =0、x =π上连续，也可以利用量词来解释： 函数f (x ) 在点x =x 0处连续必须满足：f (x ) 在点x =x 0处有定义，
∃lim f (x ), lim f (x ) =f (x 0) x →x 0x →x 0
（1）当参数可以被提出来的时候可以通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决（即预备知识2.4的转化方案）。
对于2.4 1）可以利用量词解释如下：
因为量词的任意性，所以要求f (x ) >m 每一个x 都满足f (x ) >m 。
由此可以推出我们需要证明f (x ) 在A 上的最小值>m 。 （小于等于的情况可以依次类推） 对于2.4 2）可以利用量词解释如下：
对于这种情况，因为量词的存在性，所以要求f (x ) >m 只需求出一个x 满足f (x ) >m 。 由此可以推出我们只需证明f (x ) 在A 上的最大值>m 。 （小于等于的情况可以依次类推）
（2）当函数不是单调的话，就不能提取出参数来解答，而应该利用二次函数的性质或其他方法来解决问题。
例7[8] x +ax +1≥0对于任意的x ∈ 0, ⎪恒成立，求实数a 的取值范围。
22⎛⎝1⎫2⎭解[8] 设f (x ) =x +ax +1, 则对称轴的方程为x =-a a 1若-≥, 即a ≤-1, 则f (x ) 在222
15⎛1⎫x ∈ 0, ⎪上是减函数, 故f () ≥0. 解得-≤a ≤-1; 22⎝2⎭
若-a ⎛1⎫≤0, 即a ≥0, 则f (x ) 在x ∈ 0, ⎪上是增函数, 故f (0)=1>0恒成立, 解得a ≥0 2⎝2⎭
222a 1a a a a +1=1若0-1
综上所述, a ≥-5⎡5⎫, 故a 的取值范围为⎢-, +∞⎪。 2⎣2⎭
由此可以说明，均值不等式并不是对于所有形如f (x ) +
在此基础上，我们在来分析以下这道题目：
例8（2008. 上海19）已知函数f (x ) =2x -2
成立，求实数m 的取值范围。
解[4][4]1题目都可以解答。 f (x ) -x ，若2t f (2) t +m f (t ) 0≥对于∀t ∈[1,2]恒 当∀t ∈[1,2]时，2(2-t 2t 11t 2t 4t ) +m (2-) ≥0，即m (2-1) ≥-(2-1). 2t t 22
22t -1>0,
∴m ≥-(22t +1)
记g (t ) =-(2+1) ，t ∈[1,2]易得g (x ) max =-5 2t
∴m ≥-5。
可以利用量词来分析如下：
2t -(2+1) ⎤m ≥-(22t +1) 根据（2.4）可得m ≥⎡⎣⎦max
例9 （2011届. 双鸭山一中高三期中（文）17）已知不等式x -x -m +1>0，若对任意的实数x ，此不等式恒成立，求实数m 的取值范围。
解 由x ∈R ，不等式x -x -m +1>0变形为 22
m
设f (x ) =-x +x -1，则m
得到m ∈ -∞, ⎛
⎝3⎫⎪。 4⎭
可以利用量词来分析如下：
∀x ∈R , m
2x 3
例10 （2007. 浙江22）设f (x ) =，对任意实数t ，记g t (x ) =t x -t 。 求证：（1）33
当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立[9]。
x 322-t x +t (x >0) 解析 以x 为变量t 为参数构造函数，令h (x ) =f (x ) -g t (x ) =33
则h '(x ) =x 2-t 当t >0时，由h '(x ) =0，得到x =t ，则x ∈t , +∞时，h '(x ) >0 1(1)
∴h (x ) 在(0, +∞)内的最小值是h (t ) =0
故当x >0时，f (x ) ≥g t (x ) 对任意正实数t 成立。 6 结论
本文主要讲解的是量词的混合命题，利用量词来分析这类题目的一些思想方法， 明白量词的重要性，在此基础上利用量词的知识指导分析题目的解题方法。 使学生在学习时可以充分的运用量词，让学生在解题过程中逻辑思维也随之提高。
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