实验设计与技术
2010年第10期
误差与相对不吕朝阳
江苏省前黄高级中学（二、相对误差与相对不确定度
人教版物理必修1在“误差和有效数字”部分指出，相对误差η=绝对误差。这令一些教师很困惑，因
为此前的中学物理奥林匹克竞赛教材以及大学教材中的相关内容都与之不同。比如《高中物理实验分析与思考》中就明确指出：相对误差η=绝对误差×100%。
笔者认为，要弄清该问题，需要先了解误差与不确定度、相对误差与相对不确定度的概念及其区别。
一、测量误差与测量不确定度
1.相对误差。
假设某物理量的准确值是N0，测量值为N，则：绝对误差=|测量值-准确值|=|N-N0|
由于绝对误差只是反映了测量值与真值间的绝对偏差，不能有效地反映测量的准确程度，故引入相对误差的概念：
相对误差η=绝对误差×100%
①
2.相对不确定度。
由物理量测量结果的表示形式Y=N±△N可知，要完整地表述一个物理量，应该有数值、单位和不确定度
1.测量误差。
误差一般又叫测量误差，它是测量结果与被测量真值之差。通常可分为两类：系统误差和偶然误差。测量误差是客观存在的，但由于在绝大多数情况下，真值是不知道的，所以“真误差”也无法准确知道。教师只能在特定的条件下寻求最佳的真值近似值，并称之为“约定真值”。
△N3个要素。显然不确定度△N也不能有效地反映测
量结果的准确程度，故引入了相对不确定度的概念：
相对不确定度=不确定度×100%
②
2.测量不确定度。
为了估计测量结果的可靠程度，可以把实验结果写成如下形式：
3.相对误差与相对不确定度的区别。
根据相对误差的定义，公式①中的分子是“绝对
误差”，即测量值与真值的差值，分母是“准确值”或“真值”；根据相对不确定度的定义，公式②中的分子是“不确定度”，即测量误差的范围，分母是“测量值”而不是真值，它可以是单次的直接测量值，也可以是相同实验条件下直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间接测量值。
在相同条件和环境下对某一物理量进行多次测量，每一次测量的绝对误差一般是不同的，其相对误差也就不同，而测量不确定度却不会随着测量的次数而改变，它是已知的和确定的，它反映的是在该条件和环境下误差的取值范围。如果②式中的“测量值”代入的是算术平均值或计算得出的间接测量值的话，那么只要测量的条件和环境确定不变，则其测量的相对不确定度就是一个定值，反映的是测量结果的可信赖程度。
三、教材相关概念分析
人教版物理必修1中写道：“假设用米尺测一段铜线的直径，读数为1.2mm。限于米尺的精确度，只能估测到分度值（1mm）的1/10，由于读数是不准确的，
·33·
Y=N±△N
其中Y代表待测物理量，N为该物理量的测量值（既
可以是单次的直接测量值，又可以是相同实验条件下直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间接测量值），而其中的△N为“不确定度”，代表测量值N不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，或者说，是对待测量值可能存在范围的估计。
3.测量误差与测量不确定度的区别。
测量误差与测量不确定度是2个不同的概念。
从测量评价的目的上看，测量误差反映的是测量结果偏离真值的程度；测量不确定度反映的是被测量值的分散性，是误差可能取值的测度或范围。从测量评价的结果上看，测量误差为有正号或负号的量值，其值为测量值与真值之差，由于真值未知，只可得到其估计值；测量不确定度是无正负的参数，其大小可以按一定的方法计算或估计出来。
2010年第10期
SHIYANJIAOXUEYUYIQI
实验设计与技术
一种“观察植物细胞的有丝分裂”实验的新方法
柯达珊
福建省莆田市第二中学（351131）
现象。为了克服以上缺点，笔者推出了让根尖自始至
终一直都在同一片载玻片上进行操作的“一片式”操作法。
二、“一片式”操作法的方法步骤
“一片式”操作法的根尖装片制作的流程为：根尖的压片→解离→漂洗→染色→去浮色→制片，共有6个步骤，具体的根尖装片制作见表1。
表1
过程
方
法
笔者对高中实验“观察植物细胞的有丝分裂”反复研究，终于找出窍门，总结出一种实验操作的新方法。这种新方法就是，将植物的根尖自始至终一直都放在同一片载玻片上进行操作，并完成根尖装片制作的所有流程，笔者把它简称为“一片式”操作法。
一、“一片式”操作法产生的背景
教科书中洋葱根尖的装片制作流程为：根尖的解离→漂洗→染色→制片，共有4个步骤；洋葱根尖的流向是：根尖放入第1个玻璃皿里解离，放入第2个玻璃皿里漂洗，放入第3个玻璃皿里染色，放在载玻片上制片。其中染色的操作步骤是：将解离、漂洗后的根尖放进盛有质量浓度为0.01g/mL或0.02g/mL的龙胆紫溶液的玻璃皿中染色3～5min，然后，将根尖取出来，放在载玻片上制片。以上操作的问题是：在盛有深兰紫色的龙胆紫溶液的玻璃皿里寻找被染成紫色的2~3mm的细小根尖是一件费时费劲的事，有些学生往往找不到紫色的根尖或造成根尖丢失的
根尖装片制作流程
时间
目
的
压片
剪取洋葱根尖4～5mm，放在载玻片的中央，盖上另一片载玻片，用左手固定住载玻片，用右手的拇指按压载玻片，将根尖压扁。并用镊子柄端轻轻地敲击根尖的尖端。然后，拿去上面的载玻片
将圆柱状的根尖压成扁平状的，改变了根尖的形态，使根尖细胞的总表面积增大。用镊子柄端轻轻地敲击根尖的尖端，使排列紧密的分生区细胞产生松动，这些都有利于根尖细胞的解离、漂洗、染色
→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→
产生的误差可能为0.2mm甚至更大，则误差与测量值之比为0.2mm=17%。如果把铜线密绕在木棒上，
（INC-1）》。1986年国际标准化组织、国际计量委员会等部门又成立了国际不确定度工作组，专门研究不确定度及其应用，“不确定度”一词逐渐受到重视。中国误差理论界的专家学者多数赞同贯彻执行《实验不确定度建议书（INC-1）》，用“不确定度”这一名词取代习惯上使用的“误差”一词，即用随机不确定度和系统不确定度取代偶然误差与系统误差，用相对不确定度取代相对误差。
人教版必修1中用相对不确定度的概念来定义相对误差的做法，笔者认为是基于如下的3个原因：一是考虑到历史的原因，许多误差理论教材上仍然把“误差”和“不确定度”这2个不同的概念都用“误差”一词表示；二是考虑到高中与初中所学物理实验知识的衔接；三是在教材中将不确定度概念的内涵融入到人们所习惯使用的误差一词当中，从而跟国际关于测量上的最新研究成果接轨。因此，人教版必修1中所定义的相对误差已跟此前的定义有着质的区别。
1.2mm
共10圈，测量这10圈的直径之和为12.3mm。由于用的是同一条米尺，还可以估计到1mm的1/10，即误差还可以认为是0.2mm。但是，这个误差与测量值之比为0.2mm=1.6%。把上面测量中的误差0.2mm叫
12.3mm
做绝对误差，而上面算得的比值17%和1.6%叫做相对误差……”从以上表述可以看出，教材所提到的“绝对误差”实际上指的是“测量的不确定范围，即测量不确定度”，对应的“相对误差”其实就是“相对不确定度”。
近年来，一些统计学家和测量学家感到“误差”一词的词义比较模糊，比如在讲到测量的精确度时，“不确定度是±1%”的说法就比“误差是±1%”要明确。1980年，国际测量局提出《实验不确定度建议书·34·
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误差与相对不吕朝阳
江苏省前黄高级中学（二、相对误差与相对不确定度
人教版物理必修1在“误差和有效数字”部分指出，相对误差η=绝对误差。这令一些教师很困惑，因
为此前的中学物理奥林匹克竞赛教材以及大学教材中的相关内容都与之不同。比如《高中物理实验分析与思考》中就明确指出：相对误差η=绝对误差×100%。
笔者认为，要弄清该问题，需要先了解误差与不确定度、相对误差与相对不确定度的概念及其区别。
一、测量误差与测量不确定度
1.相对误差。
假设某物理量的准确值是N0，测量值为N，则：绝对误差=|测量值-准确值|=|N-N0|
由于绝对误差只是反映了测量值与真值间的绝对偏差，不能有效地反映测量的准确程度，故引入相对误差的概念：
相对误差η=绝对误差×100%
①
2.相对不确定度。
由物理量测量结果的表示形式Y=N±△N可知，要完整地表述一个物理量，应该有数值、单位和不确定度
1.测量误差。
误差一般又叫测量误差，它是测量结果与被测量真值之差。通常可分为两类：系统误差和偶然误差。测量误差是客观存在的，但由于在绝大多数情况下，真值是不知道的，所以“真误差”也无法准确知道。教师只能在特定的条件下寻求最佳的真值近似值，并称之为“约定真值”。
△N3个要素。显然不确定度△N也不能有效地反映测
量结果的准确程度，故引入了相对不确定度的概念：
相对不确定度=不确定度×100%
②
2.测量不确定度。
为了估计测量结果的可靠程度，可以把实验结果写成如下形式：
3.相对误差与相对不确定度的区别。
根据相对误差的定义，公式①中的分子是“绝对
误差”，即测量值与真值的差值，分母是“准确值”或“真值”；根据相对不确定度的定义，公式②中的分子是“不确定度”，即测量误差的范围，分母是“测量值”而不是真值，它可以是单次的直接测量值，也可以是相同实验条件下直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间接测量值。
在相同条件和环境下对某一物理量进行多次测量，每一次测量的绝对误差一般是不同的，其相对误差也就不同，而测量不确定度却不会随着测量的次数而改变，它是已知的和确定的，它反映的是在该条件和环境下误差的取值范围。如果②式中的“测量值”代入的是算术平均值或计算得出的间接测量值的话，那么只要测量的条件和环境确定不变，则其测量的相对不确定度就是一个定值，反映的是测量结果的可信赖程度。
三、教材相关概念分析
人教版物理必修1中写道：“假设用米尺测一段铜线的直径，读数为1.2mm。限于米尺的精确度，只能估测到分度值（1mm）的1/10，由于读数是不准确的，
·33·
Y=N±△N
其中Y代表待测物理量，N为该物理量的测量值（既
可以是单次的直接测量值，又可以是相同实验条件下直接测量的算术平均值，还可以是经过公式计算得到的间接测量值），而其中的△N为“不确定度”，代表测量值N不确定的程度，也是对测量误差的可能取值的测度，或者说，是对待测量值可能存在范围的估计。
3.测量误差与测量不确定度的区别。
测量误差与测量不确定度是2个不同的概念。
从测量评价的目的上看，测量误差反映的是测量结果偏离真值的程度；测量不确定度反映的是被测量值的分散性，是误差可能取值的测度或范围。从测量评价的结果上看，测量误差为有正号或负号的量值，其值为测量值与真值之差，由于真值未知，只可得到其估计值；测量不确定度是无正负的参数，其大小可以按一定的方法计算或估计出来。
2010年第10期
SHIYANJIAOXUEYUYIQI
实验设计与技术
一种“观察植物细胞的有丝分裂”实验的新方法
柯达珊
福建省莆田市第二中学（351131）
现象。为了克服以上缺点，笔者推出了让根尖自始至
终一直都在同一片载玻片上进行操作的“一片式”操作法。
二、“一片式”操作法的方法步骤
“一片式”操作法的根尖装片制作的流程为：根尖的压片→解离→漂洗→染色→去浮色→制片，共有6个步骤，具体的根尖装片制作见表1。
表1
过程
方
法
笔者对高中实验“观察植物细胞的有丝分裂”反复研究，终于找出窍门，总结出一种实验操作的新方法。这种新方法就是，将植物的根尖自始至终一直都放在同一片载玻片上进行操作，并完成根尖装片制作的所有流程，笔者把它简称为“一片式”操作法。
一、“一片式”操作法产生的背景
教科书中洋葱根尖的装片制作流程为：根尖的解离→漂洗→染色→制片，共有4个步骤；洋葱根尖的流向是：根尖放入第1个玻璃皿里解离，放入第2个玻璃皿里漂洗，放入第3个玻璃皿里染色，放在载玻片上制片。其中染色的操作步骤是：将解离、漂洗后的根尖放进盛有质量浓度为0.01g/mL或0.02g/mL的龙胆紫溶液的玻璃皿中染色3～5min，然后，将根尖取出来，放在载玻片上制片。以上操作的问题是：在盛有深兰紫色的龙胆紫溶液的玻璃皿里寻找被染成紫色的2~3mm的细小根尖是一件费时费劲的事，有些学生往往找不到紫色的根尖或造成根尖丢失的
根尖装片制作流程
时间
目
的
压片
剪取洋葱根尖4～5mm，放在载玻片的中央，盖上另一片载玻片，用左手固定住载玻片，用右手的拇指按压载玻片，将根尖压扁。并用镊子柄端轻轻地敲击根尖的尖端。然后，拿去上面的载玻片
将圆柱状的根尖压成扁平状的，改变了根尖的形态，使根尖细胞的总表面积增大。用镊子柄端轻轻地敲击根尖的尖端，使排列紧密的分生区细胞产生松动，这些都有利于根尖细胞的解离、漂洗、染色
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产生的误差可能为0.2mm甚至更大，则误差与测量值之比为0.2mm=17%。如果把铜线密绕在木棒上，
（INC-1）》。1986年国际标准化组织、国际计量委员会等部门又成立了国际不确定度工作组，专门研究不确定度及其应用，“不确定度”一词逐渐受到重视。中国误差理论界的专家学者多数赞同贯彻执行《实验不确定度建议书（INC-1）》，用“不确定度”这一名词取代习惯上使用的“误差”一词，即用随机不确定度和系统不确定度取代偶然误差与系统误差，用相对不确定度取代相对误差。
人教版必修1中用相对不确定度的概念来定义相对误差的做法，笔者认为是基于如下的3个原因：一是考虑到历史的原因，许多误差理论教材上仍然把“误差”和“不确定度”这2个不同的概念都用“误差”一词表示；二是考虑到高中与初中所学物理实验知识的衔接；三是在教材中将不确定度概念的内涵融入到人们所习惯使用的误差一词当中，从而跟国际关于测量上的最新研究成果接轨。因此，人教版必修1中所定义的相对误差已跟此前的定义有着质的区别。
1.2mm
共10圈，测量这10圈的直径之和为12.3mm。由于用的是同一条米尺，还可以估计到1mm的1/10，即误差还可以认为是0.2mm。但是，这个误差与测量值之比为0.2mm=1.6%。把上面测量中的误差0.2mm叫
12.3mm
做绝对误差，而上面算得的比值17%和1.6%叫做相对误差……”从以上表述可以看出，教材所提到的“绝对误差”实际上指的是“测量的不确定范围，即测量不确定度”，对应的“相对误差”其实就是“相对不确定度”。
近年来，一些统计学家和测量学家感到“误差”一词的词义比较模糊，比如在讲到测量的精确度时，“不确定度是±1%”的说法就比“误差是±1%”要明确。1980年，国际测量局提出《实验不确定度建议书·34·