第一讲 有理数的运算
知识体系：整数和分数统称有理数，运算能力的考查是该部分最重要的内容，探索发现规律、灵活运用、巧妙解答。 热门赛点：1、求和公式 2、分组计算 3、公式法计算 4、凑整法计算 5、裂项法计算 6、图示法计算 7、依规律计算 8、其它计算
(首相+末项）⨯项数
一、在1+2+3+„„+n的求和中，总结公式S=关键
2
是找到项数。
练习：1、在20+21+22+„„+2012中，项数是2012-20+1 2、在1+3+5+7+„„（2n-1）中，项数是
2n -1+1
2
3n -2+2
3、在1+4+7+10+„„+（3n-2）中，项数是
3
二、分组计算
练习：1、计算：1+（-2）+3+（-4）+„„+99+（-100）= -50
2、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12„„+2001+2002-2003-2004 =501×(-4)= -2004 三、公式法计算
练习：1、4×（-123）+（-5）×125-127×4-75×5=2000 2、2009×20082008—2008×20092009 3、2004×20032003—2003×20042004
13123117
4、-6÷6—2×（—）+23÷（—6）—6×=-
3463463
5、（—）÷（-四、凑整法计算
1312112
+-）=-
1031065
14214
练习：1、15+（—4）+（—6）+3+（—9）+5+（—1）=3
37337
2、89+899+8999+89999+899999=999985
1121231259
3、+(+) +(++) +⋯⋯+=885 ++⋯⋯）
[1**********]0
五、裂项法计算
111111
+++⋯⋯++练习：1、=1- 1⨯22⨯33⨯41999⨯2000n ⨯(n +1) n +1
[1**********]
2、 +++⋯⋯+=
1⨯32⨯43⨯51998⨯[1**********]
六、图示法计算
1111111
练习：1、+++++⋯⋯+n =1-n
248163222
2、下面是表示数字输入的计算程序：
n →平方→+n →÷n →-n →答案，计算当n=3时，输出的结果是（1）.
3、如图，某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成的个数是（64）
Θ
Θ
Θ
ΘΘΘΘ
（第3题） （第4题）
4、在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和大于9？大于10？若能，请在图中标出来。 七、依规律计算
练习：1、已知31=3, 32=9, 33=27, 34=81, ⋯⋯，试确定32008的末位数字. （1）
52008+32012和
357
2、找规律，填空：1，-, , -, ，，„„
4916
3、规定一种新运算“※”：对于任意有理数a 和b ，有a ※b=a-b+1, 则（2※3）※2的值为（-1）
4、把 1，-2,3，-4,5,-6,7，-8,9分别填在右边的空格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数的积都是正数。
5、如果4个不同的正整数m,n,p,q 满足（7-m ）(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么m+n+p+q=(28) 八、其它(趣味计算)
练习：1、据统计，到2006年底我国大陆总人口数约为13.1448亿，用科学计数法表示这个数（保留4个有效数字）是 。 2、判断1.52×816×12516的结果是几位数？(49)
3、比较大小：355,444,533
4、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 2=25,则m+
a +b
=5或-5 cd
5、若x +1+y ++z -3=0, 试求(x-1)(y-2)(z+3)的值。48 6、甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每局比赛后，若是和棋, 则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者下，由另一人与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局、负2局，乙胜3局、负3局，如果丙负3局，那么丙胜（1局）
7、用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟），问烙熟3张饼至少要几分钟？（3分钟） 8、计算（-2）100 +（-2）101=-2100
第二讲 数轴与相反数
知识体系：
数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线。它的作用是可
以形象地表示实数；帮助理解具有相反意义的量的概念；可以给相反数、绝对值等抽象概念一直观的解释；可以直观第比较有理数的大小。
相反数是又有符号不同的两个数，把其中一个数叫做另一个数的相反数，0的相反数是0。它的性质特征有：①任何一个数都有一个相反数，并且只有一个相反数。②数轴上表示两个相反数的点在原点的两侧，且到原点的距离相等。③互为相反数的两个数的和是0.
热门赛点：1、数轴上点的位置的确定 2、点在数轴上的平移
3、利用数轴比较有理数的大小 4、相反数的几何意义、代数意义 5、数形结合思想、数轴的应用
赛点1经典题型：
1、数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A 、B 两点的距离是3，那么点B 对应的数是 .（要求反之要会求，且总结数轴上两点
的距离公式）
2、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A,B,C,D 对应的数分别是整数a,b,c,d 且d-2a=10,那么数轴的原点应是点
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ A B C D
3、点A,B 在数轴上对应的有理数分别为m,n, 则A,B 的距离为 .
A ﹒ ﹒ B﹒ m n
2、在数轴上，点A 、B 分别表示-和，则线段AB 的中点所表示的数是 .
3、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和是 .
5、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A,B,C,D 对应的数分别是整
数a,b,c,d 且d-2a=10,那么数轴的原点应是点
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ A B C D
数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C 所表示的数最接近的整数是 .
A B C D E F
1513
赛点2经典题型：
1、点A 表示的有理数是-3，点A 在数轴上移动5个单位长度到点B ，则点
B 表示的有理数是 .
2、一个点，从数轴的原点开始，向右移动2个单位，再向左移动5个单位，到达的终点所表示的数是 .（点拨：左减右加）
3、电子跳蚤落在数轴上的某点K 0, 第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步从K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K3向右跳4个单位到K 4, „„，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是19.94，则电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数是 .（点拨：向左为负向右为正） 赛点3经典题型：
1
1、比较a 与的大小. （点拨：本题需要分类讨论，如何分类就是本题的
a
关键，要做到既不遗漏又不重复，怎么分类？借助于数轴！可以找到界点-1、0、1，分为六种情况来比较）
2、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图则下列式子中成立的是（） A. a
赛点4经典题型
1、已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a,b （a ＜b ），并且A,B 两点间的距离是44，则a,b 分别是（点拨：互为相反数的几何意义是到原点的距离相等；代数意义是数轴上两点间的距离是大数减去小数）
2、在数轴上点A 表示7，点B 和点C 表示互为相反数的两个数，且点
C 与点A 之间的距离是2，则点B 和点C 对应的数分别为 . 赛点5经典题型
1、某公路养路小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从甲地出发，晚上最后到达乙地，规定向北为正方向，当天行驶记录如下（单位：千米） +17，-8，+12，-3，+1，-20，+11 问乙地在甲地什么位置？若汽车行驶每千米耗油a 升，问这天共耗油多少升？
2、某公交车上原有22人，经过4个站点上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，-8），（-5，+6），（-3，+2）, （+1,-7）则车上还有 人.
第三讲 绝对值
知识体系：
绝对值定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记
⎧a (a ＞0) ⎪
0a =0） 作a ，其代数意义为a =⎨（
⎪-a (a ＜0) ⎩
2a a
绝对值的性质：（1）非负性 （2=a b （3= （4a =a 2=a 2
b b
热门赛点及经典题型： 赛点1 绝对值的化简经典题型： 1、
若-2≤a ≤0，化简：a +2+a -2
2、 a 0 b
数a,b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a +b b -a +b -a -a 2、
a -1b +2a +b
-+若0＜a ＜1，-2＜b ＜-1，则的值. a -1b +2a +b
3、 如图，a,b,c 在数轴上的位置，若
m=a +b -b --a -c --c
则2012m= .
赛点2 绝对值的分类经典题型： 1、化简：x +5+2x -3 2、化简：2x +-x -3+x -6 赛点3 绝对值的非负性经典题型： 1、 2、 3、
若m +2+n -=0，求m+2n的值. 已知3a -2b +（4b －12）2 =0,求a b 的值. 如果x -2+x -2=0，那么x 的取值范围是赛点4 绝对值方程经典题型： 1、
解方程：x -2x +1=3 （点拨：用0点法去绝对值，注意检验）解
方程：x -2+2x +=8
赛点5 绝对值求最值经典题型： 1、
求代数式 x -+x -2+x -的最小值.
解：先找到分界点, 将数轴分为四个部分： x ≤1, 1＜x ≤2, 2＜x ≤3和x ＞3，分情况讨论：
当x ≤1，时，原式=6-3x,此时，最小值为3；
当1＜x ≤2 时，原式=4-x,此时，最小值为2； 当2＜x ≤3 时，原式=x，此时没有最小值； 当x ＞3时，原式=3x-6,此时也没有最小值. 综上所述，原式的最小值是2. 2、 3、
求代数式 x ++x -2的最小值.
如图，在工作流程线上A,B,C,D 处各有1名工人，且AB=BC=CD=1,
要在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是 . · A B C D
第一讲 有理数的运算
知识体系：整数和分数统称有理数，运算能力的考查是该部分最重要的内容，探索发现规律、灵活运用、巧妙解答。 热门赛点：1、求和公式 2、分组计算 3、公式法计算 4、凑整法计算 5、裂项法计算 6、图示法计算 7、依规律计算 8、其它计算
(首相+末项）⨯项数
一、在1+2+3+„„+n的求和中，总结公式S=关键
2
是找到项数。
练习：1、在20+21+22+„„+2012中，项数是2012-20+1 2、在1+3+5+7+„„（2n-1）中，项数是
2n -1+1
2
3n -2+2
3、在1+4+7+10+„„+（3n-2）中，项数是
3
二、分组计算
练习：1、计算：1+（-2）+3+（-4）+„„+99+（-100）= -50
2、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12„„+2001+2002-2003-2004 =501×(-4)= -2004 三、公式法计算
练习：1、4×（-123）+（-5）×125-127×4-75×5=2000 2、2009×20082008—2008×20092009 3、2004×20032003—2003×20042004
13123117
4、-6÷6—2×（—）+23÷（—6）—6×=-
3463463
5、（—）÷（-四、凑整法计算
1312112
+-）=-
1031065
14214
练习：1、15+（—4）+（—6）+3+（—9）+5+（—1）=3
37337
2、89+899+8999+89999+899999=999985
1121231259
3、+(+) +(++) +⋯⋯+=885 ++⋯⋯）
[1**********]0
五、裂项法计算
111111
+++⋯⋯++练习：1、=1- 1⨯22⨯33⨯41999⨯2000n ⨯(n +1) n +1
[1**********]
2、 +++⋯⋯+=
1⨯32⨯43⨯51998⨯[1**********]
六、图示法计算
1111111
练习：1、+++++⋯⋯+n =1-n
248163222
2、下面是表示数字输入的计算程序：
n →平方→+n →÷n →-n →答案，计算当n=3时，输出的结果是（1）.
3、如图，某种细胞经过30分钟便由1个分裂成2个，经过3小时这种细胞由1个分裂成的个数是（64）
Θ
Θ
Θ
ΘΘΘΘ
（第3题） （第4题）
4、在六边形的顶点处分别标上数1,2,3,4,5,6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和大于9？大于10？若能，请在图中标出来。 七、依规律计算
练习：1、已知31=3, 32=9, 33=27, 34=81, ⋯⋯，试确定32008的末位数字. （1）
52008+32012和
357
2、找规律，填空：1，-, , -, ，，„„
4916
3、规定一种新运算“※”：对于任意有理数a 和b ，有a ※b=a-b+1, 则（2※3）※2的值为（-1）
4、把 1，-2,3，-4,5,-6,7，-8,9分别填在右边的空格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数的积都是正数。
5、如果4个不同的正整数m,n,p,q 满足（7-m ）(7-n)(7-p)(7-q)=4,那么m+n+p+q=(28) 八、其它(趣味计算)
练习：1、据统计，到2006年底我国大陆总人口数约为13.1448亿，用科学计数法表示这个数（保留4个有效数字）是 。 2、判断1.52×816×12516的结果是几位数？(49)
3、比较大小：355,444,533
4、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 2=25,则m+
a +b
=5或-5 cd
5、若x +1+y ++z -3=0, 试求(x-1)(y-2)(z+3)的值。48 6、甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每局比赛后，若是和棋, 则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者下，由另一人与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局、负2局，乙胜3局、负3局，如果丙负3局，那么丙胜（1局）
7、用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟），问烙熟3张饼至少要几分钟？（3分钟） 8、计算（-2）100 +（-2）101=-2100
第二讲 数轴与相反数
知识体系：
数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线。它的作用是可
以形象地表示实数；帮助理解具有相反意义的量的概念；可以给相反数、绝对值等抽象概念一直观的解释；可以直观第比较有理数的大小。
相反数是又有符号不同的两个数，把其中一个数叫做另一个数的相反数，0的相反数是0。它的性质特征有：①任何一个数都有一个相反数，并且只有一个相反数。②数轴上表示两个相反数的点在原点的两侧，且到原点的距离相等。③互为相反数的两个数的和是0.
热门赛点：1、数轴上点的位置的确定 2、点在数轴上的平移
3、利用数轴比较有理数的大小 4、相反数的几何意义、代数意义 5、数形结合思想、数轴的应用
赛点1经典题型：
1、数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A 、B 两点的距离是3，那么点B 对应的数是 .（要求反之要会求，且总结数轴上两点
的距离公式）
2、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A,B,C,D 对应的数分别是整数a,b,c,d 且d-2a=10,那么数轴的原点应是点
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ A B C D
3、点A,B 在数轴上对应的有理数分别为m,n, 则A,B 的距离为 .
A ﹒ ﹒ B﹒ m n
2、在数轴上，点A 、B 分别表示-和，则线段AB 的中点所表示的数是 .
3、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和是 .
5、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A,B,C,D 对应的数分别是整
数a,b,c,d 且d-2a=10,那么数轴的原点应是点
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ A B C D
数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF,则与点C 所表示的数最接近的整数是 .
A B C D E F
1513
赛点2经典题型：
1、点A 表示的有理数是-3，点A 在数轴上移动5个单位长度到点B ，则点
B 表示的有理数是 .
2、一个点，从数轴的原点开始，向右移动2个单位，再向左移动5个单位，到达的终点所表示的数是 .（点拨：左减右加）
3、电子跳蚤落在数轴上的某点K 0, 第一步从K 0向左跳1个单位到K 1，第二步从K 1向右跳2个单位到K 2，第三步由K 2向左跳3个单位到K 3，第四步由K3向右跳4个单位到K 4, „„，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K 100所表示的数恰是19.94，则电子跳蚤的初始位置K 0点所表示的数是 .（点拨：向左为负向右为正） 赛点3经典题型：
1
1、比较a 与的大小. （点拨：本题需要分类讨论，如何分类就是本题的
a
关键，要做到既不遗漏又不重复，怎么分类？借助于数轴！可以找到界点-1、0、1，分为六种情况来比较）
2、有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图则下列式子中成立的是（） A. a
赛点4经典题型
1、已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a,b （a ＜b ），并且A,B 两点间的距离是44，则a,b 分别是（点拨：互为相反数的几何意义是到原点的距离相等；代数意义是数轴上两点间的距离是大数减去小数）
2、在数轴上点A 表示7，点B 和点C 表示互为相反数的两个数，且点
C 与点A 之间的距离是2，则点B 和点C 对应的数分别为 . 赛点5经典题型
1、某公路养路小组乘车沿南北公路巡视维护，某天早晨从甲地出发，晚上最后到达乙地，规定向北为正方向，当天行驶记录如下（单位：千米） +17，-8，+12，-3，+1，-20，+11 问乙地在甲地什么位置？若汽车行驶每千米耗油a 升，问这天共耗油多少升？
2、某公交车上原有22人，经过4个站点上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，-8），（-5，+6），（-3，+2）, （+1,-7）则车上还有 人.
第三讲 绝对值
知识体系：
绝对值定义：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记
⎧a (a ＞0) ⎪
0a =0） 作a ，其代数意义为a =⎨（
⎪-a (a ＜0) ⎩
2a a
绝对值的性质：（1）非负性 （2=a b （3= （4a =a 2=a 2
b b
热门赛点及经典题型： 赛点1 绝对值的化简经典题型： 1、
若-2≤a ≤0，化简：a +2+a -2
2、 a 0 b
数a,b 在数轴上对应的点如图所示，化简：a +b b -a +b -a -a 2、
a -1b +2a +b
-+若0＜a ＜1，-2＜b ＜-1，则的值. a -1b +2a +b
3、 如图，a,b,c 在数轴上的位置，若
m=a +b -b --a -c --c
则2012m= .
赛点2 绝对值的分类经典题型： 1、化简：x +5+2x -3 2、化简：2x +-x -3+x -6 赛点3 绝对值的非负性经典题型： 1、 2、 3、
若m +2+n -=0，求m+2n的值. 已知3a -2b +（4b －12）2 =0,求a b 的值. 如果x -2+x -2=0，那么x 的取值范围是赛点4 绝对值方程经典题型： 1、
解方程：x -2x +1=3 （点拨：用0点法去绝对值，注意检验）解
方程：x -2+2x +=8
赛点5 绝对值求最值经典题型： 1、
求代数式 x -+x -2+x -的最小值.
解：先找到分界点, 将数轴分为四个部分： x ≤1, 1＜x ≤2, 2＜x ≤3和x ＞3，分情况讨论：
当x ≤1，时，原式=6-3x,此时，最小值为3；
当1＜x ≤2 时，原式=4-x,此时，最小值为2； 当2＜x ≤3 时，原式=x，此时没有最小值； 当x ＞3时，原式=3x-6,此时也没有最小值. 综上所述，原式的最小值是2. 2、 3、
求代数式 x ++x -2的最小值.
如图，在工作流程线上A,B,C,D 处各有1名工人，且AB=BC=CD=1,
要在工作流程线上安放一个工具箱，使4个人到工具箱的距离之和为最短，则工具箱的安放位置是 . · A B C D