７６
新疆有色金属增刊１
三次抛物线缓和曲线的计算
顾大军
（新疆国地测绘工程有限责任公司
摘
要
乌鲁木齐８３００６３）
根据三次抛物线的数学方程，给Ｈ｛了在高速公路中利用三次抛物线作为缓和曲线的计算公式，包括曲线要素、中桩坐标计算，
并以一算例说明。
关键词
缓和曲线
三次抛物线
曲线要素
坐标
１
引言
入三次抛物线，以抛物线的起点（半径无穷大处）一ＺＨ点为坐标原点，该点的切线为ｘ轴，垂直切线方向为ｙ轴，建立起如图所示的切线坐标系，三次抛物线的方程为：
车辆在曲线路段上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用超高的办法来克服离心力。离心力的大小与曲线半径等因素有关，半径愈小，离心力愈大，超高也就愈大，故一定半径的曲线上应有一定量的超高。因此，在直线与圆曲线连接处，就会有如何设置超高的问题。为了解决这一问题，在直线和圆曲线之问采用一段过渡的曲线。在直线连接处，它的半径等于∞，随着距离的增加，半径逐渐减小，到与圆曲线连接处，它的半径等于圆曲线的半径Ｒ。这样随着半径的减小，使相应的超高逐渐增大，起到了过渡的作用。这种曲线称缓和曲线。
缓和曲线的线型有很多种，目前我国公路上广泛采用的缓和曲线是回旋曲线，曲线方程为Ａ一￣／Ｒ・ｌ。考虑到高速公路的特点，根据研究成果。缓和曲线也有多种形式，如三次抛物线形、三次抛物线余弦改善型、七次四项式型、半波正弦型等，考虑到三次抛物线线形简单、设计方便、平立面有效长度长、现场铺设和养护容易的特点，目前在高速公路建设中大部分采用三次抛物线形。本文主要介绍三次抛物线缓和曲线的计算。
ｙ一恚
相似，与抛物线的长度Ｌ０，圆曲线的半径Ｒ有关。
（１）
式中：Ｃ为三次抛物线参数，和回旋曲线中的Ａ
设Ｐ为抛物线线上任意一点，则Ｐ点处的’转向角或切线偏角（Ｐ点处的切线与ＺＨ点的切线的夹角）Ｂ为：
．
ｔａｎｐ＝ｙ＇－菱
Ｐ点处的曲率半径为：
ｐ—ａｒｃｔａｎ（差）
（２）
。一盟拦：！！二／夏Ｘ４：：３
下面给出由弧长ｓ计算（ｘ，ｙ）的方法。
（３）
在实际计算过程中，往往不知道ｘ，只知道曲线上Ｐ点里程，即曲线弧长ｓ＝Ｐ点里程一ＺＨ点里程。
设各点至ＺＨ（或ＨＺ）的弧长为ｓｉ，在曲线上取
２三次抛物线型缓和ｆＨｌ线方程
微小段ｄｓ，根据高等数学微积分，则有：
ｄｓ一√五＿可一√ｌ＋（塞）２ｄｘ一￣／ｒＦ严ｄｘ
ｄｓ一√１＋砑Ｘ４
ｄｘ
（４）
叔靠‰一ｏ√ｉ。＋１嘉如
上式积分不可积，并且是个复式积分，比较难计算，我们反过来求，由于上式积分不可积，用幂级数展成多项式并舍去不影响精度项：
图ｌ
三次抛物线型缓和曲线
则ｓ＝ｃ，＋丢一志＋志一熹
如图ｌ所示，在直线和半径为Ｒ的圆曲线间插
１１苎！．一！！！！！！！！ｍｍ．ｍ
２００９年１１１４１１．２Ｃ８。
新疆有色金属
一立≥＋…
Ｘ５
两端积分得．ｓ；ｘ＋丽Ｘ５一嘉＋丽Ｘ１３
现在要解决的问题是知道ｓ求ｘ，写成方程形式：
一————Ｉ————————————————————————。！！！！
７７
一
圆曲线ｌｙ＝缩Ｒ短ｊ所（ａ栅－－２１３ｂ）角．ｎ变／为１８０一ｐ’圆曲线长为：
圆曲线的切线长为：
（６’…
一ｓ＝０
ｖ—卜一‘ｒｏ’ｏ——ｏ—‘’一
Ｘｇ
Ｘ１３
Ｘ１７
ｔ：Ｒ．ｔａｎ（与霉’
圆曲线的外矢距为：
５。４０ｃ２
１１５２Ｃ＇。１３３１２Ｃ６１１１４１１．２Ｃ８
（７）
ｅ：Ｒ．ｓｅｃ（≤霉）一Ｒ。
由ＨＹ点的切线坐标ｙｏ可计算：
ｓ１一ｙ０／ｔａｎｐ；ｓ２一Ｙｏ／ｓｉｎｐ
则ＡＢ长度为：ＡＢ＝ｔ＋ｓ：，在三角形ＡＢＪＤ中，由正弦定理得：
Ｂ—ＪＤ＝ＡＢ．ｓｉｎ（．１８０＋２ａ－２尽＞／ｓｉｎ（．１８０－－ａ）
此式为非线性多项式方程，有多个解，根据缓和曲线使用的抛物线中一段，一个ｓ只对应唯一的ｘ，并且０
≤《ｓ，所以解算此方程，可以用迭代法求ｘ在［ｏ，ｓ）区
间的符合精度的唯一解，如牛顿法或埃得金迭代法・利用程序很容易实现，得到ｘ后可根据（１）求ｎ
当ｓ—ｋ时，可求得缓圆ＨＹ点的切线坐标（ｘｏ，ｙｏ）。上面的讨论是在知道Ｃ值的情况下，在实际问题中．往往给定ｋ和Ｒ，那么如何求Ｃ呢？
实际上Ｃ是由（３）式决定的：
Ａ—ＪＤ：ＡＢ．ｓｉｎｆｌ／ｓｉｍ（毕）
Ｃ・（１＋蔫）亏
口
ｖ
４
这样，插入缓和抛物线的切线长为：Ｔ一】‘Ｄ＋Ｂ—ＪＤ一两，外矢距为：Ｅ—ｅ＋Ａ—ＪＤ，曲线全长为：Ｌ＝ＺＬｏ＋ｋ，
（８）
Ｒ一————』坠，＿一
ｘｏ
如知道ＪＤ点的里程，各主点的里程很容易求得。
而在计算】‘ｏ时又需要Ｃ．这实际上需要一个迭代计算，先给定初值Ｃｏ，由Ｌｏ计算】‘ｏ，由（３）计算三次抛物线ｋ处的曲率半径ｐ，如ｐ≠Ｒ，需对Ｃｏ进行修正，ｐ随Ｃ的增大而增大，当ｐ＞Ｒ时，减小Ｃ；当ｐ
＜Ｒ时，增大Ｃ，直到ｐ＝Ｒ为止。
通过研究发现，Ｃ与回旋曲线中的Ａ较接近和相似．可以设定Ｃ＝Ｌｏ・Ｋ，Ｋ是一个与Ｒ比较接近的数值（当缓和曲线比较短时，Ｋ与Ｒ接近，如Ｌｏ一
４９０，Ｒ一９０００时，Ｋ＝８９８９．３１８，而Ｌｏ一１５０，Ｒ＝９０００时，Ｋ一８
９９９．０；再如Ｌｏ一４９０，Ｒ＝９００时，Ｋ＝
７７７．４１１；而ｋ＝１５０，Ｒ一９００时，Ｋ＝８８９．８９２），所以在程序设计时，令Ｋ。一Ｒ，Ｃｏ—Ｌｏ・Ｒ，计算Ｌ。处的曲率半径ｐｏ，对Ｋ。修正为Ｋ。。Ｋ。＝Ｋ。＋（Ｒ－－ｐｏ），依次类推进行迭代：Ｋ；一ＫＨ＋（Ｒ—ｐｉ－１），直到ｐ—Ｒ为止。通过多个数据试验，这个迭代是收敛的，说明
此法可行。
图２
从图２看出，也可按照回旋曲线方法计算。圆曲线内移值：ＡＲ＝ｙｏ＋Ｒ・ＣＯＳＢ－－Ｒ切线增长值：ｑ＝ｘｏ—Ｒ・ｓｉｎｌＢ
带有三次抛物线缓和曲线的圆曲线切线长为：
３带有缓和抛物线的圆曲线要素计算
下面来计算曲线的其它要素，这里只讨论对称插入缓和抛物线。
如图２所示，两直线交点ＪＤ，路线偏角为ａ，在直线和圆曲线之间插入一段缓和抛物线，圆曲线必须往内侧内移ＡＲ，ＨＹ点处的切偏角Ｂ为：
Ｔ一（Ｒ＋△Ｒ）・ｔｇ罢＋ｑ
厶
外矢距：Ｅ＝（Ｒ＋ＡＲ）ｓｅｃ弓“－－－Ｒ
厶
从后面的算例看，两者结果一致。
从上面可以看出，计算曲线要素，关键是由抛物
ｐ＝ａｒｃｔａｎ（瓦Ｘ０２）
（９）
线长Ｌｏ求ＨＹ点的切线坐标（Ｘｏ，Ｙｏ）。
７８
顾大军：ｉ次抛物线缓和曲线的计算增刊１
４
曲线上任意点测量坐标系中坐标计算
目前施工测量点位放样全部采用全站仪极坐标
５
算
例
在和库高速公路跨河大桥建设中，交点Ｊｔｈ。到Ｊｎ。的方位角为１１９。３５７３１”３８，Ｊ聩。到Ｄ晓的方位角为１３３。３８’２４”３４，ＪＤ３６的坐标（３９９９０．５４６２，９６７５．９２１５），路线在
ＪＤ３。处转向角ａ＝１４。０２’５２，’９６，里程为Ｋ７＋７２８．５０８７，设
法或ＧＰＳＲＴＫ，它们的关键是求出路线在控制测量
坐标系ＸＯＹ中的坐标。设计时交点在测量坐标系中坐标是已知，路线每条直线的方位角是可以得到：
ｆｘｚＨ＝Ｘｍ—Ｔ・ｃｏｓＦｚＨ—ＪＤ【ＹｚＨ＝ＹＪＤ——Ｔ・ｓｉｎＦｚＨ～ＪＤ
设任意点Ｐ的里程为ＬＰ，当ＺＨ＜ＬＰ＜ＹＨ，Ｐ点位于抛物线上，计算Ｐ点到ＺＨ点的曲线长：ｓ＝ＬＰ—ＺＨ，由ｓ用（７）和（１）式计算Ｐ点在切线坐标系中坐标（Ｘ。，Ｙｐ），再由坐标平移旋转公式计算Ｐ点在测量坐标系中坐标（Ｘ，，Ｙ，）：
ｆＸＰ—ＸｚＨ＋ｘｐ・ｃｏｓＦｚｎ～ＪＤ＋ｙＰ・ｓｉｎＦｚ．一ＪＤｌＹＰ＝ＹｚＨ＋Ｘｐ・ｓｉｎＦｚＨ～ＪＤ±ｙＰ・ｃｏｓＦｚＨ—ＪＤ
计取三次抛物线缓和曲线长度Ｌ。为４９０ｍ，而圆曲线半径为９
０００
ｒｆｌ。
经过计算得：
Ｃ一４９０．０×８９８９．３１８４２６Ｔ一１３５３．８２８５。Ｅ＝６９．１７５２ＬＹ＝１７１６．２７３９。Ｌ一２６９６．２７３９
ＺＨ—Ｋ６＋３７４．６８０２．ＨＺ＝Ｋ９＋０７０．９５４１
缓圆点ＨＹ和圆缓点ＹＨ处切偏角Ｂｗｖ—ｐＹＨ一
１。３３７３９”４
Ｐ点处的切线方位角（指向路线前进方向）：
ＦＰ—ＦｚＨ
圆曲线内移１．１１０８，切线增长２４４．７９９
Ｋ６十７００（４０７９７．３１５２，８７８０．９２０５）Ｋ７＋８００（３９８８８．７２１９，９６９６．４１４６）
９
ＪＤ士ｆｌＰ，ｆｌＰ—ａｒＣｔａｎ（杀）。
当Ｐ点为ＨＹ点时。Ｓ＝Ｌ０，利用上式可计算出ＨＹ点的测量坐标（Ｘ。，，ＹＨ。）和ＦＨ，。
当ＹＨ＜ＬＰ＜ＨＺ时，计算方法与上面相似。当ＨＹ＜ＩＪ＜ＹＨ时，Ｐ点位于圆曲线上，我们以ＨＹ点为原点，ＨＹ的切线为ｘ轴，垂直切线方向为Ｙ轴，建立缓圆点切线坐标系。Ｐ在此坐标系中坐标为：
６结语
从上面可以看出，三次抛物线作为缓和曲线应用在高速公路中计算过程与回旋曲线相似，区别主要在根据弧线长求切线坐标方面，需采用迭代法求出。另外从算例中看出，同样长度的缓和曲线和同样的圆曲线半径，三次抛物线的切线、圆曲线长度要比回旋曲
线短。
ｏ一吾．型，其中ｓ—ＬＰ—ＨＹ
ｆｘＰ＝Ｒ・ｓｉｎＯ
【ＹＰ＝Ｒ（１一ｃｏｓ０）
再Ｆｈ坐标平移旋转公式计算Ｐ点在测量坐标系中坐标（ＸＰ，ＹＰ）：
ｆＸＰ—ＸＨＹ＋ｘＰ・ｃｏｓＦＨＹ＋ｙｐ・ｓｉｎＦＨＹ
参考文献
Ｃ１３李青岳，陈永奇．工程测量学．测绘出版社，１９９５．Ｃ２３孙志忠，袁尉平，阐震初．数值分析．南京：东南大学
出版社，２００２・
ＩＷｐ
ＹＨＹ＋ｘＰ．ｓｉｎＦＨＹ±ｙ。．ｃｏｓＦＨＹ
Ｃ３］李远富・线路勘测设计・北京：高等教育出版社，
２００４・
上面公式中，当曲线右偏时取“＋”，左偏时取“一”。
收稿：２００９—０６—０８
（上接７５页）段是含有少量的问断性完整地层的风化层，使用无同相ＰＨＰ＋ＫＨｍ泥浆护壁，依然用西７５ｍｍ绳索取心钻具钻进到４０３．３５ＩＴＩ，顺利终孔。
１２线ＺＫ３４孔，倾角８０。，方位角２５。，设计孔深
５００
５
结语
总之，后期的护壁技术、钻进工艺更加完善，钻进
比较顺利，一般孑Ｌ深４００ｒｆｌ左右，含有长孔段强风化
ｍ。该孑Ｌ深２４１～２７２ｍ，２７４～３２６．４９ｍ段见强
层的钻孔一个半月终孔，生产效率大提高，经济效益显著。我们通过不断摸索，总结经验，针对丰山矿区各孔风化程度的不同，结合设备能力、经济因素，采用不同方法护壁，总结出前述４种护壁措施，基本上解决了丰山矿区长孑Ｌ段强风化层的护壁难题。
‘
风化层。由于某些原因。致使该孑Ｌ非常复杂，钻孑Ｌ严重超径，经常发生钻杆折断事故。考虑到ＹＬ一６００型钻机的能力，在使用低固相泥浆护壁、钻穿风化层
后于３２６．７９ｍ处下人中７３ｍｍ反丝套管，用中５９
ｍｍ绳索取心钻具钻至５６６．１０ｍ终孔。
收稿：２００９—０６—０１
三次抛物线缓和曲线的计算
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
顾大军
新疆国地测绘工程有限责任公司,乌鲁木齐,830063新疆有色金属
XINJIANG YOUSE JINSHU2009,32(z1)
参考文献(3条)
1. 李远富 线路勘测设计 2004
2. 孙志忠;袁尉平;闻震初 数值分析 20023. 李青岳;陈永奇 工程测量学 1995
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xjysjs2009z1030.aspx
７６
新疆有色金属增刊１
三次抛物线缓和曲线的计算
顾大军
（新疆国地测绘工程有限责任公司
摘
要
乌鲁木齐８３００６３）
根据三次抛物线的数学方程，给Ｈ｛了在高速公路中利用三次抛物线作为缓和曲线的计算公式，包括曲线要素、中桩坐标计算，
并以一算例说明。
关键词
缓和曲线
三次抛物线
曲线要素
坐标
１
引言
入三次抛物线，以抛物线的起点（半径无穷大处）一ＺＨ点为坐标原点，该点的切线为ｘ轴，垂直切线方向为ｙ轴，建立起如图所示的切线坐标系，三次抛物线的方程为：
车辆在曲线路段上行驶会产生离心力，所以在曲线上要用超高的办法来克服离心力。离心力的大小与曲线半径等因素有关，半径愈小，离心力愈大，超高也就愈大，故一定半径的曲线上应有一定量的超高。因此，在直线与圆曲线连接处，就会有如何设置超高的问题。为了解决这一问题，在直线和圆曲线之问采用一段过渡的曲线。在直线连接处，它的半径等于∞，随着距离的增加，半径逐渐减小，到与圆曲线连接处，它的半径等于圆曲线的半径Ｒ。这样随着半径的减小，使相应的超高逐渐增大，起到了过渡的作用。这种曲线称缓和曲线。
缓和曲线的线型有很多种，目前我国公路上广泛采用的缓和曲线是回旋曲线，曲线方程为Ａ一￣／Ｒ・ｌ。考虑到高速公路的特点，根据研究成果。缓和曲线也有多种形式，如三次抛物线形、三次抛物线余弦改善型、七次四项式型、半波正弦型等，考虑到三次抛物线线形简单、设计方便、平立面有效长度长、现场铺设和养护容易的特点，目前在高速公路建设中大部分采用三次抛物线形。本文主要介绍三次抛物线缓和曲线的计算。
ｙ一恚
相似，与抛物线的长度Ｌ０，圆曲线的半径Ｒ有关。
（１）
式中：Ｃ为三次抛物线参数，和回旋曲线中的Ａ
设Ｐ为抛物线线上任意一点，则Ｐ点处的’转向角或切线偏角（Ｐ点处的切线与ＺＨ点的切线的夹角）Ｂ为：
．
ｔａｎｐ＝ｙ＇－菱
Ｐ点处的曲率半径为：
ｐ—ａｒｃｔａｎ（差）
（２）
。一盟拦：！！二／夏Ｘ４：：３
下面给出由弧长ｓ计算（ｘ，ｙ）的方法。
（３）
在实际计算过程中，往往不知道ｘ，只知道曲线上Ｐ点里程，即曲线弧长ｓ＝Ｐ点里程一ＺＨ点里程。
设各点至ＺＨ（或ＨＺ）的弧长为ｓｉ，在曲线上取
２三次抛物线型缓和ｆＨｌ线方程
微小段ｄｓ，根据高等数学微积分，则有：
ｄｓ一√五＿可一√ｌ＋（塞）２ｄｘ一￣／ｒＦ严ｄｘ
ｄｓ一√１＋砑Ｘ４
ｄｘ
（４）
叔靠‰一ｏ√ｉ。＋１嘉如
上式积分不可积，并且是个复式积分，比较难计算，我们反过来求，由于上式积分不可积，用幂级数展成多项式并舍去不影响精度项：
图ｌ
三次抛物线型缓和曲线
则ｓ＝ｃ，＋丢一志＋志一熹
如图ｌ所示，在直线和半径为Ｒ的圆曲线间插
１１苎！．一！！！！！！！！ｍｍ．ｍ
２００９年１１１４１１．２Ｃ８。
新疆有色金属
一立≥＋…
Ｘ５
两端积分得．ｓ；ｘ＋丽Ｘ５一嘉＋丽Ｘ１３
现在要解决的问题是知道ｓ求ｘ，写成方程形式：
一————Ｉ————————————————————————。！！！！
７７
一
圆曲线ｌｙ＝缩Ｒ短ｊ所（ａ栅－－２１３ｂ）角．ｎ变／为１８０一ｐ’圆曲线长为：
圆曲线的切线长为：
（６’…
一ｓ＝０
ｖ—卜一‘ｒｏ’ｏ——ｏ—‘’一
Ｘｇ
Ｘ１３
Ｘ１７
ｔ：Ｒ．ｔａｎ（与霉’
圆曲线的外矢距为：
５。４０ｃ２
１１５２Ｃ＇。１３３１２Ｃ６１１１４１１．２Ｃ８
（７）
ｅ：Ｒ．ｓｅｃ（≤霉）一Ｒ。
由ＨＹ点的切线坐标ｙｏ可计算：
ｓ１一ｙ０／ｔａｎｐ；ｓ２一Ｙｏ／ｓｉｎｐ
则ＡＢ长度为：ＡＢ＝ｔ＋ｓ：，在三角形ＡＢＪＤ中，由正弦定理得：
Ｂ—ＪＤ＝ＡＢ．ｓｉｎ（．１８０＋２ａ－２尽＞／ｓｉｎ（．１８０－－ａ）
此式为非线性多项式方程，有多个解，根据缓和曲线使用的抛物线中一段，一个ｓ只对应唯一的ｘ，并且０
≤《ｓ，所以解算此方程，可以用迭代法求ｘ在［ｏ，ｓ）区
间的符合精度的唯一解，如牛顿法或埃得金迭代法・利用程序很容易实现，得到ｘ后可根据（１）求ｎ
当ｓ—ｋ时，可求得缓圆ＨＹ点的切线坐标（ｘｏ，ｙｏ）。上面的讨论是在知道Ｃ值的情况下，在实际问题中．往往给定ｋ和Ｒ，那么如何求Ｃ呢？
实际上Ｃ是由（３）式决定的：
Ａ—ＪＤ：ＡＢ．ｓｉｎｆｌ／ｓｉｍ（毕）
Ｃ・（１＋蔫）亏
口
ｖ
４
这样，插入缓和抛物线的切线长为：Ｔ一】‘Ｄ＋Ｂ—ＪＤ一两，外矢距为：Ｅ—ｅ＋Ａ—ＪＤ，曲线全长为：Ｌ＝ＺＬｏ＋ｋ，
（８）
Ｒ一————』坠，＿一
ｘｏ
如知道ＪＤ点的里程，各主点的里程很容易求得。
而在计算】‘ｏ时又需要Ｃ．这实际上需要一个迭代计算，先给定初值Ｃｏ，由Ｌｏ计算】‘ｏ，由（３）计算三次抛物线ｋ处的曲率半径ｐ，如ｐ≠Ｒ，需对Ｃｏ进行修正，ｐ随Ｃ的增大而增大，当ｐ＞Ｒ时，减小Ｃ；当ｐ
＜Ｒ时，增大Ｃ，直到ｐ＝Ｒ为止。
通过研究发现，Ｃ与回旋曲线中的Ａ较接近和相似．可以设定Ｃ＝Ｌｏ・Ｋ，Ｋ是一个与Ｒ比较接近的数值（当缓和曲线比较短时，Ｋ与Ｒ接近，如Ｌｏ一
４９０，Ｒ一９０００时，Ｋ＝８９８９．３１８，而Ｌｏ一１５０，Ｒ＝９０００时，Ｋ一８
９９９．０；再如Ｌｏ一４９０，Ｒ＝９００时，Ｋ＝
７７７．４１１；而ｋ＝１５０，Ｒ一９００时，Ｋ＝８８９．８９２），所以在程序设计时，令Ｋ。一Ｒ，Ｃｏ—Ｌｏ・Ｒ，计算Ｌ。处的曲率半径ｐｏ，对Ｋ。修正为Ｋ。。Ｋ。＝Ｋ。＋（Ｒ－－ｐｏ），依次类推进行迭代：Ｋ；一ＫＨ＋（Ｒ—ｐｉ－１），直到ｐ—Ｒ为止。通过多个数据试验，这个迭代是收敛的，说明
此法可行。
图２
从图２看出，也可按照回旋曲线方法计算。圆曲线内移值：ＡＲ＝ｙｏ＋Ｒ・ＣＯＳＢ－－Ｒ切线增长值：ｑ＝ｘｏ—Ｒ・ｓｉｎｌＢ
带有三次抛物线缓和曲线的圆曲线切线长为：
３带有缓和抛物线的圆曲线要素计算
下面来计算曲线的其它要素，这里只讨论对称插入缓和抛物线。
如图２所示，两直线交点ＪＤ，路线偏角为ａ，在直线和圆曲线之间插入一段缓和抛物线，圆曲线必须往内侧内移ＡＲ，ＨＹ点处的切偏角Ｂ为：
Ｔ一（Ｒ＋△Ｒ）・ｔｇ罢＋ｑ
厶
外矢距：Ｅ＝（Ｒ＋ＡＲ）ｓｅｃ弓“－－－Ｒ
厶
从后面的算例看，两者结果一致。
从上面可以看出，计算曲线要素，关键是由抛物
ｐ＝ａｒｃｔａｎ（瓦Ｘ０２）
（９）
线长Ｌｏ求ＨＹ点的切线坐标（Ｘｏ，Ｙｏ）。
７８
顾大军：ｉ次抛物线缓和曲线的计算增刊１
４
曲线上任意点测量坐标系中坐标计算
目前施工测量点位放样全部采用全站仪极坐标
５
算
例
在和库高速公路跨河大桥建设中，交点Ｊｔｈ。到Ｊｎ。的方位角为１１９。３５７３１”３８，Ｊ聩。到Ｄ晓的方位角为１３３。３８’２４”３４，ＪＤ３６的坐标（３９９９０．５４６２，９６７５．９２１５），路线在
ＪＤ３。处转向角ａ＝１４。０２’５２，’９６，里程为Ｋ７＋７２８．５０８７，设
法或ＧＰＳＲＴＫ，它们的关键是求出路线在控制测量
坐标系ＸＯＹ中的坐标。设计时交点在测量坐标系中坐标是已知，路线每条直线的方位角是可以得到：
ｆｘｚＨ＝Ｘｍ—Ｔ・ｃｏｓＦｚＨ—ＪＤ【ＹｚＨ＝ＹＪＤ——Ｔ・ｓｉｎＦｚＨ～ＪＤ
设任意点Ｐ的里程为ＬＰ，当ＺＨ＜ＬＰ＜ＹＨ，Ｐ点位于抛物线上，计算Ｐ点到ＺＨ点的曲线长：ｓ＝ＬＰ—ＺＨ，由ｓ用（７）和（１）式计算Ｐ点在切线坐标系中坐标（Ｘ。，Ｙｐ），再由坐标平移旋转公式计算Ｐ点在测量坐标系中坐标（Ｘ，，Ｙ，）：
ｆＸＰ—ＸｚＨ＋ｘｐ・ｃｏｓＦｚｎ～ＪＤ＋ｙＰ・ｓｉｎＦｚ．一ＪＤｌＹＰ＝ＹｚＨ＋Ｘｐ・ｓｉｎＦｚＨ～ＪＤ±ｙＰ・ｃｏｓＦｚＨ—ＪＤ
计取三次抛物线缓和曲线长度Ｌ。为４９０ｍ，而圆曲线半径为９
０００
ｒｆｌ。
经过计算得：
Ｃ一４９０．０×８９８９．３１８４２６Ｔ一１３５３．８２８５。Ｅ＝６９．１７５２ＬＹ＝１７１６．２７３９。Ｌ一２６９６．２７３９
ＺＨ—Ｋ６＋３７４．６８０２．ＨＺ＝Ｋ９＋０７０．９５４１
缓圆点ＨＹ和圆缓点ＹＨ处切偏角Ｂｗｖ—ｐＹＨ一
１。３３７３９”４
Ｐ点处的切线方位角（指向路线前进方向）：
ＦＰ—ＦｚＨ
圆曲线内移１．１１０８，切线增长２４４．７９９
Ｋ６十７００（４０７９７．３１５２，８７８０．９２０５）Ｋ７＋８００（３９８８８．７２１９，９６９６．４１４６）
９
ＪＤ士ｆｌＰ，ｆｌＰ—ａｒＣｔａｎ（杀）。
当Ｐ点为ＨＹ点时。Ｓ＝Ｌ０，利用上式可计算出ＨＹ点的测量坐标（Ｘ。，，ＹＨ。）和ＦＨ，。
当ＹＨ＜ＬＰ＜ＨＺ时，计算方法与上面相似。当ＨＹ＜ＩＪ＜ＹＨ时，Ｐ点位于圆曲线上，我们以ＨＹ点为原点，ＨＹ的切线为ｘ轴，垂直切线方向为Ｙ轴，建立缓圆点切线坐标系。Ｐ在此坐标系中坐标为：
６结语
从上面可以看出，三次抛物线作为缓和曲线应用在高速公路中计算过程与回旋曲线相似，区别主要在根据弧线长求切线坐标方面，需采用迭代法求出。另外从算例中看出，同样长度的缓和曲线和同样的圆曲线半径，三次抛物线的切线、圆曲线长度要比回旋曲
线短。
ｏ一吾．型，其中ｓ—ＬＰ—ＨＹ
ｆｘＰ＝Ｒ・ｓｉｎＯ
【ＹＰ＝Ｒ（１一ｃｏｓ０）
再Ｆｈ坐标平移旋转公式计算Ｐ点在测量坐标系中坐标（ＸＰ，ＹＰ）：
ｆＸＰ—ＸＨＹ＋ｘＰ・ｃｏｓＦＨＹ＋ｙｐ・ｓｉｎＦＨＹ
参考文献
Ｃ１３李青岳，陈永奇．工程测量学．测绘出版社，１９９５．Ｃ２３孙志忠，袁尉平，阐震初．数值分析．南京：东南大学
出版社，２００２・
ＩＷｐ
ＹＨＹ＋ｘＰ．ｓｉｎＦＨＹ±ｙ。．ｃｏｓＦＨＹ
Ｃ３］李远富・线路勘测设计・北京：高等教育出版社，
２００４・
上面公式中，当曲线右偏时取“＋”，左偏时取“一”。
收稿：２００９—０６—０８
（上接７５页）段是含有少量的问断性完整地层的风化层，使用无同相ＰＨＰ＋ＫＨｍ泥浆护壁，依然用西７５ｍｍ绳索取心钻具钻进到４０３．３５ＩＴＩ，顺利终孔。
１２线ＺＫ３４孔，倾角８０。，方位角２５。，设计孔深
５００
５
结语
总之，后期的护壁技术、钻进工艺更加完善，钻进
比较顺利，一般孑Ｌ深４００ｒｆｌ左右，含有长孔段强风化
ｍ。该孑Ｌ深２４１～２７２ｍ，２７４～３２６．４９ｍ段见强
层的钻孔一个半月终孔，生产效率大提高，经济效益显著。我们通过不断摸索，总结经验，针对丰山矿区各孔风化程度的不同，结合设备能力、经济因素，采用不同方法护壁，总结出前述４种护壁措施，基本上解决了丰山矿区长孑Ｌ段强风化层的护壁难题。
‘
风化层。由于某些原因。致使该孑Ｌ非常复杂，钻孑Ｌ严重超径，经常发生钻杆折断事故。考虑到ＹＬ一６００型钻机的能力，在使用低固相泥浆护壁、钻穿风化层
后于３２６．７９ｍ处下人中７３ｍｍ反丝套管，用中５９
ｍｍ绳索取心钻具钻至５６６．１０ｍ终孔。
收稿：２００９—０６—０１
三次抛物线缓和曲线的计算
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
顾大军
新疆国地测绘工程有限责任公司,乌鲁木齐,830063新疆有色金属
XINJIANG YOUSE JINSHU2009,32(z1)
参考文献(3条)
1. 李远富 线路勘测设计 2004
2. 孙志忠;袁尉平;闻震初 数值分析 20023. 李青岳;陈永奇 工程测量学 1995
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