第三章 二维随机变量及其概率分布
习题一
一、（1）于任意实数x,y，有0≤F(x,y)≤1；
(2) F(x,y)对x,y分别是单调不减的；
(3) 对于任意实数x,y有 F(-∞,y)=limF(x,y)=0,
x→-∞
F(x,-∞)=limF(x,y)=0,
y→-∞
F(-∞,-∞)=limF(x,y)=0, F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1
x→-∞
y→-∞
x→+∞y→+∞
(4) F(x,y)对任意x,y分别是右连续的； （5） 对任意x1≤x2,y1≤y2有
F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0,
二、FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y≤+∞)=F(x,+∞)=limF(x,y)
y→+∞
FY(x)=P(Y≤x)=P(X≤+∞,Y≤y)=F(+∞,y)=limF(x,y)
x→+∞
习题二 一、
随机变量ξ与η不独立．
二、解： X的取值为1，2，3，Y的取值为2，3，4，故(X,Y)的联合分布率为
三、解：由
1+c++=1
得c= 习题三
+∞
一、解：因为
⎰
-∞
x2c
p(x,y)dxdy=dxcy(1-x)dy=c(1-x)⋅dx==1， ⎰-∞⎰0⎰0⎰0
224
+∞
1
x
1
所以c=24；
x2⎧⎪⎰24y(1-x)dy0≤x≤1⎧12x(1-x)0≤x≤1
pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0=⎨；
-∞
其它 ⎪0其它⎩0⎩
+∞
12⎧⎪⎰24y(1-x)dx0≤y≤1⎧12y(1-y)
pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨y=⎨
-∞
⎪0其它⎩0⎩
+∞
0≤y≤1其它
二、解：(1)
⎰⎰
由
+∞+∞
-∞-∞
+∞
p(x,y)dxdy=⎰
+∞
+∞
⎰
+∞
02
A
dxdy22
(1+x)(1+y)
=A⎰
得 A=
dxdyπ
=A=141+x2⎰01+y2
4
π2
，
（2）F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=
⎰⎰
-∞
xy
-∞
p(u,v)dudv
⎧4
⎪arctanxarctanyx>0,y>0=⎨π2 ⎪0其它⎩
⎧2
⎪arctanxx>0
； FX(x)=F(x,+∞)=⎨π
⎪x≤0⎩0⎧2
⎪arctanyy>0
FY(y)=F(+∞,y)=⎨π
⎪y≤0⎩0
⎧1-e-0.5x
三、解：（1）FX(x)=F(x,+∞)=limF(x,y)=⎨
y→+∞
⎩0
⎧1-e-0.5yy≥0
FY(y)=⎨
0其它⎩
-0.5(x+y)
x≥0,y≥0∂2F⎧0.25e
=⎨（2） p(x,y)= ∂x∂y⎩0其它
x≥0其它
，
⎧0.5e-0.5x
而pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨
-∞
⎩0
+∞
x≥0其它
⎧0.5e-0.5y
或pY(y)=FY'(y)=⎨
⎩0
（3） P(X≥0.1,Y≥0.1)=
y≥0其它
⎰⎰
0.1
+∞+∞
0.1
p(x,y)dxdy=e-0.1
四、解：（1） 区域D的面积为 S(D)=
⎰⎰
2
2x-x2
dxdy=3
⎧0≤x≤2,0≤y≤2x-x24 从而p(x,y)=⎨
⎩0其它
2x-x232⎧+∞⎧0≤x≤2⎪⎰dy0≤x≤24(2x-x)（2） pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0， =⎨4-∞
其它⎩0⎪0其它⎩
⎧1+3+∞-y0≤y≤1⎪⎰⎪dy0≤y≤1⎧ pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨1--y4=⎨2
-∞
⎪其它⎪⎩00其它⎩
(3) P(X≤Y)=
x≤y
⎰⎰p(x,y)dxdy=⎰dx⎰
1
2x-x2
x
4
1dy=
8
习题五
一、解：习题1，2，3都不独立．
二、解：习题1，4不独立；习题2，3独立． 三、解：
⎧1⎧e-yy≥0⎪0
pY(y)=⎨pX(x)=⎨2
它⎩0其⎪其它⎩0
⎧1-y⎪e0
p(x,y)=pX(x)pY(y)=⎨2
⎪其它⎩0
（1）P(-1
12-y1-2
edy=(1-e)； ⎰02⎰0
2
1
（2）P(X+Y>1)=P(Y>1-X)=1-P(Y≤1-X)
=1-⎰dx⎰
11-x
11-y
dy=1- 22e
习题六
一、解：X,Y均为离散型随机变量，(X,Y)是二维随机变量，且
P(X+Y=k)=∑P(X=i)P(Y=k-i)=∑aibk-i k=0,1,2,
i=0
i=0
kk
二、解：p(x)=⎨
⎧10
0
Z的分布函数为FZ(z)=P(X+Y≤z)=
当z≤0,
x+y≤z
⎰⎰p(x,y)dxdy
F(z)=0;当z>2,F(z)=1
当 0
⎰
z
dx⎰
1
z-x
dy=
1
12
z 2
F(z)=1-
12
=1-(2-z) dxp(x,y)dy⎰⎰2z-1z-x
0
⎪
故 p(z)=F'(z)=⎨2-z1
⎪0其它⎩
⎧0z≤0⎪zz-y⎪
⎪⎰⎰3xdxdy0
F(z)=⎰⎰p(x,y)dxdy=⎨
1x三、解：
x+y
dx⎰3xdy1
⎧92
⎪8z0
z2⎪3
pU(z)==F'(z)=⎨(1-)0≤z
4⎪2
其它⎪0⎪⎩
复习题
一、1.（a） 2．（c） 3．（d）
4．解：(X,Y) 关于X,Y的边缘分布律分别为
由因为X与Y相互独立的充分必要条件为对于一切i，j都有
本题选（b）． ,q=15PiPj=Pij，解得p=10
5．（a） 6．（d）
7．解：(X,Y)关于X的边缘概率密度
⎧-x21⎧22
+∞⎪⎰-1-x2dy|x|≤1⎪-x,|x|≤1
PX(x)=⎰f(x,y)dy=⎨=⎨ππ-∞
⎪0|x|>1|x|>1⎪⎩0⎩
类似地，关于Y的边缘概率密度为
⎧22
P∞
f(x,y)dx=⎪⎨-y|y|≤1
Y(y)=⎰
+-∞
⎪π
⎩0
|y|>1⎧4但P⎪
(1-x2)(1-y2)|x|≤1,|y|≤1
X(x)PY(y)=⎨π2
≠f(x,y)
⎪⎩
0其它
所以X与Y不独立，选（c）． 8．
(a) P{a≤x≤b,Y(c) P{0
(i,j)(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)
由于抽取是有放回的，各次抽取相互独立，再一次抽取中的概率为
P=(ij5-i-j
10)(10)(10)
(i+j≤5)
对于取定的i,j，以上这样的事件出现的总数为
Cij5C5-i=
5!
i!j!(5-i-j)!
(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)
因{X=i}={5次独立重复试验中，事件A恰好出现I次}，则X~B(5,3
),P(X=i)=Ci5i75-i
5()()，(i=0,1,2,3,4,5)
类似地，关于Y地边缘分布律为
P{Y=j}=Cj5j(55-j5()) ，(j=0,1,2,3,4,5) 即Y~B(5,5
)
三、解：（1）当x0时，fX(x)=0 当0≤x≤1时
2
fx2+12
X(x)=⎰(xy)dy=2x+2x
故
所以f⎧2x2+2x0≤x≤1X(x)=⎨⎩0
其它
当y2时，fY(y)=0；当0≤y≤2时
1
f21Y(y)=⎰(x+3xy)dx=
3+16
y 所以 f(y)=⎧⎨3+6y0≤y≤2Y0 ⎩其它注意到 f(1
11
,)=,
fX(11
)fY(25
)=
≠f(11,)
故X域Y不独立． （2）P{X+Y≥1}=⎰12
dx⎰
1-x
(x2+3xy)dy=
6572
四、（1） 1=
⎰+∞⎰
+∞
-∞-∞
ϕ(x,y)dxdy=
⎰⎰
C(R-x2+y2)dxdy=1
3πRC x2+y2≤1
（2）当R=2时，
⎧ϕ(x,y)=⎪3⎨8π
(2-x2+y2),x2+y2≤2
2 ⎪⎩0
其它于是 P(x2
+y2
≤1)=
1
2
五、由题中的条件知(X,Y)的联合概率密度为：
p(x,y)=⎧⎨
12e-3x-4y
x>0,y>0⎩0
其它
F(x,y)=FF⎧(1-e-3x)(1-e-4x)x>0,y>0
X(x)Y(y)=⎨
⎩
0其它（2） P(X
)
六、解：由于X与Y相互独立，所以p(x,y)=pX(x)pY(y)，从而
pz)=⎰+∞
⎧⎪z
-x-(z-x)dxz>0⎧ze-zz>0Z(⎰0ee
-∞pX(x)pY(z-x)dx=⎨
=⎪⎨⎩0
z≤0⎩0z≤0F⎧1-e-z-ze-z
七、z>0
Z(z)=⎨
⎩0
z≤0
C=3
πR
3
第三章 二维随机变量及其概率分布
习题一
一、（1）于任意实数x,y，有0≤F(x,y)≤1；
(2) F(x,y)对x,y分别是单调不减的；
(3) 对于任意实数x,y有 F(-∞,y)=limF(x,y)=0,
x→-∞
F(x,-∞)=limF(x,y)=0,
y→-∞
F(-∞,-∞)=limF(x,y)=0, F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1
x→-∞
y→-∞
x→+∞y→+∞
(4) F(x,y)对任意x,y分别是右连续的； （5） 对任意x1≤x2,y1≤y2有
F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0,
二、FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y≤+∞)=F(x,+∞)=limF(x,y)
y→+∞
FY(x)=P(Y≤x)=P(X≤+∞,Y≤y)=F(+∞,y)=limF(x,y)
x→+∞
习题二 一、
随机变量ξ与η不独立．
二、解： X的取值为1，2，3，Y的取值为2，3，4，故(X,Y)的联合分布率为
三、解：由
1+c++=1
得c= 习题三
+∞
一、解：因为
⎰
-∞
x2c
p(x,y)dxdy=dxcy(1-x)dy=c(1-x)⋅dx==1， ⎰-∞⎰0⎰0⎰0
224
+∞
1
x
1
所以c=24；
x2⎧⎪⎰24y(1-x)dy0≤x≤1⎧12x(1-x)0≤x≤1
pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0=⎨；
-∞
其它 ⎪0其它⎩0⎩
+∞
12⎧⎪⎰24y(1-x)dx0≤y≤1⎧12y(1-y)
pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨y=⎨
-∞
⎪0其它⎩0⎩
+∞
0≤y≤1其它
二、解：(1)
⎰⎰
由
+∞+∞
-∞-∞
+∞
p(x,y)dxdy=⎰
+∞
+∞
⎰
+∞
02
A
dxdy22
(1+x)(1+y)
=A⎰
得 A=
dxdyπ
=A=141+x2⎰01+y2
4
π2
，
（2）F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=
⎰⎰
-∞
xy
-∞
p(u,v)dudv
⎧4
⎪arctanxarctanyx>0,y>0=⎨π2 ⎪0其它⎩
⎧2
⎪arctanxx>0
； FX(x)=F(x,+∞)=⎨π
⎪x≤0⎩0⎧2
⎪arctanyy>0
FY(y)=F(+∞,y)=⎨π
⎪y≤0⎩0
⎧1-e-0.5x
三、解：（1）FX(x)=F(x,+∞)=limF(x,y)=⎨
y→+∞
⎩0
⎧1-e-0.5yy≥0
FY(y)=⎨
0其它⎩
-0.5(x+y)
x≥0,y≥0∂2F⎧0.25e
=⎨（2） p(x,y)= ∂x∂y⎩0其它
x≥0其它
，
⎧0.5e-0.5x
而pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨
-∞
⎩0
+∞
x≥0其它
⎧0.5e-0.5y
或pY(y)=FY'(y)=⎨
⎩0
（3） P(X≥0.1,Y≥0.1)=
y≥0其它
⎰⎰
0.1
+∞+∞
0.1
p(x,y)dxdy=e-0.1
四、解：（1） 区域D的面积为 S(D)=
⎰⎰
2
2x-x2
dxdy=3
⎧0≤x≤2,0≤y≤2x-x24 从而p(x,y)=⎨
⎩0其它
2x-x232⎧+∞⎧0≤x≤2⎪⎰dy0≤x≤24(2x-x)（2） pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0， =⎨4-∞
其它⎩0⎪0其它⎩
⎧1+3+∞-y0≤y≤1⎪⎰⎪dy0≤y≤1⎧ pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨1--y4=⎨2
-∞
⎪其它⎪⎩00其它⎩
(3) P(X≤Y)=
x≤y
⎰⎰p(x,y)dxdy=⎰dx⎰
1
2x-x2
x
4
1dy=
8
习题五
一、解：习题1，2，3都不独立．
二、解：习题1，4不独立；习题2，3独立． 三、解：
⎧1⎧e-yy≥0⎪0
pY(y)=⎨pX(x)=⎨2
它⎩0其⎪其它⎩0
⎧1-y⎪e0
p(x,y)=pX(x)pY(y)=⎨2
⎪其它⎩0
（1）P(-1
12-y1-2
edy=(1-e)； ⎰02⎰0
2
1
（2）P(X+Y>1)=P(Y>1-X)=1-P(Y≤1-X)
=1-⎰dx⎰
11-x
11-y
dy=1- 22e
习题六
一、解：X,Y均为离散型随机变量，(X,Y)是二维随机变量，且
P(X+Y=k)=∑P(X=i)P(Y=k-i)=∑aibk-i k=0,1,2,
i=0
i=0
kk
二、解：p(x)=⎨
⎧10
0
Z的分布函数为FZ(z)=P(X+Y≤z)=
当z≤0,
x+y≤z
⎰⎰p(x,y)dxdy
F(z)=0;当z>2,F(z)=1
当 0
⎰
z
dx⎰
1
z-x
dy=
1
12
z 2
F(z)=1-
12
=1-(2-z) dxp(x,y)dy⎰⎰2z-1z-x
0
⎪
故 p(z)=F'(z)=⎨2-z1
⎪0其它⎩
⎧0z≤0⎪zz-y⎪
⎪⎰⎰3xdxdy0
F(z)=⎰⎰p(x,y)dxdy=⎨
1x三、解：
x+y
dx⎰3xdy1
⎧92
⎪8z0
z2⎪3
pU(z)==F'(z)=⎨(1-)0≤z
4⎪2
其它⎪0⎪⎩
复习题
一、1.（a） 2．（c） 3．（d）
4．解：(X,Y) 关于X,Y的边缘分布律分别为
由因为X与Y相互独立的充分必要条件为对于一切i，j都有
本题选（b）． ,q=15PiPj=Pij，解得p=10
5．（a） 6．（d）
7．解：(X,Y)关于X的边缘概率密度
⎧-x21⎧22
+∞⎪⎰-1-x2dy|x|≤1⎪-x,|x|≤1
PX(x)=⎰f(x,y)dy=⎨=⎨ππ-∞
⎪0|x|>1|x|>1⎪⎩0⎩
类似地，关于Y的边缘概率密度为
⎧22
P∞
f(x,y)dx=⎪⎨-y|y|≤1
Y(y)=⎰
+-∞
⎪π
⎩0
|y|>1⎧4但P⎪
(1-x2)(1-y2)|x|≤1,|y|≤1
X(x)PY(y)=⎨π2
≠f(x,y)
⎪⎩
0其它
所以X与Y不独立，选（c）． 8．
(a) P{a≤x≤b,Y(c) P{0
(i,j)(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)
由于抽取是有放回的，各次抽取相互独立，再一次抽取中的概率为
P=(ij5-i-j
10)(10)(10)
(i+j≤5)
对于取定的i,j，以上这样的事件出现的总数为
Cij5C5-i=
5!
i!j!(5-i-j)!
(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)
因{X=i}={5次独立重复试验中，事件A恰好出现I次}，则X~B(5,3
),P(X=i)=Ci5i75-i
5()()，(i=0,1,2,3,4,5)
类似地，关于Y地边缘分布律为
P{Y=j}=Cj5j(55-j5()) ，(j=0,1,2,3,4,5) 即Y~B(5,5
)
三、解：（1）当x0时，fX(x)=0 当0≤x≤1时
2
fx2+12
X(x)=⎰(xy)dy=2x+2x
故
所以f⎧2x2+2x0≤x≤1X(x)=⎨⎩0
其它
当y2时，fY(y)=0；当0≤y≤2时
1
f21Y(y)=⎰(x+3xy)dx=
3+16
y 所以 f(y)=⎧⎨3+6y0≤y≤2Y0 ⎩其它注意到 f(1
11
,)=,
fX(11
)fY(25
)=
≠f(11,)
故X域Y不独立． （2）P{X+Y≥1}=⎰12
dx⎰
1-x
(x2+3xy)dy=
6572
四、（1） 1=
⎰+∞⎰
+∞
-∞-∞
ϕ(x,y)dxdy=
⎰⎰
C(R-x2+y2)dxdy=1
3πRC x2+y2≤1
（2）当R=2时，
⎧ϕ(x,y)=⎪3⎨8π
(2-x2+y2),x2+y2≤2
2 ⎪⎩0
其它于是 P(x2
+y2
≤1)=
1
2
五、由题中的条件知(X,Y)的联合概率密度为：
p(x,y)=⎧⎨
12e-3x-4y
x>0,y>0⎩0
其它
F(x,y)=FF⎧(1-e-3x)(1-e-4x)x>0,y>0
X(x)Y(y)=⎨
⎩
0其它（2） P(X
)
六、解：由于X与Y相互独立，所以p(x,y)=pX(x)pY(y)，从而
pz)=⎰+∞
⎧⎪z
-x-(z-x)dxz>0⎧ze-zz>0Z(⎰0ee
-∞pX(x)pY(z-x)dx=⎨
=⎪⎨⎩0
z≤0⎩0z≤0F⎧1-e-z-ze-z
七、z>0
Z(z)=⎨
⎩0
z≤0
C=3
πR
3