2015-2016学年第一学期 《概率统计》(公共课)复习题
1. P5 例1.1 设A ,B ,C 为3个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件: (1)A 发生而B 与C 不发生:A BC 或A —B —C 或A —( B ∪ C ). (2)A ,B 都发生而C 不发生:AB C 或AB —C . (3)A ,B ,C 至少有一个事件发生:A ∪ B ∪ C .
(4)A ,B ,C 至少有两个事件发生:AB ∪BC ∪CA . (5)A ,B ,C 恰好有两个事件发生:AB C ∪A BC ∪A B C . (6)A ,B ,C 恰好有一个事件发生:A BC ∪A B C ∪AB C . (7)A ,B 至少有一个事件发生:(A ∪B )C . (8)A ,B ,C 都不发生:ABC 或A B C
2. P10 古典概率公式:P(A) = k/n = A所包含的样本点数 / Ω中样本点总数
P12 例1.8 有n 个人,每个人都以同样的概率1/ N被分配在N (n
解:每个人都有N 种分法,这是可重复排列问题,n 个人共有N n 种不同分法,因为没有指定是哪几间房,所以首先选出n 间房,C n N 种选法。对于其中每一种选法,每间房各住一人共有n !种分法,故所求概率为p = Cn N n!/ N n
3. P15 条件概率的定义:设A ,B 为两个时间,且P(B)>0,则称P(AB)/P(B)为事件B
已发生条件下事件A 发生的条件概率,记为P(A|B),即
P(A|B)= P(AB)/P(B).
P16 例1.13 某科动物出生以后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁以上的概率。
解:设A 表示“活到20岁以上”的事件,B 表示“活到25岁以上”的事件,则有 P(A)=0.7,P(B)=0.56,且B 包含于A .
得:P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.56/0.7=0.8
4. P14 几何概型公式:用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件,那么事件A 的概率可
用下列公式计算:P(A)=m(A)/m(Ω) ,称它为几何概率。
6
P29 习题22 (1)从(0,1)中随机地取两个数,求:两个数之和小于的概率;
5
144
617
解:设两数为x,y ,则0
5125
5.P30 习题25 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,
不努力学习的学生有90%的可能考试不及格. 据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:
(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 解:设A={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P (B|A)=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知
P (A ) P (B A ) P (AB ) (1)P (A B ) = =
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A ) =
0.2⨯0.11
==0.02702
0.8⨯0.9+0.2⨯0.137
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) P (A B ) =
P (A ) P (B A ) P (AB )
=
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )
=
0.8⨯0.14
==0.3077
0.8⨯0.1+0.2⨯0.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
6. P36 二项分布的分布律:P{X=k}=Ck n p k (1- p)n-k ,k=0,1,„,n ,则称X 服从参数
为n ,p 的二项分布,记为X~b(n,p ).
7. P40 泊松分布的分布律:若随机变量X 的分布律为
P{X=k}=λke-λ/k!,k=0,1,„,
其中λ>0是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ).
8. P44 连续型随机变量的概率特点:
P{a≤X <b}=P{a<X ≤b}=P{a≤X ≤b}=P{a<X <b}.
P48 指数分布:若随机变量X 的密度函数为: λe -λx ,x >0,
f(x)=
0, x≤0,
其中λ>0为常数,则称X 服从参数为λ的指数分布,记作X~E(λ).
9. P44 2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为 , x<0, 2, 0≤x <1, , x≥1.
试求:(1)系数A ;(2)X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;
(3)X 的密度函数。
解:(1)由于X F(x)是连续函数,因此有
lim 2 =A,即A=1,于是有 x →1 <0, 0≤x <1, x≥1.
(2)P{0.3<X <2-(0.3)2=0.4. ,0≤x <1, (3)X 的密度函数为 f(x)=F’(x)=
, 其他.
10.P49 标准正态分布的密度曲线图形(略)
P52 标准正态分布的上α分位点的定义和求法:
设X~N(0,1) ,若z α满足条件 P{X>z α}=α,0<α<1,则称点z α为标准正态分布的上α分位点。例如,由查表可得z 0.05=1,z 0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点. (上图白色部分的才是α)
-? P59习题27 求标准正态分布的上α分位点:
(1)α=0.01,求z α;(2)α=0.003,求z α,z α/2. 解:查表可得:(1)z α=2.33;(2)z α=2.75,z α/2=2.96
11. P58 习题16(1) 设某种仪器内装有3只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密
度函数为:
100/x2, x≥100,
, x<100. 求:(1)在开始150h 内没有电子管损坏的概率.
1501001
P (X ≤150) =d x =. 解:⎰100x 2
3
28
p 1=[P (X >150)]3=(3=
327
习题24 设随机变量X 分布函数为
⎧A +B e -xt , x ≥0,
F (x )=⎨(λ>0),
x
(1) 求常数A ,B ;
(2) 求P{X≤2},P{X>3}; (3) 求分布密度f (x ).
lim F (x ) =1⎧⎧A =1⎪x →+∞
解:? (1)由⎨得⎨
lim F (x ) =lim F (x ) ⎩B =-1⎪x →0-⎩x →0+
(2)P (X ≤2) =F (2)=1-e -2λP (X >3) =1-F (3)=1-(1-e -3λ) =e -3λ
⎧λe -λx , x ≥0
(3) f (x ) =F '(x ) =⎨
x
? 12. P59 习题 31设随机变量X~U(0,1),试求:(1) Y=e的分布函数及密度函数;
X
(2) Z=2lnX的分布函数及密度函数.
解:(1) P (0
当y ≤1时F Y (y ) =P (Y ≤y ) =0
当1
X
ln y 0
d x =ln y
y ≤1⎧0,
⎪
即分布函数:F Y (y ) =⎨ln y , 1
⎪1, y ≥e ⎩
⎧1
1
故Y 的密度函数为:f Y (y ) =⎨y ,
⎪0, 其他⎩(2) 由P (00) =1
当z ≤0时,F Z (z ) =P (Z ≤z ) =0
当z>0时,F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (-2l n X ≤z )
z
=P (lnX ≤-) =P (X ≥e -z /2)
2
=⎰-z /2d x =1-e -z /2
e
1
z ≤0⎧0,
即分布函数为:F Z (z ) =⎨-z /2
1-e , z >0⎩
⎧1-z /2
⎪e , z >0
故Z 的密度函数为f Z (z ) =⎨2
⎪z ≤0⎩0,
⎧
⎪0, ⎪1⎪
13. P60 习题36 已知F (x )=⎨x +,
2⎪⎪1, ⎪⎩
x
0≤x
21x ≥.
2
则F (x )是( )随机变量的分布函数.
(A ) 连续型; (B )离散型; (C ) 非连续亦非离散型. 解:因为F (x )在(∞,+∞)上单调不减右连续,且lim F (x ) =0lim F (x ) =1,
x →-∞
x →+∞
所以F (x )是一个分布函数。
但是F (x )在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F (x )是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C )
? 习题42 设随机变量X 的分布函数为
x
⎪0. 4, -1≤x
0. 8, 1≤x
求X 的概率分布.
解:由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系,可知X 的概率
? 习题44 若随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布,则方程y +Xy+1=0有实根的概率
2
是多少?
⎧1
⎪, 1
解:f (x ) =⎨5⎪⎩0, 其他
4
所以 P (X 2-4≥0) =P (X ≥2) +P (X ≤-2) =P (X ≥2) =
5
14. P74 离散型随机变量独立性的定义:P{X=xi ,Y=yi }=P{X=xi }P{Y=yi }.
连续型随机变量独立性的定义:f(x,y)=fx(x)fy(y).
[f(x,y) 为(X,Y)的概率密度函数]
15. P85 习题13设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为
(2) X与Y 是否相互独立? 解:(1)X 和Y 的边缘分布如下表:
(2) 因P {X =2} P {Y =0.4}=0.2⨯0.8=0.16≠0.15=P (X =2, Y =0.4), 故X 与Y 不独立.
16. P86 习题19(1)设随机变量(X ,Y )的分布律为
(1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
P {X =2, Y =2}0.051P {X =2, Y =2}=5==,
0.252P {Y =2}
∑P {X =i , Y =2}
i =0
解:P {X =2|Y =2}=
P {Y =3|X =0}=
P {X =0, Y =3}0.011P {Y =3, X =0}
=3==;
0.033P {X =0}
∑P {X =0, Y =j }
j =0
17. P111 习题7 设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )
=16,求E (3X 2Y ),D (2X 3Y ).
解:(1) E (3X -2Y ) =3E (X ) -2E (Y ) =3⨯3-2⨯3=3. (2) D (2X -3Y ) =22D (X ) +(-3) 2DY =4⨯12+9⨯16=192.
18. P125 习题5有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m. 现从这批
木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m 的概率是多少?
解:设100根中有X 根短于3m ,则X ~B (100,0.2)
从而P {X ≥30}=1-P {X
=1-Φ(2.5)=1-0.9938=0.0062.
19. P131 χ(n )分布的定义:设X1,X2,„,Xn 是来自总体N (0,1)的样本,则量
2 2 2 222
χ2=X +X +„+X 所服从的分布称为自由度为n 的χ分布,记为χ~χ(n ). 1 2 n 密度曲线图(略)
上α分位点的定义:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{χ2>χ2α(n)}= α的点χ2α(n)为χ2(n)分布的上α分位点.
20. P132 t 分布的定义:设X~N(0,1),Y~χ2(n),并且X ,Y 独立,则称随机变量 t=X/
√Y/n 服从自由度为n 的t 分布,记为t~t(n). 密度曲线图(略)
上α分位点的定义及性质:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{t>t α(n)}=α的点t α(n)为t(n)分布的上α分位点; 性质:T 1-α(n)=-Tα(n)≈Z α.
P133 F 分布的定义:设U~χ2(n1) ,V~χ2(n2) ,且U ,V 独立,则称随机变量F=(U/n1)/(V/n2)
服从自由度为(n1,n 2) 的F 分布,记为F~F(n1,n 2). 密度曲线图(略)
上α分位点的定义及性质:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{F>F α(n1,n 2)}=α的点F α(n1,n 2) 为F(n1,n 2) 分布的上α分位点; 性质:F 1-α(n1,n 2)=1/Fα(n2,n 1).
2
21. P136 习题2 从正态总体N (4.2,5)中抽取容量为n 的样本,若要求其
样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于0.95,则样本容量n 至少取多大?
解:Z =
2
~N (0,1)
P (2.2
则Φ
,故
即n >24.01,所以n 至少应取25
22. P152 习题 5 随机变量X 服从[0,θ]上的均匀分布,今得X 的
样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计.
解:(1) E (X ) =
θ
2
ˆ=2X 且E (θˆ) =2E (X ) =2E (X ) =θ, , 令E (X ) =X ,则θ
ˆ=2=2⨯0.6=1.2且θˆ=2是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为θ
⎛1⎫
(2) 似然函数L =∏f (x i , θ) = ⎪,i=1,2,„,8.
⎝θ⎭i =1
显然L=L(θ) ↓(θ>0),那么θ=max{x i }时,L=L(θ) 最大,
1≤i ≤8
8
8
所以θ的极大似然估计值θˆ=0.9.
因为E(θˆ)=E(max{x i }) ≠θ, 所以θˆ=max{x i }不是θ的无偏计.
1≤i ≤8
1≤i ≤8
习题8 某车间生产的螺钉,其直径X~N(μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,
今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm )如下:
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 解:n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
x =14.95, u a =u 0.25=1.96, ,
2
μ的置信度为0.95的置信区间为
⎛
x ±u α/2 =(14.95±0.1⨯1.96) =(14.754,15.146)
⎝
题型:填空题(10道20分),选择题(5道15分),判断题(5道15分),
计算题(5道50分)
2015-2016学年第一学期 《概率统计》(公共课)复习题
1. P5 例1.1 设A ,B ,C 为3个事件,用A ,B ,C 的运算式表示下列事件: (1)A 发生而B 与C 不发生:A BC 或A —B —C 或A —( B ∪ C ). (2)A ,B 都发生而C 不发生:AB C 或AB —C . (3)A ,B ,C 至少有一个事件发生:A ∪ B ∪ C .
(4)A ,B ,C 至少有两个事件发生:AB ∪BC ∪CA . (5)A ,B ,C 恰好有两个事件发生:AB C ∪A BC ∪A B C . (6)A ,B ,C 恰好有一个事件发生:A BC ∪A B C ∪AB C . (7)A ,B 至少有一个事件发生:(A ∪B )C . (8)A ,B ,C 都不发生:ABC 或A B C
2. P10 古典概率公式:P(A) = k/n = A所包含的样本点数 / Ω中样本点总数
P12 例1.8 有n 个人,每个人都以同样的概率1/ N被分配在N (n
解:每个人都有N 种分法,这是可重复排列问题,n 个人共有N n 种不同分法,因为没有指定是哪几间房,所以首先选出n 间房,C n N 种选法。对于其中每一种选法,每间房各住一人共有n !种分法,故所求概率为p = Cn N n!/ N n
3. P15 条件概率的定义:设A ,B 为两个时间,且P(B)>0,则称P(AB)/P(B)为事件B
已发生条件下事件A 发生的条件概率,记为P(A|B),即
P(A|B)= P(AB)/P(B).
P16 例1.13 某科动物出生以后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁以上的概率。
解:设A 表示“活到20岁以上”的事件,B 表示“活到25岁以上”的事件,则有 P(A)=0.7,P(B)=0.56,且B 包含于A .
得:P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.56/0.7=0.8
4. P14 几何概型公式:用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件,那么事件A 的概率可
用下列公式计算:P(A)=m(A)/m(Ω) ,称它为几何概率。
6
P29 习题22 (1)从(0,1)中随机地取两个数,求:两个数之和小于的概率;
5
144
617
解:设两数为x,y ,则0
5125
5.P30 习题25 按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,
不努力学习的学生有90%的可能考试不及格. 据调查,学生中有80%的人是努力学习的,试问:
(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人? (2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人? 解:设A={被调查学生是努力学习的},则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
(A )=0.8,P (A )=0.2,又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P (B|A)=0.9,P (B |A )=0.9,故由贝叶斯公式知
P (A ) P (B A ) P (AB ) (1)P (A B ) = =
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A ) =
0.2⨯0.11
==0.02702
0.8⨯0.9+0.2⨯0.137
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) P (A B ) =
P (A ) P (B A ) P (AB )
=
P (B ) P (A ) P (B A ) +P (A ) P (B A )
=
0.8⨯0.14
==0.3077
0.8⨯0.1+0.2⨯0.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
6. P36 二项分布的分布律:P{X=k}=Ck n p k (1- p)n-k ,k=0,1,„,n ,则称X 服从参数
为n ,p 的二项分布,记为X~b(n,p ).
7. P40 泊松分布的分布律:若随机变量X 的分布律为
P{X=k}=λke-λ/k!,k=0,1,„,
其中λ>0是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ).
8. P44 连续型随机变量的概率特点:
P{a≤X <b}=P{a<X ≤b}=P{a≤X ≤b}=P{a<X <b}.
P48 指数分布:若随机变量X 的密度函数为: λe -λx ,x >0,
f(x)=
0, x≤0,
其中λ>0为常数,则称X 服从参数为λ的指数分布,记作X~E(λ).
9. P44 2.9 设连续型随机变量X 的分布函数为 , x<0, 2, 0≤x <1, , x≥1.
试求:(1)系数A ;(2)X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;
(3)X 的密度函数。
解:(1)由于X F(x)是连续函数,因此有
lim 2 =A,即A=1,于是有 x →1 <0, 0≤x <1, x≥1.
(2)P{0.3<X <2-(0.3)2=0.4. ,0≤x <1, (3)X 的密度函数为 f(x)=F’(x)=
, 其他.
10.P49 标准正态分布的密度曲线图形(略)
P52 标准正态分布的上α分位点的定义和求法:
设X~N(0,1) ,若z α满足条件 P{X>z α}=α,0<α<1,则称点z α为标准正态分布的上α分位点。例如,由查表可得z 0.05=1,z 0.001=3.16.故1.645与3.16分别是标准正态分布的上0.05分位点与上0.001分位点. (上图白色部分的才是α)
-? P59习题27 求标准正态分布的上α分位点:
(1)α=0.01,求z α;(2)α=0.003,求z α,z α/2. 解:查表可得:(1)z α=2.33;(2)z α=2.75,z α/2=2.96
11. P58 习题16(1) 设某种仪器内装有3只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密
度函数为:
100/x2, x≥100,
, x<100. 求:(1)在开始150h 内没有电子管损坏的概率.
1501001
P (X ≤150) =d x =. 解:⎰100x 2
3
28
p 1=[P (X >150)]3=(3=
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习题24 设随机变量X 分布函数为
⎧A +B e -xt , x ≥0,
F (x )=⎨(λ>0),
x
(1) 求常数A ,B ;
(2) 求P{X≤2},P{X>3}; (3) 求分布密度f (x ).
lim F (x ) =1⎧⎧A =1⎪x →+∞
解:? (1)由⎨得⎨
lim F (x ) =lim F (x ) ⎩B =-1⎪x →0-⎩x →0+
(2)P (X ≤2) =F (2)=1-e -2λP (X >3) =1-F (3)=1-(1-e -3λ) =e -3λ
⎧λe -λx , x ≥0
(3) f (x ) =F '(x ) =⎨
x
? 12. P59 习题 31设随机变量X~U(0,1),试求:(1) Y=e的分布函数及密度函数;
X
(2) Z=2lnX的分布函数及密度函数.
解:(1) P (0
当y ≤1时F Y (y ) =P (Y ≤y ) =0
当1
X
ln y 0
d x =ln y
y ≤1⎧0,
⎪
即分布函数:F Y (y ) =⎨ln y , 1
⎪1, y ≥e ⎩
⎧1
1
故Y 的密度函数为:f Y (y ) =⎨y ,
⎪0, 其他⎩(2) 由P (00) =1
当z ≤0时,F Z (z ) =P (Z ≤z ) =0
当z>0时,F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (-2l n X ≤z )
z
=P (lnX ≤-) =P (X ≥e -z /2)
2
=⎰-z /2d x =1-e -z /2
e
1
z ≤0⎧0,
即分布函数为:F Z (z ) =⎨-z /2
1-e , z >0⎩
⎧1-z /2
⎪e , z >0
故Z 的密度函数为f Z (z ) =⎨2
⎪z ≤0⎩0,
⎧
⎪0, ⎪1⎪
13. P60 习题36 已知F (x )=⎨x +,
2⎪⎪1, ⎪⎩
x
0≤x
21x ≥.
2
则F (x )是( )随机变量的分布函数.
(A ) 连续型; (B )离散型; (C ) 非连续亦非离散型. 解:因为F (x )在(∞,+∞)上单调不减右连续,且lim F (x ) =0lim F (x ) =1,
x →-∞
x →+∞
所以F (x )是一个分布函数。
但是F (x )在x=0处不连续,也不是阶梯状曲线,故F (x )是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选(C )
? 习题42 设随机变量X 的分布函数为
x
⎪0. 4, -1≤x
0. 8, 1≤x
求X 的概率分布.
解:由离散型随机变量X 分布律与分布函数之间的关系,可知X 的概率
? 习题44 若随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布,则方程y +Xy+1=0有实根的概率
2
是多少?
⎧1
⎪, 1
解:f (x ) =⎨5⎪⎩0, 其他
4
所以 P (X 2-4≥0) =P (X ≥2) +P (X ≤-2) =P (X ≥2) =
5
14. P74 离散型随机变量独立性的定义:P{X=xi ,Y=yi }=P{X=xi }P{Y=yi }.
连续型随机变量独立性的定义:f(x,y)=fx(x)fy(y).
[f(x,y) 为(X,Y)的概率密度函数]
15. P85 习题13设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为
(2) X与Y 是否相互独立? 解:(1)X 和Y 的边缘分布如下表:
(2) 因P {X =2} P {Y =0.4}=0.2⨯0.8=0.16≠0.15=P (X =2, Y =0.4), 故X 与Y 不独立.
16. P86 习题19(1)设随机变量(X ,Y )的分布律为
(1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
P {X =2, Y =2}0.051P {X =2, Y =2}=5==,
0.252P {Y =2}
∑P {X =i , Y =2}
i =0
解:P {X =2|Y =2}=
P {Y =3|X =0}=
P {X =0, Y =3}0.011P {Y =3, X =0}
=3==;
0.033P {X =0}
∑P {X =0, Y =j }
j =0
17. P111 习题7 设随机变量X ,Y 相互独立,且E (X )=E (Y )=3,D (X )=12,D (Y )
=16,求E (3X 2Y ),D (2X 3Y ).
解:(1) E (3X -2Y ) =3E (X ) -2E (Y ) =3⨯3-2⨯3=3. (2) D (2X -3Y ) =22D (X ) +(-3) 2DY =4⨯12+9⨯16=192.
18. P125 习题5有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m. 现从这批
木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m 的概率是多少?
解:设100根中有X 根短于3m ,则X ~B (100,0.2)
从而P {X ≥30}=1-P {X
=1-Φ(2.5)=1-0.9938=0.0062.
19. P131 χ(n )分布的定义:设X1,X2,„,Xn 是来自总体N (0,1)的样本,则量
2 2 2 222
χ2=X +X +„+X 所服从的分布称为自由度为n 的χ分布,记为χ~χ(n ). 1 2 n 密度曲线图(略)
上α分位点的定义:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{χ2>χ2α(n)}= α的点χ2α(n)为χ2(n)分布的上α分位点.
20. P132 t 分布的定义:设X~N(0,1),Y~χ2(n),并且X ,Y 独立,则称随机变量 t=X/
√Y/n 服从自由度为n 的t 分布,记为t~t(n). 密度曲线图(略)
上α分位点的定义及性质:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{t>t α(n)}=α的点t α(n)为t(n)分布的上α分位点; 性质:T 1-α(n)=-Tα(n)≈Z α.
P133 F 分布的定义:设U~χ2(n1) ,V~χ2(n2) ,且U ,V 独立,则称随机变量F=(U/n1)/(V/n2)
服从自由度为(n1,n 2) 的F 分布,记为F~F(n1,n 2). 密度曲线图(略)
上α分位点的定义及性质:对于给定的正数α,0<α<1,满足条件 P{F>F α(n1,n 2)}=α的点F α(n1,n 2) 为F(n1,n 2) 分布的上α分位点; 性质:F 1-α(n1,n 2)=1/Fα(n2,n 1).
2
21. P136 习题2 从正态总体N (4.2,5)中抽取容量为n 的样本,若要求其
样本均值位于区间(2.2,6.2)内的概率不小于0.95,则样本容量n 至少取多大?
解:Z =
2
~N (0,1)
P (2.2
则Φ
,故
即n >24.01,所以n 至少应取25
22. P152 习题 5 随机变量X 服从[0,θ]上的均匀分布,今得X 的
样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计.
解:(1) E (X ) =
θ
2
ˆ=2X 且E (θˆ) =2E (X ) =2E (X ) =θ, , 令E (X ) =X ,则θ
ˆ=2=2⨯0.6=1.2且θˆ=2是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为θ
⎛1⎫
(2) 似然函数L =∏f (x i , θ) = ⎪,i=1,2,„,8.
⎝θ⎭i =1
显然L=L(θ) ↓(θ>0),那么θ=max{x i }时,L=L(θ) 最大,
1≤i ≤8
8
8
所以θ的极大似然估计值θˆ=0.9.
因为E(θˆ)=E(max{x i }) ≠θ, 所以θˆ=max{x i }不是θ的无偏计.
1≤i ≤8
1≤i ≤8
习题8 某车间生产的螺钉,其直径X~N(μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,
今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm )如下:
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 解:n=6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
x =14.95, u a =u 0.25=1.96, ,
2
μ的置信度为0.95的置信区间为
⎛
x ±u α/2 =(14.95±0.1⨯1.96) =(14.754,15.146)
⎝
题型:填空题(10道20分),选择题(5道15分),判断题(5道15分),
计算题(5道50分)