2016届文科人教版数学
双钩函数的最值
姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学
2015年11月25日
研究性学习：函数y =x +
p
(p >0, x >0) 的最值 x
——初高中衔接内容
丹阳市横塘中学 陈华荣 一、教学目标：
p
1. 知识与技能：了解函数y =x +(p >0, x >0) 的最值和探索问题的方法．
x
2. 过程与方法：通过“观察──猜想──证明──迁移”一系列的探究活动，培养学生的观察、分析、归纳的能力和不断发现、探索事物发展的本质的精神, 学会“由特殊到一般，再由一般到特殊” 的探究问题的方法．
3. 情感态度与价值观：通过创设“问题串” ，利用多种教学手段，激发学生探索和发现问题的欲望，给学生创造成功的机会，激发学生的思维活力． 二、教学重点难点：
p
1. 重点：了解函数y =x +(p >0, x >0) 的最值及应用．
x
2. 难点：探索的问题方法．
三、教学方法：综合选用“四步八自”课堂教学模式和“问题串”式教学设计． 四、教学手段：几何画板辅助 五、教学过程设计
p
（一）引言：函数y =x +(p >0, x >0) 是许多问题可以归结的一个模型，
x
了解这类函数的最值，可以提高我们解决这类问题的能力．
4
（二）问题探究：观察函数y =x +的关系式，回答下列问题。
x
(1)自变量x 的取值范围是 ； (2)估计图像大致在第 象限，图像与x 轴、y 轴有交点吗？
(3)画图像，观察图像回答：该函数有最大值或最小值吗？
y
x O
(4)当x>0时，该函数有最大(小) 值吗? (5)证明:函数y =x +
4
(x >0) 有最小值. x
（学法指导：解一个新问题一般有两种策略：一是看解决老问题的方法是否能解决新问题，二是能否把新问题直接化为老问题，运用已经掌握的结论解决新问题．）
p
(6)猜想: 函数y =x +(p
>0, x >0) 有最值吗？
-5
结论:函数y =x +（三）自主练习：
9
(x>0) 的最小值. x
2．自编自练：请你按所学的函数模型自编一题，并求出结果.
（四）中考巡题
例 （2009肇庆）如图 ，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE
p
(p >0, x >0) 有最小值，可用配方法来求． x
1．求函数y =x +
切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ．（1）求证：AM ∥BN ； （2）求y 关于x 的关系式；
（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2．
例 （2009彬州）如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，
－1）． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）如图，点P 的坐标为（－1，－2），当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．[备用]
（五）课堂小结
教师提问：这节课我们学习了哪些主要内容? 学习了哪些方法? 学生回答的基础上教师归纳：
p
1．本节课主要学习了函数y =x +(p >0, x >0) 的最值．
x
2．问题的解决是通过“观察──猜想──证明──迁移”实现的，体现了实践的观点、先猜想后证明的观点．
3．问题探究的过程还应用了从特殊到一般和从一般到特殊的数学思想方法.
（六）作业安排
6
1．求函数y =x +的最小值．
x
2．(2006镇江) 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．点P 在运动时，线段AB
AB 长度的最小值，并说明理由．
3．(2001镇江) 某住宅小区，要建一个八边形居民广场（如图）其中，正方形MNPQ 与四个相同矩形（阴影部分）的面积的和为800每平方米，（1）设矩形的边长AB ＝x （米），AM ＝y （米），用含x 的代数式表示y 为 ,
(2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域中铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元． ①设该工程的总造价为S （元），求S 关于x 的函数关系式． ②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该
D 工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否
完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方；若不能，请说明理由．
4．阅读理解：对于任意正实数a ，
b ，∵∴a -b ≥0，
2≥
0，∴∴∴a +b ≥只有点a =b 时，等号成立．结论：
在a +b ≥a ，b 均为正实数）中，若ab 为定值p
，则a +b ≥a =b 时，a +
b 有最小值 根据上述内容，回答下列问题：
1
有最小值
m
思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意 一点，（与点A ，B 不重合）．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，
若m >0，只有当m = 时，m +
图1
AD =a ，DB =b ．试根据图形验证a +b ≥
0) ，B (0，-4) 为双曲线y =探索应用：如图2，已知A (-3，
12
(x >0) 上的任意一点，过点P x
作PC ⊥x 轴于点C ，PO ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
2016届文科人教版数学
双钩函数的最值
姓 名： 沈金鹏 院 、 系： 数学学院 专 业: 数学与应用数学
2015年11月25日
研究性学习：函数y =x +
p
(p >0, x >0) 的最值 x
——初高中衔接内容
丹阳市横塘中学 陈华荣 一、教学目标：
p
1. 知识与技能：了解函数y =x +(p >0, x >0) 的最值和探索问题的方法．
x
2. 过程与方法：通过“观察──猜想──证明──迁移”一系列的探究活动，培养学生的观察、分析、归纳的能力和不断发现、探索事物发展的本质的精神, 学会“由特殊到一般，再由一般到特殊” 的探究问题的方法．
3. 情感态度与价值观：通过创设“问题串” ，利用多种教学手段，激发学生探索和发现问题的欲望，给学生创造成功的机会，激发学生的思维活力． 二、教学重点难点：
p
1. 重点：了解函数y =x +(p >0, x >0) 的最值及应用．
x
2. 难点：探索的问题方法．
三、教学方法：综合选用“四步八自”课堂教学模式和“问题串”式教学设计． 四、教学手段：几何画板辅助 五、教学过程设计
p
（一）引言：函数y =x +(p >0, x >0) 是许多问题可以归结的一个模型，
x
了解这类函数的最值，可以提高我们解决这类问题的能力．
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（二）问题探究：观察函数y =x +的关系式，回答下列问题。
x
(1)自变量x 的取值范围是 ； (2)估计图像大致在第 象限，图像与x 轴、y 轴有交点吗？
(3)画图像，观察图像回答：该函数有最大值或最小值吗？
y
x O
(4)当x>0时，该函数有最大(小) 值吗? (5)证明:函数y =x +
4
(x >0) 有最小值. x
（学法指导：解一个新问题一般有两种策略：一是看解决老问题的方法是否能解决新问题，二是能否把新问题直接化为老问题，运用已经掌握的结论解决新问题．）
p
(6)猜想: 函数y =x +(p
>0, x >0) 有最值吗？
-5
结论:函数y =x +（三）自主练习：
9
(x>0) 的最小值. x
2．自编自练：请你按所学的函数模型自编一题，并求出结果.
（四）中考巡题
例 （2009肇庆）如图 ，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE
p
(p >0, x >0) 有最小值，可用配方法来求． x
1．求函数y =x +
切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ．（1）求证：AM ∥BN ； （2）求y 关于x 的关系式；
（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2．
例 （2009彬州）如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，
－1）． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）如图，点P 的坐标为（－1，－2），当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．[备用]
（五）课堂小结
教师提问：这节课我们学习了哪些主要内容? 学习了哪些方法? 学生回答的基础上教师归纳：
p
1．本节课主要学习了函数y =x +(p >0, x >0) 的最值．
x
2．问题的解决是通过“观察──猜想──证明──迁移”实现的，体现了实践的观点、先猜想后证明的观点．
3．问题探究的过程还应用了从特殊到一般和从一般到特殊的数学思想方法.
（六）作业安排
6
1．求函数y =x +的最小值．
x
2．(2006镇江) 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．点P 在运动时，线段AB
AB 长度的最小值，并说明理由．
3．(2001镇江) 某住宅小区，要建一个八边形居民广场（如图）其中，正方形MNPQ 与四个相同矩形（阴影部分）的面积的和为800每平方米，（1）设矩形的边长AB ＝x （米），AM ＝y （米），用含x 的代数式表示y 为 ,
(2）现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域中铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元，在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元． ①设该工程的总造价为S （元），求S 关于x 的函数关系式． ②若该工程的银行贷款为235000元，问仅靠银行贷款能否完成该
D 工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否
完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方；若不能，请说明理由．
4．阅读理解：对于任意正实数a ，
b ，∵∴a -b ≥0，
2≥
0，∴∴∴a +b ≥只有点a =b 时，等号成立．结论：
在a +b ≥a ，b 均为正实数）中，若ab 为定值p
，则a +b ≥a =b 时，a +
b 有最小值 根据上述内容，回答下列问题：
1
有最小值
m
思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意 一点，（与点A ，B 不重合）．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，
若m >0，只有当m = 时，m +
图1
AD =a ，DB =b ．试根据图形验证a +b ≥
0) ，B (0，-4) 为双曲线y =探索应用：如图2，已知A (-3，
12
(x >0) 上的任意一点，过点P x
作PC ⊥x 轴于点C ，PO ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．