黑体辐射问题的探讨

黑体辐射问题的探讨

张善文（[1**********]）

（山东大学物理与微电子学院250100）

摘要：黑体辐射实验导致20世纪最重要的学科量子力学的发现。黑体的温度与时间到底存在什么样的关系呢？如果我们只从经典力学的来考虑这个问题，那又会得到什么样的结论呢？

Abstract:：Theblackbodyradiationexperimentleads20thcenturiesmostimportantdisciplinesquantummechanicsdiscovery.Whattyperelationsdotheblackbodytemperatureandtimehave?Ifweonlyfromtheclassicalmechanicsconsideredthisquestion,thatcanweobtainanytypeconclusion？

关键词：黑体，辐射冷却，电磁波能量，分子热运动的动能

黑体辐射是物理学中一个很重要的问题。普朗克就是在研究黑体辐射问题的过程中提出量子假说的，从而掀起了物理学发展的又一个高潮。前辈们在这方面已经做出了许多杰出量子力学中提到的带小孔的空腔是一种理想黑体。物理学家研究的是空腔中的电磁波辐射能量密度U，但是空腔中不仅充满了电磁场还包含着大量的空气分子，所以这里所说的黑体是指空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。我在这里讨论的黑体就是这种热力学系统。

如果加热腔壁时，腔内壁就会发射电磁波，分子吸收电磁波后动能增加，气体温度升高，当分子吸收的电磁波和发射的电磁波相等的时候，两者就建立了平衡。这就是黑体升温的过程。现在我们再来看黑体辐射降温的过程。黑体向外辐射的时候，电磁波能量减小，黑体内部电磁场与空气分子之间出现了温差。这样就会使分子将储存的能量以电磁波的形式不断释放出来，以达到平衡。如果没有热源，黑体不断辐射就会使分子能量不断减小，这样黑体的温度就会就会降低。

现在我想解决的问题是推导一个黑体辐射冷却方程。这个方程是描述黑体从较高温度到较低温度状态的变化。所以首先，我们必须分析每个态的热力学情况。上面说过，我讨论的黑体是空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。这种黑体的能量包含两部分，一部分是电磁场的能量，另一部分则是空气分子的能量。那么这两种能量的比例又如何呢？先来做下面这样一个估算：

1.热辐射电磁场的能量密度u与温度4次方成正比。

u44Tc其中5.670410Wm82K4，c为光速。

为了方便，我们取一立方米体积的黑体作为研究对象。假设黑体的温度是1000K，那么这个黑体的电磁场能量E1是

E1u44T7.56104Jc

即便是10000K的温度，电磁场的能量也只有7.56焦耳大小。

2.对于理想气体而言，它蕴藏的能量远不止这些，分子热运动的平均动能为

t3kT2

33kNATRT22一摩尔分子的动能就是E

现在我们假设一立方米的气体（1000K）含有20摩尔分子（其实远大于20摩尔），那么它们的动能总和是

E23RT20mol2.49105J2

比较一下E1和E2，可以看出E1远远小于E2，所以黑体的能量可认为就是气体分子热运动的能量之和。

热力学中有个斯蒂凡—玻尔兹曼定律，它是说黑体在单位时间内单位表面积辐射出的电磁波能量与黑体热力学温度的四次方成正比，即

JuT4

下面我们根据上式去推导黑体辐射冷却方程。

设黑体的初始温度是T0，黑体所含的气体分子数为n摩尔，黑体的表面积为S，则dt时间内黑体辐射的能量为

dQT4Sdt

黑体温度肯定会改变dT，也就是说气体释放的能量为（1）

3dWnRdT2

（因为dT是负值，所以上式右边加负号）

根据能量守恒定律，dQ与dW应是相等的。因此有下式（2）

3T4SdtnRdT2

分离变数，得（3）

dt3nRdT

2ST4（4）

两边积分，并注意积分的上下限，得

t

dt03nRdT2ST4T0T（5）

nR11t332STT0（6）

上式就是我要求的辐射冷却方程。应该注意的是在积分过程中，黑体的表面积我默认它是一个常数，但有可能它会随着温度的变化而变化，这种情况需要实验测量，我这里就不再讨论。对于上式，我们作下面一些讨论，或许我们能从中得到点有益的启示。

1.令

t0

，则（6）式可变为nR12ST03

f(t)tt0nR

2ST3

ft0的交点就是（7）如果做出图形来，那么曲线f(t)与虚直线

nRT0,32ST。而在ft0下面的部分并不满足要求，因为T不能大于T0。当T0与T相比很大时，t0可认为是零，即f(t)nR

2ST3.

2.讨论温度随时间的变化率

将（7）式变成T关于t的函数，然后求导数就得到

12ST3nR131tt023（8）

这是一个单调递减函数，也就是说随着温度的降低，温度将变化的越来越慢。如果我们认为（7）式在低温下也成立的话，那么T0K时，会有t。这也从另一个角度说明绝对零度不可达到。

[参考书目]

1.量子力学基础教程

2.量子力学

3.热学（第二版）陈鄂生钱伯出秦允豪

黑体辐射问题的探讨

张善文（[1**********]）

（山东大学物理与微电子学院250100）

摘要：黑体辐射实验导致20世纪最重要的学科量子力学的发现。黑体的温度与时间到底存在什么样的关系呢？如果我们只从经典力学的来考虑这个问题，那又会得到什么样的结论呢？

Abstract:：Theblackbodyradiationexperimentleads20thcenturiesmostimportantdisciplinesquantummechanicsdiscovery.Whattyperelationsdotheblackbodytemperatureandtimehave?Ifweonlyfromtheclassicalmechanicsconsideredthisquestion,thatcanweobtainanytypeconclusion？

关键词：黑体，辐射冷却，电磁波能量，分子热运动的动能

黑体辐射是物理学中一个很重要的问题。普朗克就是在研究黑体辐射问题的过程中提出量子假说的，从而掀起了物理学发展的又一个高潮。前辈们在这方面已经做出了许多杰出量子力学中提到的带小孔的空腔是一种理想黑体。物理学家研究的是空腔中的电磁波辐射能量密度U，但是空腔中不仅充满了电磁场还包含着大量的空气分子，所以这里所说的黑体是指空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。我在这里讨论的黑体就是这种热力学系统。

如果加热腔壁时，腔内壁就会发射电磁波，分子吸收电磁波后动能增加，气体温度升高，当分子吸收的电磁波和发射的电磁波相等的时候，两者就建立了平衡。这就是黑体升温的过程。现在我们再来看黑体辐射降温的过程。黑体向外辐射的时候，电磁波能量减小，黑体内部电磁场与空气分子之间出现了温差。这样就会使分子将储存的能量以电磁波的形式不断释放出来，以达到平衡。如果没有热源，黑体不断辐射就会使分子能量不断减小，这样黑体的温度就会就会降低。

现在我想解决的问题是推导一个黑体辐射冷却方程。这个方程是描述黑体从较高温度到较低温度状态的变化。所以首先，我们必须分析每个态的热力学情况。上面说过，我讨论的黑体是空气分子与电磁场处于热力学平衡的体系。这种黑体的能量包含两部分，一部分是电磁场的能量，另一部分则是空气分子的能量。那么这两种能量的比例又如何呢？先来做下面这样一个估算：

1.热辐射电磁场的能量密度u与温度4次方成正比。

u44Tc其中5.670410Wm82K4，c为光速。

为了方便，我们取一立方米体积的黑体作为研究对象。假设黑体的温度是1000K，那么这个黑体的电磁场能量E1是

E1u44T7.56104Jc

即便是10000K的温度，电磁场的能量也只有7.56焦耳大小。

2.对于理想气体而言，它蕴藏的能量远不止这些，分子热运动的平均动能为

t3kT2

33kNATRT22一摩尔分子的动能就是E

现在我们假设一立方米的气体（1000K）含有20摩尔分子（其实远大于20摩尔），那么它们的动能总和是

E23RT20mol2.49105J2

比较一下E1和E2，可以看出E1远远小于E2，所以黑体的能量可认为就是气体分子热运动的能量之和。

热力学中有个斯蒂凡—玻尔兹曼定律，它是说黑体在单位时间内单位表面积辐射出的电磁波能量与黑体热力学温度的四次方成正比，即

JuT4

下面我们根据上式去推导黑体辐射冷却方程。

设黑体的初始温度是T0，黑体所含的气体分子数为n摩尔，黑体的表面积为S，则dt时间内黑体辐射的能量为

dQT4Sdt

黑体温度肯定会改变dT，也就是说气体释放的能量为（1）

3dWnRdT2

（因为dT是负值，所以上式右边加负号）

根据能量守恒定律，dQ与dW应是相等的。因此有下式（2）

3T4SdtnRdT2

分离变数，得（3）

dt3nRdT

2ST4（4）

两边积分，并注意积分的上下限，得

t

dt03nRdT2ST4T0T（5）

nR11t332STT0（6）

上式就是我要求的辐射冷却方程。应该注意的是在积分过程中，黑体的表面积我默认它是一个常数，但有可能它会随着温度的变化而变化，这种情况需要实验测量，我这里就不再讨论。对于上式，我们作下面一些讨论，或许我们能从中得到点有益的启示。

1.令

t0

，则（6）式可变为nR12ST03

f(t)tt0nR

2ST3

ft0的交点就是（7）如果做出图形来，那么曲线f(t)与虚直线

nRT0,32ST。而在ft0下面的部分并不满足要求，因为T不能大于T0。当T0与T相比很大时，t0可认为是零，即f(t)nR

2ST3.

2.讨论温度随时间的变化率

将（7）式变成T关于t的函数，然后求导数就得到

12ST3nR131tt023（8）

这是一个单调递减函数，也就是说随着温度的降低，温度将变化的越来越慢。如果我们认为（7）式在低温下也成立的话，那么T0K时，会有t。这也从另一个角度说明绝对零度不可达到。

[参考书目]

1.量子力学基础教程

2.量子力学

3.热学（第二版）陈鄂生钱伯出秦允豪