§8 复系数和实系数多项式的因式分解

　　一、复系数多项式因式分解定理

　　代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一个根.

　　利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：

每个次数的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：

　　复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.

　　因此，复系数多项式具有标准分解式

其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.

　　二、实系数多项式因式分解定理

　　对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.

　　实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.

　　因此，实系数多项式具有标准分解式

其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..

　　代数基本定理虽然肯定了次方程有个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.

　　三、次多项式的根与系数的关系.

　　令

　　　　　　　　　 (1)

是一个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因而在中完全分解为一次因式的乘积:

展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.

其中第个等式的右端是一切可能的个根的乘积之和,乘以.

　　若多项式

的首项系数那么应用根与系数的关系时须先用除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:

　利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.

　例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.

　例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.