因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) 外，还有公式法(立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ． [4](a +b +c ) 2=
[5]a 3+b 3=
[6] a 3-b 3= (立方和公式) (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma +mb +na +nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
3．十字相乘法
（1）x +(p +q ) x +pq 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵x +(p +q ) x +pq =x 2+px +qx +pq =x (x +p ) +q (x +p ) =(x +p )(x +q ) ，
∴x +(p +q ) x +pq =(x +p )(x +q )
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式ax +bx +c 型的因式分解
由a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1) x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) 我们发现，二次项系数a 分解成a 1a 2，常数项c 分解成c 1c 2，把a 1, a 2, c 1, c 2写成a 2⨯c 2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2+a 2c 1，如果它正好等于ax +bx +c 的一次项系数b ，那么ax +bx +c 就可以分解成(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) ，其中a 1, c 1位于上222222a 1c 1
一行，a 2, c 2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法
【例题选讲】
例1 （公式法）分解因式：(1) 3a b -81b ；(2) a -ab
例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab (c 2-d 2) -(a 2-b 2) cd （2）2x 2+4xy +2y 2-8z 2
例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x +5x -24 (2) x -2x -15
(3) x 2+xy -6y 2 (4) (x 2+x ) 2-8(x 2+x ) +12 223476解：（1） -24=(-3) ⨯8,(-3) +8=5∴ x 2+5x -24=[x +(-3)](x +8) =(x -3)(x +8)
（2） -15=(-5) ⨯3,(-5) +3=-2 ∴ x 2-2x -15=[x +(-5)](x +3) =(x -5)(x +3)
（3）分析：把x +xy -6y 看成x 的二次三项式，这时常数项是-6y ，一次项系数是y ，把-6y 分解成3y 与-2y 的积，而3y +(-2y ) =y ，正好是一次项系数．
解：x 2+xy -6y 2=x 2+yx -62=(x +3y )(x -2y )
(4) 由换元思想，只要把x +x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式22222
a 2-8a +12．解： (x 2+x ) 2-8(x 2+x ) +12=(x 2+x -6)(x 2+x -2) =(x +3)(x -2)(x +2)(x -1)
22例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x -5x -2 ；(2) 5x +6xy -8y 2
解：(1) 12x -5x -2=(3x -2)(4x +1)
222 3-24 1⨯ 1 2y
5-4y (2) 5x +6xy -8y =(x +2y )(5x -4y ) ⨯
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速
度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
例5 （拆项法）分解因式x -3x +4
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) ab (c 2-d 2) +cd (a 2-b 2)
(3) x +64
2．已知a +b =
3．现给出三个多项式，
结果因式分解.
4．已知a +b +c =0，求证：a +a c +b c -abc +b =0．
专题二因式分解答案
3223432 (2) x -4mx +8mn -4n 22 (4) x -11x +31x -21 32 (5) x 3-4xy 2-2x 2y +8y 3 2, ab =2，求代数式a 2b +2a 2b 2+ab 2的值． 31211x +x -1，x 2+3x +1，x 2-x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把222
例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a -b ，可看着是66
(a 3) 2-(b 3) 2或(a 2) 3-(b 2) 3．
解：(1) 3a 3b -81b 4=3b (a 3-27b 3) =3b (a -3b )(a 2+3ab +9b 2) ．
(2) a 7-ab 6=a (a 6-b 6) =a (a 3+b 3)(a 3-b 3) =a (a +b )(a 2-ab +b 2)(a -b )(a 2+ab +b 2) =a (a +b )(a -b )(a 2+ab +b 2)(a 2-ab +b 2)
例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解：ab (c 2-d 2) -(a 2-b 2) cd =abc 2-abd 2-a 2cd +b 2cd =(abc 2-a 2cd ) +(b 2cd -abd 2)
=ac (bc -ad ) +bd (bc -ad ) =(bc -ad )(ac +bd )
（2）分析：先将系数2提出后，得到x 2+2xy +y 2-4z 2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：2x 2+4xy +2y 2-8z 2=2(x 2+2xy +y 2-4z 2) =2[(x +y ) 2-(2z ) 2]=2(x +y +2z )(x +y -2z ) 例5 解： x 3-3x 2+4=(x 3+1) -(3x 2-3) =(x +1)(x 2-x +1) -3(x +1)(x -1)
=(x +1)[(x 2-x +1) -3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4) =(x +1)(x -2) 2
【巩固练习】
1．(1)(bc +ad )(ac -bd ) ; (2)(x -4m +2n )(x -2n ) ; (3)(x 2-4x +8)(x 2+4x +8);
(4)(x -1)(x -3)(x -7) ; (5)(x -2y ) 2(x +2y ) ．
28； 3
121223．(x +x -1) +(x +3x +1) =x +4x =x (x +4) 22
12122其他情况如下：(x +x -1) +(x -x ) =x -1=(x +1)(x -1) ； 22
11(x 2+3x +1) +(x 2-x ) =x 2+2x +1=(x +1) 2. 222．
4．a +a c +b c -abc +b =(a -ab +b )(a +b +c )
322322
数 学
2015.07.10
例1 求下列各式的值：
例2
例3
例4
例5
例6
例7
例8
例9
例10
因式分解
【要点回顾】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) 外，还有公式法(立方和、立方差公式) 、十字相乘法和分组分解法等等．
1．公式法
常用的乘法公式：
[1]平方差公式： ；
[2]完全平方和公式： ；
[3]完全平方差公式： ． [4](a +b +c ) 2=
[5]a 3+b 3=
[6] a 3-b 3= (立方和公式) (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．
2．分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma +mb +na +nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式
3．十字相乘法
（1）x +(p +q ) x +pq 型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵x +(p +q ) x +pq =x 2+px +qx +pq =x (x +p ) +q (x +p ) =(x +p )(x +q ) ，
∴x +(p +q ) x +pq =(x +p )(x +q )
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
（2）一般二次三项式ax +bx +c 型的因式分解
由a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1) x +c 1c 2=(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) 我们发现，二次项系数a 分解成a 1a 2，常数项c 分解成c 1c 2，把a 1, a 2, c 1, c 2写成a 2⨯c 2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a 1c 2+a 2c 1，如果它正好等于ax +bx +c 的一次项系数b ，那么ax +bx +c 就可以分解成(a 1x +c 1)(a 2x +c 2) ，其中a 1, c 1位于上222222a 1c 1
一行，a 2, c 2位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
4．其它因式分解的方法
其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添项法
【例题选讲】
例1 （公式法）分解因式：(1) 3a b -81b ；(2) a -ab
例2 （分组分解法）分解因式：（1）ab (c 2-d 2) -(a 2-b 2) cd （2）2x 2+4xy +2y 2-8z 2
例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) x +5x -24 (2) x -2x -15
(3) x 2+xy -6y 2 (4) (x 2+x ) 2-8(x 2+x ) +12 223476解：（1） -24=(-3) ⨯8,(-3) +8=5∴ x 2+5x -24=[x +(-3)](x +8) =(x -3)(x +8)
（2） -15=(-5) ⨯3,(-5) +3=-2 ∴ x 2-2x -15=[x +(-5)](x +3) =(x -5)(x +3)
（3）分析：把x +xy -6y 看成x 的二次三项式，这时常数项是-6y ，一次项系数是y ，把-6y 分解成3y 与-2y 的积，而3y +(-2y ) =y ，正好是一次项系数．
解：x 2+xy -6y 2=x 2+yx -62=(x +3y )(x -2y )
(4) 由换元思想，只要把x +x 整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式22222
a 2-8a +12．解： (x 2+x ) 2-8(x 2+x ) +12=(x 2+x -6)(x 2+x -2) =(x +3)(x -2)(x +2)(x -1)
22例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) 12x -5x -2 ；(2) 5x +6xy -8y 2
解：(1) 12x -5x -2=(3x -2)(4x +1)
222 3-24 1⨯ 1 2y
5-4y (2) 5x +6xy -8y =(x +2y )(5x -4y ) ⨯
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速
度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
例5 （拆项法）分解因式x -3x +4
【巩固练习】
1．把下列各式分解因式：
(1) ab (c 2-d 2) +cd (a 2-b 2)
(3) x +64
2．已知a +b =
3．现给出三个多项式，
结果因式分解.
4．已知a +b +c =0，求证：a +a c +b c -abc +b =0．
专题二因式分解答案
3223432 (2) x -4mx +8mn -4n 22 (4) x -11x +31x -21 32 (5) x 3-4xy 2-2x 2y +8y 3 2, ab =2，求代数式a 2b +2a 2b 2+ab 2的值． 31211x +x -1，x 2+3x +1，x 2-x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把222
例1分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现a -b ，可看着是66
(a 3) 2-(b 3) 2或(a 2) 3-(b 2) 3．
解：(1) 3a 3b -81b 4=3b (a 3-27b 3) =3b (a -3b )(a 2+3ab +9b 2) ．
(2) a 7-ab 6=a (a 6-b 6) =a (a 3+b 3)(a 3-b 3) =a (a +b )(a 2-ab +b 2)(a -b )(a 2+ab +b 2) =a (a +b )(a -b )(a 2+ab +b 2)(a 2-ab +b 2)
例2（1）分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解：ab (c 2-d 2) -(a 2-b 2) cd =abc 2-abd 2-a 2cd +b 2cd =(abc 2-a 2cd ) +(b 2cd -abd 2)
=ac (bc -ad ) +bd (bc -ad ) =(bc -ad )(ac +bd )
（2）分析：先将系数2提出后，得到x 2+2xy +y 2-4z 2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．
解：2x 2+4xy +2y 2-8z 2=2(x 2+2xy +y 2-4z 2) =2[(x +y ) 2-(2z ) 2]=2(x +y +2z )(x +y -2z ) 例5 解： x 3-3x 2+4=(x 3+1) -(3x 2-3) =(x +1)(x 2-x +1) -3(x +1)(x -1)
=(x +1)[(x 2-x +1) -3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4) =(x +1)(x -2) 2
【巩固练习】
1．(1)(bc +ad )(ac -bd ) ; (2)(x -4m +2n )(x -2n ) ; (3)(x 2-4x +8)(x 2+4x +8);
(4)(x -1)(x -3)(x -7) ; (5)(x -2y ) 2(x +2y ) ．
28； 3
121223．(x +x -1) +(x +3x +1) =x +4x =x (x +4) 22
12122其他情况如下：(x +x -1) +(x -x ) =x -1=(x +1)(x -1) ； 22
11(x 2+3x +1) +(x 2-x ) =x 2+2x +1=(x +1) 2. 222．
4．a +a c +b c -abc +b =(a -ab +b )(a +b +c )
322322
数 学
2015.07.10
例1 求下列各式的值：
例2
例3
例4
例5
例6
例7
例8
例9
例10