第26卷第2期 2006年6月
振动、测试与诊断
Vol.26No.2
Jun.2006
基于有效数据的经验模态分解快速算法研究
(宁波工程学院电信学院 宁波,315010) (浙江大学机能学院 杭州,310027)
胡劲松
杨世锡
摘要 在介绍了经验模态分解(简称EMD)方法的理论和算法基础上,为了提高EMD算法的速度,提出了基于有效数据的EMD快速算法,即通过EMD分解中止的计算区域限定于有效数据段来实现算法的提速。通过对非线性信号的实验研究表明,基于有效数据的EMD快速算法不但能显著提高算法的速度,而且还可以提高算法的精度。该研究成果能广泛地用于信号时频分析领域。
关键词 有效数据 经验模态分解 快速算法 时频分析中图分类号 TP206 TH113.1 TH165.3
引 言
对一列时间序列数据先进行EMD分解,然后对各个分量做希尔伯特变换(HilbertTransforma-tion)的信号处理方法,是由美国国家宇航局的Nor-[1]
denE.Huang于1998年首次提出的,被称为希尔伯特黄变换(Hilbert-HuangTransformation,简称HHT)。HHT被认为是宇航局在应用数学研究历史上最重要的发明,是200年来对以傅里叶变换为基
[2]
础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。由于时间序列的信号经过EMD,分解成一组本征模函数(IntrinsicModeFunction,简称IMF),而不是像傅里叶变换把信号分解成正弦或余弦函数,因此,
稳态信号进行分析,又能对非线HHT既能对线性、
性、非稳态信号进行分析。HHT方法已用于地球物
理学、生物医学、旋转机械故障诊断等领域的研究[3-7],并取得了较好的效果。
EMD算法用到了耗时的三次样条插值,如何减少EMD分解的时间,提高算法的效率,研究EMD的快速算法,具有重要的意义。本文提出了基于有效数据的EMD快速算法,取得了较好的效果。
b.在任意点,由局部极大点构成的包络线和局部极小点构成的包络线的平均值为零。
这种方法本质是通过特征时间尺度获得本征振动模式,然后由本征振动模式来分解时间序列数据。下面是时间序列数据经验模态分解的一种基本算法:
(1)初始化:r0(t)=x(t),i=1;
(2)得到第i个IMF:a.初始化h0(t)=ri(t),j=1;b.找出hj-1(t)的局部极值点;c.对hj-1(t)的极大和极小值点分别进行插值,形成上下包络线;d.计算上下包络线的平均值mj-1(t);e.hj(t)=hj-1(t)-jj-12
≤0.3,则mj-1(t);f.如果∑hj(t)t=0
imfi(t)=hj(t);否则,j=j+1,转到(b);
(3)ri(t)=ri-1(t)-imfi(t);
(4)若ri(t)极值点数不少于2个,则i=i+1,转到2;否则,分解结束,ri(t)是残余分量。
算法最后可得
nT
x(t)=
∑imf(t)
i
i=1
+rn(t)(1)
即原始数据数列可表示为本征模函数分量和一个残余项的和。
1 EMD方法基本原理
经验模态分解方法能把非平稳、非线性信号分解成一组稳态和线性的数据序列集,即本征模函数。所谓本征模函数,必须满足2个条件:a.对于一列数据,极值点和过零点数目必须相等或至多相差一点;
2 EMD快速算法基本原理
一般对于短数据序列,为了消除EMD算法的端点效应,在做EMD分解之前要对欲分解的数据序列进行数据延拓,然后把延拓后的数据采用EMD算法进行分解。由EMD基本原理中的算法可见,跳出循环过程有两个中止条件:一个是当极值点数目
(编号:。::
120
振 动、测 试 与 诊 断第26卷
小于2时跳出整个循环过程;另一个是当标准差小于等于设定值时,跳出一次内部循环过程。
在通常的计算中,数据延拓后就用EMD算法直接进行分解,分解后再取中间一段和原数据序列数目相等的数据点,把延拓部分产生的数据抛弃。在判断循环过程的中止条件时,是以延拓后的整个数据段来判断的。这样,由于极值点较多和判断标准差SD的数据长度较长,就会使循环过程增多。因此,如果在有效的那段数据范围内进行极值点、标准差的计算与中止条件判断,便可提高EMD分解的速度。当然,对于长数据序列的分析,也可采用此方法,在有效的那段数据范围内进行极值点、标准差的计算与中止条件判断。
有效数据就是研究中感兴趣的那段数据,对于短数据序列,就是延拓后在中间的那段原始数据;对于长数据序列,可以把感兴趣的那段数据作为有效数据。若一个短数据序列为128点,左右各延拓64点,则有效数据为中间的128点,有效数据的起始位置为第65点,终止点位置为第192点。
在通常的EMD算法中,入口条件一般是要进行分解的一列数据,当采用本节基于有效数据的EMD算法时,入口条件改为要分解的数据序列,即有效数据起始点位置、有效数据终止点位置。这样,知道了有效数据段,就可根据有效数据段来计算极值点和标准差。
图1 非线性信号时域图和傅氏幅值谱
3 研究方法
拟采用一个调频调幅非线性仿真信号进行算法效果研究。其解析表达式为
x(t)=(1+0.2sin(2 7.5t))cos(2 30t+
0.5sin(2 15t))+sin(2 120t)(2)
信号由一基频为30Hz,调制频率为15Hz的调频调幅非线性信号和一频率为120Hz正弦信号叠加而成。对调频调幅部分的调频频率进行分析,得角频率 (t)
= (t)=dt
60 +15 cos(30 t)
图2 非线性信号理想分解图
(3)
由式(3)可得频率f(t)f(t)=2 =30+7.5cos(30 t)(4)
图1为该信号的时域波形和傅氏幅值谱;图2为该信号的理想分解图,上面一个为120Hz正弦信号,下面一个为调频调幅信号。
为了进行算法验证,需要减弱或消除端点效应
a.对仿真信号的基频进行周期采样,每周取128点;b.采取周期延拓的方法。
研究的步骤如下:先对仿真信号进行周期延拓,然后采用欲研究的算法对该信号进行EMD分解,抛弃延拓部分的数据点,获得EMD分解后的本征模函数;再把各个本征模函数与图2所示的理想成分进行比较来获得分解误差,进而评价算法的精度。这样,可排除端点效应对分解误差的影响,同时,记录算法运行的时间进行算法速度的比较研究。算法的快速性研究采用每周采集点数的变化来实现数据量的变化,进而比较两种算法的分解速度。
4 算法效果
图3为非线性仿真信号基本EMD算法分解结果与误差曲线,从上到下依次为:分解后第1个信号分量;第1个分解的分量与理想分解分量比较后的误差;分解后第2个信号分量;第2个分解的分量与理想
似的结果。表1为两种算法的效果比较,可见,在同样的计算环境下,快速算法比基本算法计算时间明显减少。第1个分量的分解误差基本一样,第2个分量的分解误差减少,分解精度提高,这是由于在计算标准差时没有把有端点效应的数据点计算在内的原因。图4所示为每周采集点数与分解时间的关系。由图可见,基本算法和快速算法的分解时间随着数量的增多而增大,但是快速算法的分解时间的增大不如基本算法快。因此,随着数据量的增大,快速算法也是有效的,并且数据量越大,
效果越明显。
5 总 结
本文提出了基于有效数据的经验模态快速算法,论述了该算法的原理,采用非线性仿真信号,把基本经验模态分解算法和快速算法进行了比较研究。研究结果表明,基于有效数据的经验模态分解快速算法不但可以显著提高算法的速度,而且还可以提高算法的精度,具有明显的优点。
参 考 文 献
[1] HuangNE,ZhengShen,StevenRL,etal.Theem-piricalmodedecompositionandtheHilbertspectrumfornonlinearandnon-stationarytimeseriesanalysis[C]∥Proc.RoyalSociety.LondonA:[s.n.],1998:903-995.
[2] NASA.Betteralgorithmsforanalyzingnonlinear,non-07-10].http://tco.stationarydata[EB/OL].[2005-gsfc.nasa.gov.
[3] LohCH,WuTC,HuangNE.Applicationofthe
empiricalmodedecomposition-Hilbertspectrummethodtoidentifynear-faultground-motioncharac-
图3 非线性仿真信号基本EMD
算法分解图与误差曲线
teristicsandstructuralresponses[J].BulletinoftheSeismologicalSocietyofAmerica,2001(91):1339-1357.
[4] VasudevanK,CookFA.Empiricalmodeskeletoniza-tionofdeepcrustalseismicdata:theoryandapplica-tions[J].
JournalofGeophysicalResearch-Solid
Earth,2000(105):7845-7856.
[5] EcheverriaJC,CroweJA,WoolfsonMS,etal.Ap-plicationofempiricalmodedecompositiontoheartrate
variabilityanalysis[J].Medical&BiologicalEngineer-ing&Computing,2001(39):471-479.
[6] 胡劲松,杨世锡,吴昭同,等.基于经验模态分解的旋转
机械振动信号滤波技术研究[J].振动、测试与诊断,2003,23(2):96-98.[7] 胡劲松,杨世锡.基于EMD和HT的旋转机械振动信
图4 数据量与分解时间的比较号时频分析[J].振动、测试与诊断,2004,24(2):106-
110.
由此可见,采用基于有效数据的快速算法,不但能显著提高EMD的计算速度,而且还可以提高计
算精度。
表1 两种算法比较结果
算法
所耗第1个误差曲线第2个误差曲线时间/ms最大绝对误差最大绝对误差
0.00400.0041
0.14030.0283
第一作者简介:胡劲松 男,1971年2月生,副研究员。主要从事智能检测、信号处理与故障诊断技术研究。曾发表“基于模糊隶属函数的变压器色谱峰定性算法”(《电力系统自动化》2005年第29卷第18期)等论文。
E-mail:[email protected]
基本EMD算法0.9
快速EMD算法0.3
ResearchonSemi-ActiveTMDofBuildingStructureVibrationControl
ZhouXingde1 MingBaohua2
(1DepartmentofEngineeringMechanics,HehaiUniversity Nanjing,210098,China)(2PlanningConstructionOfficeNingnanNewZoneofNanjing Nanjing,210012,China)
Abstract Inordertoimprovetheunsteadyanti-seismiceffectandnarrowfrequencysuppressionbandofusingTMD(tunedmassdamper),ansemi-activetunedmassdampers(STMD)withacontrollabledamperisstudied.Firstly,thestepfunctionisadoptedasactuatingforcefunctionforacquiringaconvenientdamperchange.Secondly,thesemi-activevibrationcontrolplanwithconstraintsispresentedastheworkrangeofcontrollabledamperisconsidered.Thirdly,thegeneralizedpredictivecontrolplanisutilizedtofitforearthquake'srandomicity.ThenumericalexamplesshowthatusingSTMDcanreducethedesignval-uesofmass,stiffnessanddampertoabout30%,90%and90%.Respectively,andtheanti-seismiceffectofusingSTMDisbetterthanthatofusingTMD.
Keywords buildingstructures semi-activecontrol generalizedpredictivecontrol STMD
StudyonValid-Data-BasedEMDFastAlgorithm
12
HuJingsong YangShixi
(1DepartmentofElectronicandInformationTechnology,NingboUniversityofTechnology Ningbo,315010,China)
(2CollegeofMechanicalandEnergyEngineering,ZhejiangUniversity Hangzhou,310027,China)
Abstract ToreducethecalculationtimewhileusingtheEMDmethod,thispaperpresentedavalid-data-basedEMDfastalgorithm.Thecharacteristicofthealgorithmwasthat,theEMD'sstopconditionwaslimitedtothevaliddata.Anonlinearsimulationsignalwasintroducedtostudythealgorithm.AppliedthebasicEMDalgorithmandthevaliddata-based'stothesimulationsignalrespectively,theresultshowedthat,theprecisionofdecompositionwasimprovedandthecalculationtimewasreducedwhichusingthelatteralgorithm.Theconclusionwasobtainedthatthevaliddata-basedEMDfastalgorithmwasbetterthanthebasic's.Theresultofthestudycanbegenerallyusedintime-frequencyanalysisfield.Keywords validdata empiricalmodedecomposition(EMD) fastalgorithm time-frequencyanalysis
第26卷第2期 2006年6月
振动、测试与诊断
Vol.26No.2
Jun.2006
基于有效数据的经验模态分解快速算法研究
(宁波工程学院电信学院 宁波,315010) (浙江大学机能学院 杭州,310027)
胡劲松
杨世锡
摘要 在介绍了经验模态分解(简称EMD)方法的理论和算法基础上,为了提高EMD算法的速度,提出了基于有效数据的EMD快速算法,即通过EMD分解中止的计算区域限定于有效数据段来实现算法的提速。通过对非线性信号的实验研究表明,基于有效数据的EMD快速算法不但能显著提高算法的速度,而且还可以提高算法的精度。该研究成果能广泛地用于信号时频分析领域。
关键词 有效数据 经验模态分解 快速算法 时频分析中图分类号 TP206 TH113.1 TH165.3
引 言
对一列时间序列数据先进行EMD分解,然后对各个分量做希尔伯特变换(HilbertTransforma-tion)的信号处理方法,是由美国国家宇航局的Nor-[1]
denE.Huang于1998年首次提出的,被称为希尔伯特黄变换(Hilbert-HuangTransformation,简称HHT)。HHT被认为是宇航局在应用数学研究历史上最重要的发明,是200年来对以傅里叶变换为基
[2]
础的线性和稳态谱分析的一个重大突破。由于时间序列的信号经过EMD,分解成一组本征模函数(IntrinsicModeFunction,简称IMF),而不是像傅里叶变换把信号分解成正弦或余弦函数,因此,
稳态信号进行分析,又能对非线HHT既能对线性、
性、非稳态信号进行分析。HHT方法已用于地球物
理学、生物医学、旋转机械故障诊断等领域的研究[3-7],并取得了较好的效果。
EMD算法用到了耗时的三次样条插值,如何减少EMD分解的时间,提高算法的效率,研究EMD的快速算法,具有重要的意义。本文提出了基于有效数据的EMD快速算法,取得了较好的效果。
b.在任意点,由局部极大点构成的包络线和局部极小点构成的包络线的平均值为零。
这种方法本质是通过特征时间尺度获得本征振动模式,然后由本征振动模式来分解时间序列数据。下面是时间序列数据经验模态分解的一种基本算法:
(1)初始化:r0(t)=x(t),i=1;
(2)得到第i个IMF:a.初始化h0(t)=ri(t),j=1;b.找出hj-1(t)的局部极值点;c.对hj-1(t)的极大和极小值点分别进行插值,形成上下包络线;d.计算上下包络线的平均值mj-1(t);e.hj(t)=hj-1(t)-jj-12
≤0.3,则mj-1(t);f.如果∑hj(t)t=0
imfi(t)=hj(t);否则,j=j+1,转到(b);
(3)ri(t)=ri-1(t)-imfi(t);
(4)若ri(t)极值点数不少于2个,则i=i+1,转到2;否则,分解结束,ri(t)是残余分量。
算法最后可得
nT
x(t)=
∑imf(t)
i
i=1
+rn(t)(1)
即原始数据数列可表示为本征模函数分量和一个残余项的和。
1 EMD方法基本原理
经验模态分解方法能把非平稳、非线性信号分解成一组稳态和线性的数据序列集,即本征模函数。所谓本征模函数,必须满足2个条件:a.对于一列数据,极值点和过零点数目必须相等或至多相差一点;
2 EMD快速算法基本原理
一般对于短数据序列,为了消除EMD算法的端点效应,在做EMD分解之前要对欲分解的数据序列进行数据延拓,然后把延拓后的数据采用EMD算法进行分解。由EMD基本原理中的算法可见,跳出循环过程有两个中止条件:一个是当极值点数目
(编号:。::
120
振 动、测 试 与 诊 断第26卷
小于2时跳出整个循环过程;另一个是当标准差小于等于设定值时,跳出一次内部循环过程。
在通常的计算中,数据延拓后就用EMD算法直接进行分解,分解后再取中间一段和原数据序列数目相等的数据点,把延拓部分产生的数据抛弃。在判断循环过程的中止条件时,是以延拓后的整个数据段来判断的。这样,由于极值点较多和判断标准差SD的数据长度较长,就会使循环过程增多。因此,如果在有效的那段数据范围内进行极值点、标准差的计算与中止条件判断,便可提高EMD分解的速度。当然,对于长数据序列的分析,也可采用此方法,在有效的那段数据范围内进行极值点、标准差的计算与中止条件判断。
有效数据就是研究中感兴趣的那段数据,对于短数据序列,就是延拓后在中间的那段原始数据;对于长数据序列,可以把感兴趣的那段数据作为有效数据。若一个短数据序列为128点,左右各延拓64点,则有效数据为中间的128点,有效数据的起始位置为第65点,终止点位置为第192点。
在通常的EMD算法中,入口条件一般是要进行分解的一列数据,当采用本节基于有效数据的EMD算法时,入口条件改为要分解的数据序列,即有效数据起始点位置、有效数据终止点位置。这样,知道了有效数据段,就可根据有效数据段来计算极值点和标准差。
图1 非线性信号时域图和傅氏幅值谱
3 研究方法
拟采用一个调频调幅非线性仿真信号进行算法效果研究。其解析表达式为
x(t)=(1+0.2sin(2 7.5t))cos(2 30t+
0.5sin(2 15t))+sin(2 120t)(2)
信号由一基频为30Hz,调制频率为15Hz的调频调幅非线性信号和一频率为120Hz正弦信号叠加而成。对调频调幅部分的调频频率进行分析,得角频率 (t)
= (t)=dt
60 +15 cos(30 t)
图2 非线性信号理想分解图
(3)
由式(3)可得频率f(t)f(t)=2 =30+7.5cos(30 t)(4)
图1为该信号的时域波形和傅氏幅值谱;图2为该信号的理想分解图,上面一个为120Hz正弦信号,下面一个为调频调幅信号。
为了进行算法验证,需要减弱或消除端点效应
a.对仿真信号的基频进行周期采样,每周取128点;b.采取周期延拓的方法。
研究的步骤如下:先对仿真信号进行周期延拓,然后采用欲研究的算法对该信号进行EMD分解,抛弃延拓部分的数据点,获得EMD分解后的本征模函数;再把各个本征模函数与图2所示的理想成分进行比较来获得分解误差,进而评价算法的精度。这样,可排除端点效应对分解误差的影响,同时,记录算法运行的时间进行算法速度的比较研究。算法的快速性研究采用每周采集点数的变化来实现数据量的变化,进而比较两种算法的分解速度。
4 算法效果
图3为非线性仿真信号基本EMD算法分解结果与误差曲线,从上到下依次为:分解后第1个信号分量;第1个分解的分量与理想分解分量比较后的误差;分解后第2个信号分量;第2个分解的分量与理想
似的结果。表1为两种算法的效果比较,可见,在同样的计算环境下,快速算法比基本算法计算时间明显减少。第1个分量的分解误差基本一样,第2个分量的分解误差减少,分解精度提高,这是由于在计算标准差时没有把有端点效应的数据点计算在内的原因。图4所示为每周采集点数与分解时间的关系。由图可见,基本算法和快速算法的分解时间随着数量的增多而增大,但是快速算法的分解时间的增大不如基本算法快。因此,随着数据量的增大,快速算法也是有效的,并且数据量越大,
效果越明显。
5 总 结
本文提出了基于有效数据的经验模态快速算法,论述了该算法的原理,采用非线性仿真信号,把基本经验模态分解算法和快速算法进行了比较研究。研究结果表明,基于有效数据的经验模态分解快速算法不但可以显著提高算法的速度,而且还可以提高算法的精度,具有明显的优点。
参 考 文 献
[1] HuangNE,ZhengShen,StevenRL,etal.Theem-piricalmodedecompositionandtheHilbertspectrumfornonlinearandnon-stationarytimeseriesanalysis[C]∥Proc.RoyalSociety.LondonA:[s.n.],1998:903-995.
[2] NASA.Betteralgorithmsforanalyzingnonlinear,non-07-10].http://tco.stationarydata[EB/OL].[2005-gsfc.nasa.gov.
[3] LohCH,WuTC,HuangNE.Applicationofthe
empiricalmodedecomposition-Hilbertspectrummethodtoidentifynear-faultground-motioncharac-
图3 非线性仿真信号基本EMD
算法分解图与误差曲线
teristicsandstructuralresponses[J].BulletinoftheSeismologicalSocietyofAmerica,2001(91):1339-1357.
[4] VasudevanK,CookFA.Empiricalmodeskeletoniza-tionofdeepcrustalseismicdata:theoryandapplica-tions[J].
JournalofGeophysicalResearch-Solid
Earth,2000(105):7845-7856.
[5] EcheverriaJC,CroweJA,WoolfsonMS,etal.Ap-plicationofempiricalmodedecompositiontoheartrate
variabilityanalysis[J].Medical&BiologicalEngineer-ing&Computing,2001(39):471-479.
[6] 胡劲松,杨世锡,吴昭同,等.基于经验模态分解的旋转
机械振动信号滤波技术研究[J].振动、测试与诊断,2003,23(2):96-98.[7] 胡劲松,杨世锡.基于EMD和HT的旋转机械振动信
图4 数据量与分解时间的比较号时频分析[J].振动、测试与诊断,2004,24(2):106-
110.
由此可见,采用基于有效数据的快速算法,不但能显著提高EMD的计算速度,而且还可以提高计
算精度。
表1 两种算法比较结果
算法
所耗第1个误差曲线第2个误差曲线时间/ms最大绝对误差最大绝对误差
0.00400.0041
0.14030.0283
第一作者简介:胡劲松 男,1971年2月生,副研究员。主要从事智能检测、信号处理与故障诊断技术研究。曾发表“基于模糊隶属函数的变压器色谱峰定性算法”(《电力系统自动化》2005年第29卷第18期)等论文。
E-mail:[email protected]
基本EMD算法0.9
快速EMD算法0.3
ResearchonSemi-ActiveTMDofBuildingStructureVibrationControl
ZhouXingde1 MingBaohua2
(1DepartmentofEngineeringMechanics,HehaiUniversity Nanjing,210098,China)(2PlanningConstructionOfficeNingnanNewZoneofNanjing Nanjing,210012,China)
Abstract Inordertoimprovetheunsteadyanti-seismiceffectandnarrowfrequencysuppressionbandofusingTMD(tunedmassdamper),ansemi-activetunedmassdampers(STMD)withacontrollabledamperisstudied.Firstly,thestepfunctionisadoptedasactuatingforcefunctionforacquiringaconvenientdamperchange.Secondly,thesemi-activevibrationcontrolplanwithconstraintsispresentedastheworkrangeofcontrollabledamperisconsidered.Thirdly,thegeneralizedpredictivecontrolplanisutilizedtofitforearthquake'srandomicity.ThenumericalexamplesshowthatusingSTMDcanreducethedesignval-uesofmass,stiffnessanddampertoabout30%,90%and90%.Respectively,andtheanti-seismiceffectofusingSTMDisbetterthanthatofusingTMD.
Keywords buildingstructures semi-activecontrol generalizedpredictivecontrol STMD
StudyonValid-Data-BasedEMDFastAlgorithm
12
HuJingsong YangShixi
(1DepartmentofElectronicandInformationTechnology,NingboUniversityofTechnology Ningbo,315010,China)
(2CollegeofMechanicalandEnergyEngineering,ZhejiangUniversity Hangzhou,310027,China)
Abstract ToreducethecalculationtimewhileusingtheEMDmethod,thispaperpresentedavalid-data-basedEMDfastalgorithm.Thecharacteristicofthealgorithmwasthat,theEMD'sstopconditionwaslimitedtothevaliddata.Anonlinearsimulationsignalwasintroducedtostudythealgorithm.AppliedthebasicEMDalgorithmandthevaliddata-based'stothesimulationsignalrespectively,theresultshowedthat,theprecisionofdecompositionwasimprovedandthecalculationtimewasreducedwhichusingthelatteralgorithm.Theconclusionwasobtainedthatthevaliddata-basedEMDfastalgorithmwasbetterthanthebasic's.Theresultofthestudycanbegenerallyusedintime-frequencyanalysisfield.Keywords validdata empiricalmodedecomposition(EMD) fastalgorithm time-frequencyanalysis