第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定方法
如果函数
在
上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿
轴正向上升（下降）
) 由
的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理 (函数单调性的判定法) 设函数 (1)如果在 (2)如果在
内内
, 那么函数, 那么函数
在
在在
上连续, 在
上单调增加; 上单调减少.
(或
内可导.
证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在
上任取两点
, 应用拉格朗日中值定理, 得到
.
由于在上式中即
, 那么也有
, 因此, 如果在
, 于是
从而
，因此函数
例3-19 判定函数 解 因为在
内
在在
,
上单调增加. 在
上单调增加. 证毕 上的单调性. 内导数
保持正号,
所以由判定法可知函数
例3-20 讨论函数 解 由于令
,
得内
且函数,
因为在
, 所以函数
的单调性.
的定义域为
内
在
的单调性.
,
而函数的导数为
,
所以函数
上单调增加.
在
上单调减少;
又在
例3-21 讨论函数 解: 显然函数的定义域为
所以函数在又因为 因为
时,时,
处不可导.
, 所以函数在, 所以函数在
上单调减少; 上单调增加.
说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方
程
的根及导数不存在的点来划分函数
在每个部分区间上单调.
的单调区间. . ,令
, 得
.
的定义区间,
就能保证
在各个部分区间内保持固
定的符号, 因而函数 例3-22. 确定函数
解 该函数的定义域为而列表
函数f(x)在区间 例3-23讨论函数 解 函数的定义域为函数的导数为:
上单调减少;
因为当
内
时,
,
除和
上单调减少. 内单调增加, 在区间的单调性.
时,
外, 在其余各点处均有 因此函数在区间
, 所以函数在是单调增加的.其在
及上都是单调增加的. 从而在整个定义域
处曲线有一水平切线.
说明:一般地, 如果在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
例3-24 证明: 当时, .
证明: 令, 则
因为当
, 故
时
,,
因此
,
在上单调增加,
从而当时,
,
又由于
即, 也就是,().
二、函数的凹凸性与拐点
在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，
图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义3-6-1 设
在区间I上连续, 如果对I上任意两点
, 恒有
那么称
在I上的下凸函数; 如果恒有
那么称
在I上的上凸函数.
函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件
定理 设(1)若在(2)若在
在内内
上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 , 则, 则
在在
上是下凸的; 上是上凸的.
, 记
.
证明 只证(1)((2)的证明类似). 设
由拉格朗日中值公式, 得
,
,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
,
即
拐点: 连续曲线确定曲线(1)确定函数(2)求出在二阶导数
, 所以在上的图形是凹的.
上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点. 的凹凸区间和拐点的步骤: 的定义域;
;
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略.
例3-34 判断曲线解: 因为当当
时,
时,
,
的凸性.
. 令
得
,
, 所以曲线在, 所以曲线在
内为上凸的; 内为下凸的.
例3-35 求曲线解: (1)函数
的拐点及凸性区间. 的定义域为
;
(2)
(4)列表判断:
,;(3)解方程, 得,
;
在区间
拐点.
和上曲线是下凸的, 在区间上曲线是上凸的.
点 和是曲线的
例3-36 问曲线解
当
时,
,
是否有拐点？
.
, 在区间
的拐点.
;
内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点.
例3-37 求曲线解 (1)函数的定义域为
(2)
,
;
;
是曲线的拐点.
(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为(4)判断: 当
时,
; 当
时,
因此, 点
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
示意图
令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定方法
如果函数
在
上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿
轴正向上升（下降）
) 由
的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理 (函数单调性的判定法) 设函数 (1)如果在 (2)如果在
内内
, 那么函数, 那么函数
在
在在
上连续, 在
上单调增加; 上单调减少.
(或
内可导.
证明 只证(1)（（2）可类似证得） 在
上任取两点
, 应用拉格朗日中值定理, 得到
.
由于在上式中即
, 那么也有
, 因此, 如果在
, 于是
从而
，因此函数
例3-19 判定函数 解 因为在
内
在在
,
上单调增加. 在
上单调增加. 证毕 上的单调性. 内导数
保持正号,
所以由判定法可知函数
例3-20 讨论函数 解 由于令
,
得内
且函数,
因为在
, 所以函数
的单调性.
的定义域为
内
在
的单调性.
,
而函数的导数为
,
所以函数
上单调增加.
在
上单调减少;
又在
例3-21 讨论函数 解: 显然函数的定义域为
所以函数在又因为 因为
时,时,
处不可导.
, 所以函数在, 所以函数在
上单调减少; 上单调增加.
说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方
程
的根及导数不存在的点来划分函数
在每个部分区间上单调.
的单调区间. . ,令
, 得
.
的定义区间,
就能保证
在各个部分区间内保持固
定的符号, 因而函数 例3-22. 确定函数
解 该函数的定义域为而列表
函数f(x)在区间 例3-23讨论函数 解 函数的定义域为函数的导数为:
上单调减少;
因为当
内
时,
,
除和
上单调减少. 内单调增加, 在区间的单调性.
时,
外, 在其余各点处均有 因此函数在区间
, 所以函数在是单调增加的.其在
及上都是单调增加的. 从而在整个定义域
处曲线有一水平切线.
说明:一般地, 如果在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么
在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.
例3-24 证明: 当时, .
证明: 令, 则
因为当
, 故
时
,,
因此
,
在上单调增加,
从而当时,
,
又由于
即, 也就是,().
二、函数的凹凸性与拐点
在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示，
图形上任意弧段位于所张弦的下方 图形上任意弧段位于所张弦的上方
定义3-6-1 设
在区间I上连续, 如果对I上任意两点
, 恒有
那么称
在I上的下凸函数; 如果恒有
那么称
在I上的上凸函数.
函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件
定理 设(1)若在(2)若在
在内内
上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 那么 , 则, 则
在在
上是下凸的; 上是上凸的.
, 记
.
证明 只证(1)((2)的证明类似). 设
由拉格朗日中值公式, 得
,
,
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
,
即
拐点: 连续曲线确定曲线(1)确定函数(2)求出在二阶导数
, 所以在上的图形是凹的.
上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点. 的凹凸区间和拐点的步骤: 的定义域;
;
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;
(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略.
例3-34 判断曲线解: 因为当当
时,
时,
,
的凸性.
. 令
得
,
, 所以曲线在, 所以曲线在
内为上凸的; 内为下凸的.
例3-35 求曲线解: (1)函数
的拐点及凸性区间. 的定义域为
;
(2)
(4)列表判断:
,;(3)解方程, 得,
;
在区间
拐点.
和上曲线是下凸的, 在区间上曲线是上凸的.
点 和是曲线的
例3-36 问曲线解
当
时,
,
是否有拐点？
.
, 在区间
的拐点.
;
内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点.
例3-37 求曲线解 (1)函数的定义域为
(2)
,
;
;
是曲线的拐点.
(3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为(4)判断: 当
时,
; 当
时,
因此, 点
拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
示意图
令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0
上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。