2016考研数学：曲线凹凸性的几何意义分析
来源：文都教育
在考研数学中，导数的应用部分包含曲线的凹凸性，对于这一块知识，我们不仅要从概念上、方法上理解，而且还要运用数形结合的思想方法，从凹凸性的几何意义上进行理解，这样我们才能对凹凸性有一个全方位的、透彻的认识，在解决有关问题时才能得心应手、运用自如。下面文都网校的蔡老师就对曲线凹凸性的几何意义进行一些分析说明，供各位考研的学子参考。
一、曲线凹凸性的定义和几何意义
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
x +x 2f (x 1) +f (x 2)
) >则称图形为凹的（向上凹，凹弧），如下面左图所示；若f (1，则称22
凹凸定义：若f (x ) 在区间I 上连续，∀x 1, x 2∈I ，恒有f (为凸的，如下面右图所示。
几何意义：若y =f (x ) 为凹（凸）的，则：
1） 曲线y =f (x ) 上任两点的连线在曲线之上（下），即f (x ) ≤f (x 1) +k (x -x 1) （≥）； 2） 曲线y =f (x ) 在任一点处的切线位于该曲线的下（上）方，即； f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) （≤）
凹凸判别法：1）由图形判别；2）由二阶导数判别：若f ''(x ) >0（
二、典型例题
例. 设函数f (x )具有2阶导数，g (x )=f (0)(1-x )+f (1)x , 则在区间[0，1]上（ ）
'x ）≥0时，f (x )≥g (x ). (A)当f （
(C)当f ''(x ) ≥0时，f (x )≥g (x ).
'x ）≥0时，f (x )≤g (x ). (B)当f （
(D)当f ''(x ) ≥0时，f (x )≤g (x ).
2014年考研数学一（2）、数学二（3）、数学三（4） 解析：方法1：（利用函数的凹凸性）
g (x ) =f (0)(1-x ) +f (1)x ，当x =0时, g (0)=f (0),x =1时, g (1)=f (1)，因此，直
线y =g (x ) =f (0)(1-x ) +f (1)x 经过点(0,f (0)),(1,f (1))；
当f "(x ) ≥0时，f (x )是凹函数，而g (x )是连接0, f (0)与的直线段，（1, f (1)）如下图所示，从几何直观图形上可以看出，直线段AB 位于曲线y =f (x ) 的上方：
()
故f (x ) ≤g (x )（注：关于凹函数的判断，有些教材上说是f "(x ) >0，事实上，如果f "(x ) =0，则f (x ) =ax +b ，如果f ''(x ) ≥0，且只在有限个点f "(x ) =0，则f (x )也是凹函数）。
方法2：（利用函数的单调性）令h (x ) =g (x ) -f (x ) ，则h (0)=h (1)=0，
由罗尔定理知，∃ξ∈(0,1)，使h '(ξ) =0, 若f ''(x ) ≥0，则h ''(x ) ≤0, h '(x ) 单调递减， 当x ∈(0,ξ) 时，h '(x ) ≥h '(ξ) =0，h (x ) 单调不减，h (x ) ≥h (0)=0, 即g(x ) ≥f (x ) ；
当x ∈(ξ,1) 时，h '(x ) ≤h '(ξ) =0，h (x ) 单调递减，h (x ) ≥h (1)=0, 即g(x)≥f (x ) ；
'x ）≥0时，只能说明f (x ) 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，注：当f （
也可能是以凹的形式，若是前者，则f (x )≥g (x )，此时(A)
成立，如f (x ) =者，则f (x )≤g (x )，此时(B)成立，如f (x ) =x .
2
从上面的分析说明中我们看到，曲线凹凸性的几何意义主要是从两个方面去考虑，一个是从曲线上的弦（两点连线）这个角度去考虑，另一个是从曲线的切线这个角度去考虑，在解决有关问题时需要根据具体情况去进行观察和分析，另外可能还需要结合凹凸性的有关代数性质进行分析。最后预祝各位学子在2016考研中取得成功。
2016考研数学：曲线凹凸性的几何意义分析
来源：文都教育
在考研数学中，导数的应用部分包含曲线的凹凸性，对于这一块知识，我们不仅要从概念上、方法上理解，而且还要运用数形结合的思想方法，从凹凸性的几何意义上进行理解，这样我们才能对凹凸性有一个全方位的、透彻的认识，在解决有关问题时才能得心应手、运用自如。下面文都网校的蔡老师就对曲线凹凸性的几何意义进行一些分析说明，供各位考研的学子参考。
一、曲线凹凸性的定义和几何意义
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2)
)
x +x 2f (x 1) +f (x 2)
) >则称图形为凹的（向上凹，凹弧），如下面左图所示；若f (1，则称22
凹凸定义：若f (x ) 在区间I 上连续，∀x 1, x 2∈I ，恒有f (为凸的，如下面右图所示。
几何意义：若y =f (x ) 为凹（凸）的，则：
1） 曲线y =f (x ) 上任两点的连线在曲线之上（下），即f (x ) ≤f (x 1) +k (x -x 1) （≥）； 2） 曲线y =f (x ) 在任一点处的切线位于该曲线的下（上）方，即； f (x ) ≥f (x 0) +f '(x 0)(x -x 0) （≤）
凹凸判别法：1）由图形判别；2）由二阶导数判别：若f ''(x ) >0（
二、典型例题
例. 设函数f (x )具有2阶导数，g (x )=f (0)(1-x )+f (1)x , 则在区间[0，1]上（ ）
'x ）≥0时，f (x )≥g (x ). (A)当f （
(C)当f ''(x ) ≥0时，f (x )≥g (x ).
'x ）≥0时，f (x )≤g (x ). (B)当f （
(D)当f ''(x ) ≥0时，f (x )≤g (x ).
2014年考研数学一（2）、数学二（3）、数学三（4） 解析：方法1：（利用函数的凹凸性）
g (x ) =f (0)(1-x ) +f (1)x ，当x =0时, g (0)=f (0),x =1时, g (1)=f (1)，因此，直
线y =g (x ) =f (0)(1-x ) +f (1)x 经过点(0,f (0)),(1,f (1))；
当f "(x ) ≥0时，f (x )是凹函数，而g (x )是连接0, f (0)与的直线段，（1, f (1)）如下图所示，从几何直观图形上可以看出，直线段AB 位于曲线y =f (x ) 的上方：
()
故f (x ) ≤g (x )（注：关于凹函数的判断，有些教材上说是f "(x ) >0，事实上，如果f "(x ) =0，则f (x ) =ax +b ，如果f ''(x ) ≥0，且只在有限个点f "(x ) =0，则f (x )也是凹函数）。
方法2：（利用函数的单调性）令h (x ) =g (x ) -f (x ) ，则h (0)=h (1)=0，
由罗尔定理知，∃ξ∈(0,1)，使h '(ξ) =0, 若f ''(x ) ≥0，则h ''(x ) ≤0, h '(x ) 单调递减， 当x ∈(0,ξ) 时，h '(x ) ≥h '(ξ) =0，h (x ) 单调不减，h (x ) ≥h (0)=0, 即g(x ) ≥f (x ) ；
当x ∈(ξ,1) 时，h '(x ) ≤h '(ξ) =0，h (x ) 单调递减，h (x ) ≥h (1)=0, 即g(x)≥f (x ) ；
'x ）≥0时，只能说明f (x ) 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，注：当f （
也可能是以凹的形式，若是前者，则f (x )≥g (x )，此时(A)
成立，如f (x ) =者，则f (x )≤g (x )，此时(B)成立，如f (x ) =x .
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从上面的分析说明中我们看到，曲线凹凸性的几何意义主要是从两个方面去考虑，一个是从曲线上的弦（两点连线）这个角度去考虑，另一个是从曲线的切线这个角度去考虑，在解决有关问题时需要根据具体情况去进行观察和分析，另外可能还需要结合凹凸性的有关代数性质进行分析。最后预祝各位学子在2016考研中取得成功。