2015年皖北协作区联考数学理(含答案)

2015年皖北协作区高三数学（理）

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. “ab0且ab0” 是“a和b均为负数”的（ ） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 复数z=

3i

(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为（ ） 1i

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知2,a1,a2,8成等差数列，2,b1,b2,b3,8成等比数列，则（ ）

1111A． B. C. D.

4222

y2

1的一条渐近线的距离为（ ） 4. 抛物线y8x的焦点到双曲线x3

2

2

a2a1

等于 b2

A．1 B. 2

C.

D. 5.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2， 则输出P的值为（ ）

A．2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若f(x)是奇函数，且在0，＋内是减函数，

又有f(2)0，则xf(x)0的解集是 ( )

2) A．,2 ∪2，＋ B. (2,0) (0，

C. (2,0)

2) 2，＋ D. ,2 (0，

x3

7. 函数yx的图像大致是（ ）

21

8. 在极坐标系中，点（2， A．



）到圆2cos

的圆心的距离为（ ） 3

x1

9.已知x,y满足约束条件xy3，若z2xy的最小值为1,则a=( )

ayx3

1

B. C.1 D.2

2



10. 已知a,b是单位向量，a,b，.若向量c满足ca2b

2,则c的最大值

3

A.4

为（ ）

A

2 B.2

2 2

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置.

11. 函数f(x)的值域为________．

12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的值是________．

13.从一架钢琴挑出的十个音键中，

分别选择3个、4个、5个、...、10个键 同时按下，可发出和弦，若有一个音键 不同则发出不同的和弦，则这样的 不同的和弦数为________．（用数字作答）

14.已知集合A{(x,y)x2y4}，

左视图

俯视图

4

集合B{(x,y)(xm)2y2，若BA，则实数 m 的取值范围是________．

5

15.

已知函数f(x)sinxx

则下列命题正确的是__________ (写出所有正确命题的编号) ①f(x)的最大值为2.； ②f(x)的图像关于点(



6

,0)对称；

2

)的图像关于x轴对称； 3

③f(x)的图像与h(x)sin(x

④若实数m使得方程f(x)m在[0,2]上恰好有三个实数解x1,x2,x3， 则x1x2x3

7； 3

⑤设函数g(x)f(x)2x，若g(1)g()g(1)2，则



3

。

三. 解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16．（本小题满分12分）

，C的对边分别为a，b，c.已知b(cosA3coCs＝)在ABC中，内角A，B

(3ca)cosB.

(1)求

sinA

的值； sinC

1

(2)若cosB＝，ABC的周长为14，求b的长．

6

17．（本小题满分12分）

央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜；第一轮3题答对2题可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题可获得大物件（家具），价值5400元。﹙第一轮的答题结果与第二轮答题无关﹚ 某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的

3

知识答题赢取大奖送给父母。若吴乾同学第一轮3题每题答对的概率均为 ，

4

2

第二轮3题每题答对的概率均为 。

3

（1）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；

（2）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元），求X的分布列和数学期望；

18. （本小题满分12分）

1

已知函数f(x)mlnxx2(m1)xln2e2,其中m为常数.

2

（1）当m1时，求函数f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程； （2）讨论函数f(x)的单调性.

19. （本小题满分13分）

3x2y2

已知F1,F2为椭圆E: 221（ab0）的左、右焦点，点P(1,)在椭圆E

2ab

上，且PF1PF24. （1）求椭圆E的方程；

（2）过F1的直线l1,l2，分别交椭圆E于A、C和B、D，且l1l2；问是否存在常数使得

20. （本小题满分13分）

如图，已知四边形AAC11C互相垂11C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AAC

直，且ACC1BAA160, AA12。 （1）求证：AA1BC1;

（2）求四面体ACC1B1的体积； （3）求二面角CAB C1的正弦值。

11

成等差数列？若存在求出的值；若不存在说明理由. ,,

ACBD

21. （本小题满分13分）

已知数列an满足：a11，an1sin2θansin2θcos2nθ.



（1）当θ=时，求an的通项公式；

4

（2）在（1）的条件下，若数列bn满足bnsin

和， 求证：对任意nN*，Sn3

an

2

，Sn是数列bn的前n项的

5. 8

答案

一、选择题

1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 二、填空题

11、0,1 12

13、968 14、2,2三、解答题

16．解：

(1)由正弦定理，设asin A＝bsin Bc

sin C＝k，

所以

cosA3cosC3sinCcosBsinA

sinB

.

即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π， 所以sin C＝3sin A，因此

sinA1

sinC＝3

. (2)由

sinAsinC＝1

3

得c＝3a. 由余弦定理及cos B＝

16

得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－6a2×

1

6

＝9a2. 所以b＝3a.又a＋b＋c＝14.从而a＝2，因此b＝6.

17．解：

（1）p=3331444414339944=163227

32 ------------- 4

9、D 10、A

15、①③④⑤

分

（2）赢取大物件的概率:

22211224820

 ------------- 6分 p==

333333392727

X的分布列为：

10分

或

10分

E(X)0

[1**********]160054007000 ------------------11分 [1**********]4

=350+625+4375=5350（元） ----------------------12分

另注：若第一轮答题获得的物品价值记为Y1（单位：元）若第二轮答题获得的物品价值记为

Y2（单位：元） 则：X= Y1 +Y2

E(X)E(Y1)E(Y2)1600

2720

5400=1350+4000=5350（元） 3227

18．解 ：

（1）当m1时

11

f(x)lnxx2ln2e2,f(x)x

x2

f(2)4,f(2)

3

2

切线方程为：y4

3

(x2) 2

即 3x2y20 --------------------------------5分

（2）由已知可得 f(x)

m

，x(m1)(x0) ------------------6分

x

x2(m1x)mx(x1)m()

即 f(x) ----------------7分 

xx

①当m1时，

函数f(x)的递增区间为：（0，1） ，（ m，＋∞） ，递减区间为：（1，m）.

②当m1时，

函数f(x)的递增区间为：（ 0，＋∞） . ③当0m1时，

函数f(x)的递增区间为：（0，m） ，（1，＋∞） ，递减区间为：（m，1）. ④当m0时，

函数f(x)的递增区间为：（1，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分

19．解 ：

（1） 因为PF1PF24，所以2a=4，a=2

3x2y2

21,将P(1,)代入可得b23 所以E:

24b

x2y21 所以椭圆E的方程为43

（2）

①当AC的斜率k=0或斜率不存在时，

11117

= 

3412ACBD

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），

x2y2

1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120． 代入椭圆方程438k24k212

,x1x2设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2 22

34k3

4kAC1x2

12(1k2)



34k2

因为直线BD的斜率为，

1

12(1()2)

12(1k2)所以BD 2

243k34()k

1134k243k27= 22

ACBD12(1k)12(1k)12

综上，2

1177

,

ACBD1224

20．解 ：

（1）设AA1的中点为O，连接OB, OA1，

因为四边形AAC11C和AA160， 1B1B都是菱形, 且ACC1BAA

所以三角形AA1B和三角形AAC11都是等边三角形， 所以OBOC1 又OB

OC1O,所以AA1平面OBC1

所以AA1BC1

（2）因为三角形CC1B1和CC1B面积相等， 所以VACC1B1VACC1B

1

VACC1BVBCC1ASACC1OB1

3

所以四面体ACC1B1的体积为1.

（3）由（1）知AA1OB，又因为平面AA11C互相垂直， 1B1B和平面AAC

所以OB平面AAC11C,

所以OA三条直线两两垂直， ，OB，1,OC1

以O为坐标原点，分别以OA，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，

1,OC1

A(10，，，0)B(00，C(2

, C1(0

AB(10AC(AC1

设平面ABC,ABC1的法向量m,n的坐标分别为，

（a,b,c）,（a1,b1,c1）

由mAB,m

AC可得a

0,a0 所以可取

m,1)，同理可取n1,1)

cosm,n

3 5

4。 5

所以二面角CAB C1的正弦值为

21．解：（1）当=

11

时，an1ann,2nan12n1an1, 422

n2n1

所以2n1an是以1为首项、1为公差的等差数列，2n1ann,从而an（2）bnsin

n3,bb1,bsin1, 123n28

.

所以当n1,2,3时，Sn3当n4时，因为bnsin

5

成立； 8

nnn, n22

456n

Sn3(456n),

2222456n1456n

令T456n,T567n1,

222222222

14111n115

两式相减得T456nn14,

2222224216

55T,所以Sn3.

88综上所述，对任意

2015年皖北协作区高三数学（理）

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. “ab0且ab0” 是“a和b均为负数”的（ ） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 复数z=

3i

(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为（ ） 1i

A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知2,a1,a2,8成等差数列，2,b1,b2,b3,8成等比数列，则（ ）

1111A． B. C. D.

4222

y2

1的一条渐近线的距离为（ ） 4. 抛物线y8x的焦点到双曲线x3

2

2

a2a1

等于 b2

A．1 B. 2

C.

D. 5.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2， 则输出P的值为（ ）

A．2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若f(x)是奇函数，且在0，＋内是减函数，

又有f(2)0，则xf(x)0的解集是 ( )

2) A．,2 ∪2，＋ B. (2,0) (0，

C. (2,0)

2) 2，＋ D. ,2 (0，

x3

7. 函数yx的图像大致是（ ）

21

8. 在极坐标系中，点（2， A．



）到圆2cos

的圆心的距离为（ ） 3

x1

9.已知x,y满足约束条件xy3，若z2xy的最小值为1,则a=( )

ayx3

1

B. C.1 D.2

2



10. 已知a,b是单位向量，a,b，.若向量c满足ca2b

2,则c的最大值

3

A.4

为（ ）

A

2 B.2

2 2

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置.

11. 函数f(x)的值域为________．

12.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的值是________．

13.从一架钢琴挑出的十个音键中，

分别选择3个、4个、5个、...、10个键 同时按下，可发出和弦，若有一个音键 不同则发出不同的和弦，则这样的 不同的和弦数为________．（用数字作答）

14.已知集合A{(x,y)x2y4}，

左视图

俯视图

4

集合B{(x,y)(xm)2y2，若BA，则实数 m 的取值范围是________．

5

15.

已知函数f(x)sinxx

则下列命题正确的是__________ (写出所有正确命题的编号) ①f(x)的最大值为2.； ②f(x)的图像关于点(



6

,0)对称；

2

)的图像关于x轴对称； 3

③f(x)的图像与h(x)sin(x

④若实数m使得方程f(x)m在[0,2]上恰好有三个实数解x1,x2,x3， 则x1x2x3

7； 3

⑤设函数g(x)f(x)2x，若g(1)g()g(1)2，则



3

。

三. 解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16．（本小题满分12分）

，C的对边分别为a，b，c.已知b(cosA3coCs＝)在ABC中，内角A，B

(3ca)cosB.

(1)求

sinA

的值； sinC

1

(2)若cosB＝，ABC的周长为14，求b的长．

6

17．（本小题满分12分）

央视财经频道《升级到家》栏目答题有奖，游戏规则：每个家庭两轮游戏，均为三局两胜；第一轮3题答对2题可获得小物件（家电），价值1600元；第二轮3题答对2题可获得大物件（家具），价值5400元。﹙第一轮的答题结果与第二轮答题无关﹚ 某高校大二学生吴乾是位孝顺的孩子，决定报名参赛，用自己的

3

知识答题赢取大奖送给父母。若吴乾同学第一轮3题每题答对的概率均为 ，

4

2

第二轮3题每题答对的概率均为 。

3

（1）求吴乾同学能为父母赢取小物件（家电）的概率；

（2）若吴乾同学答题获得的物品价值记为X（元），求X的分布列和数学期望；

18. （本小题满分12分）

1

已知函数f(x)mlnxx2(m1)xln2e2,其中m为常数.

2

（1）当m1时，求函数f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程； （2）讨论函数f(x)的单调性.

19. （本小题满分13分）

3x2y2

已知F1,F2为椭圆E: 221（ab0）的左、右焦点，点P(1,)在椭圆E

2ab

上，且PF1PF24. （1）求椭圆E的方程；

（2）过F1的直线l1,l2，分别交椭圆E于A、C和B、D，且l1l2；问是否存在常数使得

20. （本小题满分13分）

如图，已知四边形AAC11C互相垂11C和AA1B1B都是菱形，平面AA1B1B和平面AAC

直，且ACC1BAA160, AA12。 （1）求证：AA1BC1;

（2）求四面体ACC1B1的体积； （3）求二面角CAB C1的正弦值。

11

成等差数列？若存在求出的值；若不存在说明理由. ,,

ACBD

21. （本小题满分13分）

已知数列an满足：a11，an1sin2θansin2θcos2nθ.



（1）当θ=时，求an的通项公式；

4

（2）在（1）的条件下，若数列bn满足bnsin

和， 求证：对任意nN*，Sn3

an

2

，Sn是数列bn的前n项的

5. 8

答案

一、选择题

1、C 2、D 3、B 4、C 5、C 6、A 7、C 8、D 二、填空题

11、0,1 12

13、968 14、2,2三、解答题

16．解：

(1)由正弦定理，设asin A＝bsin Bc

sin C＝k，

所以

cosA3cosC3sinCcosBsinA

sinB

.

即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π， 所以sin C＝3sin A，因此

sinA1

sinC＝3

. (2)由

sinAsinC＝1

3

得c＝3a. 由余弦定理及cos B＝

16

得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－6a2×

1

6

＝9a2. 所以b＝3a.又a＋b＋c＝14.从而a＝2，因此b＝6.

17．解：

（1）p=3331444414339944=163227

32 ------------- 4

9、D 10、A

15、①③④⑤

分

（2）赢取大物件的概率:

22211224820

 ------------- 6分 p==

333333392727

X的分布列为：

10分

或

10分

E(X)0

[1**********]160054007000 ------------------11分 [1**********]4

=350+625+4375=5350（元） ----------------------12分

另注：若第一轮答题获得的物品价值记为Y1（单位：元）若第二轮答题获得的物品价值记为

Y2（单位：元） 则：X= Y1 +Y2

E(X)E(Y1)E(Y2)1600

2720

5400=1350+4000=5350（元） 3227

18．解 ：

（1）当m1时

11

f(x)lnxx2ln2e2,f(x)x

x2

f(2)4,f(2)

3

2

切线方程为：y4

3

(x2) 2

即 3x2y20 --------------------------------5分

（2）由已知可得 f(x)

m

，x(m1)(x0) ------------------6分

x

x2(m1x)mx(x1)m()

即 f(x) ----------------7分 

xx

①当m1时，

函数f(x)的递增区间为：（0，1） ，（ m，＋∞） ，递减区间为：（1，m）.

②当m1时，

函数f(x)的递增区间为：（ 0，＋∞） . ③当0m1时，

函数f(x)的递增区间为：（0，m） ，（1，＋∞） ，递减区间为：（m，1）. ④当m0时，

函数f(x)的递增区间为：（1，＋∞）， 递减区间为：（0，1）. ---------12分

19．解 ：

（1） 因为PF1PF24，所以2a=4，a=2

3x2y2

21,将P(1,)代入可得b23 所以E:

24b

x2y21 所以椭圆E的方程为43

（2）

①当AC的斜率k=0或斜率不存在时，

11117

= 

3412ACBD

②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k（x+1），

x2y2

1，并化简得(34k2)x28k2x4k2120． 代入椭圆方程438k24k212

,x1x2设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1x2 22

34k3

4kAC1x2

12(1k2)



34k2

因为直线BD的斜率为，

1

12(1()2)

12(1k2)所以BD 2

243k34()k

1134k243k27= 22

ACBD12(1k)12(1k)12

综上，2

1177

,

ACBD1224

20．解 ：

（1）设AA1的中点为O，连接OB, OA1，

因为四边形AAC11C和AA160， 1B1B都是菱形, 且ACC1BAA

所以三角形AA1B和三角形AAC11都是等边三角形， 所以OBOC1 又OB

OC1O,所以AA1平面OBC1

所以AA1BC1

（2）因为三角形CC1B1和CC1B面积相等， 所以VACC1B1VACC1B

1

VACC1BVBCC1ASACC1OB1

3

所以四面体ACC1B1的体积为1.

（3）由（1）知AA1OB，又因为平面AA11C互相垂直， 1B1B和平面AAC

所以OB平面AAC11C,

所以OA三条直线两两垂直， ，OB，1,OC1

以O为坐标原点，分别以OA，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，

1,OC1

A(10，，，0)B(00，C(2

, C1(0

AB(10AC(AC1

设平面ABC,ABC1的法向量m,n的坐标分别为，

（a,b,c）,（a1,b1,c1）

由mAB,m

AC可得a

0,a0 所以可取

m,1)，同理可取n1,1)

cosm,n

3 5

4。 5

所以二面角CAB C1的正弦值为

21．解：（1）当=

11

时，an1ann,2nan12n1an1, 422

n2n1

所以2n1an是以1为首项、1为公差的等差数列，2n1ann,从而an（2）bnsin

n3,bb1,bsin1, 123n28

.

所以当n1,2,3时，Sn3当n4时，因为bnsin

5

成立； 8

nnn, n22

456n

Sn3(456n),

2222456n1456n

令T456n,T567n1,

222222222

14111n115

两式相减得T456nn14,

2222224216

55T,所以Sn3.

88综上所述，对任意