平抛物体的运动

学科：物理

教学内容：平抛物体的运动

【学习目标】

识记

1．知道平抛运动的特点是初速度方向为水平，只在竖直方向受重力作用，运动轨迹是抛物线．

理解应用

2．理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g．

3．理解平抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，并且这两个运动互不影响．

4．会用平抛运动的规律解答有关问题．

【基础知识精讲】 课文全解

1．平抛运动的特点

①受力特点：F合＝mg，方向竖直向下 ②运动特点：

平抛物体的速度方向与受力方向不在一条直线上，故平抛运动是曲线运动．又因为物体受恒力作用，加速度不变，故平抛运动是匀变速运动．

平抛物体的运动是曲线运动的一个特例，其运动特点是具有水平方向初速度和竖直向下的加速度g（只受重力、忽略空气阻力），由运动的合成与分解知识可知，平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．因此，平抛运动问题都可以通过水平方向的分运动和竖直方向的分运动具有等时性的特点进行研究．

2．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v0方向为x正方向，竖直向下为y正方向，如图5－3－1所示．则有：

图5－3－1

分速度vx＝v0，vy＝gt

合速度v＝v0gt，tanθ＝

2

2

2

gtv0

分位移x＝v0·t，y＝合位移s＝

xy

2

2

12

gt2

注意：合位移方向与合速度方向不一致．

轨迹：设物体平抛至某点（x，y），如图5－3－2所示，则轨迹方程为：

图5－3－2

x＝v0t，y＝

12

gt2

消去参数t，得

y＝

g2v0

2

x2．（抛物线）

3．平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx＝v0，竖直方向加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图5－3－3所示，这一矢量关系有两个特点：（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0；（2）任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝g·Δt

图5－3－3

 问题全解

平抛运动的飞行时间和水平距离由哪些因素决定？

由于分运动和合运动具有等时性，平抛运动的飞行时间只受下降的距离y的限制，即飞行时间只由竖直分运动决定，与水平分运动无关，只要做平抛运动的物体下降的距离相同，无论水平初速度和质量如何，其飞行时间均相同，且为

t＝

2yg

但飞行的水平距离x则由平抛初速度v0和下降的距离y共同决定，为：

x＝v0t＝v0

2yg

［例1］一架飞机水平匀速地飞行．从飞机上每隔1 s释放一铁球，先后共释放4个．若不计空气阻力，则4个球

A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的

B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的

C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 解析：飞机和铁球的水平运动相同（相对地面）．选取飞机为参照物，每个铁球都做自由落体运动，都从飞机上释放，可以判断出4个铁球总在飞机正下方排成竖直的直线，每隔1 s释放1个铁球，故铁球落地点是等间距的．C正确． 点评：如果飞机斜向上匀速飞行，每隔1 s释放1个铁球，则以飞机为参照物，在空中铁球仍在飞机正下方排成竖直的直线．但由于飞机释放铁球的高度不同，铁球落地点是不等间距的．

［例2］如图5－3－4所示，一个小物体由斜面上A点以初速v0水平抛出，然后落到斜面上B点，已知斜面的倾角为θ，空气阻力可忽略，求物体在运动过程中离斜面的最远距离s．

图5－3－4

解析：物体水平抛出，其运动可有多种分解途径，下面我们用两种方法分解． 方法一：

小球的运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，如图5－3－5所示．当物体速度与斜面平行时物体距斜面最远．设此过程所经时间t，两方向位移分别是：

图5－3－5

x＝v0t y＝

12

① ② ③ ④

gt2

竖直向下速度：vy＝gt 此时由图可知：vy＝v0tanθ 根据几何关系（如图5—3—5所示）：

(x－y/tanθ)sinθ＝s 由①②③④⑤得：

⑤

s＝

v0sin2gcos

22

方法二：将小球的运动分解成垂直于斜面方向的运动与沿斜面向下的运动；将重力沿这两方向分解，则物体垂直斜面向上做匀减速直线运动，其初速度vy0＝v0sinθ，其加速度ay＝gcosθ．如图5－3－6所示，当垂直斜面方向速度vyt＝0时，s最大．由匀变速直线运动公式，得：

图5－3－6

vy0

2

2

2

2

s＝

2ay



(v0sin)2gcos



v0sin2gcos

［例3］一小球以初速度v0水平抛出，落地速度为vt，阻力不计．求：

①在空中飞行时间； ②抛出点离地面的高度； ③水平射程； ④小球的位移． 解析：

①由做平抛运动的物体在t s末的合速度为：

2

vt＝vxvy＝v0(gt)

2

2

2

可得t＝

1g

vtv0

22

②由竖直方向做自由落体运动，可得：

sy＝

12

gt＝

2

vtv0

2g

22

③水平射程：

sx＝v0t＝

v0g

vtv0

22

④位移：

s＝sx2sy2(v0t)2(gt2)2

2

112g

2v0vt

22

3v0vt

44

与水平夹角：

tanφ＝

sysx

＝ vtv0/2v0

22

φ＝arctan(

vt

2

v0

2

/2v0)

［例4］如图5－3－7所示，由倾角为θ的斜面顶端水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点斜边长L，求抛出的初速度．

图5－3－7

解析：钢球做平抛运动，初速度和时间决定水平位移Lcosθ＝v0t；飞行时间由下落高度决定，Lsinθ＝

12

gt2，可见我们可先求时间再求初速度．

钢球做平抛运动，下落高度：

Lsinθ＝

12

gt2

飞行时间

t＝

2Lsing

水平飞行距离：

Lcosθ＝v0t

初速度：

Lcost

Lcos2Lsing

gL2sin

v0＝·cosθ

点评：本题把钢球的运动分解为水平和竖直两个分运动，求解简明．若沿其他直角坐标分解就麻烦多了．

［例5］如图5－3－8所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，小球有两种释放方式：第一种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑；第二种方式是在A点以速度v0水平抛出，并落在B点．求：

图5－3－8

（1）AB的长度．

（2）两种方式到达B点：下滑的运动时间为t1，平抛的运动时间为t2，t1∶t2等于多少？

解析：把位移AB向水平方向和竖直方向正交分解，设水平分位移为s，竖直分位移为h，则

hs

＝cotα

（1）平抛运动，水平方向：s＝v0t2 竖直方向h＝

1gt2

2

12

gt22

hs

＝cotα

2v0cot

g

2v0t2

＝cotα 所以t2＝

s

s＝

2v0cot

g

2

AB＝

sin

＝

2v0cosgsin

12

2

2

（2）自由下滑，AB＝at12

mgcosα＝ma a＝gcosα

2v0cosgsin

22

＝

22

12

gcosα·t12

t12＝

4v0gsin

2



t1＝

2v0gsin

t1∶t2＝

2v0gsin

∶

2v0cosgsin

＝1∶cosα

【学习方法指导】 运动叠加法

运动独立性原理又叫运动叠加原理．原理指出：一个运动可以看成是由几个同时进行的各自独立的运动的叠加．这是研究曲线运动的基本方法．中学物理课本中虽然没有明确给出运动独立性原理的文字表述，但教材内容和习题却体现了该原理的思想．我们在研究渡船过河时，把渡船的运动看成是船在静水中的运动和河水的运动的叠加．研究平抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．研究斜上抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动．带电粒子在电场中的偏转也用到运动独立性原理．在物理解题中也常常用到运动独立性原理这一研究运动合成和分解的重要方法．

应用运动独立性原理分析问题，应注意到：（1）各个分运动应是彼此独立的、互不影响的；（2）分运动和合运动具有同时性，各个分运动和合运动是同时进行的．

【知识拓展】

平抛运动的两个重要推论

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ．

证明：如图5－3－9所示，由平抛运动规律得：

图5－3－9

tanθ＝

vv0

yx



gtv0

，

tanφ＝

1gt

2

2v0t



gt2v0

所以tanθ＝2 tanφ．

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5－3－10中A点和B点所示．

图5－3－10

证明：设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)，则x＝v0t

12

y＝gt2 v⊥＝gt，

vv0

x2

又tanθ＝

yxx

，

解得x′＝．

即末状态A点的速度方向反向延长线与x轴的交点B必为A点水平位移的中点．

【同步达纲训练】

1．飞机在h高处以水平速度v0飞行并向地面轰炸，求瞄准角（瞄准器到目标的视线与铅直方向的夹角）多大时就应投弹？

2．柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程可以看作平抛运动，记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片，如图5－3－11所示，相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则

图5－3－11

A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度 B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度

C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾到达的最大高度 D．根据实验测得的，数据从右边一幅照片可推算出汽车水平分速度的大小

3．如图5－3－12所示，高为h的车厢在平直的轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点正下方，则油滴滴落地点必在O点的__________方，离O点的距离为_________．

图5－3－12

4．如图5－3－13所示，斜面AB的倾角为30°，小球从A点以初速v0水平抛出，恰好落在B点，求：

图5－3－13

（1）AB间距离和小球在空中运动的时间；

（2）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？

5．一网球运动员在离开网的距离为12 m处沿水平方向发球，发球高度为2.4 m，网的高度为0.9 m．

（1）若网球在网上0.1 m处越过，求网球的初速度．

（2）若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离． （取g＝10 m/s，不考虑空气阻力）

2

参考答案

1．解：建立如图所示坐标，炸弹离开飞机后做平抛运动，要刚好落到目标点，位移s与竖直方向的夹角φ就是瞄准角．即有：

x＝v0·t h＝

12

gt2

xh

tanφ＝

v0gh

解之得：tanφ＝

2gh

φ＝arctan

v0gh

2gh

2．A

提示：对于左边一幅照片，水平方向汽车做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，在竖直方向利用：Δs＝

12

gt2，水平方向x＝v0t，将Δs、x与车的长度做比较，可求出v0t，

左边一幅照片无法求出最大高度，因为不知道最下边的车离地的距离．中间一副照片不能确定第三次曝光时是否汽车刚刚落地，因此无法计算，C错．右边一副照片数据不足，也无法计算，D错．

3．解：站在地面的人看油滴做平抛运动．油滴开始下落时，设车速为v0，油滴下落高度为h，油滴对地面的水平位移为s1，则有：

h＝

12

gt2，s1＝v0t＝v0

2hg

地面上的观察者看车厢做匀减速运动，设在油滴下落过程中车对地的位移为s2，则有：

s2＝v0t－

12

at2＝v0

2hg

－

12

a·

2hg

＝v0

2hg

－

ahg

油滴相对车厢的水平位移为： Δs＝s1－s2＝

ahg

>0

Δs>0即表示油滴向右的水平位移大于车厢向右的水平位移，所以油滴落在O点的右方，并且只要加速度a一定，车厢高度h一定，油滴相对车厢的水平位移Δs就是一个定值，而与车速大小无关，因此当车做匀减速运动时，不论油滴何时下落，油滴始终落在车厢地板上的同一位置，落点至O点的距离为

ahg

．我们还可得到：当车做匀速直线运动时，a＝0，Δ

s＝0，油滴落在O点；当车身加速向右运动时：Δs＝－

为车厢向右的位移大于油滴向右的水平位移．

ahg

4．解：当小球运动速度与斜面平行时，小球离斜面最远． （1）设小球在空中运动时间为t，则x＝v0t，y＝当球落到B点时，y＝xtan30°， 即

12

12

gt2．

gt2＝v0t×

13

．

所以t＝

23v03g12

．

y＝

12

gt＝

2

g×(

23v03g4v03g

2

)＝

2

2v03g

2

，

AB间距离sAB＝2y＝，小球在空中运动时间为

23v03g

．

（2）当小球运动方向与斜面平行时，小球离斜面最远． 此时vy＝vxtan30°，gt′＝v0/3． 当t′＝

3v03g

时，小球离斜面最远．

5．解：根据题中说明，该运动员发球后，网球做平抛运动．以v表示初速度，H表示网球开始运动时离地面的高度（即发球高度），s1表示网球开始运动时与网的水平距离（即运动员离开网的距离），t1表示网球通过网上的时刻，h表示网球通过网上时离地面的高度，由平抛运动规律得到：

s1＝vt1

H－h＝

12

gt12

消去t1，得

v＝gs12

2(Hh) m/s

v≈23 m/s

以t2表示网球落地的时刻，s2表示网球开始运动的地点与落地点的水平距离，s表示网

球落地点与网的水平距离，由平抛运动规律得到：

1

2H＝gt22

s2＝vt2

消去t2得

s2＝v2Hg≈16 m

网球落地点到网的距离s＝s2－s1≈4 m

学科：物理

教学内容：平抛物体的运动

【学习目标】

识记

1．知道平抛运动的特点是初速度方向为水平，只在竖直方向受重力作用，运动轨迹是抛物线．

理解应用

2．理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g．

3．理解平抛运动可以看作水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动，并且这两个运动互不影响．

4．会用平抛运动的规律解答有关问题．

【基础知识精讲】 课文全解

1．平抛运动的特点

①受力特点：F合＝mg，方向竖直向下 ②运动特点：

平抛物体的速度方向与受力方向不在一条直线上，故平抛运动是曲线运动．又因为物体受恒力作用，加速度不变，故平抛运动是匀变速运动．

平抛物体的运动是曲线运动的一个特例，其运动特点是具有水平方向初速度和竖直向下的加速度g（只受重力、忽略空气阻力），由运动的合成与分解知识可知，平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．因此，平抛运动问题都可以通过水平方向的分运动和竖直方向的分运动具有等时性的特点进行研究．

2．平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v0方向为x正方向，竖直向下为y正方向，如图5－3－1所示．则有：

图5－3－1

分速度vx＝v0，vy＝gt

合速度v＝v0gt，tanθ＝

2

2

2

gtv0

分位移x＝v0·t，y＝合位移s＝

xy

2

2

12

gt2

注意：合位移方向与合速度方向不一致．

轨迹：设物体平抛至某点（x，y），如图5－3－2所示，则轨迹方程为：

图5－3－2

x＝v0t，y＝

12

gt2

消去参数t，得

y＝

g2v0

2

x2．（抛物线）

3．平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx＝v0，竖直方向加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图5－3－3所示，这一矢量关系有两个特点：（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0；（2）任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝g·Δt

图5－3－3

 问题全解

平抛运动的飞行时间和水平距离由哪些因素决定？

由于分运动和合运动具有等时性，平抛运动的飞行时间只受下降的距离y的限制，即飞行时间只由竖直分运动决定，与水平分运动无关，只要做平抛运动的物体下降的距离相同，无论水平初速度和质量如何，其飞行时间均相同，且为

t＝

2yg

但飞行的水平距离x则由平抛初速度v0和下降的距离y共同决定，为：

x＝v0t＝v0

2yg

［例1］一架飞机水平匀速地飞行．从飞机上每隔1 s释放一铁球，先后共释放4个．若不计空气阻力，则4个球

A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的

B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的

C．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的 解析：飞机和铁球的水平运动相同（相对地面）．选取飞机为参照物，每个铁球都做自由落体运动，都从飞机上释放，可以判断出4个铁球总在飞机正下方排成竖直的直线，每隔1 s释放1个铁球，故铁球落地点是等间距的．C正确． 点评：如果飞机斜向上匀速飞行，每隔1 s释放1个铁球，则以飞机为参照物，在空中铁球仍在飞机正下方排成竖直的直线．但由于飞机释放铁球的高度不同，铁球落地点是不等间距的．

［例2］如图5－3－4所示，一个小物体由斜面上A点以初速v0水平抛出，然后落到斜面上B点，已知斜面的倾角为θ，空气阻力可忽略，求物体在运动过程中离斜面的最远距离s．

图5－3－4

解析：物体水平抛出，其运动可有多种分解途径，下面我们用两种方法分解． 方法一：

小球的运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动，如图5－3－5所示．当物体速度与斜面平行时物体距斜面最远．设此过程所经时间t，两方向位移分别是：

图5－3－5

x＝v0t y＝

12

① ② ③ ④

gt2

竖直向下速度：vy＝gt 此时由图可知：vy＝v0tanθ 根据几何关系（如图5—3—5所示）：

(x－y/tanθ)sinθ＝s 由①②③④⑤得：

⑤

s＝

v0sin2gcos

22

方法二：将小球的运动分解成垂直于斜面方向的运动与沿斜面向下的运动；将重力沿这两方向分解，则物体垂直斜面向上做匀减速直线运动，其初速度vy0＝v0sinθ，其加速度ay＝gcosθ．如图5－3－6所示，当垂直斜面方向速度vyt＝0时，s最大．由匀变速直线运动公式，得：

图5－3－6

vy0

2

2

2

2

s＝

2ay



(v0sin)2gcos



v0sin2gcos

［例3］一小球以初速度v0水平抛出，落地速度为vt，阻力不计．求：

①在空中飞行时间； ②抛出点离地面的高度； ③水平射程； ④小球的位移． 解析：

①由做平抛运动的物体在t s末的合速度为：

2

vt＝vxvy＝v0(gt)

2

2

2

可得t＝

1g

vtv0

22

②由竖直方向做自由落体运动，可得：

sy＝

12

gt＝

2

vtv0

2g

22

③水平射程：

sx＝v0t＝

v0g

vtv0

22

④位移：

s＝sx2sy2(v0t)2(gt2)2

2

112g

2v0vt

22

3v0vt

44

与水平夹角：

tanφ＝

sysx

＝ vtv0/2v0

22

φ＝arctan(

vt

2

v0

2

/2v0)

［例4］如图5－3－7所示，由倾角为θ的斜面顶端水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点斜边长L，求抛出的初速度．

图5－3－7

解析：钢球做平抛运动，初速度和时间决定水平位移Lcosθ＝v0t；飞行时间由下落高度决定，Lsinθ＝

12

gt2，可见我们可先求时间再求初速度．

钢球做平抛运动，下落高度：

Lsinθ＝

12

gt2

飞行时间

t＝

2Lsing

水平飞行距离：

Lcosθ＝v0t

初速度：

Lcost

Lcos2Lsing

gL2sin

v0＝·cosθ

点评：本题把钢球的运动分解为水平和竖直两个分运动，求解简明．若沿其他直角坐标分解就麻烦多了．

［例5］如图5－3－8所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，小球有两种释放方式：第一种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑；第二种方式是在A点以速度v0水平抛出，并落在B点．求：

图5－3－8

（1）AB的长度．

（2）两种方式到达B点：下滑的运动时间为t1，平抛的运动时间为t2，t1∶t2等于多少？

解析：把位移AB向水平方向和竖直方向正交分解，设水平分位移为s，竖直分位移为h，则

hs

＝cotα

（1）平抛运动，水平方向：s＝v0t2 竖直方向h＝

1gt2

2

12

gt22

hs

＝cotα

2v0cot

g

2v0t2

＝cotα 所以t2＝

s

s＝

2v0cot

g

2

AB＝

sin

＝

2v0cosgsin

12

2

2

（2）自由下滑，AB＝at12

mgcosα＝ma a＝gcosα

2v0cosgsin

22

＝

22

12

gcosα·t12

t12＝

4v0gsin

2



t1＝

2v0gsin

t1∶t2＝

2v0gsin

∶

2v0cosgsin

＝1∶cosα

【学习方法指导】 运动叠加法

运动独立性原理又叫运动叠加原理．原理指出：一个运动可以看成是由几个同时进行的各自独立的运动的叠加．这是研究曲线运动的基本方法．中学物理课本中虽然没有明确给出运动独立性原理的文字表述，但教材内容和习题却体现了该原理的思想．我们在研究渡船过河时，把渡船的运动看成是船在静水中的运动和河水的运动的叠加．研究平抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．研究斜上抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动．带电粒子在电场中的偏转也用到运动独立性原理．在物理解题中也常常用到运动独立性原理这一研究运动合成和分解的重要方法．

应用运动独立性原理分析问题，应注意到：（1）各个分运动应是彼此独立的、互不影响的；（2）分运动和合运动具有同时性，各个分运动和合运动是同时进行的．

【知识拓展】

平抛运动的两个重要推论

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ．

证明：如图5－3－9所示，由平抛运动规律得：

图5－3－9

tanθ＝

vv0

yx



gtv0

，

tanφ＝

1gt

2

2v0t



gt2v0

所以tanθ＝2 tanφ．

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5－3－10中A点和B点所示．

图5－3－10

证明：设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)，则x＝v0t

12

y＝gt2 v⊥＝gt，

vv0

x2

又tanθ＝

yxx

，

解得x′＝．

即末状态A点的速度方向反向延长线与x轴的交点B必为A点水平位移的中点．

【同步达纲训练】

1．飞机在h高处以水平速度v0飞行并向地面轰炸，求瞄准角（瞄准器到目标的视线与铅直方向的夹角）多大时就应投弹？

2．柯受良驾驶汽车飞越黄河，汽车从最高点开始到着地为止这一过程可以看作平抛运动，记者从侧面用照相机通过多次曝光，拍摄到汽车在经过最高点以后的三幅运动照片，如图5－3－11所示，相邻两次曝光时间间隔相等，已知汽车长度为L，则

图5－3－11

A．从左边一幅照片可推算出汽车的水平分速度 B．从左边一幅照片可推算出汽车曾经到达的最大高度

C．从中间一幅照片可推算出汽车的水平分速度大小和汽车曾到达的最大高度 D．根据实验测得的，数据从右边一幅照片可推算出汽车水平分速度的大小

3．如图5－3－12所示，高为h的车厢在平直的轨道上匀减速向右行驶，加速度大小为a，车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上，车厢地板上的O点位于A点正下方，则油滴滴落地点必在O点的__________方，离O点的距离为_________．

图5－3－12

4．如图5－3－13所示，斜面AB的倾角为30°，小球从A点以初速v0水平抛出，恰好落在B点，求：

图5－3－13

（1）AB间距离和小球在空中运动的时间；

（2）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？

5．一网球运动员在离开网的距离为12 m处沿水平方向发球，发球高度为2.4 m，网的高度为0.9 m．

（1）若网球在网上0.1 m处越过，求网球的初速度．

（2）若按上述初速度发球，求该网球落地点到网的距离． （取g＝10 m/s，不考虑空气阻力）

2

参考答案

1．解：建立如图所示坐标，炸弹离开飞机后做平抛运动，要刚好落到目标点，位移s与竖直方向的夹角φ就是瞄准角．即有：

x＝v0·t h＝

12

gt2

xh

tanφ＝

v0gh

解之得：tanφ＝

2gh

φ＝arctan

v0gh

2gh

2．A

提示：对于左边一幅照片，水平方向汽车做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，在竖直方向利用：Δs＝

12

gt2，水平方向x＝v0t，将Δs、x与车的长度做比较，可求出v0t，

左边一幅照片无法求出最大高度，因为不知道最下边的车离地的距离．中间一副照片不能确定第三次曝光时是否汽车刚刚落地，因此无法计算，C错．右边一副照片数据不足，也无法计算，D错．

3．解：站在地面的人看油滴做平抛运动．油滴开始下落时，设车速为v0，油滴下落高度为h，油滴对地面的水平位移为s1，则有：

h＝

12

gt2，s1＝v0t＝v0

2hg

地面上的观察者看车厢做匀减速运动，设在油滴下落过程中车对地的位移为s2，则有：

s2＝v0t－

12

at2＝v0

2hg

－

12

a·

2hg

＝v0

2hg

－

ahg

油滴相对车厢的水平位移为： Δs＝s1－s2＝

ahg

>0

Δs>0即表示油滴向右的水平位移大于车厢向右的水平位移，所以油滴落在O点的右方，并且只要加速度a一定，车厢高度h一定，油滴相对车厢的水平位移Δs就是一个定值，而与车速大小无关，因此当车做匀减速运动时，不论油滴何时下落，油滴始终落在车厢地板上的同一位置，落点至O点的距离为

ahg

．我们还可得到：当车做匀速直线运动时，a＝0，Δ

s＝0，油滴落在O点；当车身加速向右运动时：Δs＝－

为车厢向右的位移大于油滴向右的水平位移．

ahg

4．解：当小球运动速度与斜面平行时，小球离斜面最远． （1）设小球在空中运动时间为t，则x＝v0t，y＝当球落到B点时，y＝xtan30°， 即

12

12

gt2．

gt2＝v0t×

13

．

所以t＝

23v03g12

．

y＝

12

gt＝

2

g×(

23v03g4v03g

2

)＝

2

2v03g

2

，

AB间距离sAB＝2y＝，小球在空中运动时间为

23v03g

．

（2）当小球运动方向与斜面平行时，小球离斜面最远． 此时vy＝vxtan30°，gt′＝v0/3． 当t′＝

3v03g

时，小球离斜面最远．

5．解：根据题中说明，该运动员发球后，网球做平抛运动．以v表示初速度，H表示网球开始运动时离地面的高度（即发球高度），s1表示网球开始运动时与网的水平距离（即运动员离开网的距离），t1表示网球通过网上的时刻，h表示网球通过网上时离地面的高度，由平抛运动规律得到：

s1＝vt1

H－h＝

12

gt12

消去t1，得

v＝gs12

2(Hh) m/s

v≈23 m/s

以t2表示网球落地的时刻，s2表示网球开始运动的地点与落地点的水平距离，s表示网

球落地点与网的水平距离，由平抛运动规律得到：

1

2H＝gt22

s2＝vt2

消去t2得

s2＝v2Hg≈16 m

网球落地点到网的距离s＝s2－s1≈4 m