重庆市2014-2015级中考二次函数专题二

重庆市2014-2015 级中考二次函数专题二

1．已知抛物线C1：y=a（x+1）﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）． （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

2

2．平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半

2

轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax+bx+c经过C、O、A三点． （1）直接写出这条抛物线的解析式；

（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；

（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以

个单位/秒

的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有

分析： （1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；

（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解．

解答： 解：（1）根据题意得：，解得：，

则抛物线的解析式是：y=x﹣x；

（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OG•BC=20， ∴S1≤5，

又OB所在直线的解析式是y=2x，OB=∴当S1=5时，△EBO的OB边上的高是

．

=2

，

2

如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）．

过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=∴y=2x﹣5， 由

，由△MNO∽△OGB，得OM=5，

， 解得： y=0， 即E的坐标是（，0）．

∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条．

∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5． 则E′的坐标是（，10）．

由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如图2，动点P、Q按题意运动时， 当1＜t＜3.5时， OP=

t，BP=2

﹣

t，OQ=2（t﹣1），

=

，∴PQ=

（t﹣1），若

=，则有

=

，

连接QP，当QP⊥OP时，有又∵∠QPB=∠DOA=90°，

∴△BPQ∽△AOD，此时，PB=2PQ，即2﹣t=（t﹣1），

10﹣t=8（t﹣1），∴t=2；

当3.5≤t≤6时，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，连接QP． 若QP⊥BP，

则有∠PBQ=∠ODA，

又∵∠QPB=∠AOD=90°， ∴△BPQ∽△DOA， 此时，PB=

PB，即12﹣2t=

（2

﹣

t），12﹣2t=10﹣t，

∴t=2（不合题意，舍去）．

若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO， 此时，PB=BQ，

即2﹣t=（12﹣2t），2﹣t=12﹣2t，解得：t=．则t的值为2或．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的

面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

3、如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是 （0，3） 线段AD的长等于 4 ；

2

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

4、如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B

三点的抛物线的解析式；

（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．

（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；

（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

6、如图①，直线l:ymxn(m0,n0)与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O

逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线. （1）若l:y2x2,则P表示的函数解析式为 ，若P:yx23x4，

则l表示的函数解析式为 .

（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；

（3）如图②，若l:y2x4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P

的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l:ymx4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，

连接OM.若OM

，直接写出l，P表示的函数解析式

.

（图①） （图②） （图③）

（第26题）

7、如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 （用含a的式子表示）．

2

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；

2

（4）抛物线y=a1x+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）． （1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O

在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t= 1秒 时，△PQR的边QR经过点B；

（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的

内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

11、如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点； （2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用：

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

13、如图，二次函数y=ax+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

2

（1）求该二次函数的解析式； （2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；

（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？

14、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF． （1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF； （2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

15、如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段

BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

2

（0，4），抛物线yx2mxn经过点A和C． （1）求抛物线的解析式．

（２）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为

S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．

（3）在y轴上取一点D，坐标是（0），将直线OC沿x轴平移到OC，点D关于直线OC的对称点记为D，当点D正好在抛物线上时，求出此时点D坐标并直接写出直线OC的函数解析式．

72

5、如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，.将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.

得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH.

（1）若抛物线l:yaxbxc经过G、O、E三点，则它的解析式为： ：

（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标：

（3）在（1）（2）的条件下，直线MN抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E

两点之间（不含点R、E）运动，设ΔPQH的面积为s的横坐标的取值范围。

2

s时，确定点Q

第21题图 第21题参考图

变化的因素，然后推广到一般情况．

17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H． （1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：

①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

2

2

2

2

2

∴，解得

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G， ∴P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4）， ∴PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似． ∵y=﹣x﹣x+4，

22

2

2

∴当y=0时，﹣x﹣x+4=0， 解得x=1或﹣3， ∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0． 设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0， 解得k=，

∴直线BD的解析式为y=x+4， ∴H（m，m+4）． 分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么

=

，

2

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1； ②如果△PGB∽△DEH，那么

=

，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣

．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的

解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．

重庆市2014-2015 级中考二次函数专题二

1．已知抛物线C1：y=a（x+1）﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）． （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式；

（2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由．

2

2．平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半

2

轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax+bx+c经过C、O、A三点． （1）直接写出这条抛物线的解析式；

（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；

（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以

个单位/秒

的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有

分析： （1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；

（3）分当1＜t＜3.5时和3.5≤t≤6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解．

解答： 解：（1）根据题意得：，解得：，

则抛物线的解析式是：y=x﹣x；

（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OG•BC=20， ∴S1≤5，

又OB所在直线的解析式是y=2x，OB=∴当S1=5时，△EBO的OB边上的高是

．

=2

，

2

如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）．

过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=∴y=2x﹣5， 由

，由△MNO∽△OGB，得OM=5，

， 解得： y=0， 即E的坐标是（，0）．

∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条．

∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5． 则E′的坐标是（，10）．

由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．

（3）如图2，动点P、Q按题意运动时， 当1＜t＜3.5时， OP=

t，BP=2

﹣

t，OQ=2（t﹣1），

=

，∴PQ=

（t﹣1），若

=，则有

=

，

连接QP，当QP⊥OP时，有又∵∠QPB=∠DOA=90°，

∴△BPQ∽△AOD，此时，PB=2PQ，即2﹣t=（t﹣1），

10﹣t=8（t﹣1），∴t=2；

当3.5≤t≤6时，QB=10﹣2（t﹣1）=12﹣2t，连接QP． 若QP⊥BP，

则有∠PBQ=∠ODA，

又∵∠QPB=∠AOD=90°， ∴△BPQ∽△DOA， 此时，PB=

PB，即12﹣2t=

（2

﹣

t），12﹣2t=10﹣t，

∴t=2（不合题意，舍去）．

若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO， 此时，PB=BQ，

即2﹣t=（12﹣2t），2﹣t=12﹣2t，解得：t=．则t的值为2或．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的

面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

3、如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是 （0，3） 线段AD的长等于 4 ；

2

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

4、如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B

三点的抛物线的解析式；

（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．

（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．

（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？

（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；

（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

6、如图①，直线l:ymxn(m0,n0)与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O

逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线. （1）若l:y2x2,则P表示的函数解析式为 ，若P:yx23x4，

则l表示的函数解析式为 .

（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；

（3）如图②，若l:y2x4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P

的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l:ymx4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，

连接OM.若OM

，直接写出l，P表示的函数解析式

.

（图①） （图②） （图③）

（第26题）

7、如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为 （用含a的式子表示）．

2

8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）； （3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；

2

（4）抛物线y=a1x+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．

折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）． （1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O

在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式； （4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒． （1）当t= 1秒 时，△PQR的边QR经过点B；

（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的

内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．

11、如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点； （2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE=DH；

类比探究：

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用：

（3）在（2）问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求图中阴影部分的面积．

13、如图，二次函数y=ax+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

2

（1）求该二次函数的解析式； （2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；

（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？

14、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF． （1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF； （2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．

15、如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；

（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段

BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

2

（0，4），抛物线yx2mxn经过点A和C． （1）求抛物线的解析式．

（２）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为

S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．

（3）在y轴上取一点D，坐标是（0），将直线OC沿x轴平移到OC，点D关于直线OC的对称点记为D，当点D正好在抛物线上时，求出此时点D坐标并直接写出直线OC的函数解析式．

72

5、如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，.将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°.

得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH.

（1）若抛物线l:yaxbxc经过G、O、E三点，则它的解析式为： ：

（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标：

（3）在（1）（2）的条件下，直线MN抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E

两点之间（不含点R、E）运动，设ΔPQH的面积为s的横坐标的取值范围。

2

s时，确定点Q

第21题图 第21题参考图

变化的因素，然后推广到一般情况．

17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H． （1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）将A（1，0），B（0，4）代入y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由E（m，0），B（0，4），得出P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4），则PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）先由抛物线的解析式求出D（﹣3，0），则当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4，于是得出H（m，m+4）．当以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似时，由于∠PGB=∠DEH=90°，所以分两种情况进行讨论：

①△BGP∽△DEH；②△PGB∽△DEH．都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式，进而求出m的值．

解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），

2

2

2

2

2

∴，解得

2

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x﹣x+4；

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G， ∴P（m，﹣m﹣m+4），G（m，4）， ∴PG=﹣m﹣m+4﹣4=﹣m﹣m；

（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似． ∵y=﹣x﹣x+4，

22

2

2

∴当y=0时，﹣x﹣x+4=0， 解得x=1或﹣3， ∴D（﹣3，0）．

当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0． 设直线BD的解析式为y=kx+4，

将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0， 解得k=，

∴直线BD的解析式为y=x+4， ∴H（m，m+4）． 分两种情况：

①如果△BGP∽△DEH，那么

=

，

2

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣1； ②如果△PGB∽△DEH，那么

=

，

即=，

由﹣3＜m＜0，解得m=﹣．

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣

．

点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的

解析式，线段的表示，相似三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想及分类讨论是解题的关键．